专题02 全等三角形的性质与判定重难点题型专训（4个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题02 全等三角形的性质与判定重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念与性质 题型三 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型四 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型六 用HL证全等（HL） 题型七 尺规作图——作三角形 题型八 三角形的稳定性及应用 题型九 添加条件使三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证全等 题型十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和 拓展训练一 全等三角形的辅助线问题之倍长中线模型 拓展训练二 全等三角形的辅助线问题之垂线模型 拓展训练三 全等三角形的辅助线问题之转模型 拓展训练四 全等三角形中的动点问题 拓展训练五 全等三角形的综合问题 知识点一： 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各组图形中，是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形，可以完全重合的图形是全等图形，解决本题的关键是根据全等图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：两个圆的直径不相等，不能完全重合， 两个圆不能完全重合， 两个圆不是全等图形，故A选项不符合题意； B选项：一个直角三角形，一个钝角三角形， 两个三角形不能完全重合， 两个三角形不是全等图形，故B选项不符合题意； C选项：两个图形可以完全重合， 两个图形是全等图形，故C选项符合题意； D选项：两个正方形的边长不相等， 两个正方形不能完全重合， 两个图形不是全等图形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 知识点二：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）如图，与交于点O，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，即可得出结果，找准对应角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课前预习）如图，，点A，D是对应点，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，直接根据全等三角形性质得出结论即可． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：7． 知识点三： 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的特性，“三角形具有稳定性”在生活实际中有很重要的应用．首先观察图A，B，都是四边形，由四边形是否具有稳定性，解答即可；对于图C，是由三角形构成的，根据三角形是否具有稳定性解答；对于图D，是由三角形和四边形组成的，根据三角形和四边形的特性解答． 【详解】解：A．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意； B．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意； C．因为三角形具有稳定性，所以C符合题意； D．因为四边形不具有稳定性，所以D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性．三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【详解】解：高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 知识点四：全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等），学会把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 显然第③块中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想．根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【经典例题一 图形的全等】 【例1】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）下列图标中，不是由全等图形组合成的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 【详解】解：A、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（    ） A．边长相等的图形 B．面积相等的图形 C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形 【答案】D 【分析】根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.边长相等的两个图形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意； C. 周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意； D. 能够完全重合的两个图形是全等图形，该说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等形的识别，熟记全等形是能够完全重合的两个图形是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·课堂例题）如图，画在透明纸上的和是全等形吗？ （填“是”或“不是”），理由是 ．    【答案】 是 把和放在一起能够完全重合 【分析】根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：根据题意可知和是全等形；理由是能把和放在一起能够完全重合； 故答案为是，把和放在一起能够完全重合． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG= ． 【答案】4cm 【分析】首先根据全等三角形对应边相等可得MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，再根据等式的性质可得FG-HG=MH-HG，即GM=FH，进而可得答案． 【详解】解：∵△EFG≌△NMH， ∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm， ∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1cm， ∵△EFG的周长为15cm， ∴HM=15-6-4=5cm， ∴HG=5-1=4cm . 故答案为4cm． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形对应边相等． 4．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在五边形ABCDE和五边形中，如果，，，，，请添加尽可能少的条件，使它们全等（写出添加的条件，不需要说明理由） 【答案】AC=A′C′，AD=A′D′ 【分析】根据全等图形的定义以及性质即可得出答案． 【详解】解：如图：    连接AC，AD，A′C′，A′D′， 当添加AC=A′C′，AD=A′D′时，五边形ABCDE≌五边形A1B1C1D1E1． ∵，，AC=A′C′， ∴（SSS）， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′， ∵，，AD=A′D′， ∴， ∴， ∵AC=A′C′，AD=A′D′，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，，，∠B=∠B′，，，，， ∴五边形ABCDE≌五边形A1B1C1D1E1． 【点睛】本题考查了全等图形的问题，掌握全等图形的定义以及性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 【经典例题二 全等三角形的概念与性质】 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据全等的定义和性质判断即可． 【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误； ②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误； ③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确； ④若，则，，故④错误； 故正确的有1个． 故选：A 【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点D落在BC上，且，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）如图，，若 ，则 ， ． 【答案】 5 4 【分析】已知△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等从而求解． 【详解】解：∵△ABD≌△CDB． ∴BC＝AD，CD＝AB． ∵AB＝4，AD＝5． ∴BC＝5，CD＝4． 故答案为5，4． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的边对应相等的理解及运用． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)写出其他对应边及对应角； (2)判断与的位置关系，并说明理由． (3)求的长． 【答案】(1)和是对应角， 和是对应角，和是对应边，和是对应边 (2)，理由见解析 (3)5 【分析】（1）根据对应边、对应角的定义即可解答； （2）由可得,然后根据内错角相等、两直线平行即可解答； （3）由可得,然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：和是对应角， 和是对应角，和是对应边，和是对应边． （2）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴． （3）解：∵ ∴ ∵ ∴,即,解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解答本题的关键． 【经典例题三 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例3】 （24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．在图中标示的各点组成的三角形中，能与全等的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：，，，．根据全等三角形的判定定理，，，结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知和全等，理由如下： ∵根据图形可知，，， ∴， 即和全等， 其余顶点构成的三角形与不全等， ∴能与全等的三角形有1个， 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　） A．△AEG B．△ADF C．△CEG D．△FDG 【答案】D 【分析】利用勾股定理分别计算出所有三角形的边长，然后根据“SSS”对各选项进行判断． 【详解】解： 在△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝3， 在△AEG中，EG＝，AG＝2，AE＝， 在△ADF中，AD＝，DF＝3，AF＝， 在△CEG中，EG＝，CG＝CE＝， 在△FDG中，DG＝，FG＝，DF＝3， 所以BC＝DG，AC＝FG，AB＝DF， 所以△ABC≌△FDG（SSS）． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质。 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有 对. 【答案】3 【分析】由OA=OB，OC=OD，∠AOD=∠BOC，根据“SAS”可判断△AOD≌△BOC，则AD=BC，然后根据“SSS”可判断△ABD≌△BAC，△ADC≌△BCD． 【详解】解：在△AOD与△BOC中， ∴△AOD≌△BOC（SAS）； ∴AD=BC， 而OA+OC=OD+OB，即AC=DB， 在△ABD与△BAC中， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， 在△ADC与△BCD中， ∴△ADC≌△BCD（SSS）． 故答案为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 3．（2025八年级·江苏南京·专题练习）如图，已知AD=CB，若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA，则添加直接条件是 ． 【答案】AB=CD． 【分析】SSS表示边边边，所以要找三个边的判定条件，即可. 【详解】添加AB=CD即可，此时AC为公共边，所以可得答案. 【点睛】本题考查了三角形的全等，熟悉掌握判定依据SSS是解决本题的关键. 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用即可证明； （）由可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例4】（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下图中全等的三角形有（   ） A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图3 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、图1和图2，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意； B、图2和图3，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意； C、图2和图4，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意； D、图1和图3，两边及其夹角对应相等，能证明两三角形全等，故本选项符合题意； 故选：D 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，AD与BC交于点O，，添加一个条件后能使用“边角边”基本事实判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定对四个选项进行依次判定即可. 【详解】已知 A，时不构成全等的条件，故错误，不符题意； B，时，在△AOC和△BOD中 ∴(SAS)，使用了“边角边”，故符合题意； C，时，在△AOC和△BOD中 ∴(AAS)，使用了“角角边”，故不符合题意； D，时，在△AOC和△BOD中 ∴(ASA)，使用了“角边角”，故不符合题意， 故选B 【点睛】本题考查三角形全等的判定定理的应用，理解区分各种判定定理是关键． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，平分，，那么的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定、性质，可以计算出，的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，将一根长为30 cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升8 cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为 cm． 【答案】34 【分析】根据勾股定理可求出，的长，则的长即为拉伸后橡皮筋的长． 【详解】解：由题意，得，C为的中点，，， 则，． 又∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得 ， ∴． ∴， 即拉伸后橡皮筋的长为34 cm． 故答案为：34． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，将实际问题转化成数学问题． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)是，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明即可； （2）利用证明，即可； （3）证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； （3）是，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【经典例题五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例5】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，都是等边三角形，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用手拉手模型—旋转性全等，证明，可得，最后利用三角形的外角进行计算即可解答． 【详解】解：都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的度数为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型—旋转性全等是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在如图所示的的正方形网格中，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质． 首先证明，然后证明，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】如图： ∵在和中， ， ， , ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论： ①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF． 其中正确的是 （把所有正确的答案的序号都填在横线上） 【答案】①②④ 【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到S△ABD＝S△ACD；故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC，求出∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ABD+∠ADC）＝90°，故②正确；没有条件能够证明MF＝BE，故③错误；延长ED到G，使DE＝DG，连接CG，FG，根据全等三角形的性质得到EF＝FG，根据全等三角形的性质得到BE＝CG，根据三角形的三边关系得到CF+CG＞FG，等量代换即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作AH⊥BC于H， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴S△ABD＝BD•AH，S△ACD＝CD•AH， ∴S△ABD＝S△ACD；故①正确； ∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ABD+∠ADC）＝90°， 故②正确； 没有条件能够证明MF＝BE，故③错误； 延长ED到G，使DE＝DG，连接CG，FG， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵∠BDE＝∠CDG， ∴∠FDC+∠CDG＝90°， 即∠EDF＝∠FDG， 在△EFD和△GFD中，， ∴△EFD≌△GFD（SAS）， ∴EF＝FG， 在△BDE和△CDG中，， ∴△BDE≌△CDG（SAS）， ∴BE＝CG， 在△CFG中，由三角形三边关系定理得：CF+CG＞FG， ∵CG＝BE，FG＝EF， ∴BE+CF＞EF．