1.5.1 等腰三角形的性质与判定（3个知识点+7种题型） 2025-2026学年苏科版 数学八年级上册

1.5.1 等腰三角形的性质与判定（3个知识点+7种题型） 【题型归纳】 【题型1 利用等腰三角形的性质求角】 2 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长】 2 【题型3 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的数量】 2 【题型4 等腰三角形的证明】 3 【题型5 等腰三角形中的新定义问题】 4 【题型6 等腰三角形中的多结论问题】 5 【题型7 等腰三角形中的动点问题】 5 一、知识梳理 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 二、题型精讲 【题型1 利用等腰三角形的性质求角】 例1.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【变式1】如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长】 例2.一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？ 【变式2】已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 【题型3 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的数量】 例3.如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型4 等腰三角形的证明】 例4.如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC． （1）求证：AB＝AC； （2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD． 【变式4】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且． ①证明：； ②证明：平分． (2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．    【题型5 等腰三角形中的新定义问题】 例5.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k（k＞1）称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，则它的优美比k为（　　） A． B．2 C． D．3 【变式5】定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段． 例如： 如图1，在△ABC中， ∵AD⊥BC于D，且BD＝AD， ∴△ACD是直角三角形， △ABD是等腰三角形， ∴△ABC是等直三角形， AD是△ABC的一条等直分割线段． （1）如图2，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线段； （2）若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三角形． 【题型6 等腰三角形中的多结论问题】 例6.如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是 　 　（直接填写序号）． 【变式6】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【题型7 等腰三角形中的动点问题】 例7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 【变式7】如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.1 等腰三角形的性质与判定（3个知识点+7种题型） 【题型归纳】 【题型1 利用等腰三角形的性质求角】 2 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长】 3 【题型3 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的数量】 4 【题型4 等腰三角形的证明】 6 【题型5 等腰三角形中的新定义问题】 10 【题型6 等腰三角形中的多结论问题】 11 【题型7 等腰三角形中的动点问题】 15 一、知识梳理 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 二、题型精讲 【题型1 利用等腰三角形的性质求角】 例1.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况． 【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图， 高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°， ②当为钝角三角形时可画图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°， ∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°． 故选：D． 【变式1】如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，由轴对称性质得， 设，得出，再由等腰三角形的性质得．再由直角三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：与关于对称， ， 设． ， 在中，， ． 又， ， ， 故选：A 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长】 例2.一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？ 【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析． 【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、7， 能组成三角形，周长＝4+4+7＝15； ②4是底边长时，三角形的三边分别为4、7、7， 能组成三角形，周长＝4+7+7＝18． 综上所述，这个等腰三角形的周长是15或18． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 【变式2】已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为xcm，分两种情况讨论：xx＝9或xx＝15． 【解答】解：设三角形的腰为xcm，如图： △ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线， 则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝15cm，分下面两种情况： （1）xx＝9， 解得x＝6， ∵三角形的周长为9+15＝24（cm）， ∴三边长分别为6cm，6cm，12cm， ∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； （2）xx＝15， 解得x＝10， ∵三角形的周长为24cm， ∴三边长分别为10cm，10cm，4cm． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm． 故选：B． 【题型3 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的数量】 例3.如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解． 【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论： ①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； ③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个， 1+1+2＝4， 故选：D． 【变式3】如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案． 【解答】解：如图所示： 由勾股定理得：AB， ①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点； ②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点； 若AC＝BC，则不存在这样格点． ∴这样的C点有5个． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解题关键是分类的数学思想． 【题型4 等腰三角形的证明】 例4.如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC． （1）求证：AB＝AC； （2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质即可得出∠ABC＝∠ACB，从而得证； （2）由（1）中得证△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，可知AH⊥BC，由于AD∥BC，即可得证． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠B， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC． （2）∵AB＝AC， 又∵点H是BC的中点， ∴AH⊥BC， ∵AD∥BC， ∴AH⊥AD． 【点评】本题考查了等腰三角形，角平分线和平行线，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决本题的关键． 【变式4】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．    (1)如图1，当点D在线段上，且． ①证明：； ②证明：平分． (2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）①先证，根据即可证明；②根据等边对等角可证，根据可得，进而可证； （2）分①点D在线段上，②点D在射线上，③点D在射线上，分别加以讨论即可． 【详解】（1）证明：① ， ， ， 在和中， ， ； ② 中，， ， 由①得， ， ， 平分． （2）解：， ①点D在线段上，如图：    ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在射线上时，如图：    ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在射线上时，如图：    同理可得 ， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 【题型5 等腰三角形中的新定义问题】 例5.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k（k＞1）称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，则它的优美比k为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】分两种情况：∠A为顶角或∠A为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，即可得到它的优美比k． 【解答】解：当∠A为顶角时，则底角∠B＝72°； 此时，优美比k2； 当∠A为底角时，则顶角为108°； 此时，优美比k（k＜1，不合题意，舍去）； 故选：B． 【变式5】定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段． 例如： 如图1，在△ABC中， ∵AD⊥BC于D，且BD＝AD， ∴△ACD是直角三角形， △ABD是等腰三角形， ∴△ABC是等直三角形， AD是△ABC的一条等直分割线段． （1）如图2，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线段； （2）若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，可证明结论； （2）根据等值分割线的定义画出图形，可证明∠BAD＝∠CAE，从而得出∠B＝∠C，可证明结论． 【解答】证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴△ABD是等腰三角形， 又∵∠C＝90°， ∴△ACD是直角三角形， ∴AD是△ABC的一条等直分割线段； （2）如图，AD，AE是△ABC的两条等值分割线段， ∴AD＝BD，∠BAE＝90°，AE＝CE，∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°， ∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形． 【题型6 等腰三角形中的多结论问题】 例6.如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是 　①②④⑤　（直接填写序号）． 【分析】根据角平分线的定义得到∠PCBACB，∠BCDBCF，根据垂直的定义得到CP⊥CD；故①正确；延长CB，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P∠A，故②正确；根据平行线的判定定理得到AB∥CD，推出△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，推出∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，求得∠D＝90°∠A，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，求得∠EBD＝∠A，于是得到PD∥AC．故⑤正确． 【解答】解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF， ∴∠PCBACB，∠BCDBCF， ∵∠ACB+∠BCF＝180°， ∴∠PCD＝∠PCB+∠BCDACB（∠ACB+∠BCF）＝90°， ∴CP⊥CD；故①正确； 延长CB， ∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH， ∴BP平分∠ABH， ∴∠PBH＝∠BCP+∠P， ∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH， ∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P， ∴∠A＝2∠P， 即：∠P∠A，故②正确； 假设BC＝CD， ∴∠CBD＝∠D， ∵∠EBD＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠DCF＝∠A， ∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF， ∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF， ∴∠A＝∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 而△ABC中，∠A＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形， ∴假设不成立，故③错误； ∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线， ∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF， ∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°， ∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， 而∠ABC＝180°﹣2∠DBC， ∠ACB＝180°﹣2∠DCB， ∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°， ∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°， ∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°， ∴∠A﹣2∠D＝180°， ∴∠D＝90°∠A，故④正确； ∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB， ∴∠A∠EBC， ∵∠EBDEBC， ∴∠EBD＝∠A， ∴PD∥AC．故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 【变式6】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC． 故选：A． 【题型7 等腰三角形中的动点问题】 例7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 【分析】（1）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t； （2）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16， ∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t， 当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ， 即16﹣t＝2t，解得t， ∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形； （2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11（秒）． ②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12（秒）． 综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 【变式7】如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【分析】（1）过点P做PF平行于AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB＝AC，根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边得BP＝PF，又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP＝CQ，等量代换得PF＝CQ，在加上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF＝CDCF，而又因P是AB的中点，PF∥AQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的长，求出CF，即可得出CD的长． （2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE＝EF，再又第一问的全等可知DF＝CD，所以ED＝EF+FD＝BE+DCBC＝3，得出线段DE的长为定值；第二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M，根据两直线平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角ABC等于角PMB，根据等角对等边得到PM等于PB，根据三线合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，得到CD等于DM，根据DE等于EM减DM，把EM换为BC加CM的一半，化简后得到值为定值． 【解答】解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F， ∵点P和点Q同时出发，且速度相同， ∴BP＝CQ， ∵PF∥AQ， ∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠PFB， ∴BP＝PF， ∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC， ∴证得△PFD≌△QCD， ∴DF＝CDCF， 又因P是AB的中点，PF∥AQ， ∴F是BC的中点，即FCBC＝3， ∴CDCF； （2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段， 如图，如果点P在线段AB上， 过点P作PF∥AC交BC于F， ∵△PBF为等腰三角形， ∴PB＝PF， BE＝EF， ∴PF＝CQ， ∴FD＝DC， ∴ED＝EF+FD＝BE+DCBC＝3， ∴ED为定值， 同理，如图，若P在BA的延长线上， 作PM∥AC的延长线于M， ∴∠PMC＝∠ACB， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠PMC， ∴PM＝PB，根据三线合一得BE＝EM， 同理可得△PMD≌△QCD， 所以CD＝DM， ∵BE＝EM，CD＝DM， ∴ED＝EM﹣DMDMDM＝3+DM﹣DM＝3， 综上所述，线段ED的长度保持不变． 1 学科网（北京）股份有限公司 $