第5章 一次函数章节重难点复习（4个知识点+11种题型） 讲义2025-2026学年苏科版 数学八年级上册

该初中数学讲义围绕一次函数单元，通过梳理函数概念、一次函数定义与性质、图象特征、函数与方程不等式关系4个核心知识点构建体系，利用表格归纳k、b符号对图象象限的影响，结合要点诠释解析知识内在联系，清晰呈现重难点分布。 讲义亮点在于11种题型的例题与变式设计，从基础的自变量取值范围、解析式求解到综合的行程问题、方案最优化问题，培养运算能力与模型意识。每个考点配套易错点提醒，基础学生可掌握方法，优秀学生能深入探究，助力教师实施精准分层教学。

第5章 一次函数 章末重难点复习（4个知识点+11种题型） 【苏科版2024】 【题型归纳】 【考点1 函数的概念】 4 【考点2 函数自变量的取值范围】 4 【考点3 一次函数的概念】 4 【考点4 一次函数图象的判定】 4 【考点5 求一次函数解析式】 5 【考点6 一次函数与一元一次方程，不等式】 5 【考点7 一次函数的性质】 6 【考点8 正比例函数的定义】 7 【考点9 一次函数的应用—行程问题】 7 【考点10 一次函数的应用—方案最优化问题】 8 【考点11 一次函数综合】 10 一、要点梳理 要点一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 要点二、一次函数的相关概念 　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 要点三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释： 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数. 当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 一次函数表达式的确定 求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 要点诠释： 理解、对一次函数的图象和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 二、典型例题 【考点1 函数的概念】 例1.如下平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 【变式1】下列变量之间是函数关系的有（    ） ①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点2 函数自变量的取值范围】 例2.已知函数，则自变量的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 【变式2】函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（    ） A．x＝3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2 【考点3 一次函数的概念】 例3.下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】有下列函数：①；   ②；   ③；   ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有________________，是一次函数的有___________________（填代号即可）. 【考点4 一次函数图象的判定】 例4.若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图像是(    ) A． B． C． D． 【变式4】如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，mn≠0）图象的是（     ） A． B． C． D． 【考点5 求一次函数解析式】 例5.已知一次函数的图象经过点A（－2，3）和点B（4，－1），则这个一次函数的解析式为__________________． 【变式5】不论取何值，点都在某一条直线上，则这条直线的解析式为 ． 【考点6 一次函数与一元一次方程，不等式】 例6.两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________． 【变式6】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【考点7 一次函数的性质】 例7.已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值． （1）y随x的增大而增大； （2）图象经过第二、三、四象限； （3）图象与y轴的交点在x轴上方． 【变式7】已知一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），求： （1）m，n是什么数时，y随x的增大而减小？ （2）m，n为何值时，函数的图象经过原点？ （3）若函数图象经过二、三、四象限，求m，n的取值范围． 【考点8 正比例函数的定义】 例8.已知y+2和x成正比例，当x＝2时，y＝4，则y与x之间的函数关系式是　 　． 【变式8】（泰州市海陵学校八年级期末）已知与成正比例，且时． (1)试求与之间的函数表达式； (2)若点在这个函数图象上，求的值． 【考点9 一次函数的应用—行程问题】 例9.已知、两地相距米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题： （1）求甲的速度为多少米/分？ （2）求乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式？ （3）在甲到达地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距米？ 【变式9】快、慢两车分别从A，B两地沿同一路线匀速行驶，快车到达 B 地后立即按原路原速返回A 地(快车掉头的时间忽略不计)，慢车在快车出发1小时后出发，到达 A 地后停止行驶，快、慢两车距A 地的路程y(千米)与快车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出慢车的行驶速度，并在图中(   )内填上正确的数： (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出快车出发后几小时两车相距的路程为 100千米． 【考点10 一次函数的应用—方案最优化问题】 例10.2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元． (1)求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？ (2)牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式10】为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/袋） m 售价（元/袋） 20 13 已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同． （1）求m的值． （2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围． （3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？ 【考点11 一次函数综合】 例11.如图，平面直角坐标系xOy中，：交x轴于A，交y轴于B．另一直线：交x轴于C，交y轴于D，交于E．已知≌． （1）求解析式． （2）P，Q分别在线段AB和CD上，且，当轴时，P、Q两点的坐标． 【变式11】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形． （1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标； （2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒． ①若△NPH的面积为1，求t的值； ②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一次函数 章末重难点复习（4个知识点+11种题型） 【苏科版2024】 【题型归纳】 【考点1 函数的概念】 4 【考点2 函数自变量的取值范围】 5 【考点3 一次函数的概念】 5 【考点4 一次函数图象的判定】 6 【考点5 求一次函数解析式】 7 【考点6 一次函数与一元一次方程，不等式】 8 【考点7 一次函数的性质】 9 【考点8 正比例函数的定义】 11 【考点9 一次函数的应用—行程问题】 12 【考点10 一次函数的应用—方案最优化问题】 14 【考点11 一次函数综合】 16 一、要点梳理 要点一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 要点二、一次函数的相关概念 　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 要点三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释： 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数. 当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 一次函数表达式的确定 求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 要点诠释： 理解、对一次函数的图象和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 二、题型精讲 【考点1 函数的概念】 例1.如下平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】函数是对于x的任意取值，y都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断． 【详解】解：由图象可知，选项A、B、C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 选项D图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 所以选项D中的曲线表示y是x的函数， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解函数的定义，结合数形结合解题是关键． 【变式1】下列变量之间是函数关系的有（    ） ①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①正方形的周长C与边长a，由正方形的周长公式列出关系式C=4a； ②矩形的周长C与宽a，由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量； ③圆的面积S与半径R，由圆的面积公式列出关系式S=； ④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义判定． 【详解】解：①由正方形的周长公式列出关系式C=4a，其中a，C是变量，4是常量， C与是a的函数； ②由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量，所以C与a不是函数关系； ③由圆的面积公式列出关系式S=，其中R，S是变量， S是R的函数； ④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义可得，y是x函数． 综上所述，是函数的有3个． 故选B． 【点睛】主要考查函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握函数的定义. 【考点2 函数自变量的取值范围】 例2.已知函数，则自变量的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件解答． 【详解】解：函数自变量的取值范围是故选：C． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，涉及二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式2】函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（    ） A．x＝3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2 【答案】C 【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零列不等式组求解． 【详解】解：由题意得： 3﹣x≥0且x﹣2≠0， 解得：x≤3且x≠2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数、分母不能为零列出不等式组是解答本题的关键． 【考点3 一次函数的概念】 例3.下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用一次函数的定义进行判断即可选择． 【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数；④是一次函数；⑤是二次函数，所以一次函数有3个．故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题关键． 【变式3】有下列函数：①；   ②；   ③；   ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有________________，是一次函数的有___________________（填代号即可）. 【答案】     ①③     ①③④⑤. 【分析】根据正比例函数与一次函数的定义对各个选项进行判断即可. 【详解】解：①是一次函数，也是正比例函数； ②不是一次函数； ③是一次函数，也是正比例函数； ④是一次函数，但不是正比例函数； ⑤是一次函数，但不是正比例函数； ⑥自变量次数是2，故不是一次函数； 故是正比例函数的有①③；是一次函数的有①③④⑤. 故答案为①③；①③④⑤. 【点睛】本题主要考查正比例函数与一次函数的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 【考点4 一次函数图象的判定】 例4.若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图像是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图像经过第一、二、四象限，可以得到和的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图像经过哪几个象限，从而可以解答本题． 【详解】一次函数的图像经过第一、二、四象限， ，，，， 一次函数图像第一、二、三象限，故选：． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【变式4】如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，mn≠0）图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m、n的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：①当，过一，三象限，m，n同号，同正时过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限； ②当时，过二，四象限，m，n异号，则过一，三，四象限或一，二，四象限． 观察图象，只有选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图象有四种情况： ①当，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当时，函数的图象经过第二、三、四象限． 【考点5 求一次函数解析式】 例5.已知一次函数的图象经过点A（－2，3）和点B（4，－1），则这个一次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】将两点坐标代入到一次函数中，利用待定系数法求一次函数解析式． 【详解】解：把点A（-2，3）和点B（4，-1）代入y=kx+b得 ，解得，所以一次函数的解析式为．故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 【变式5】不论取何值，点都在某一条直线上，则这条直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数解析式，设，，根据点坐标中横纵坐标的关系求解即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， 由得，， ∴， 即不论取何值，点都在某一条直线上， 故答案为：． 【考点6 一次函数与一元一次方程，不等式】 例6.两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据两条直线的图象的交点来求解． 【详解】解：∵两直线和的图象相交于点，，， ∴，∴， ∴的解是．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两条直线的交点，观察图象得到交点的坐标是解答读取v． 【变式6】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键．先求出点，可得一次函数解析式为，进而得到直线与x轴交于点，然后观察图象可得当时，直线位于x轴上方，且位于直线的下方，或两直线相交，即可求解． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ∴，解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴直线与x轴交于点， 观察图象得：当时，直线位于x轴上方，且位于直线的下方或两直线相交， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【考点7 一次函数的性质】 例7.已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值． （1）y随x的增大而增大； （2）图象经过第二、三、四象限； （3）图象与y轴的交点在x轴上方． 【分析】（1）根据函数y随x的增大而增大解答即可； （2）根据函数图象经过第二、三、四象限解答即可； （3）根据函数图象与y轴的交点在x轴上方解答即可． 【答案】解：（1）∵y随x的增大而增大 ∴2a+4＞0 ∴a＞﹣2 （2）∵图象经过第二、三、四象限 ∴2a+4＜0，3﹣b＜0 ∴a＜﹣2，b＞3 （3）∵图象与y 轴的交点在x轴上方 ∴3﹣b＞0 ∴b＜3 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解： 直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系； k＞0时，直线必经过一、三象限； k＜0时，直线必经过二、四象限； b＞0时，直线与y轴正半轴相交； b＝0时，直线过原点； b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 【变式7】已知一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），求： （1）m，n是什么数时，y随x的增大而减小？ （2）m，n为何值时，函数的图象经过原点？ （3）若函数图象经过二、三、四象限，求m，n的取值范围． 【分析】（1）根据一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），当m+2＜0时y随x的增大而减小，即可解答． （2）根据一次函数是正比例函数的定义即可解答． （3）根据一次函数的性质列出不等式组：，即可求得答案． 【答案】解：（1）由题意得：m+2＜0，∴m＜﹣2 ∴当m＜﹣2且n为任意实数时，y随x的增大而减小． （2）由题意得：m+2≠0且3﹣n＝0，∴m≠﹣2且n＝3∴当m≠﹣2且n＝3时函数的图象过原点． （3）由题意可得：，解之得：， ∴当m＜﹣2且n＞3时，函数的图象过二、三、四象限． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，难度不大，关键是掌握在一次函数y＝kx+b中，k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 【考点8 正比例函数的定义】 例8.已知y+2和x成正比例，当x＝2时，y＝4，则y与x之间的函数关系式是　 　． 【分析】根据题意，把y+2看成一个整体，设y+2＝kx，再根据x＝2时，y＝4，代入即可求出k值，求出k代入整理即可得到函数解析式． 【答案】解：设函数解析式为y+2＝kx， ∴2k＝4+2， 解得：k＝3， ∴y+2＝3x， 即y＝3x﹣2． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，是近年中考的热点之一，需要熟练掌握． 【变式8】（泰州市海陵学校八年级期末）已知与成正比例，且时． (1)试求与之间的函数表达式； (2)若点在这个函数图象上，求的值． (1)； (2) 【分析】（1）由题意可设，把条件代入可求得与的函数关系式； （2）把代入函数解析式可求得答案． （1） 与成正比例， 可设， 当时，， ，解得， ， 与的函数关系式为； （2） 当时，代入函数解析式可得， 解得． ． 【点睛】本题主要考查待定系数法的应用，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键 【考点9 一次函数的应用—行程问题】 例9.已知、两地相距米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题： （1）求甲的速度为多少米/分？ （2）求乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式？ （3）在甲到达地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距米？ 【答案】（1）100米/分；（2）；（3）乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米． 【分析】（1）由图象可直接进行求解；（2）先设出乙减慢速度后的函数解析式，再利用待定系数法求解即可；（3）根据题意甲、乙相距50米时有两种情况，然后进行分类求解即可． 【详解】解：（1）由图象得：甲的速度为：600÷6=100（米/分）；答：甲的速度为100米/分； （2）设乙减慢速度后的函数解析式为，由图象可把点和代入得： ，解得：，∴乙减慢速度后，路程与行驶时间之间的关系式为； （3）当x=2时，，，∴当x=2时不符合题意， 由题意可知，当甲、乙相距50米时，则有， ①若，即，解得：； ②若，即，解得：； 综上所述，当乙行驶3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据图象中提供的信息分情况讨论求解问题． 【变式9】快、慢两车分别从A，B两地沿同一路线匀速行驶，快车到达 B 地后立即按原路原速返回A 地(快车掉头的时间忽略不计)，慢车在快车出发1小时后出发，到达 A 地后停止行驶，快、慢两车距A 地的路程y(千米)与快车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出慢车的行驶速度，并在图中(   )内填上正确的数： (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出快车出发后几小时两车相距的路程为 100千米． 【答案】(1)240 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图． （1）慢车的行驶速度为，括号内的数为， （2）快车的速度是，快车回到甲地的时间是，可得点的坐标是，再用待定系数法可得所在直线的函数解析式； （3）设快车出发后小时两车相距的路程为 100千米，进行分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）慢车的行驶速度为， ， 图中(   )内的数是120； （2）快车的速度是：， 快车回到甲地的时间是：， 点的坐标是， 设所在直线的函数解析式为， 把点和点代入得： ， 解得， 所在直线的函数解析式； （3）设所在直线的函数解析式为，将代入得： ，解得：， 所在直线的函数解析式， 设快车出发后小时两车相距的路程为 100千米． 两车第一次相遇前相距的路程为 100千米时，根据题意得： ，解得：， 两车第一次相遇后且快车到达B地前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得： ，解得：， 快车返回A地且两车第二次相遇前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得： ，解得：， 时,两车相距,而， ∴快车与慢车第二次相遇后不存在相距100km的情况， 快车出发后小时或小时或小时两车相距的路程为 100千米． 【考点10 一次函数的应用—方案最优化问题】 例10.2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元． (1)求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？ (2)牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)15元；5元 (2)牡丹花伞66个，花环头饰34个；1330 元 【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式． （1）设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元，根据题意列二元一次方程组即可； （2）设牡丹花伞进货m个，利润为p元，根据题意列不等式利用一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元． 根据题意，得 ，解得 答：牡丹花伞和花环头饰的采购价分别是 15元和5元． （2）设牡丹花伞进货m个，利润为p元． 根据题意，得 ，解得 ∵m为整数， 获得的利润                  ∵p随m的增大而增大， ∴当 时，p 最大，最大值为 1 330． 当牡丹花伞进货66个，花环头饰进货134个时，能获得利润最大，此时最大利润是1330 元． 【变式10】为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/袋） m 售价（元/袋） 20 13 已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同． （1）求m的值． （2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围． （3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？ 【答案】（1）10；（2）该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围为240～246；（3）应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋． 【分析】（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答；（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答；（3）设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）依题意得：解得：，经检验是原分式方程的解． （2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品袋，根据题意得， ，解得：， ∵x是正整数，，∴共有7种方案． （3）设总利润为W，则 ①当时，，W随x的增大而增大，所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品246袋，乙种绿色袋装食品554袋； ②当时，，（2）中所有方案获利都一样； ③当时，，W随x的增大而减小，所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论． 【考点11 一次函数综合】 例11.如图，平面直角坐标系xOy中，：交x轴于A，交y轴于B．另一直线：交x轴于C，交y轴于D，交于E．已知≌． （1）求解析式． （2）P，Q分别在线段AB和CD上，且，当轴时，P、Q两点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由解析式求出与轴的交点的坐标，根据全等条件求出两点坐标，将点坐标代入解析式中求出的值，回代入解析式即可； （2）当轴时，连接PQ，交y轴于点H，过Q作轴于点M，过P作轴于点N，可得，，，；设P点坐标为，代入求得P点坐标，轴，有相同的纵坐标，进而求解点坐标即可． 【小问1详解】 解：的坐标分别为 将坐标代入得 解得 ∴的坐标分别为 ∵ ∴ ∴， 将两点坐标代入解析式得 解得 ∴的解析式为：． 【小问2详解】 解：如图当轴时，连接PQ，交y轴于点H，过Q作轴于点M，过P作轴于点N 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴ 设P点坐标为，代入的解析式中得 解得 ∴点坐标为 把代入中得 解得 ∴点坐标为 ∴两点的坐标分别为，． 【变式11】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形． （1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标； （2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点N从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒． ①若△NPH的面积为1，求t的值； ②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，4），E（﹣1.5，2）；（2）①当t=1或2时，△NPH的面积为1；②有最小值，P（﹣2，2）． 【分析】（1）分别令x与y等于0，即可求出点A与点B的坐标，由四边形AOCD为矩形，可知：CD∥x轴，进而可知：D、C、E三点的纵坐标相同，由点C为OB的中点，可求点C的坐标，然后将点C的纵坐标代入直线y=x+4即可求直线AB与CD交点E的坐标； （2）①分两种情况讨论，第一种情况：当0＜t＜2时；第二种情况：当2＜t≤6时； ②由点Q是点B关于点A的对称点，先求出点Q的坐标，然后连接PB，CH，可得四边形PHCB是平行四边形，进而可得：PB=CH，进而可将BP+PH+HQ转化为CH+HQ+2，然后根据两点之间线段最短可知：当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，然后求出直线CQ的关系式，进而可求出直线CQ与x轴的交点H的坐标，从而即可求出点P的坐标 【详解】（1）∵直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点， ∴令x=0得：y=4， 令y=0得：x=-3， ∴A（-3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， ∵点C为OB的中点， ∴OC=2， ∴C（0，2）， ∵四边形AOCD为矩形， ∴OA=CD=3，OC=AD=2，CD∥OA（x轴）， ∴D、C、E三点的纵坐标相同， ∴点E的纵坐标为2，将y=2代入直线y=x+4得：x=-1.5， ∴E（-1.5，2）； （2）①分两种情况讨论： 第一种情况当0≤t＜1.5时，如图1， 根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2， ∴NH=3-2t， ∵S△NPH=PH•NH，且△NPH的面积为1， ∴×2×（3-2t）=1， 解得：t=1； 第二种情况：当1.5≤t≤3时，如图2， 根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2， ∴AH=3-t， ∴HN=AN-AH=t-（3-t）=2t-3， ∵S△NPH=PH•NH，且△NPH的面积为1， ∴×2×（2t-3）=1， 解得：t=2； ∴当t=1或2时，存在△NPH的面积为1； ②BP+PH+HQ有最小值， 连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图3， ∵四边形PHCB是平行四边形， ∴PB=CH， ∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2， ∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+2有最小值， ∴只需CH+HQ最小即可， ∵两点之间线段最短， ∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小， 过点Q作QM⊥y轴，垂足为M， ∵点Q是点B关于点A的对称点， ∴OA是△BQM的中位线， ∴QM=2OA=6，OM=OB=4， ∴Q（-6，-4）， 设直线CQ的关系式为：y=kx+b， 将C（0，2）和Q（-6，-4）分别代入上式得： ， 解得：， ∴直线CQ的关系式为：y=x+2， 令y=0得：x=-2， ∴H（-2，0）， ∵PH∥y轴， ∴P（-2，2）． 【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，一次函数与x轴、y轴交点的求法，及利用线段公理求最值问题等，解（2）中①题的关键是：分两种情况进行讨论，解（2）中②题的关键是：利用两点之间线段最短，解决最值问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $