2.5.2 圆与圆的位置关系(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.5.2　圆与圆的位置关系 1.B　因圆O：x2＋y2＝2的圆心为O（0，0），半径为r1＝，圆M：x2＋y2＋2x－2y－6＝0的圆心为M（－1，1），半径为r2＝2，又｜OM｜＝＝，所以｜OM｜＝r2－r1，所以圆O与圆M内切，故选B. 2.B　由题设，将两圆方程作差，得（x2＋y2＋4x＋3y＋2）－（x2＋y2＋2x＋y）＝0，整理可得x＋y＋1＝0，即公共弦所在直线方程为x＋y＋1＝0. 3.A　由x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，配方得（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，所以5－m＞0⇒m＜5，所以C1（1，－2），半径r1＝，由x2＋y2＋2x－1＝0⇒（x＋1）2＋y2＝2，所以C2（－1，0），半径r2＝，因为圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－1＝0恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，于是有｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜r1＋r2，得｜－｜＜＜＋，化简，得＜＜3，解得－13＜m＜3，而m＜5，所以实数m的取值范围为（－13，3），故选A. 4.C　如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，∵｜BC2｜＝2＝2｜AC1｜，∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，∴｜MC1｜＝｜C1C2｜＝2，由勾股定理可得｜AB｜＝｜MA｜＝＝. 5.C　圆C：x2＋y2－2ax＋a2－4＝0可化为（x－a）2＋y2＝4，由｜OP｜＝1，可知点P在圆x2＋y2＝1上，所以问题等价于圆x2＋y2＝1与圆C有交点，所以2－1≤｜a｜≤2＋1，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1. 6.BD　圆x2－2x＋y2＝0的圆心为（1，0），半径为1，圆C与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的圆心在x轴上，设圆心为（a，0），则由题意｜a－2｜＝，解得a＝－1或a＝，当a＝－1时，半径为｜－1－2｜＝3，当a＝时，半径为｜－2｜＝.故选B、D. 7.ACD　圆O1：（x－1）2＋y2＝1的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，圆O2：（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心为O2（－1，2），半径r2＝2.对于A，显然圆O2与x轴相切，故A正确；对于B，易知两圆相交，将方程x2＋y2－2x＝0与x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相减，得公共弦所在直线的方程为4x－4y＋1＝0，故B错误；对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；对于D，因为｜O1O2｜＝2，r2－r1＝1，所以公切线段长为＝，故D正确.故选A、C、D. 8.（x－3）2＋（y＋1）2＝16　解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ（x2＋y2－4y－6）＝0（λ≠－1）.易求得所求圆的圆心坐标为（，），将其代入方程x－y－4＝0，得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即（x－3）2＋（y＋1）2＝16. 9.4　解析：如图所示，在Rt△OO1A中，｜OA｜＝，｜O1A｜＝2，∴｜OO1｜＝5，∴｜AC｜＝＝2，∴｜AB｜＝4. 10.解：（1）证明：C1的标准方程是（x－1）2＋（y－3）2＝11， 则C1（1，3），r＝. C2的标准方程是（x－5）2＋（y－6）2＝16， 则C2（5，6），R＝4. ｜C1C2｜＝＝5， 显然4－＜5＜4＋，所以两圆相交. （2）两圆方程相减得8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0为公共弦所在直线方程， 点C1到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝2，所以公共弦长l＝2＝2. 11.C　因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为（x1，x1），（x2，x2），则（4－x1）2＋（1－x1）2＝，（4－x2）2＋（1－x2）2＝，即x1，x2是方程（x－4）2＋（x－1）2＝x2的两根，即x1，x2是方程x2－10x＋17＝0的两根.所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以｜C1C2｜＝｜x1－x2｜＝·＝8. 12.C　由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.因为A（1，0），B（1，6），所以以AB为直径的圆M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝9，圆C：（x－5）2＋（y－6）2＝61－m.因为两圆相切，所以｜CM｜＝｜3±｜，即5＝｜3±｜，解得m＝57或m＝－3. 13.（－2，4）　解析：由题意得圆心C（2，0），半径r＝2，点P在直线x－y－1＝0上运动，设点P（t，t－1），由题意知A，B在以PC为直径的圆上，圆的方程为（x－）2＋（y－）2＝，化简得x2＋y2－（t＋2）x－（t－1）y＋2t＝0，与圆C：（x－2）2＋y2＝4相减，得直线AB的方程为（2－t）x－（t－1）y＋2t＝0，即t（－x－y＋2）＋2x＋y＝0，由解得所以直线AB过定点M（－2，4）. 14.解：（1）圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝4， 所以圆C的圆心为（3，4），半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k（x－1），即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2， 所以＝2，即＝2，解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. （2）依题意，设D（a，a＋2）. 又已知圆C的圆心为（3，4），半径为2， 由两圆外切，可知｜CD｜＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6. 所以D（－1，1）或D（6，8）， 所以所求圆D的方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝9或（x－6）2＋（y－8）2＝9. 15.解：（1）由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为， 即＝，化简得12k2－25k＋12＝0， 解得k＝或k＝. （2）①由已知可得｜PA｜＝｜PB｜，故圆心P在线段AB的中垂线上. ∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0. ②设P（m，3－m），则动圆P的半径为＝， ∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1， 即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0. 由 得或故动圆P过定点（2＋，1＋），（2－，1－）. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2　圆与圆的位置关系 1.圆O：x2＋y2＝2与圆M：x2＋y2＋2x－2y－6＝0的位置关系为（　　） A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 2.（2025·衡水月考）若圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程是（　　） A.x－1＝0 B.x＋y＋1＝0 C.x＋1＝0 D.x－y－1＝0 3.（2025·厦门期中）若圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－1＝0恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（　　） A.（－13，3） B.（3，5） C.（－∞，5） D.（－∞，3） 4.若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则｜AB｜＝（　　） A.1 B. C. D.2 5.已知O为坐标原点，点P在圆C：x2＋y2－2ax＋a2－4＝0上，且｜OP｜＝1，则a的取值范围为（　　） A.[－3，－1] B.[1，3] C.[－3，－1]∪[1，3] D.[－3，＋∞） 6.〔多选〕若圆C与直线3x－4y－12＝0相切，且与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的半径为（　　） A.5 B.3 C. D. 7.〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，则（　　） A.圆O2与x轴相切 B.两圆公共弦所在直线的方程为x－y＋1＝0 C.有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 D.两圆的公切线段长为 8.圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为　　　　. 9.若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为　　　　. 10.（2025·台州月考）已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. （1）求证：圆C1和圆C2相交； （2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆圆心的距离｜C1C2｜＝（　　） A.4 B.4 C.8 D.8 12.已知点A（1，0），B（1，6），圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m＝（　　） A.－3或3 B.57 C.－3或57 D.3或57 13.已知圆C：（x－2）2＋y2＝4，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当点P在直线x－y－1＝0上运动，直线AB过定点M，则点M的坐标为　　　　. 14.（2025·商丘月考）已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. （1）若直线l1过定点A（1，1），且与圆C相切，求l1的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线l：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程. 15.已知圆A：x2＋（y＋1）2＝1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2＝1. （1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率； （2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长. ①求动圆圆心P的轨迹方程； ②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $