精品解析：吉林省白城市通榆县2025-2026学年八年级上学期12月期末数学试题

2025——2026学年第一学期期末测试卷 八年级数学 本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 对顶角相等 D. 三角形具有稳定性 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A B. C. D. 6. 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（ ） A. 一个角等于已知角 B. 线段的垂线 C. 线段垂直平分线 D. 平分已知角 二、填空题：（每小题3分，共15分） 7. 若有意义，则的取值范围是______． 8. 半导体制造领域，晶体管栅极宽度是一个至关重要的参数，它不仅影响着晶体管的性能，也是衡量制造工艺先进性的关键指标．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为14纳米．已知1米＝纳米，那么这个晶体管栅极的宽度是____________________米（用科学记数法表示）． 9. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________．     10. 如图是战机在空中展示的轴对称队形，以飞机B、C所在直线为x轴，队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，若飞机E的坐标为，则飞机D的坐标为 _____． 11. 如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边、上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ________ ． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，1819每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 13. 如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 14. 解分式方程：． 15. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 16. 小军爸爸和小慧爸爸每天白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． （1）用含a、b代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． （2）判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰三角形； （2）在图②中，以为边画一个三角形，使； （3）在图③中，画高线． 18. 如图，在中，，，点D是的中点，点M在上，连接，以为边向右作等边三角形，连接，．求证： （1）． （2）． 19. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 20. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解抽象的数学问题． 探究发现： （1）请写出图，图阴影部分的面积分别能解释的整式乘法公式． 图：___________________；图：；图：________________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如图，已知，，求的值． 方法一：“数”的解法： 方法二：“形”的解法： ，即 又 ． 又 即 解决问题： （2）若，，则__________； （3）若，则__________； 能力拓展： （4）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 21. 如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． （1）试求的度数； （2）若，试求动点，的运动时间的值； （3）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 22. 综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第一学期期末测试卷 八年级数学 本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 对顶角相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性及其应用是解题的关键． 太阳能热水器的支架为三角形是利用了三角形的稳定性防止晃动． 【详解】解：太阳能热水器的支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：D． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方和合并同类项．熟练掌握指数运算法则是解题关键．根据幂的相关法则及合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A： = = ≠ ，∴ A错误. ∵ 选项B： = = ，∴ B正确． ∵ 选项C：，∴ C错误. ∵ 选项D： = = ≠ ，∴ D错误． 故选：B． 4. 分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 先提公因式，再利用平方差公式法因式分解． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，，∴，故选项A不符合题意； B、∵，∴，故选项B不符合题意； C、∵，∴，故选项C不符合题意； D、∵，∴不能判定，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（ ） A. 一个角等于已知角 B. 线段的垂线 C. 线段垂直平分线 D. 平分已知角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的判定定理证明，则，可得射线是角平分线． 【详解】证明：由作图过程可得， 在和中， ， ， ， 射线是角平分线． 故选：D． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 7. 若有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了零指数幂有意义的条件，根据进行解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴ 故答案为：． 8. 半导体制造领域，晶体管栅极宽度是一个至关重要的参数，它不仅影响着晶体管的性能，也是衡量制造工艺先进性的关键指标．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为14纳米．已知1米＝纳米，那么这个晶体管栅极的宽度是____________________米（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法；将纳米转换为米，需乘以换算系数 ，并将结果用科学记数法表示． 【详解】解：晶体管栅极宽度为14纳米，已知1米 纳米，因此宽度为 米． 将其化为科学记数法形式： 米． 故答案为：． 9. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________．     【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为8． 故答案为：8 10. 如图是战机在空中展示轴对称队形，以飞机B、C所在直线为x轴，队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，若飞机E的坐标为，则飞机D的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵飞机与飞机D关于y轴对称， ∴飞机D的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 11. 如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边、上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ________ ． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据等腰三角形三线合一的性质和同角的余角相等证明全等，可判断①结论；的长是变化的，而是定值，可判断②结论；同①理可证，，可判断③结论；根据等边对等角和三角形外角的性质，可判断④结论． 【详解】解：中，，，D是的中点， ，，， ， ， ， ， ，①结论正确； 由题意可知，的长是变化的，而是定值， 和不一定相等，②结论错误； 同①理可证，， ， ，③结论正确； ， ，， ， ， ， ，④结论正确； 故答案：①③④． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，1819每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用多项式乘多项式的法则和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可得解． 【详解】解：原式 ． 13. 如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 14. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】解：方程两边都乘以得：， 整理得 ， 解得， 检验：当时， ， 原分式方程的解是． 15. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【解析】 【分析】本题考查了等角的补角相等、三角形外角性质以及全等三角形的判定与性质，小力先用等角的补角相等证明出，再证明，最后根据全等的性质得到；小旺根据三角形外角性质得到且，，证明，最后根据全等的性质得到． 【详解】证：小力的证法： （已知）， 且， （等角的补角相等）， 和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 小旺的证法： ，（已知）， 且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． 16. 小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． （1）用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． （2）判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】（1） ，，， （2） 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【解析】 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【小问1详解】 解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰三角形； （2）在图②中，以为边画一个三角形，使； （3）在图③中，画的高线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接，根据网格的特点可得，则； （3）如图所示，取格点F，连接并延长交于D，可证明得到，则可证明，即． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 18. 如图，在中，，，点D是的中点，点M在上，连接，以为边向右作等边三角形，连接，．求证： （1）． （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质； （1）由直角三角形的性质和D是的中点得到，再结合为等边三角形证明得到，即； （2）由，得到，为的垂直平分线，则，再由，得到． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴为垂直平分线，， ∵， ∴． 19. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】（1）购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 （2）最多能购买个型号的纪念品 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 20. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解抽象的数学问题． 探究发现： （1）请写出图，图阴影部分的面积分别能解释的整式乘法公式． 图：___________________；图：；图：________________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如图，已知，，求的值． 方法一：“数”的解法： 方法二：“形”的解法： ，即 又 ． 又 即 解决问题： （2）若，，则__________； （3）若，则__________； 能力拓展： （4）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别计算各个图形中阴影部分的面积即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； （3）根据完全平方公式变形求解即可； （4）设，，则，，根据求出的值，从而求得阴影部分的面积即可． 【详解】解：（1）图是边长为的正方形，因此面积为， 组成图四个部分的面积和为， 图阴影部分的面积能解释的整式乘法公式为：； 图左图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 图右图中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图阴影部分的面积能解释的整式乘法公式为：， 故答案为：；； （2）， ，即， 又， ； 故答案为：； （3）， ，即， ， ； 故答案为：； （4）设，，则，， ， ， 解得， 阴影部分的面积为． 21. 如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． （1）试求的度数； （2）若，试求动点，的运动时间的值； （3）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【小问1详解】 解：，平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得：； 当点在点右侧时，， ，解得． 【小问3详解】 ，， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 22. 综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【解析】 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $