精品解析：福建省厦门双十中学翔安校区2025-2026学年高二上学期第三次周考数学试题

厦门双十中学2025—2026学年上学期 高二数学第三次周考 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆内的一点，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的直线方程（ ） A. B. C. D. 3. 设a,b∈R,且a2+2b2=6,则a+b的最小值是(　　) A. - B. C. -3 D. 4. 若圆上恰好有两点到点的距离为3，则整数的取值个数共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 5. 已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过其中心的一条动弦，则面积的最大值是（） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C的焦点为，，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是焦距为的椭圆 B. 当是焦点在轴上的椭圆时， C. 若曲线为椭圆，的取值范围是 D. 若椭圆的离心率为时， 10. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ） A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 直线AB恒过定点 D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 11. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 到的左焦点的距离的最小值为 D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过椭圆的的右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于A，B两点，则______． 13. 中，，，AB和AC两条边上的中线之和为30，则的重心G的轨迹方程为______． 14. 已知直线，直线，，与的交点为P，已知点，，则的最小值为______． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的动点． （1）若，求点P的坐标； （2）求取得最大值时对应的余弦值，并求出此时点P的坐标． 16. 如图，在四棱锥中，底面. （1）若，证明：平面； （2）若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由. 17. 已知椭圆的离心率为，点是上一点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点，点为椭圆的下顶点，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由． 18. 椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为5 . （1）求椭圆 的方程; （2）若直线与椭圆 相交于（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆 的左顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标. 19. 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M）． （1）求证：直线AB的斜率为定值； （2）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2025—2026学年上学期 高二数学第三次周考 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义结合离心率列式求解即可. 【详解】设椭圆的半焦距为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. 故选：C. 2. 椭圆内的一点，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的直线方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用“点差法”即可得结果. 【详解】设弦为，，，则 又A，B在椭圆上，所以 两式相减得， 即直线斜率 所以这弦所在的直线方程为， 即， 故选：B. 3. 设a,b∈R,且a2+2b2=6,则a+b的最小值是(　　) A. - B. C. -3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用三角换元的方法整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意，设，， 则， 其中，当时，取得最小值. 本题选择C选项. 【点睛】换元法是解数学题的一种基本思想方法，而三角代换法是换元法的灵魂.三角换元法在解决函数、不等式、数列、解析几何、立体几何的难题方面往往可以起到化繁为简、化难为易、出奇制胜的功效.形如的代数式或方程，只须进行如下换元：即可. 4. 若圆上恰好有两点到点的距离为3，则整数的取值个数共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件证明，然后即可得到答案. 【详解】命题等价于到的距离属于，即，从而. 故的所有可能取值为，共个. 故选：B. 5. 已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过其中心的一条动弦，则面积的最大值是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过点 与 关于原点对称的特性，将 分解为两个等面积三角形；再以焦点到原点连线为底、点 的纵坐标绝对值为高，将面积表示为 ；最后利用椭圆上点的纵坐标最大值为，得出最大值为 . 【详解】设椭圆右焦点为（其中）， 过椭圆中心，则与关于原点对称， 设，则， 将分成和， 由于与关于原点对称，， 所以， 以为底，到轴的垂直距离为高，， 因此， 点在椭圆上，故， 所以， 即面积最大值为. 故选：D 6. 如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标，根据题意可得，设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从而可得，再根据直线的点斜式方程即可得解. 【详解】解：联立，解得，即， 因为，所以，即， 设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 则， 即的角平分线所在直线的斜率为， 所以的角平分线所在直线的方程为，即. 故选：A. 7. 已知椭圆C的焦点为，，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，从而可求解． 【详解】如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有． 在中，由余弦定理推论得． 所以，则. 得，所以，又，得 故C的方程为 故选：A 8. 设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：利用椭圆定义的周长为，结合三点共线时，的最小值为，再利用对称性，可得椭圆的离心率. 详解： 的周长为 ， ∴ 故选A 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是焦距为的椭圆 B. 当是焦点在轴上的椭圆时， C. 若曲线为椭圆，的取值范围是 D. 若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【解析】 【分析】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 10. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ） A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 直线AB恒过定点 D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：利用点到直线距离公式计算出圆心C到直线l的距离后，结合半径长即可得；对B：借助切线性质与勾股定理计算即可得；对C：设，利用切线的性质可得A，B在以PC为直径的圆上，且可表示出该圆方程，联立圆C方程，作差可表示出直线AB方程，即可得所过定点；对D：利用等面积法及切线性质计算可得当取最小值时，四边形PACB面积最小，此时有，则可得直线PC方程，可解出点坐标，结合C选项中所得直线AB方程即可得解. 【详解】由圆，得圆心，圆半径， A选项：点C到直线l的距离为，又，即， 所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，， 所以，B选项错误； C选项：由切线的性质可知A，B在以PC为直径的圆上， 设，则以为直径的圆的圆心为， 半径为， 圆的方程为， 即， 又A，B在圆C上，则， 得，则，解得， 所以AB恒过定点，C选项正确； D选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线PC方程为， 即，联立，解得，故，则， 所以，即，D选项正确． 故选：ACD． 11. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 到的左焦点的距离的最小值为 D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件可得，由此可求椭圆的离心率，由此判断A，由条件可得为圆的直径，确定面积的表达式求其最值，由此判断B，由条件确定的表达式求其范围，由此判断C，结合点差法判断D. 【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上， 所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确； 因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确； 设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以， 则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确； 由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以， 故D正确 故选：ABD． 【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质 过椭圆上任意不同两点，作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质： 性质1：． 性质2：平分切点弦． 性质3：的最大值为，的最小值为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过椭圆的的右焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于A，B两点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出直线方程及交点，代入两点间距离公式求解即可. 【详解】，直线方程为. 联立，得，解得，. 当时，；当时，. 即，（或交换顺序）. 所以. 故答案为：. 13. 中，，，AB和AC两条边上的中线之和为30，则的重心G的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质，及椭圆的概念以及标准方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由为边上的中线，且点为的重心，得，即， 同理可得， 由题意可得，即，可得， 所以重心的轨迹是以为焦点、长轴长为的椭圆， 则，所以， 所以重心G的轨迹方程为. 故答案为：. 14. 已知直线，直线，，与的交点为P，已知点，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两直线交点的轨迹方程，再根据轨迹方程分析的最小值. 【详解】直线可化为，所以直线过定点， 直线可化为，所以直线过定点， 又，所以. 所以与的交点P的轨迹为以AB为直径的圆， 圆心，半径，所以圆C的方程为， 在轴上取点，使得，设， 则，即， 化简整理得， 又，即， 所以，解得，则， 易知在圆C内，所以 （当且仅当P为线段EQ与圆C的交点时取得最小值）． 故答案为： 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的动点． （1）若，求点P的坐标； （2）求取得最大值时对应的余弦值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义计算可得、，则可设出点坐标，借助两点间距离公式计算出点坐标， 也可由点在椭圆上，从而用表示，则可用表示出，从而解出，再得到即可得解； （2）设，，，结合椭圆定义及余弦定理可表示出， 再利用基本不等式计算可得最小值，即可得取得最大值时对应的余弦值，也可得此时点P的坐标. 【小问1详解】 依题意，，，设，， 则，解得； （法一）设，则，则有， 解得，故； （法二）由，又因为在椭圆上， 则，即， 所以， 所以，又，则， 所以，解得， 则，故，故； 【小问2详解】 设，，，且， 则， 又（当且仅当时取等），则， 又函数在区间上为单调递减函数， 所以取最小值时，取最大值， 故当时，取得最大值，此时，P的坐标为． 16. 如图，在四棱锥中，底面. （1）若，证明：平面； （2）若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：在四棱锥中，由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，于是，由，得， 则，又平面平面， 所以平面. （2）存在，点是线段上靠近点的三等分点. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定证得，再利用线面平行的判定推理即得. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，过点作平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 假设存在点满足条件，令， ， 设平面的法向量，则，令，得， 由平面，得为平面的法向量， 由二面角的正弦值为，得， 即，而，解得， 所以点是线段上靠近点的三等分点，使得二面角的正弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，点是上一点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点，点为椭圆的下顶点，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 由，得, , 设，则 设的中点为，则， 因为，所以，所以， 而，， 所以，解得，与矛盾， 不存在实数，使得． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出的方程，求解即可； （2）假设存在，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可求弦MN中点，根据知，利用垂直直线斜率之间的关系可求出，结合直线与椭圆相交的条件，可得结论． 【小问1详解】 点是上一点，， 又，则， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 18. 椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为5 . （1）求椭圆 的方程; （2）若直线与椭圆 相交于（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆 的左顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知椭圆左顶点， 设，，∵以为直径的圆过， ∴即，∴， ∵，， ∴① 联立直线与椭圆方程： ，整理得 ∴，， ∴， ，代入到① ， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，：，∴恒过 当时，：，∴恒过，但为椭圆左顶点，不符题意，故舍去， ∴恒过. 【解析】 【分析】（1）由左焦点到点的距离及离心率可求解； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得和，把用和表示化简可得出答案. 【小问1详解】 设左焦点， ∴，解得， ，，由， ∴椭圆方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M）． （1）求证：直线AB的斜率为定值； （2）求面积的最大值． 【答案】（1）证明：由，解得． ∴． ∵过M作的两条直线斜率都存在，不防设直线MA的斜率为，且， 则直线MA的方程为， 由消去 ， ∴， ∴． 同理得直线MB的方程为，可得． ∴，为定值． （2）． 【解析】 【分析】（1）先求出点，结合题意设直线MA的方程为，解方程组得到，同理得到，进而得到，为定值． （2）由（1）可设直线AB的方程为，与椭圆方程联立得到关于的方程，结合判别式可得．再由（1）可得点到直线AB的距离为，，进而求得的面积，最后结合基本不等式可得所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）设直线AB的方程为， 由消去整理得， ∵直线AB与椭圆交于两点， ∴， 解得． 又点到直线AB的距离为， =． 设的面积为S， 则， 当且仅当，即时等号成立． ∴面积的最大值为． 【点睛】（1）求定值问题的常用方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． （2）求最值或范围的基本思路 先建立目标函数，再求这个函数的最值，解题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $