2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2　圆与圆的位置关系 一．选择题 1.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是(　　) A.外切 B.内切 C.相交 D.外离 2.若圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为(　　) A.2 B.-5 C.2或-5 D.不确定 3.设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是(　　) A.内切 B.相交 C.内切或内含 D.外切或外离 4.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则(　　) A.E=-4,F=8 B.E=4,F=-8 C.E=-4,F=-8 D.E=4,F=8 5.若圆x2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是(　　) A.r<+1 B.r>+1 C.|r-|≤1 D.|r-|<1 6.点A(2,0)到直线l的距离为1,且直线l与圆C:(x+2)2+(y-3)2=r2(r>0)相切.若这样的直线l有四条,则r的取值范围是(　　) A.(0,2) B.(0,3) C.(0,4) D.(0,5) 7.已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是(　　) A.5 B.1 C.3-5 D.3+5 8.若半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是(　　) A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36 9.(多选题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,若点P为圆O1上的动点,点Q为圆O2上的动点,则有(　　) A.公共弦AB的长为 B.|PQ|的最大值为2+1 C.圆O2上到直线AB距离等于的点有3个 D.点P到直线AB的距离的最大值为+1 10.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　) A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 二．填空题 11.两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　　.  12.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦长为　　　　　.  13.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为　　　　　　　;过两圆交点,且面积最小的圆的方程为　　　　　　　.  14.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长为　　　　　.  三．解答题 15.求与圆C:x2+y2-2x=0外切且与直线l:x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程. 16.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1). (1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程; (2)若圆O1与圆O2交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程. 17.已知圆O:x2+y2=4和圆C:x2+(y-4)2=1. (1)判断圆O和圆C的位置关系. (2)过圆C的圆心C作圆O的切线l,求切线l的方程. (3)过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A,B两点. 试问:在以线段AB为直径的所有圆中,是否存在这样的圆P,使得圆P经过点M(2,0)?若存在,求出圆P的方程;若不存在,请说明理由. 2.5.2　圆与圆的位置关系 一．选择题 1.B 将圆的方程x2+y2-14x-2y+14=0化为标准方程为(x-7)2+(y-1)2=36,得圆心坐标为(7,1),半径r1=6.圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心坐标为(3,-2),半径r2=1,故圆心距d==5=6-1=r1-r2,故两圆内切. 2.C 两圆的圆心坐标分别为(-2,m),(m,-1),两圆的半径分别为3,2, 由题意得=3+2, 解得m=2或m=-5. 3.D 由题意得两圆的圆心距 d=, 两圆的半径之和为r+4,因为<r+4, 所以两圆不可能外切或外离. 故选D. 4.C 联立方程组 ②-①可得4x+Ey-F-4=0, 即x+y-=0. 由两圆的公共弦所在直线的方程为x-y+1=0, 得解得 5.C 圆的方程x2+y2+2x-4y+4=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=1, 两圆圆心距为. ∵两圆有公共点, ∴|r-1|≤≤r+1, ∴-1≤r≤+1, ∴-1≤r-≤1,即|r-|≤1. 6.C 因为点A(2,0)到直线l的距离为1,所以直线l与圆A:(x-2)2+y2=1相切.因为直线l与圆A,圆C都相切且这样的直线l有四条,所以圆C与圆A外离,圆心距大于半径之和,即|AC|==5>r+1,解得r<4,故选C. 7.C 圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0化为标准方程即(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为C1(4,2),半径r1=3,圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0化为标准方程即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为C2(-2,-1),半径r2=2,圆心距d==3>3+2=5,两圆相离,故|PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3-5. 8.D 由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36.圆心距为=6-1=5,解得a=±4,故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=36或(x+4)2+(y-6)2=36. 9.BD 由题设,将两圆方程相减,可得直线AB的方程为x-y=0,与圆O1的方程联立并整理可得x(x-1)=0,解得x=0或x=1.令点A(0,0),B(1,1),故|AB|=,A错误; 又圆O1:(x-1)2+y2=1,圆O2:(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心O1(1,0),O2(-1,2)且半径分别为r1=1,r2=,所以|O1O2|=2,|PQ|最大时即为|O1O2|+r1+r2=2+1,B正确; 因为点O2到直线AB:x-y=0的距离d2=,而r2-d2=,所以圆O2上到直线AB的距离等于的点有2个,C错误; 由O1到直线AB:x-y=0的距离d1=,则P到直线AB距离的最大值为r1+d1=1+,D正确.故选BD. 10.D 圆M的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4,点M到直线l的距离d=>2,所以直线l与圆M相离. 由圆的知识可知,A,P,B,M四点共圆,且AB⊥MP, 所以|PM|·|AB|=4S△PAM=4××|PA|×|AM|=4|PA|,而|PA|=, 当直线MP⊥l时,|PM|取得最小值,且最小值为,此时|PA|取得最小值1,|PM|·|AB|取得最小值4,此时直线MP的方程为y-1=(x-1),即y=x+, 由 解得即P(-1,0). 所以以MP为直径的圆的方程为(x-1)(x+1)+y(y-1)=0,即x2+y2-y-1=0,① 圆M的方程与①中的方程相减得2x+y+1=0,即为直线AB的方程. 二．填空题 11.3 由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直, ∴kAB×1=-1, 即=-1,得m=5, ∴线段AB的中点坐标为(3,1). 又线段AB的中点在直线x-y+c=0上, ∴3-1+c=0,∴c=-2, ∴m+c=5-2=3. 12. 2 圆C1和圆C2的标准方程为(x-1)2+y2=9,(x+1)2+(y-2)2=9.由题意得,圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x-y+1=0,所以点C1(1,0)到直线l的距离d=,圆C1的半径r1=3,所以圆C1与圆C2的公共弦长为2=2=2. 13. x+y-2=0　(x-1)2+(y-1)2=8 设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是过点A,B且面积最小的圆.两圆方程相减可得直线AB的方程为x+y-2=0. 直线MN的方程为x-y=0. 解方程组得所求面积最小的圆的圆心坐标为(1,1). 圆心M(0,0)到直线AB的距离d=, 则弦AB的长|AB|=2=4, 所以所求圆的半径为2. 所以所求面积最小的圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8. 14.4 连接OO1,记AB与OO1的交点为C,如图所示. 在Rt△OO1A中,|OA|=,|O1A|=2, ∴|OO1|=5,∴|AC|==2, ∴|AB|=4. 三．解答题 15.解:将圆C的方程化为标准方程为(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0),半径为1. 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题意可知 解得 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 16.解:(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1,r2, ∵两圆外切, ∴|O1O2|=r1+r2, ∴r2=|O1O2|-r1=-2=2(-1), ∴圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8. (2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=. 已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程4x+4y+-8=0. 作O1H⊥AB交AB于点H, 则|AH|=|AB|=,|O1H|=. 从而圆心O1(0,-1)到公共弦AB所在直线的距离, 解得=4或=20. 故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20. 17.解:(1)因为圆O的圆心O(0,0),半径r1=2,圆C的圆心C(0,4),半径r2=1, 所以圆O和圆C的圆心距|OC|=|4-0|>r1+r2=3,所以圆O与圆C外离. (2)由题意设切线l的方程为y=k1x+4, 即k1x-y+4=0, 则点O到直线l的距离d==2, 解得k1=±. 所以切线l的方程为x-y+4=0或x+y-4=0. (3)当直线m的斜率不存在时,直线m经过圆C的圆心,此时直线m与圆O的交点为点A(0,2),B(0,-2),线段AB即为圆O的直径,而点M(2,0)在圆O上,即圆O也是满足题意的圆. 当直线m的斜率存在时,设直线m:y=kx+4, 由 消去y整理得(1+k2)x2+8kx+12=0, 由Δ=64k2-48(1+k2)>0, 解得k>或k<-. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有① 于是y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=,② y1+y2=kx1+4+kx2+4=k(x1+x2)+8=,③ 若存在以线段AB为直径的圆P经过点M(2,0),则=0, 所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0, 则+4+=0, 所以16k+32=0,则k=-2,满足题意. 此时以线段AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0, 即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0, 即x2+y2-x-y+=0. 综上,在以线段AB为直径的所有圆中,存在圆P:x2+y2-x-y+=0或x2+y2=4,使得圆P经过点M(2,0). 学科网（北京）股份有限公司 $