故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查三角形的性质和面积的计算，全等三角形的判定，角平分线和中线的性质；熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【答案】选择的三个条件是①②③或①③④，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【经典例题六 用HL证全等（HL）】 【例6（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据（一组斜边和一组直角边对应相等的两个三角形全等）判断即可．本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是理解的意义，属于中考常考题型． 【详解】解：，， ， ， 当时，． 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，于点D，于点F，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵于点D，于点F， ∴， ∵， ∴当添加时，根据“”即可判断． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是 【答案】AD=CF或AC=DF 【分析】利用“HL”再寻找斜边相等即可判断直角三角形全等解决问题． 【详解】解∶当AC=DF时， ∵Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴（HL）； 当AD=CF时， ∵AD=CF， ∴AD+CD=CF+CD即AC=DF，由得（HL）； ∴当添加AD=CF或AC= DF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF ． 故答案为∶ AD=CF (或AC=DF ) ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定∶斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等( 简写成“HL”) ，掌握“斜边直角边”的判定方法是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，E、B、F、C在同一条直线上，若，，．则全等的根据是 ．    【答案】 【分析】证出，由可证明． 【详解】解：， ，即， ， 在和中， ， ， 故答案为∶． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【答案】当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质等知识，根据题意分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置；②，此时，、重合．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： ①当运动到时， ， 在与中， ，即； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， ，即， 当点与点重合时，才能和全等， 综上所述，当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等． 【经典例题七 尺规作图——作三角形 】 【例7】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是（     ） A．已知两边的长和夹角的三角形 B．已知两个角及夹边的长的三角形 C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形 D．已知直角边和斜边的直角三角形 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可． 【详解】∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS， ∴A、根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误； B、根据ASA定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误； C、根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项正确； D、根据HL定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误. 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 1．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如图：对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是（　　） 作法： （1）如图所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB. A．根据“边边边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB B．根据“边角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB C．根据“角边角”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB D．根据“角角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB 【答案】A 【分析】根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，由SSS可得到三角形全等. 【详解】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D' 故选A． 【点睛】考核知识点：全等三角形的判定. 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）用直尺和圆规作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠B＝30°，若这样的三角形只能作一个，则 a，b间满足的关系式是 ． 【答案】或 【分析】先确定，可知A点在的另一条延长线上，以点C为圆心画圆，当圆与的另一条延长线相切或者半径长大于等于a时，与的另一条延长线有且仅有一个交点，由这两种情况即可确定a，b间满足的关系式. 【详解】解：如图所示，可知A点在的另一条延长线上，以点C为圆心画圆，当圆与的另一条延长线相切时，即，这样的三角形只能作一个，因为；当圆的半径长大于等于a时，与的另一条延长线有且仅有一个交点，这样的三角形只能作一个，所以. 故答案为或 【点睛】本题考查了三角形与尺规作图，确定点A的唯一情况是解题的关键. 3．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，画出一个与全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括)?并画出其中4个． 【答案】23 【分析】△ABC的三边分别为，分别画出各全等图形即可得出答案． 【详解】 结合图形可得有23个符合题意的三角形． 故答案是：23． 【点睛】考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细思考，按照规律查找． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知线段和，求作，使，，（使用直尺和圆规，不写画法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：先作的平分线得到，再作，接着在射线上截取，在射线上截取，连接，则满足条件． 【详解】解：如图，为所求． 【经典例题八 三角形的稳定性及应用】 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性判定即可，熟记三角形具有稳定性是解此题的关键． 【详解】解：A、不是利用“三角形稳定性”，故不符合题意； B、利用了“三角形稳定性”，故符合题意； C、不是利用“三角形稳定性”，故不符合题意； D、不是利用“三角形稳定性”，故不符合题意； 故选：B． 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）台风来临，需要在房屋顶做如图所示的支撑架，所用到的数学依据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：台风来临，需要在房屋顶做如图所示的支撑架，所用到的数学依据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，根据三角形的稳定性要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF变成三角形的组合体即可． 【详解】解： 根据三角形的稳定性，得 如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条． 故答案为:3. 【点睛】本题主要考查的是三角形的稳定性． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）生活中的数学：    (1)某中学计划为新生军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是______； (2)图2是折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，求撑开时的凳腿间距； (3)为了节省空间，凳子不用时折叠起来摆放，如图3是折叠凳折叠时的侧面示意图，在（2）的条件下，已知撑开时凳面与凳腿的夹角为，求折叠时的凳子高度． 【答案】(1)三角形具有稳定性； (2) (3) 【分析】（1）利用三角形的性质进行解答； （2）利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案； （3）根据全等三角形的性质可和等边三角形的判定证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性； （2）解：是和的中点， ，， 在和中， ， ， ． （3）解：∵， ∴，， ∵和的长相等， ∴， ∵为， ∴是等边三角形，． ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，以及等边三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理． 【经典例题九 添加条件使三角形全等】 【例9】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、，添加时，根据“”不能判定，故选项A符合题意； B、，添加时，根据“”判定，故选项B不符合题意； C、如图，∵，添加时，，得到，根据＂＂判定，故选项C不符合题意； D、，添加时，根据＂＂判定，故选项D不符合题意． 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，这是一个风筝的骨架图，已知，为证明，还需要添加一个条件．同学们纷纷提出建议：①②③④，其中合理的建议有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，准确掌握定理，清楚不能判定三角形全等是本题的关键．根据全等三角形的判定定理依次判定即可． 【详解】解：∵， ∴，即 ①，可以用判定，①正确； ②，不可能判定，②错误； ③，可以用判定，③正确； ④，可以用判定，④正确； 故合理的有：①③④共三个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，，点、在上，且要使，还需添加一个条件为： ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有、、、、．由，可得，结合，添加一组角相等，可判定．结合已知在图形上的位置进行选取是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴可添加， 在和中，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，PA＝PB，请你添加一个适当的条件： ，使得△PAD≌△PBC． 【答案】∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC 或AC=BD． 【分析】已有∠P是公共角和边PA=PB，根据全等三角全等的条件，利用AAS需要添加∠D=∠C，根据ASA需要添加∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD，根据边角边需要添加 PD=PC 或PC=PD．填入一个即可． 【详解】解：∵PA=PB，∠P是公共角， ∴根据AAS可以添加∠D=∠C，， 在△PAD和△PBC中， ∵PA=PB，∠P是公共角，∠D=∠C， ∴△PAD≌△PBC（AAS）． 根据ASA可以添加∠PAD=∠PBC， 在△PAD和△PBC中， ∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC， ∴△PAD≌△PBC（ASA）． 根据ASA可以添加∠DBC=∠CAD， ∴180°-∠DBC=180°-∠CAD，即∠PAD=∠PBC， 在△PAD和△PBC中， ∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC， ∴△PAD≌△PBC（ASA）． 根据SAS可添加PD=PC 在△PAD和△PBC中， ∵PA=PB，∠P是公共角，PD=PC， ∴△PAD≌△PBC（SAS）． 根据SAS可添加BD=AC， ∵PA=PB，BD=AC， ∴PA+AC=PB+BD即PC=PD， 在△PAD和△PBC中， ∵PA=PB，∠P是公共角，PD=PC， ∴△PAD≌△PBC（SAS）． 故答案为：∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC 或AC=BD． 【点睛】本题考查三角形全等添加条件，掌握三角形全等判定方法与定理是解题关键． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知和，C为上一点，，，O为与的交点． (1)请补充条件，并用“”证明； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）补充：，即可用“”证明； （2）根据，可得，继而可求出，即可求解； （3）根据，可得，根据，可证明． 【详解】（1）解：补充：， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十 灵活选用判定方法证全等】 【例10】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（   ） A．有2对边分别相等的两个三角形全等 B．有2对角分别相等的两个三角形全等 C．有3对边分别相等的两个三角形全等 D．有3对角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、有2对边分别相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； B、有2对角分别相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； C、有3对边分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意； D、有3对角分别相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 故选C． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知线段米，于点A，米，射线于，点从点向A运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 分和两种情况，分别根据全等三角形的性质确定出时间即可． 【详解】解：设出发时间为x秒，由题意得：， 当时，，即，解得：； 当时，米， 此时所用时间为10秒，，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等． 故选A． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明 ． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由题意可知：AB=AB，AC=AD，∠ABC=∠ABD， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等，所以这个实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等， 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F,，则△AEF的周长等于 【答案】13 【分析】利用平行和角平分线的定义可得到∠EBD=∠EDB，所以可得ED=EB，同理可得DF=FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案． 【详解】解：∵EF∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴ED=EB， 同理可证得DF=FC， ∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=8+5=13， 即△AEF的周长为13， 故答案为13． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到ED=EB，DF=FC是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由得出，再根据判断与全等即可； （2）由与全等得出判断与全等，最后利用全等三角形的性质可得． 【详解】（1）全等，理由如下： ∵ ， ∴ ， 在与中 ∴ （2），理由如下： 在与中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在与中 ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型． 【经典例题十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 【例11】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 ；度数为 ． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 4．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 【拓展训练一 全等三角形的辅助线问题之倍长中线模型】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（    ） A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4 【答案】B 【分析】先延长到，且，并连接，由于，，利用易证，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，可得，从而易求． 【详解】解：延长到，使，连接，则AE=2AD， ∵，，， ∴， ， 在中，， 即， ∴． 故选：． 【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题． 【详解】如图，反向延长中线至，使得，连接， 是的内角平分线， 可设AB＝2k，AC＝3k， 在△ABC中，BC＝5， ∴5k＞5，k＜5， ∴1＜k＜5， 由三角形三边关系可知， ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 先由证明，再利用证明即可； 延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ，， 在和中，， ， 故答案为：；；；； （2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ，， 同理可证， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中， ． 【拓展训练二 全等三角形的辅助线问题之垂线模型】 1．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图， 由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCF，AB=BC， 又∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， ∴为等腰直角三角形， 故选：D 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ． 【答案】440． 【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示： 则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形， ∴BM＝DM，BN＝AN， ∵AE⊥CD， ∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°， ∴∠EAN＝∠DCM， 在△AEN和△CDM中， ， ∴△AEN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM，EN＝DM， ∴BN＝CM， ∴BM＝CN， ∴BM＝DM＝CN＝EN， ∵BE：CE＝5：6， ∴设BE＝5a， 则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a， ∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2， ∵S△BDE＝BE×DM＝×5a×3a＝75， ∴a2＝10， ∴S△ABC＝BC×AN＝×11a ×8a＝44 a2＝440； 故答案为：440． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和求三角形的面积，掌握构造全等三角形的方法、三角形的面积公式和方程思想是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论； （2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴．   （2）解：．   ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变． 【拓展训练三 全等三角形的辅助线问题之转模型】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：①AC=AD；② AB⊥EB；③BC=EC；④∠A=∠EBC；其中一定正确的是（   ） A．② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到BC=CE ,AC=CD，AB=DE，故错误，正确；得到∠ACD=∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A=∠ADC= ，∠CBE= ，求得∠A=∠EBC，故正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，可以得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故错误. 【详解】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC， ∴AC=CD，BC=CE，AB=DE，故错误，正确； ∴∠ACD=∠BCE， ∴ ∴∠A=∠EBC，故正确 ∵∠A+∠ABC不一定等于90° ∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故错误 故选 C 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，正确的运用旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键. 2．（2025八年级·浙江杭州·专题练习）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ 【分析】①可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE； ②可通过证明△BCQ≌△ACP，从而可证明△PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ∥AE． ③由②中△BCQ≌△ACP，可证AP=BQ； ④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由图可知DE＞QE，从而④错误； ⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论． 由前面的证明过程可得出三个全等三角形． 【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120° ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE，故本选项正确； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBQ=∠CAP， 又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC， ∴△BCQ≌△ACP， ∴CQ=CP，又∠PCQ=60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠ACB， ∴PQ∥AE，故本选项正确； ③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本选项正确； ④∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°， ∴△CDP≌△CEQ（ASA）． ∴DP=EQ， ∵DE＞QE ∴DE＞DP，故本选项错误； ⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确； ∴正确的有：①②③⑤． 由上面证明过程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 故答案为：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里 【分析】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可证得△AEF≌△AGF， 从而得到EF=FG，即可求解； （2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解； （3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解． 【详解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵， ∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=50°， ∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADH， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵ ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH， ∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF， ∴EF=DH+DF=BE+DF； （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB， ∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45， ∴CD=40+45=85海里． 即此时两舰艇之间的距离85海里． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用． 【拓展训练四 全等三角形中的动点问题】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值． 因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出． 【详解】解： 情况一：， 此时， 已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则， 把代入，可得（秒）； 情况二： 此时． 已知，， 把代入，可得（秒）． 综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等． 故答案为：2或4． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，等腰中，，，E点为射线上一动点，连接，在的左侧作且 (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若E点为中点，求； (3)如图，当E点在射线上运动时，连接与射线交于D点，若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，即可根据证明； （2）过点F作于G，证明，得到，再根据求解即可； （3）分类讨论，当点E在线段上时，当点E在延长线上时，过F作于点G，证，，，进而根据，设参求解即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段和差关系等内容，有难度，正确建立辅助线以及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：过F点作交于G点，如图2， 由（1）可知， ， 在和中， ， ， ， 点为中点 ， ≌， ， ， ； （3）解：第一种情况，当点E在线段上时，如图3， 此时可参考第二问情况，，， ，， ， 可设，则， ， ， ， ， ； 第二种情况：当点E在延长线上时，过F作于点G，如图4， 同理可得，， ，， ， 可设，则， ， ， ， ， 综上，的值为或 故答案为：或 【拓展训练五 全等三角形的综合问题】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在，中，，，，且，，三点在一条直线上，连接，分别取，，的中点，，，连，，则（    ） A．65° B．60° C．70° D．不能确定 【答案】A 【分析】连接GH，连接AE交FH于点Q，连接CD，分别交GH、AE于点P、M，利用SAS证明△ABE≌△CBD，根据全等三角形的性质及三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接GH，连接AE交FH于点Q，连接CD，分别交GH、AE于点P、M， ∵∠ABC=∠EBD=50°， ∴∠ABE=∠CBD=180°-50°=130°， 在△ABE和△CBD中， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴∠AEB=∠CDB，AE=CD， ∵∠AMC=∠EAB+∠CDB，∠EBD=∠EAB+∠AEB， ∴∠AMC=∠EAB+∠AEB=∠EBD， ∵∠EBD=50°， ∴∠AMC=50°， ∵点F，H，G分别是AD，AC，CE的中点， ∴GH∥AE，GH=AE，FH∥CD，FH=CD， ∴∠GHF=∠AQH=∠AMC=50°，GH=FH， ∴∠HFG=∠HGF=（180°-∠GHF）=×130°=65°， 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，有一张矩形纸片ABCD，点E在边AD上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在矩形对角线BD上，点A的对应点为点F，连接CF，若DE＝2，请探究下列问题：当点F恰好为BD中点时，∠ABE＝ ；当点C、E、F在同一直线上时，AE＝ 【答案】 30° 【分析】（1）先证得，又因为，得，可可得，则∠ABE＝30°； （2）当点C、E、F在同一直线上时，先证ΔBFC≌ΔCDE，得CF＝DE＝2，设AE＝EF＝x，则CE＝（2＋x），由ΔEDF∽ΔECF，得ED：EC＝EF：ED，即2：（2＋x）＝x：2即可得到答案 【详解】解：（1）∵将△ABE沿BE翻折，使点A落在矩形对角线BD上，点A的对应点为点F， ∴BF＝AB， ∵F恰好为BD中点， ∴BF＝FD， ∴BF＝FD＝AB， ∴AB＝BD，则 ∵ ∴，则，， ∵将△ABE沿BE翻折，使点A落在矩形对角线BD上，点A的对应点为点F， ∴， （2）当点C、E、F在同一直线上时， ∵将△ABE沿BE翻折，使点A落在矩形对角线BD上，点A的对应点为点F， ∴BF＝AB， ∵AB＝CD， ∴BF＝AB＝CD，∠BFC＝∠CDE ∵， ∴∠CBF＝∠DCE， ∴ΔBFC≌ΔCDE， ∴CF＝DE＝2， 设AE＝EF＝x，则CE＝（2＋x）， ∵∠EFD＝∠EDC，∠EDF＝∠ECD， ∴ΔEDF∽ΔECF， ∴ED：EC＝EF：ED； 即 2：（2＋x）＝x：2，解得x1＝（舍去），x2＝， ∴AE＝ 【点睛】本题考查相似三角形、相似三角形综合题、菱形的性质、利用三角比解直角三角形等知识，解题的关键发现边与边的关系． 3．（2025八年级上·江苏常州·模拟预测）【背景】 如图，下列条件中，不能判定与全等的是（   ） A．，                    B．， C．，            D．， 【思考】 请判断以上题目有没有答案，若有请选出来，并举例说明为什么选这个答案；若找不到题目的答案，即四个选项都能保证与全等，那么请从A、B、C、D四个选项中任选一个作为已知条件，证明与全等． 【答案】没有，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 根据“边角边”解答A，再根据“角角边”解答C，然后根据“边边边”解答D，最后分三种情况解答B. 【详解】解：没有，理由如下： 在和中， ， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∴； 当时，在延长线上作， 同理可得答案. 则B不符合题意； 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴. 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等图形定义．根据两个大小形状完全相同的图形是全等图形，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、两个图形属于全等图形，故本选项符合题意； B、两个图形不属于全等图形，故本选项不符合题意； C、两个图形不属于全等图形，故本选项不符合题意； D、两个图形不属于全等图形，故本选项不符合题意； 故选：A 2．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，最终能利用判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ， A、由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故此选项不符合题意； B、， ，即， 又∵，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故此选项符合题意； C、由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，但不能用判定故此选项不符合题意； D、由，得，又，，符合全等三角形的判定定理，能推出，但不能用判定，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察作图痕迹，确定两个三角形的对应角和对应边，依据全等三角形判定定理来判断．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的“ASA”判定定理是解题的关键． 【详解】解：由作图痕迹可知，，，， ，，， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．不妨设，，，根据全等，可得，那么的周长为：，的周长为：，然后根据周长差求得，从而得出答案． 【详解】解：， 设，，， ， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：因为是的平分线，所以． 在与中， ， 所以， 所以题图（1）中有1对全等三角形． 同理，题图（2）中，，所以． 因为，所以． 又因为，所以， 所以题图（2）中有3对全等三角形． 同理，题图（3）中有6对全等三角形 …… 由此发现：第个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知与全等，那么 ． 【答案】72 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 7．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 利用即可证明、、，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ； 在和中， ， ； 在和中， ， ； 图中全等三角形有3对， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质即可判断①；在上取一点，使得，连接，先根据三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可判断②；过点作于点，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，从而可得，然后根据线段的和差即可判断③；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断④． 【详解】解：在中，， ， 分别是的角平分线， ， ， ，结论①正确； 如图，在上取一点，使得，连接， 在和中，， ， ， ， 由对顶角相等得：， ， 在和中，， ， ， ，结论②错误； 如图，过点作于点，连接， 由上已证：， ， ， ， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ， ，结论③正确； 由上已证：， ， ， ， ， ， 即，结论④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 9．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A、B两点的点C，连接AC并延长到点D，使，连结BC并延长BC到点E，使，连接DE，那么根据 方法可以判定△ABC≌△DEC，则量出 的长就等于AB的长 【答案】 SAS； DE/ED 【分析】根据全等三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：根据题意，在△DCE和△ACB中， ， ∴△DCE≌△ACB（SAS）， ∴DE=AB， ∴根据SAS方法可以判定△ABC≌△DEC，则量出DE的长就等于AB的长． 故答案为：SAS，DE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，点在上，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质，三角形内角和定理：根据三角形全等得到，，从而得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，，是的延长线上的一点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据推出，得到，再根据推出，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴； 在和中， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期末）【积累经验】 我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，．”这个问题时，只要证明即可得到解决． （1）请写出证明过程： 【类比应用】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，， ，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”证明，从而得出结论； （2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交的延长线于点，构造证明，得到，，进而得出点的坐标； （3）分别以点、点、点为直角顶点，结合图中所给的平面直角坐标系画图即可得出结论． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，； （2）如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交的延长线于点， 由题意得，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为， ， 设点的坐标为， 则， ； （3）或或． 如下图，分别以点、点、点为直角顶点，结合图中所给的平面直角坐标系画图即可得出点的坐标为或或． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形的性质与判定重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念与性质 题型三 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型四 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型六 用HL证全等（HL） 题型七 尺规作图——作三角形 题型八 三角形的稳定性及应用 题型九 添加条件使三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证全等 题型十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和 拓展训练一 全等三角形的辅助线问题之倍长中线模型 拓展训练二 全等三角形的辅助线问题之垂线模型 拓展训练三 全等三角形的辅助线问题之转模型 拓展训练四 全等三角形中的动点问题 拓展训练五 全等三角形的综合问题 知识点一： 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各组图形中，是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 知识点二：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）如图，与交于点O，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课前预习）如图，，点A，D是对应点，，则的长为 ． 知识点三： 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是 ． 知识点四：全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    【经典例题一 图形的全等】 【例1】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）下列图标中，不是由全等图形组合成的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（    ） A．边长相等的图形 B．面积相等的图形 C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形 2．（24-25八年级上·江苏南京·课堂例题）如图，画在透明纸上的和是全等形吗？ （填“是”或“不是”），理由是 ．    3．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG= ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在五边形ABCDE和五边形中，如果，，，，，请添加尽可能少的条件，使它们全等（写出添加的条件，不需要说明理由） 【经典例题二 全等三角形的概念与性质】 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点D落在BC上，且，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）如图，，若 ，则 ， ． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)写出其他对应边及对应角； (2)判断与的位置关系，并说明理由． (3)求的长． 【经典例题三 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例3】 （24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．在图中标示的各点组成的三角形中，能与全等的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　） A．△AEG B．△ADF C．△CEG D．△FDG 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有 对. 3．（2025八年级·江苏南京·专题练习）如图，已知AD=CB，若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA，则添加直接条件是 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【经典例题四 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例4】（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下图中全等的三角形有（   ） A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图3 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，AD与BC交于点O，，添加一个条件后能使用“边角边”基本事实判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，平分，，那么的度数为 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，将一根长为30 cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升8 cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为 cm． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 【经典例题五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例5】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．以上三个选项都可以 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，都是等边三角形，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在如图所示的的正方形网格中，的度数为 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论： ①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF． 其中正确的是 （把所有正确的答案的序号都填在横线上） 4．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【经典例题六 用HL证全等（HL）】 【例6（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，于点D，于点F，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，E、B、F、C在同一条直线上，若，，．则全等的根据是 ．    4．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【经典例题七 尺规作图——作三角形 】 【例7】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是（     ） A．已知两边的长和夹角的三角形 B．已知两个角及夹边的长的三角形 C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形 D．已知直角边和斜边的直角三角形 1．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如图：对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是（　　） 作法： （1）如图所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB. A．根据“边边边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB B．根据“边角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB C．根据“角边角”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB D．根据“角角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）用直尺和圆规作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠B＝30°，若这样的三角形只能作一个，则 a，b间满足的关系式是 ． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，画出一个与全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括)?并画出其中4个． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知线段和，求作，使，，（使用直尺和圆规，不写画法，保留作图痕迹）． 【经典例题八 三角形的稳定性及应用】 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）台风来临，需要在房屋顶做如图所示的支撑架，所用到的数学依据是 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，根据三角形的稳定性要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）生活中的数学：    (1)某中学计划为新生军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是______； (2)图2是折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，求撑开时的凳腿间距； (3)为了节省空间，凳子不用时折叠起来摆放，如图3是折叠凳折叠时的侧面示意图，在（2）的条件下，已知撑开时凳面与凳腿的夹角为，求折叠时的凳子高度． 【经典例题九 添加条件使三角形全等】 【例9】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，这是一个风筝的骨架图，已知，为证明，还需要添加一个条件．同学们纷纷提出建议：①②③④，其中合理的建议有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，，点、在上，且要使，还需添加一个条件为： ．    3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，PA＝PB，请你添加一个适当的条件： ，使得△PAD≌△PBC． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知和，C为上一点，，，O为与的交点． (1)请补充条件，并用“”证明； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，求证：． 【经典例题十 灵活选用判定方法证全等】 【例10】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（   ） A．有2对边分别相等的两个三角形全等 B．有2对角分别相等的两个三角形全等 C．有3对边分别相等的两个三角形全等 D．有3对角分别相等的两个三角形全等 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知线段米，于点A，米，射线于，点从点向A运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F,，则△AEF的周长等于 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 【经典例题十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 【例11】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 ；度数为 ． 4．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 【拓展训练一 全等三角形的辅助线问题之倍长中线模型】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（    ） A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【拓展训练二 全等三角形的辅助线问题之垂线模型】 1．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【拓展训练三 全等三角形的辅助线问题之转模型】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：①AC=AD；② AB⊥EB；③BC=EC；④∠A=∠EBC；其中一定正确的是（   ） A．② B．②③ C．③④ D．②③④ 2．（2025八年级·浙江杭州·专题练习）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【拓展训练四 全等三角形中的动点问题】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 2．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，等腰中，，，E点为射线上一动点，连接，在的左侧作且 (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若E点为中点，求； (3)如图，当E点在射线上运动时，连接与射线交于D点，若，则______． 【拓展训练五 全等三角形的综合问题】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在，中，，，，且，，三点在一条直线上，连接，分别取，，的中点，，，连，，则（    ） A．65° B．60° C．70° D．不能确定 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，有一张矩形纸片ABCD，点E在边AD上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在矩形对角线BD上，点A的对应点为点F，连接CF，若DE＝2，请探究下列问题：当点F恰好为BD中点时，∠ABE＝ ；当点C、E、F在同一直线上时，AE＝ 3．（2025八年级上·江苏常州·模拟预测）【背景】 如图，下列条件中，不能判定与全等的是（   ） A．，                    B．， C．，            D．， 【思考】 请判断以上题目有没有答案，若有请选出来，并举例说明为什么选这个答案；若找不到题目的答案，即四个选项都能保证与全等，那么请从A、B、C、D四个选项中任选一个作为已知条件，证明与全等． 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，最终能利用判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知与全等，那么 ． 7．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ． 9．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A、B两点的点C，连接AC并延长到点D，使，连结BC并延长BC到点E，使，连接DE，那么根据 方法可以判定△ABC≌△DEC，则量出 的长就等于AB的长 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，点在上，，，求的度数． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，，是的延长线上的一点．求证：． 13．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期末）【积累经验】 我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，．”这个问题时，只要证明即可得到解决． （1）请写出证明过程： 【类比应用】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，， ，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $