课后分层练(二十五)　圆与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十五)]　圆与圆的位置关系 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选C.圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径为3， 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0，3)，半径为2. 两圆的圆心距为＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3. 2．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　 ) A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 解析：选C.法一　把两圆的方程分别配方，化为标准方程分别为(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心分别为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径分别为r1＝2，r2＝，则圆心距|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交． 法二　联立方程解得 即方程组有两组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交． 3．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成的图形的面积为(　　 ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选B.两圆的公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.与坐标轴的交点分别为(－2，0)，(0，2)，所得三角形的面积为×2×2＝2. 4．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　 ) A．x2＋y2－6x－8y＝0 B．x2＋y2＋6x－8y＝0 C．x2＋y2＋6x＋8y＝0 D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2＋6x＋8y＝0 解析：选B.已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，由题意知所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)，故圆的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝52，化简为x2＋y2＋6x－8y＝0. 5．(2025·重庆南岸期中)已知圆C1与圆C2相交于A(2，3)，B(m，1)两点，且直线C1C2的方程为x＋y－n＝0，则m＋n＝(　　 ) A．3 B．5 C．7 D．9 解析：选A.因为|C1A|＝|C1B|，|C2A|＝|C2B|， 所以直线C1C2是线段AB的垂直平分线， 所以 解得所以m＋n＝3. 6．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________． 解析：C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5. 答案：2或－5 7．已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0相交，则两个圆的公共弦所在直线方程为________，则两圆的公共弦长为________． 解析：联立 解得 可得两个圆的交点为(3，－1)，(－1，3). 由圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0相交，两个方程相减可得：2x＋2y－14＝－10，即x＋y－2＝0(－1≤x≤3)，为两个圆的公共弦方程，圆心C1(0，0)到公共弦直线的距离d＝＝， 则两圆的公共弦长＝2＝4. 答案：x＋y－2＝0　4 8．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝________． 解析：设一个交点为P(x0，y0)，则x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，所以r2＝41－8x0＋6y0.因为两切线互相垂直，所以·＝－1，所以3y0－4x0＝－16.所以r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，所以r＝3. 答案：3 9．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系； (2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径r1＝3， 圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1， 圆心为C2(－1，0)，半径r2＝1， 两圆的圆心距d＝＝2， 又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2， 所以r1－r2<d<r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交． (2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含． 理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3. 假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含， 则圆心距d＝<3－1， 即(m＋1)2<0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含． 【综合运用】 10．(新背景)(2025·湖南长沙高二期末)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC满足AC＝BC，顶点A(0，1)，B(2，－1)，且其“欧拉线”与圆M：(x－4)2＋y2＝r2相切，则下列结论错误的是(　　 ) A．题中的“欧拉线”方程为x－y－1＝0 B．圆M上的点到直线x－y＝0的最小距离为 C．若圆M与圆x2＋(y－a)2＝8有公共点，则a∈[－4，4] D．若点(x，y)在圆M上，则的最大值是 解析：选C.线段AB的中点坐标为(，)，即(1，0)， 直线AB的斜率为＝－1， 因为AC＝BC，所以△ABC为等腰三角形， 三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点(1，0)，且与直线AB垂直， 故△ABC的欧拉线方程为x－y－1＝0，A正确； △ABC的欧拉线与M：(x－4)2＋y2＝r2相切，故r＝＝. 圆心M(4，0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝2， 则圆M上的点到直线x－y＝0的最小距离为d－r＝2－＝，B正确； 若圆M：(x－4)2＋y2＝与圆x2＋(y－a)2＝8有公共点， 则2－≤≤2＋，解得－≤a≤，C错误； 为点(x，y)与(－1，0)两点的斜率， 当过(－1，0)的直线l与M：(x－4)2＋y2＝相切，且直线l的斜率为正时，取得最大值， 设直线l：y＝k(x＋1)，由＝，解得k＝， 故的最大值是，D正确． 11．(多选)(2025·河北沧州·模拟预测)已知圆C1：x2＋y2－2x－2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－8x－10y＋32＝0，则下列选项正确的是(　　 ) A．直线C1C2的方程为4x－3y－1＝0 B．圆C1和圆C2共有4条公切线 C．若P，Q分别是圆C1和圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为10 D．经过点C1，C2的所有圆中面积最小的圆的面积为π 解析：选ACD.由题意得圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C1(1，1)，半径r1＝2， 圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9的圆心C2(4，5)，半径r2＝3， 对于A，直线C1C2的方程为＝，即4x－3y－1＝0，所以A正确； 对于B，因为|C1C2|＝＝5且r1＋r2＝2＋3＝5，可得|C1C2|＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误； 对于C，因为|C1C2|＝5，所以|PQ|的最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝10，所以C正确； 对于D，当|C1C2|为圆的直径时，该圆在经过点C1，C2的所有圆中面积最小，此时圆的面积为π()2＝π，所以D正确． 12．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得·＝0，则t的取值范围为(　　 ) A．(0，1] B．[1，3] C．[2，3] D．[3，4] 解析：选B. ·＝0说明P在以AB为直径的圆x2＋y2＝t2上， 而P又在圆C上，因此两圆有公共点， 则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中， 所以|t－1|≤|OC|≤t＋1，即|t－1|≤2≤t＋1，又t>0，解得1≤t≤3. 13．已知圆M：x2＋(y＋1)2＝4与圆N：x2＋y2－2mx－2y＋1＝0(m>0)相交于A，B两点，当△AMB为直角三角形时，m的值为__________． 解析：x2＋(y＋1)2＝4与x2＋y2－2mx－2y＋1＝0(m>0)相减得－2mx－4y＋4＝0，即直线AB的方程为mx＋2y－2＝0， 圆M：x2＋(y＋1)2＝4的圆心为M(0，－1)，半径为2， 因为△AMB为直角三角形，所以|AB|＝2， 故M到直线AB的距离为|AB|＝， 所以＝，因为m>0，解得m＝2. 答案：2 14．已知圆M：(x－2)2＋y2＝4及圆内一点A(3，0)，P为圆M上的动点，以P为圆心，PA为半径的圆P. (1)当|PA|＝且P在第一象限时，求圆P的方程； (2)若圆P与圆(x－2)2＋y2＝r2(r>0)恒有公共点，求r的取值范围． 解：(1) 由圆M：(x－2)2＋y2＝4，可得圆心M(2，0)，半径r＝2， 又由A(3，0)且|PA|＝时，|PM|2＝|MA|2＋|PA|2， 可得PA⊥x轴，所以xA＝xP＝3，则yP＝±， 因为P在第一象限，所以P(3，)， 所以圆P的方程为(x－3)2＋(y－)2＝3. (2)由圆(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，可得圆心坐标(2，0)， 因为|MA|＝1，|MP|＝2，所以PA∈[1，3]， 要使得圆P与圆(x－2)2＋y2＝r2(r>0)恒有公共点，且圆心距为|MP|＝2， 所以||PA|－r|≤2≤|PA|＋r对任意的|PA|∈[1，3]恒成立， 则满足解得1≤r≤3，即实数r的取值范围为[1，3]. 【创新探索】 15．已知圆M与圆N：＋＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上． (1)判断圆M与圆N的位置关系； (2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的角平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值． 解：(1)N关于直线y＝x的对称点为M， 所以圆M的半径r＝＝＝， 所以圆M的方程为＋＝. 又|MN|＝＝>×2， 故圆M与圆N相离． (2)证明：设P(x0，y0)， 则|PA|2＝(x0＋1)2＋＝(x0＋1)2＋－＝－x0，|PB|2＝(x0－1)2＋＝(x0－1)2＋－＝－x0， 所以＝，即＝. 又PG为∠APB的角平分线，且交AB于G，故＝＝2为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $