第20讲 导数中的同构与放缩 讲义-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第20讲 函数中的构造问题 【基础回顾】 一、构造函数的基础理论 1.利用导数公式构造 (1)乘积构造：． 若出现，可构造． (2)商的构造：． 若出现，可构造． (3)复合函数求导：若，，则． 如可令，构造关于u的函数． (4).常见函数的导数特征 ：常与其他函数乘积构造（如），简化导数形式． ：若出现，可构造（需注意）． ：用于幂函数与其他函数的组合构造（如）． 2.结构同构 导数的同构其本质就是构造函数,构造形式大致可分为两类: （1）双变量轮换式构造 当,形如可等价变换为： 构造新函数,研究函数的性质即可.此类构造形式较为简单,对不等式移项或变形即可得到,难度不大. （2）指对混合构造 解决指对混合不等式时,常规的方法计算复杂,则将不等式变形为的结构,即为外层函数,其单调性易于研究.常见变形方式:①; ②; ③;④; ⑤. 方法1：直接变形 指对跨阶时使用,何谓指对跨阶？比如在中,指数增长最快属于第一阶,其次属于第二阶,对数增长最慢属于第三阶. （1）积型: （同左）; （同右）; （取对数）. 说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知. （2）商型: （同左）; （同右）; （取对数）. （3）和差型: （同左）; （同右）. 方法2：先凑再变形 若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的有: ① ; 可构造,等价于. ② ; 可构造,等价于. ③ 可构造,等价于. ④ 可构造,等价于. ⑤ 可构造,等价于. 二．切线放缩基础 知识点1:重要的切线不等式 由图像可以分析得到: ①（当时,等号成立） ②（当时,等号成立） ③（当时,等号成立） ④（当时,等号成立） 说明:这4个不等式为切线放缩中较为重要的不等式,尽量掌握. 知识点2:其他放缩不等式（作为了解即可） 对数放缩 放缩为一次函数 放缩为双撇函数 放缩为二次函数 放缩为类反比例函数 指数放缩 放缩成一次函数 放缩成类反比例函数 放缩成二次函数 三角函数放缩 以直线为切线的函数 说明:对于上述表格内的放缩不等式,略作了解即可,不必完全掌握,针对较为复杂的放缩类型,并不是高考考察的内容,并且在解答题中,选择何种放缩类型,也基本都会在前一问中给提示,所以不必熟记.重要的是要学会放缩这种解题技巧和方法. 题型一 公式同构 分为指数函数的构造，幂函数的构造，对数函数的构造以及三角函数的构造。 【例题精讲】 1．已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则下列正确的为（　　） A．f（﹣3）＜3f（1） B．f（﹣3）＞3f（1） C． D． 2．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）+2成立，则2f（ln2）与f（2ln2）﹣2的大小关系为（　　） A．2f（ln2）＞f（2ln2）﹣2 B．2f（ln2）＜f（2ln2）﹣2 C．2f（ln2）＝f（2ln2）﹣2 D．无法比较大小 3．已知定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若xf′（x）+2f（x）＜0，则不等式f（x+2）﹣x2f（x2+2x）＜0的解集为（　　） A．（0，1） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞） 4．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＞f'（x）+1，f（0）＝3，则不等式f（x）＞2ex+1的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞） 5．已知函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且，则f（2﹣x）＝f（x）e2x﹣2，不等式的解集是（　　） A．（0，e2） B．（1，e2） C．（e，e2） D．（e2，+∞） 题型二 轮换式同构 同构原则：物以类聚。 【例题精讲】 1．若对任意的x1，x2∈（m，+∞），且当x1＜x2时，都有，则m的最小值是（　　） A．e B． C．3 D． 2．已知函数，若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有，则a的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D．0 3．已知函数，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得，则实数a的取值范围为（　　） A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞） 4．若对任意的x1，x2∈（1，3]，当x1＜x2时，恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．[6，+∞） D．（6，+∞） 题型三 指对同构及切线放缩 同构原则：指对分离，物以类聚，取啥补啥，多啥除啥。 【例题精讲】 1．已知正实数a，b满足lna+a＝2025和b（lnb﹣2）＝e2027，则ab的值为（　　） A．e4052 B．e2 C．e2027 D．e2025 2．已知a＝e0.05，b＝ln1.05+1，，则（　　） A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 3．已知当x＞0时，xex﹣2x≥a+2lnx恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2+2ln2] C．（﹣∞，2ln2] D．（﹣∞，2﹣2ln2] 4．已知f（x）＝memx﹣lnx（m≥0），若f（x）有两个零点，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．若x＞0时，2mx﹣xe2x+mlnx⩽0，则实数m的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D．E 6．设实数a＞0，对任意实数x＞0，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． （多选）7．若不等式xex+x+lnx＞ln（ax）+ax恒成立，则实数a的取值可能是（　　） A． B． C．2 D．e 课时精练 一．选择题（共12小题） 1．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，满足xf′（x）﹣2f（x）＜0，且f（3）＝9，则不等式f（3x）﹣9x＜0的解集是（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞） 2．若，则以下不等式正确的是（　　） A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a 3．已知，b＝ee﹣1，，则有（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 4．已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（　　） A．x＜y B．2x＜y C．x＜2y D．x＞2y 5．已知f′（x）﹣f（x）＞0在R上恒成立，且f（0）＝1，则不等式e﹣xf（x）＞1的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，+∞） 6．已知函数，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得，则实数a的取值范围为（　　） A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞） 7．已知a＝e0.02，，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 8．已知a＝e0.1﹣1，，c＝ln1.1，则（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b 9．f（x）是定义在x≠0上的偶函数，f′（x）为其导函数且f（﹣1）＝0，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞） 10．设函数f（x）是R上可导的偶函数，且f（3）＝2，当x＞0，满足2f（x）+xf′（x）＞0，则x2f（x）＜18的解集为（　　） A．（﹣∞，3） B．（﹣3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 11．已知实数x，y满足，则y的最小值为（　　） A． B． C．e D．e2 12．若函数f（x）在R上可导，且f（x）＞f′（x），则当a＞b时，下列不等式成立的是（　　） A．eaf（a）＞ebf（b） B．ebf（a）＞eaf（b） C．ebf（b）＞eaf（a） D．eaf（b）＞ebf（a） 二．填空题（共7小题） 13．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′（﹣x）＞2f（x），且f（1）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为 　 　 ． 14．若存在正实数x，使得不等式lnx≥3axln3（a＞0）成立（e是自然对数的底数），则a的最大值为 　 　 ． 15．已知函数f（x）＝lnx﹣aeax，若对任意的成立，则正数a的取值范围是 　 　 ． 16．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且f′（x）+f（x）＜0，则不等式e2x+2f（x+2）＜f（﹣x）的解集为　 　 ． 17．若关于x的不等式axex﹣x﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为 　 　 ． 18．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，给出下列结论： ①x1f（x2）＞x2f（x1） ②x2+f（x2）＞x1+f（x1） ③ ④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1） 以上四个结论中不正确的序号为　 　 19．已知函数f（x）＝xlnx﹣2x，若对于任意的m＞0，n＞0且m≠n，恒有，则实数k的取值范围为 　 　 ． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第20讲 函数中的构造问题 【基础回顾】 一、构造函数的基础理论 1.利用导数公式构造 (1)乘积构造：． 若出现，可构造． (2)商的构造：． 若出现，可构造． (3)复合函数求导：若，，则． 如可令，构造关于u的函数． (4).常见函数的导数特征 ：常与其他函数乘积构造（如），简化导数形式． ：若出现，可构造（需注意）． ：用于幂函数与其他函数的组合构造（如）． 2.结构同构 导数的同构其本质就是构造函数,构造形式大致可分为两类: （1）双变量轮换式构造 当,形如可等价变换为： 构造新函数,研究函数的性质即可.此类构造形式较为简单,对不等式移项或变形即可得到,难度不大. （2）指对混合构造 解决指对混合不等式时,常规的方法计算复杂,则将不等式变形为的结构,即为外层函数,其单调性易于研究.常见变形方式:①; ②; ③;④; ⑤. 方法1：直接变形 指对跨阶时使用,何谓指对跨阶？比如在中,指数增长最快属于第一阶,其次属于第二阶,对数增长最慢属于第三阶. （1）积型: （同左）; （同右）; （取对数）. 说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知. （2）商型: （同左）; （同右）; （取对数）. （3）和差型: （同左）; （同右）. 方法2：先凑再变形 若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的有: ① ; 可构造,等价于. ② ; 可构造,等价于. ③ 可构造,等价于. ④ 可构造,等价于. ⑤ 可构造,等价于. 二．切线放缩基础 知识点1:重要的切线不等式 由图像可以分析得到: ①（当时,等号成立） ②（当时,等号成立） ③（当时,等号成立） ④（当时,等号成立） 说明:这4个不等式为切线放缩中较为重要的不等式,尽量掌握. 知识点2:其他放缩不等式（作为了解即可） 对数放缩 放缩为一次函数 放缩为双撇函数 放缩为二次函数 放缩为类反比例函数 指数放缩 放缩成一次函数 放缩成类反比例函数 放缩成二次函数 三角函数放缩 以直线为切线的函数 说明:对于上述表格内的放缩不等式,略作了解即可,不必完全掌握,针对较为复杂的放缩类型,并不是高考考察的内容,并且在解答题中,选择何种放缩类型,也基本都会在前一问中给提示,所以不必熟记.重要的是要学会放缩这种解题技巧和方法. 题型一 公式同构 分为指数函数的构造，幂函数的构造，对数函数的构造以及三角函数的构造。 【例题精讲】 1．已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则下列正确的为（　　） A．f（﹣3）＜3f（1） B．f（﹣3）＞3f（1） C． D． 【答案】D 【解答】解：令g（x）＝xf（x），因为函数f（x）为定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）， 所以g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣g（x）， 所以函数g（x）是奇函数，当x＞0时，求导得g′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0， 即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 因为﹣3＜﹣1，所以g（﹣3）＜g（﹣1），即﹣3f（﹣3）＜﹣f（﹣1）＝﹣f（1）， 所以，虽然，但不能确定f（﹣3）与3f（1）的大小，故ABC错误，D正确． 故选：D． 2．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）+2成立，则2f（ln2）与f（2ln2）﹣2的大小关系为（　　） A．2f（ln2）＞f（2ln2）﹣2 B．2f（ln2）＜f（2ln2）﹣2 C．2f（ln2）＝f（2ln2）﹣2 D．无法比较大小 【答案】B 【解答】解：因为f′（x）＞f（x）+2，因此f′（x）﹣f（x）＞2， 令，因此 因此F（x）在R上单调递增， 因为2ln2＞ln2， 因此F（2ln2）＞F（ln2），因此， 因此f（2ln2）+2＞2（f（ln2）+2），因此f（2ln2）﹣2＞2f（ln2）． 故选：B． 3．已知定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若xf′（x）+2f（x）＜0，则不等式f（x+2）﹣x2f（x2+2x）＜0的解集为（　　） A．（0，1） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞） 【答案】A 【解答】解：因为f（x）的定义域为（0，+∞），且xf′（x）+2f（x）＜0， 所以，设h（x）＝x2f（x）（x＞0）， 则h′（x）＝x2f′（x）+2xf（x）＜0， 所以h（x）在（0，+∞）上单调递减， 又f（x+2）﹣x2f（x2+2x）＜0⇔f（x+2）＜x2f（x2+2x）⇔（x+2）2f（x+2）＜（x2+2x）2•f（x2+2x）， 所以h（x+2）＜h（x2+2x），则x+2＞x2+2x＞0，解得0＜x＜1． 所以不等式f（x+2）﹣x2f（x2+2x）＜0的解集为（0，1）． 故选：A． 4．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＞f'（x）+1，f（0）＝3，则不等式f（x）＞2ex+1的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞） 【解答】解：设g（x）， 则g′（x）， ∵f（x）＞f′（x）+1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＜0，∴y＝g（x）在定义域上单调递减， ∵f（x）＞2ex+1， ∴g（x）2， 又g（0）3﹣1＝2， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＜0， ∴f（x）＞2ex+1的解集为（﹣∞，0）． 故选：A． 5．已知函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且，则f（2﹣x）＝f（x）e2x﹣2，不等式的解集是（　　） A．（0，e2） B．（1，e2） C．（e，e2） D．（e2，+∞） 【解答】解：令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex[f'（x）+f（x）]， 因为，所以当x＞1时，f'（x）+f（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上为增函数， 当x＜1时，f'（x）+f（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，1）上为减函数， 因为f（2﹣x）＝f（x）e2x﹣2，所以e2﹣xf（2﹣x）＝f（x）ex， 所以g（2﹣x）＝g（x），故g（2）＝g（0）， 因为等价于elnxf（lnx）＜e2f（2），等价于g（lnx）＜g（2）， 所以0＜lnx＜2，故1＜x＜e2，即不等式的解集是（1，e2）． 故选：B． 题型二 轮换式同构 同构原则：物以类聚。 【例题精讲】 1．若对任意的x1，x2∈（m，+∞），且当x1＜x2时，都有，则m的最小值是（　　） A．e B． C．3 D． 【答案】C 【解答】解：因为x1＜x2时，都有， 所以lnx1﹣lnx2， 所以lnx1lnx2， 令f（x）＝lnx，则f（x1）＜f（x2）， 又因为对任意的x1，x2∈（m，+∞）， 所以f（x）在（m，+∞）上单调递增， f′（x）， 令f′（x）＞0得x＞3， 所以在（3，+∞）上，f（x）单调递增， 所以m≥3， 所以m的最小值为3， 故选：C． 2．已知函数，若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有，则a的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D．0 【答案】B 【解答】解：不妨设x1＞x2，因为， 所以f（x1）+x1＞f（x2）+x2， 令， 则g（x1）＞g（x2），所以g（x）在R上单调递增， 则g′（x）＝ex﹣x﹣a≥0恒成立，即a≤ex﹣x恒成立， 令h（x）＝ex﹣x，则h′（x）＝ex﹣1， 当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 所以h（x）≥h（0）＝1，所以a≤1，所以a的最大值为1． 故选：B． 3．已知函数，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得，则实数a的取值范围为（　　） A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞） 【解答】解：由已知得x1＞x2＞0，则化为f（x1）﹣f（x2）＞4x1﹣4x2， 即f（x1）﹣4x1＞f（x2）﹣4x2， 令函数， 有∀x1＞x2＞0，g（x1）＞g（x2）， 则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数， 等价于∀x∈（0，+∞），，即a≥﹣x2+4x， 当x＞0时，﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，当且仅当x＝2时取等号，则a≥4， 所以实数a的取值范围是[4，+∞）． 故选：A． 4．若对任意的x1，x2∈（1，3]，当x1＜x2时，恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．[6，+∞） D．（6，+∞） 【解答】解：当x1＜x2时，恒成立， 即当x1＜x2时，恒成立， 设，则f（x）单调递减， 而在（1，3]上恒成立，即a≥2x在（1，3]上恒成立， 所以a≥6． 故选：C． 题型三 指对同构及切线放缩 同构原则：指对分离，物以类聚，取啥补啥，多啥除啥。 【例题精讲】 1．已知正实数a，b满足lna+a＝2025和b（lnb﹣2）＝e2027，则ab的值为（　　） A．e4052 B．e2 C．e2027 D．e2025 【答案】C 【解答】解：对b（lnb﹣2）＝e2027两边同时取对数，得lnb+ln（lnb﹣2）＝2027， 即lnb﹣2+ln（lnb﹣2）＝2025， 设f（x）＝lnx+x，x＞0，则， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又∵lna+a＝2025， ∴a＝lnb﹣2， ∴ab＝（lnb﹣2）b＝e2027． 故选：C． 2．已知a＝e0.05，b＝ln1.05+1，，则（　　） A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【答案】D 【解答】解：由题，令f（x）＝ex﹣x﹣1（x＞0）， 则f′（x）＝ex﹣1＞e0﹣1＝0， 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以f（x）＞f（0）＝e0﹣0﹣1＝0， 则f（ln1.05）＝1.05﹣ln1.05﹣1＞0，故1.05＞ln1.05+1， f（0.05）＝e0.05﹣（0.05）﹣1＝e0.05﹣1.05＞0，故e0.05＞1.05， 故有，即a＞b＞c． 故选：D． 3．已知当x＞0时，xex﹣2x≥a+2lnx恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2+2ln2] C．（﹣∞，2ln2] D．（﹣∞，2﹣2ln2] 【答案】D 【解答】解：设函数f（x）＝xex﹣2lnx﹣2x＝elnx+x﹣2（lnx+x），则f（x）≥a对任意x∈（0，+∞）恒成立， 设t＝lnx+x，那么t∈R，且f（x）＝et﹣2t， 设函数g（t）＝et﹣2t，那么导函数g′（t）＝et﹣2， 因此函数g（t）在（ln2，+∞）上是增函数，在（﹣∞，ln2）上是减函数， 因此g（t）≥g（ln2）＝2﹣2ln2， 所以g（t）的最小值为2﹣2ln2，即f（x）的最小值为2﹣2ln2， 所以a∈（﹣∞，2﹣2ln2]． 故选：D． 4．已知f（x）＝memx﹣lnx（m≥0），若f（x）有两个零点，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：若f（x）有两个零点，则f（x）＝memx﹣lnx＝0有两个解，等价于mxemx﹣xlnx＝0（x＞0）有两个解， 令g（t）＝tet，则原式等价于g（mx）＝g（lnx）有两个解， 即mx＝lnx（x＞0）有两个大于零的解． 令，则， 当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0， 所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且，h（x）图像如图： 所以当时，有两个交点，即f（x）有两个零点． 故选：A． 5．若x＞0时，2mx﹣xe2x+mlnx⩽0，则实数m的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D．e 【答案】D 【解答】解：根据题意，原不等式可化为m（2x+lnx）≤e2x+lnx， 令t＝2x+lnx，显然函数t在（0，+∞）上单调递增且连续， 且当x→+∞时，t→+∞，当x→0时，t→﹣∞，因此t的值域为R， 当t＝0，原不等式显然成立； 当t＞0时，原不等式可化为， 令函数，那么导函数， 当t＞1时，f′（t）＞0，当0＜t＜1时，f′（t）＜0， 因此f（t）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，f（t）min＝f（1）＝e， 因此m≤f（t）min＝e； 当t＜0时，原不等式可化为， 导函数，因此f（t）在（﹣∞，0）上单调递减， 又当t→﹣∞时，f（t）→0，故m≥0． 综合t＞0时可知0≤m≤e，故m的最大值为e． 故选：D． 6．设实数a＞0，对任意实数x＞0，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以， 依题意恒成立，即aeax≥2ln（2x）， 因为x＞0，所以恒成立． 令g（x）＝xex，则g′（x）＝（x+1）ex， 当x＞0时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 则不等式恒成立，等价于g（ax）≥g（ln（2x）恒成立． 因为a＞0，x∈（0，+∞），所以ax＞0，所以g（ax）＝axeax＞0， 当时，ln（2x）≤0，g（ln（2x）＝eln（2x）•ln（2x）≤0，此时g（ax）≥g（ln（2x））恒成立； 当时，ln（2x）＞0，所以ax≥ln2x对任意的恒成立，所以恒成立． 设，可得， 当1＜t＜e时，h′（t）＞0，h（t）在（1，e）单调递增， 当t＞e时，h′（t）＜0，h（t）在（e，+∞）单调递减． 所以当t＝e时，函数h（t）取得最大值，为，此时2x＝e， 所以，解得， 综上所述，实数a的取值范围为． 故选：B． （多选）7．若不等式xex+x+lnx＞ln（ax）+ax恒成立，则实数a的取值可能是（　　） A． B． C．2 D．e 【解答】解：xex+x+lnx＞ln（ax）+ax即lnxex+xex＞ln（ax）+ax， 记f（x）＝lnx+x，，所以函数f（x）为（0，+∞）上的单调递增函数， 由lnxex+xex＞ln（ax）+ax可得f（xex）＞f（ax）， 因此xex＞ax＞0，即ex＞a＞0在（0，+∞）恒成立． 因此0＜a≤1，故AB均符合，CD不符合． 故选：AB． 课时精练 一．选择题（共12小题） 1．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，满足xf′（x）﹣2f（x）＜0，且f（3）＝9，则不等式f（3x）﹣9x＜0的解集是（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞） 【答案】D 【解答】解：令，则， 当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减， 由f（3）＝9，则， 又f（3x）＝9xg（3x）， 所以f（3x）﹣9x＜0⇔9xg（3x）﹣9x＜0， 即g（3x）＜1＝g（3），即有，解得x∈（1，+∞）． 故选：D． 2．若，则以下不等式正确的是（　　） A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【答案】D 【解答】解：因为，，， 令，定义域为（0，+∞），则， 当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减， 又因为2＜e＜3，所以f（2）＜f（e），f（e）＞f（3）， 又， 所以f（2）＜f（3）， 所以f（e）＞f（3）＞f（2），即b＞c＞a． 故选：D． 3．已知，b＝ee﹣1，，则有（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【答案】C 【解答】解：把a，b，c变形得，，， 所以构造函数，则a＝f（3），b＝f（e），c＝f（4）， 又， 令，则在（1，+∞）上恒成立， 所以g（x）在区间（1，+∞）上单调递增， 因为， 所以f′（x）＞0在[e，+∞）上恒成立， 所以函数在[e，+∞）上单调递增， 所以f（e）＜f（3）＜f（4），即b＜a＜c． 故选：C． 4．已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（　　） A．x＜y B．2x＜y C．x＜2y D．x＞2y 【答案】D 【解答】解：由题可知，， 设，x＞1，，所以g（x）在（1，+∞）单调递增， 因为，x＞1，2y＞1，所以x＞2y． 故选：D． 5．已知f′（x）﹣f（x）＞0在R上恒成立，且f（0）＝1，则不等式e﹣xf（x）＞1的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，+∞） 【答案】B 【解答】解：令F（x）＝e﹣xf（x），则F'（x）＝e﹣x[f'（x）﹣f（x）]＞0，F（x）为增函数， 故e﹣xf（x）＞1⇒F（x）＞F（0），即解集为（0，+∞）． 故选：B． 6．已知函数，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得，则实数a的取值范围为（　　） A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞） 【答案】A 【解答】解：由已知得x1＞x2＞0，则化为f（x1）﹣f（x2）＞4x1﹣4x2， 即f（x1）﹣4x1＞f（x2）﹣4x2， 令函数， 有∀x1＞x2＞0，g（x1）＞g（x2）， 则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数， 等价于∀x∈（0，+∞），，即a≥﹣x2+4x， 当x＞0时，﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，当且仅当x＝2时取等号，则a≥4， 所以实数a的取值范围是[4，+∞）． 故选：A． 7．已知a＝e0.02，，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【答案】A 【解答】解：构建函数f（x）＝xex+1+1，其中x∈（﹣1，0），那么导函数f′（x）＝（x+1）ex+1＞0， 可知f（x）在区间（﹣1，0）内单调递增，那么f（x）＞f（﹣1）＝0， 令，那么可得， 所以，因此a＜b； 构建函数，那么导函数， 可知g（x）在区间（1，+∞）内单调递增，那么可得g（x）＞g（1）＝0， 令，可得，所以， 可得，因此b＜c． 综上所述：a＜b＜c． 故选：A． 8．已知a＝e0.1﹣1，，c＝ln1.1，则（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【答案】A 【解答】解：令，则， 令φ（x）＝ex（x﹣1）2﹣1，则φ′（x）＝ex（x﹣1）（x+1）， 当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在（0，1）上单调递减， 所以φ（x）＜φ（0）＝0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减， 所以f（0.1）＜f（0），即，所以，即a＜b； 令g（x）＝ex﹣ln（x+1）﹣1，x∈（0，1），则， 令，则，所以ω（x）在（0，1）上单调递增， 所以ω（x）＞ω（0）＝0，即g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增， 所以g（0.1）＞g（0）＝0，即e0.1﹣ln1.1﹣1＞0，所以e0.1﹣1＞ln1.1，即a＞c． 所以c＜a＜b． 故选：A． 9．f（x）是定义在x≠0上的偶函数，f′（x）为其导函数且f（﹣1）＝0，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞） 【答案】C 【解答】解：x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0， 当x＞0时，令，则F'（x）＝ ， 所以F（x）在（0，+∞）上单调递减， 因为f（x）为偶函数，f（﹣1）＝0，所以f（1）＝0，F（x）为奇函数， 当0＜x＜1时，F（x）＞0，即f（x）＞0； 当x＞1时，F（x）＜0，即f（x）＜0， 当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，即f（x）＞0， 当x＜﹣1时，F（x）＞0，即f（x）＜0， 故不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1}． 故选：C． 10．设函数f（x）是R上可导的偶函数，且f（3）＝2，当x＞0，满足2f（x）+xf′（x）＞0，则x2f（x）＜18的解集为（　　） A．（﹣∞，3） B．（﹣3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 【答案】C 【解答】解：令g（x）＝x2f（x）， 因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是可导的偶函数， 所以g（x）＝x2f（x）在（﹣∞，+∞）上也是偶函数 又当x＞0时，2f（x）+xf′（x）＞0，所以2xf（x）+x2f′（x）＞0， 所以g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＞0， 所以g（x）在（0，+∞）上是增函数 因为f（3）＝2， 由x2f（x）＜18得x2f（x）＜18＝32f（3）， 即不等式转化为g（|x|）＜g（3）， 所以x不为0时有|x|＜3， 而x为0时，不等式显然成立， 所以x2f（x）＜18的解集为（﹣3，3）． 故选：C． 11．已知实数x，y满足，则y的最小值为（　　） A． B． C．e D．e2 【答案】C 【解答】解：由（x＞0，y＞0）， 可得ylny＝e2x﹣yln（2x），即ylny+yln（2x）＝e2x， 即yln（2xy）＝e2x，所以2xyln（2xy）＝2xe2x， 即eln（2xy）ln（2xy）＝2xe2x， 设f（x）＝xex（x＞0），则f'（x）＝（x+1）ex＞0， 则f（x）在（0，+∞）上为增函数， 所以ln（2xy）＝2x，则2xy＝e2x，即， 令，则， 当时，g'（x）＜0； 当时，g'（x）＞0； 所以g（x）在上为减函数，在，+∞）上为增函数， 所以． 故选：C． 12．若函数f（x）在R上可导，且f（x）＞f′（x），则当a＞b时，下列不等式成立的是（　　） A．eaf（a）＞ebf（b） B．ebf（a）＞eaf（b） C．ebf（b）＞eaf（a） D．eaf（b）＞ebf（a） 【答案】D 【解答】解：令g（x），则g′（x）； ∵f（x）＞f′（x）， ∴0， ∴g（x）在R上是减函数， 又∵a＞b， ∴； 故eaf（b）＞ebf（a）， 故选：D． 二．填空题（共7小题） 13．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′（﹣x）＞2f（x），且f（1）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为 　（﹣1，0）∪（1，+∞）　 ． 【答案】（﹣1，0）∪（1，+∞）． 【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义域为R的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x）， 两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x）且f（0）＝0， 又因为当x＞0时，f′（﹣x）＞2f（x），所以f′（x）＞2f（x）． 设函数，则， 所以当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增， 又因为f（1）＝0，所以h（1）＝0，h（x）在（1，+∞）上大于零，在（0，1）上小于零， 又因为e2x＞0，所以f（x）在（1，+∞）上大于零，在（0，1）上小于零， 因为f（x）为奇函数，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上小于零，在（﹣1，0）上大于零， 综上所述，f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）． 故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）． 14．若存在正实数x，使得不等式lnx≥3axln3（a＞0）成立（e是自然对数的底数），则a的最大值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：当a＞0时，lnx≥3axln3⇔⇔x•log3x≥ax•3ax⇔•log3x≥ax•3ax， 设f（x）＝x•3x（x＞0）， 则f′（x）＝3x+x•3x•ln3＝3x（1+xln3）＞0， 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以由•log3x≥ax•3ax，可得f（log3x）≥f（ax）， 所以log3x≥ax，即a， 设g（x）（x＞0）， 则g′（x）， 令g′（x）＝0得，x＝e， 当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 所以g（x）max＝g（e）， 所以a， 即a的最大值为． 故答案为：． 15．已知函数f（x）＝lnx﹣aeax，若对任意的成立，则正数a的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据函数f（x）≤0，所以lnx﹣aeax≤0，得lnx≤aeax． 由于，因此xlnx≤axeax＝eaxlneax． 设函数g（x）＝xlnx，那么导函数g′（x）＝lnx+1． 由于，因此导函数g′（x）≥0，因此函数g（x）在上单调递增． 由于xlnx≤eaxlneax，因此g（x）≤g（eax），因此x≤eax，因此lnx≤ax，因此． 令函数，那么导函数． 由导函数h′（x）＜0，得x＞e，则h（x）在（e，+∞）上单调递减； 由导函数h′（x）＜0，得0＜x＜e，则h（x）在（0，e）上单调递增． 所以，即． 故答案为：． 16．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且f′（x）+f（x）＜0，则不等式e2x+2f（x+2）＜f（﹣x）的解集为　（﹣1，+∞）　 ． 【答案】（﹣1，+∞）． 【解答】解：设函数g（x）＝exf（x），那么导函数g′（x）＝ex[f′（x）+f（x）]＜0， 因此函数g（x）在R上单调递减， 且e2x+2f（x+2）＜f（﹣x），即ex+2f（x+2）＜e﹣xf（﹣x）， 所以g（x+2）＜g（﹣x）， 因此x+2＞﹣x⇒x＞﹣1． 因此e2x+2f（x+2）＜f（﹣x）的解集为（﹣1，+∞）． 故答案为：（﹣1，+∞） 17．若关于x的不等式axex﹣x﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为 　[，+∞）　 ． 【答案】． 【解答】解：axex﹣x﹣lnx≥0，即axex≥x+lnx＝lnex+lnx＝ln（xex）， x∈（0，+∞），设t＝xex，t′＝（x+1）ex＞0恒成立，函数单调递增，故t＞0， 故，设，故， 当t∈（0，e）时，g′（t）＞0，函数单调递增， 当t∈（e，+∞）时，g′（t）＜0，函数单调递减， 故，故． 故答案为：． 18．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，给出下列结论： ①x1f（x2）＞x2f（x1） ②x2+f（x2）＞x1+f（x1） ③ ④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1） 以上四个结论中不正确的序号为　②③　 【答案】②③． 【解答】解：对于①，令， 显然该函数在（0，+∞）上单调递增， 因为0＜x1＜x2，所以g（x1）＜g（x2）， 所以，即x1f（x2）＞x2f（x1）， 故①正确； 对于②，令h（x）＝f（x）+x＝xlnx+x， 令h′（x）＝lnx+2＝0⇒x＝e﹣2， 由h′（x）＞0⇒x＞e﹣2；由h′（x）＜0⇒0＜x＜e﹣2； 所以h（x）在（0，e﹣2）上单调递减，在（e﹣2，+∞）上单调递增， 当时，h（x1）＞h（x2），即x1+f（x1）＞x2+f（x2）， 故②错误； 对于③，因为f′（x）＝lnx+1， 在上，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当时，f（x2）﹣f（x1）＜0，x2﹣x1＞0， 可得，故③错误； 对于④，因为lnx＞﹣1时，f′（x）＝lnx+1＞0，所以f（x）单调递增， 由①可知，x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）] ＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0， 即x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1），故④正确． 故答案为：②③． 19．已知函数f（x）＝xlnx﹣2x，若对于任意的m＞0，n＞0且m≠n，恒有，则实数k的取值范围为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由于，设m＞n＞0，因此m2﹣n2＞0， 因此f（m）﹣km2＜f（n）﹣kn2，令函数g（x）＝f（x）﹣kx2＝xlnx﹣2x﹣kx2， 那么g（m）＜g（n），因此函数g（x）在（0，+∞）上是减函数， 导函数g′（x）＝lnx+1﹣2﹣2kx＝lnx﹣2kx﹣1，由于函数g（x）在（0，+∞）上是减函数， 因此g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即lnx﹣2kx﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立， 变形为在（0，+∞）上恒成立， 令函数，导函数， 令导函数h′（x）＝0，即2﹣lnx＝0，解得x＝e2， 当x＞e2时，h′（x）＜0，h（x）单调递减； 当0＜x＜e2时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 所以h（x）在x＝e2处取得极大值，也是最大值，， 因为在（0，+∞）上恒成立，所以， 故． 故答案为：． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $