2026年九年级数学中考总复习：第一章 第五节　二次根式

第5节二次根式 一、知识梳理 考点一：二次根式的概念 1. 定义：一般地，形如的式子叫做二次根式。其中被开方数a可以是数，也可以是代数式，但必须满足。 2. 核心特征：① 根指数为2（通常省略不写）；② 被开方数是非负数；③ 二次根式的结果是非负数. 3. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0；若二次根式在分母位置，则还需满足 4. 【易错警示】判断二次根式时，容易忽略被开方数非负的条件；注意二次根式的双重非负性（被开方数非负、结果非负）。 考点二：最简二次根式与同类二次根式 1. 最简二次根式的定义：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：① 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；② 被开方数中不含分母。 2. 同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 3. 核心应用：二次根式的加减运算需先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（同类二次根式合并法则与同类项一致，只把系数相加减，被开方数和根指数不变）。 考点三：二次根式的运算 二次根式的乘法：① 确定被开方数的取值范围；② 按法则将被开方数相乘，根指数不变；③ 化简结果为最简二次根式。 二次根式的除法 运算步骤：① 确定被开方数的取值范围；② 按法则将被开方数相除，根指数不变；③ 化简结果为最简二次根式（若分母含二次根式，需进行分母有理化）。 二次根式的加减 法则：先将各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，非同类二次根式不能合并。 2. 运算步骤：① 化简：将所有二次根式化为最简形式；② 识别：找出同类二次根式；③ 合并：合并同类二次根式的系数，被开方数不变。 二次根式的混合运算 1. 运算顺序：与有理数混合运算一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 2. 注意事项：① 运算过程中始终遵循各运算法则，注意被开方数的取值范围；② 及时化简二次根式，简化运算；③ 分母含二次根式时，需化为分母不含根号的形式（分母有理化）。 二、同步练习 1．下列各式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是( ) A. B. C. 0 D. 2 3．下列二次根式化简后能与合并的是( ) A. B. C. D. 4．计算的结果是( ) A. 3 B. 6 C. D. 5．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是( ) A. B. C. D. 6．下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 7．计算：( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8．估计的值在( ) A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 9．估算的值应在( ) A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 10．将面积为的正方形按照如图的方式，向外等距扩，得到新的正方形，则与新正方形的边长最接近的整数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11．计算： . 12．计算的结果是 ． 13．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 14．若为正整数，且满足，则 . 15．已知，则整数的值是 ． 16．计算：． 参考答案 1. C　【解析】A.=，被开方数含分母，不是最简二次根式；B.==4，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；C.是最简二次根式；D.==，被开方数含分母，不是最简二次根式. 2. D　3. D　4. B 5. C　【解析】设被遮挡的数为x，由题意得：2＜x＜3，A.1＜＜2，故A不符合题意；B.=2，故B不符合题意；C.2＜＜3，故C符合题意；D.3＜＜4，故D不符合题意. 6. C 7. B　【解析】(＋)(－)=10－6=4. 8. D　【解析】3＋=3＋4=7=.∵81＜98＜100，∴9＜＜10，∴3＋的值在9和10之间. 9. A　【解析】×－2=－2=2－2.∵＜＜，∴4＜＜5，∴2＜－2＜3，∴估算×－2的值应在2到3之间. 10. B　【解析】根据题意可知原正方形的边长为 cm，∴新正方形的边长为(＋1)cm.∵1＜1.5＜＜2，∴更接近整数2，则＋1更接近整数3. 11. 0　【解析】－3=3－3=0. 12. 2－　【解析】原式=×－=－ =2－. 13. m≥1　【解析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得解得m≥1，∴m的取值范围是m≥1. 14. 5　【解析】∵25＜35＜36，=5，=6，∴5＜＜6，∴n=5. 15. 3　【解析】∵2＜＜3，3＜＜4，＜a＜，a为整数，∴整数a=3. 16. 解：原式=－＋4 =2－3＋4 =6－3. 学科网（北京）股份有限公司 $