精品解析：安徽省亳州市涡阳县2025-2026学年九年级上学期义务教育教学质量监测数学试卷

2025—2026学年度第一学期义务教育教学质量监测 九年级数学 （试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 点关于原点成中心对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为． 故选：D． 2. 的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】解：cos60°=. 故选A. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值. 3. 如图，点D，E分别是边的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 的周长的周长 D. 的面积四边形的面积 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．根据中位线定理得到，，得到， ，即可求出的周长的周长，，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ D、E分别是 的中点， ∴，， ∴， ， ∴的周长的周长，， ∴的面积四边形的面积． 所以A，C，D正确，B错误； 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 相等的圆心角所对的弧是等弧 C. 在同圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D. 三角形的外心是三个内角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弦的关系以及三角形的外心定义，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弦的关系以及三角形的外心定义，逐项判断正误． 【详解】解：∵ 选项A：不共线的三点确定一个圆，共线的三点不能确定一个圆，∴ A错误； ∵ 选项B：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴ B错误； ∵ 选项C：在同圆中，半径相等，相等的弦所对的圆心角相等，∴ C正确； ∵ 选项D：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，内心才是角平分线的交点，∴ D错误． 故选：C． 5. 如图，在中，，于点 ，下列不能表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中， ，是 边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在 中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 6. 已知的半径r为3，点P到圆心O的距离d恰好是方程的解，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内部 B. 点P在外部 C. 点P在内部或点P在外部 D. 点P在上或点P在外部 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，解一元二次方程，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．先解方程求出的值，再根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：方程， 解得，， ∴当，时，点P在圆内； 当，时，点P在圆外， ∴点 在的内部或点 在的外部． 故选：C． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质得出函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，即可比较，，的大小． 【详解】解：∵反比例函数的解析式是， ∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点A和B在第二象限，点C在第四象限， ∴． 故选：B． 8. 如图，在6×7网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积的计算及锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求三角形的高是解题的关键． 通过割补法求的面积，用勾股定理求、的长度，结合三角形面积公式求边上的高 ，最后根据正弦定义计算． 【详解】解：设每个小方格边长为1， ， 由勾股定理得，， ∵ ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：B． 9. 已知某函数图象关于y轴对称，当时， ，若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键． 先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时， ， ∴当时，； 如图， 联立得 解得： 当过原点时，直线与这个函数图象有且仅有三个不同交点 ∴当时符合题意 综上所述， 故选：A． 10. 如图，在等腰中，，，点D为的中点，点E，F分别在边 上（点E，F与点A，B，C不重合），且 ，连接，下列结论：①可由绕点D逆时针旋转得到；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形性质及相似三角形性质与判定等知识，逐一分析即可求解． 【详解】解：∵在等腰中，，点D为的中点， ∴，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴可由绕点D逆时针旋转得到，①正确； 由①得， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，②正确； ∵是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴③正确； ∵ ， ∴， ∴， ∴④正确， 综上正确的结论有①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：______．(填“ ”或“”或“ ”) 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的大小，利用互余关系将转化为，再根据余弦函数，角度越大，值越小． 【详解】解：因为， 由于， 所以， 因此． 故答案为： ． 12. 如图，点B是的中点，若 ，则的度数是______． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，先结合点B是的中点，得，又因为，得出都是等边三角形，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 则， 故答案为： ． 13. 某商店经销一种中考体育考试跳绳，已知跳绳的成本价为每个60元，市场调查发现，该种跳绳每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，当该种跳绳销售单价定为______元时，每天的销售利润最大． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据利润函数为二次函数的性质，通过求顶点坐标确定最大利润对应的销售单价． 【详解】解：设每天的销售利润为，依题意，， ， ， 当时，有最大值， 故答案为：． 14. （1）如图1，在矩形ABCD中， ， ，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，连接BE，过点C作交BE于点F，则CF的长为______； （2）如图2，在菱形ABCD中，，过点C作交AB的延长线于点E，过点E作 交AD于点F，若，则______． 【答案】 ①. 8 ②. 16 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，进而证明，结合已知条件，即可证明； （2）根据菱形的性质得出， ，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，则， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 故答案为：8； （2）∵在菱形中， ∴， ，则 ， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，关键是熟记特殊角的三角函数值；把特殊角的三角函数值代入原式，即可计算． 【详解】解： ． 16. 如图，直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且． （1）若 ，，，求的长； （2）点O是直线与的交点，若，，求的长． 【答案】（1）3 （2）9 【解析】 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，将已知条件代入比例式即可解答． （2）先推导出，证明，则，由求出，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴， ∵ ，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. “圆”对于中国人来说总有一种特殊的情结，圆融、圆满寄托着众人美好的期望，也契合了国人内心深处的向往．如图是合肥园博园中的一个圆拱形的门洞，已知门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理等知识． 设的半径为，则，根据垂径定理得到，在中，，列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 答：门洞的半径约为． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均在格点上．（格点是网格线的交点） （1）以点O为位似中心，画出线段的位似图形线段，使得线段与线段的相似比为； （2）将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段； （3）四边形的周长为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换，画位似图形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据位似图形的性质以及线段与线段的相似比为，画出线段即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）结合图形求出、、、的长，求和即可． 【小问1详解】 解：如图：线段即为所作， 【小问2详解】 解：如图，线段即为所作， 【小问3详解】 解：由图可得：，，，， 故四边形的周长为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接并延长交反比例函数图象于点，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式、一次函数与反比例函数图像的交点问题； （1）待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式； （2）连接 ，根据的面积的面积的面积，进而根据双曲线的对称性和三角形中线的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴反比例函数表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴点A坐标是； ∵点和点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 如图，连接 ，设交轴于点 对于， 当 时，，，点， ∴的面积的面积的面积， 由双曲线的对称性知， ∴的面积的面积， ∴的面积 20. 【问题背景】某校数学兴趣小组学完解直角三角形知识后，打算运用所学知识测量底部不能到达的古塔的高度； 【测量工具】测角仪、带刻度的皮尺； 【测量数据】如图，该数学兴趣小组先在点C处测得古塔顶端点A的仰角为α，再往古塔的方向前进m米至点D处，测得古塔顶端点A的仰角为β． 【问题解决】 （1）求古塔的高度；（用含m，α，β的式子表示） （2）若 米，，，求此时古塔的高度．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键． （1）设米，在中，得，在 中，得， 联立方程，即可求解； （2）当 米，，时，代入，即可求解． 【小问1详解】 解：设米，在中， ∵， ∴， 在 中， ∵， ∴， ∵米，， ∴， 解得， 答：古塔的高度为米； 【小问2详解】 解：当 米，，时， 米， 答：此时古塔的高度为米． 六、（本题满分12分） 21. （）已知中，，是过点的一条直线，且点，在的同侧， 交 延长线于点 ， 交于点． ①若，如图，证明： ； ②若，如图，请写出线段 之间的数量关系，并证明； （）若，直线绕点旋转到图位置时，其余条件不变，请直接写出 之间的数量关系．（不需要说明理由） 【答案】 （）①证明：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； ② ， 证明：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． （） 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点涵盖直角三角形的角 度互余性质、全等三角形的判定( )与 性质、相似三角形的判定( )与性质，同 时结合线段的和差关系，考查在图形位置变 化(直线旋转)的情况下，运用几何推理分 析线段间数量关系的能力，是对三角形全等 与相似核心知识及几何动态思维的综合考查． （）①根据题意可得 ，结合 ， 直接用 证明 ，进而可得 ；②根据题意可得 ，结合 ，证明 ，根据 ，结合 ，进而可得 ； （）直线旋转后，仍可通过角度关系证明 ，相似比依旧为 ， 结合线段的位置变化 ，直接得出 的数量关系． 【详解】（1）①略 ②略 （） ， 理由：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）点P在线段 上，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，求线段的最大值； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A坐标为；点B坐标为；点C坐标为 （2）4 （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数性质，当时，，当 时，，解得或 ，即可求解； （2）设直线的函数表达式为，将点，点， 得 ，设点P坐标为，点M坐标为，点N坐标为，即可求解； （3）在该抛物线的对称轴上存在点Q，设点Q坐标为，使，即，代入即可求解. 【小问1详解】 解：当时，， ∴点C坐标为； 当 时，，解得或 ， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为 ∴点B坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， ∵点，点， ∴，解得， ∴ ； 设点P坐标为， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴， ∵ ，， ∴当时，有最大值，最大值为4； 【小问3详解】 解：在该抛物线的对称轴上存在点Q，设点Q坐标为， 使，即， ∴，解得， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程配方法、二次函数图象性质相关知识．熟练掌握二次函数图象性质，将问题转化，是解此题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知是的外接圆． （1）如图1，过点B作于点E，交于点D，连接，若 平分． ①求证：． ②若，的半径为2，求的长； （2）如图2，过点O作于点F，交于点D，点E在上，且，若，，求的值． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①作于点M，于点N，连接，根据角平分线性质有，根据弦、弦心距关系有，得到，得到，即得；②可得，．设，则，由勾股定理得，解得，得； （2）连接，连接 并延长交于点H，由垂径定理得，，由勾股定理求得，得，，由勾股定理求出，即得． 【小问1详解】 解：①证明：作于点M，于点N，连接，如图1， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴ ， 为等腰直角三角形， ∴． 设， 则，， 在 中，， 则， 解得，（舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，连接，连接 并延长交于点H， ∵于点F， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，即点E是的中点， ∴ ， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合，角平分线的性质，圆周角定理及推论，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，弧、弦关系，弦、弦心距关系，垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期义务教育教学质量监测 九年级数学 （试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 点关于原点成中心对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（　　） A. B. C. D. 3. 如图，点D，E分别是边的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 的周长的周长 D. 的面积四边形的面积 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 相等的圆心角所对的弧是等弧 C. 在同圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D. 三角形的外心是三个内角平分线的交点 5. 如图，在中，， 于点 ，下列不能表示的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径r为3，点P到圆心O的距离d恰好是方程的解，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内部 B. 点P在外部 C. 点P在内部或点P在外部 D. 点P在上或点P在外部 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在6×7网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知某函数图象关于y轴对称，当时， ，若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在等腰中， ，，点D为的中点，点E，F分别在边 上（点E，F与点A，B，C不重合），且 ，连接，下列结论：① 可由绕点D逆时针旋转得到；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：______．(填“ ”或“”或“ ”) 12. 如图，点B是的中点，若 ，则 的度数是______． 13. 某商店经销一种中考体育考试跳绳，已知跳绳的成本价为每个60元，市场调查发现，该种跳绳每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，当该种跳绳销售单价定为______元时，每天的销售利润最大． 14. （1）如图1，在矩形ABCD中， ， ，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，连接BE，过点C作交BE于点F，则CF的长为______； （2）如图2，在菱形ABCD中，，过点C作交AB的延长线于点E，过点E作 交AD于点F，若，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且． （1）若 ，，，求的长； （2）点O是直线与的交点，若，，求的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. “圆”对于中国人来说总有一种特殊的情结，圆融、圆满寄托着众人美好的期望，也契合了国人内心深处的向往．如图是合肥园博园中的一个圆拱形的门洞，已知门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．（精确到） 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均在格点上．（格点是网格线的交点） （1）以点O为位似中心，画出线段的位似图形线段，使得线段与线段的相似比为； （2）将线段绕点顺时针旋转 得到线段，画出线段； （3）四边形的周长为______． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接并延长交反比例函数图象于点，求的面积． 20. 【问题背景】某校数学兴趣小组学完解直角三角形知识后，打算运用所学知识测量底部不能到达的古塔的高度； 【测量工具】测角仪、带刻度的皮尺； 【测量数据】如图，该数学兴趣小组先在点C处测得古塔顶端点A的仰角为α，再往古塔的方向前进m米至点D处，测得古塔顶端点A的仰角为β． 【问题解决】 （1）求古塔的高度；（用含m，α，β的式子表示） （2）若 米，，，求此时古塔的高度．（结果保留根号） 六、（本题满分12分） 21. （）已知中，，是过点的一条直线，且点 ，在的同侧， 交 延长线于点 ， 交于点． ①若，如图，证明： ； ②若 ，如图，请写出线段 之间的数量关系，并证明； （）若 ，直线绕点旋转到图位置时，其余条件不变，请直接写出 之间的数量关系．（不需要说明理由） 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）点P在线段 上，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，求线段 的最大值； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 已知是的外接圆． （1）如图1，过点B作 于点E，交于点D，连接，若 平分． ①求证： ． ②若，的半径为2，求的长； （2）如图2，过点O作 于点F，交于点D，点E在上，且，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $