2026年九年级数学中考总复习：第一章 第五节　二次根式

第5节二次根式

一、知识梳理

考点一：二次根式的概念

1. 定义：一般地，形如的式子叫做二次根式。其中被开方数a可以是数，也可以是代数式，但必须满足。

2. 核心特征：① 根指数为2（通常省略不写）；② 被开方数是非负数；③ 二次根式的结果是非负数.

3. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0；若二次根式在分母位置，则还需满足

4. 【易错警示】判断二次根式时，容易忽略被开方数非负的条件；注意二次根式的双重非负性（被开方数非负、结果非负）。

考点二：最简二次根式与同类二次根式

1. 最简二次根式的定义：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：① 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；② 被开方数中不含分母。

2. 同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

3. 核心应用：二次根式的加减运算需先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（同类二次根式合并法则与同类项一致，只把系数相加减，被开方数和根指数不变）。

考点三：二次根式的运算

二次根式的乘法：① 确定被开方数的取值范围；② 按法则将被开方数相乘，根指数不变；③ 化简结果为最简二次根式。

二次根式的除法

运算步骤：① 确定被开方数的取值范围；② 按法则将被开方数相除，根指数不变；③ 化简结果为最简二次根式（若分母含二次根式，需进行分母有理化）。

二次根式的加减

法则：先将各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，非同类二次根式不能合并。

2. 运算步骤：① 化简：将所有二次根式化为最简形式；② 识别：找出同类二次根式；③ 合并：合并同类二次根式的系数，被开方数不变。

二次根式的混合运算

1. 运算顺序：与有理数混合运算一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。

2. 注意事项：① 运算过程中始终遵循各运算法则，注意被开方数的取值范围；② 及时化简二次根式，简化运算；③ 分母含二次根式时，需化为分母不含根号的形式（分母有理化）。

二、同步练习

1．下列各式中，是最简二次根式的是(  )

A.  B.  C.  D.

2．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是(  )

A.  B.  C. 0 D. 2

3．下列二次根式化简后能与合并的是(  )

A.  B.  C.  D.

4．计算的结果是(  )

A. 3 B. 6 C.  D.

5．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是(  )

A.  B.  C.  D.

6．下列运算正确的是(  )

A.  B.

C.  D.

7．计算：(  )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

8．估计的值在(  )

A. 6和7之间                 B. 7和8之间 

C. 8和9之间                 D. 9和10之间

9．估算的值应在(  )

A. 2到3之间                  B. 3到4之间 

C. 4到5之间                  D. 5到6之间

10．将面积为的正方形按照如图的方式，向外等距扩，得到新的正方形，则与新正方形的边长最接近的整数是(  )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

11．计算：          .

12．计算的结果是               ．