广东省茂名市田家炳中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

茂名市田家炳中学2025—2026学年第一学期高一级12月月考 数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分 客观题（共73分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．幂函数在上是减函数，则的值为（   ）． A．1 B．2 C．或 D．1或2 3．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．若，，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．若两个正实数 满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 8．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（   ） A．若，则一定是第一或第二象限角 B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 C．240°化成弧度是 D．终边在直线上的角的取值集合可表示为 10．有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． 11．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则的范围为 . 13．已知一扇形的圆心角为2，周长为8，则该扇形的面积为 14．已知函数，对任意，且，有恒成立，则实数的取值范围为 第二部分 主观题（共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分（1）化简：； （2）化简：． 16．（本题满分15分）已知，并且是第二象限的角. （1）求和的值； （2）求. 17．（本题满分15分）已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 18．（本题满分17分）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于的不等式. 19． （本题满分17分）定义在上的函数满足：如果对任意的 都有 ，则称函数是上的凹函数， 已知二次函数 （1）当时，求函数的值域； （2）当时，试判断函数是否为凹函数，并说明理由； （3）如果函数对任意的时，都有≤1，试求实数的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 茂名市田家炳中学2025—2026学年第一学期高一级12月月考 数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C B C B D BC CD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】求出，根据并集概念求出答案. 【详解】，， 故. 故选：D 2．A 【分析】直接由幂函数的定义及性质可得. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，，解得. 故选：A． 3．C 【分析】根据零点存在性定理可知结果. 【详解】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C 4．C 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故选：C 5．B 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可比较的大小，再根据中间量，可判断的大小. 【详解】因为指数函数在上单调递减，且，所以， 因为幂函数在上单调递减，，所以， 又， 所以. 又，所以. 故选：B 6．C 【分析】根据函数奇偶性、单调性、特殊值的符号排除A、B、D，即得正确选项. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除B. 当时，在上单调递增，故排除A. 又，故排除D. 故选：C. 7．B 【分析】根据基本不等式求得的最小值，再通过解一元二次不等式即可. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值8， 由有解，得， 解得或． 故实数m的取值范围是或． 故选：B. 8．D 【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 9．BC 【分析】根据三角函数值符号、象限角概念、角度与弧度转化及终边相同角的表示逐一判断. 【详解】对于A，当时，，但是轴线角不是象限角，故A错误； 对于B，第一象限角满足，则， 当为偶数时在第一象限，为奇数时在第三象限，故B正确； 对于C，由角度转弧度公式得，故C正确； 对于D，终边在直线上的角应表示为，而表述错误，故D错误. 故选：BC 10．CD 【分析】利用同一函数的定义来判断A，利用函数的性质来判断B，利用偶函数来判断C，利用零点存在性定理结合单调性来判断D. 【详解】由于的定义域为，的定义域为，所以它们表示的不是同一函数，故A错误； 函数的每一个自变量只有唯一的应变量与之对应，所以函数图象与直线的交点最多有1个，故B错误； 因为，又定义域为，所以是偶函数，即图象关于轴对称，故C正确； 因为， 且在区间上单调递增， 所以函数在区间上有且只有1个零点，故D正确； 故选：CD. 11．ACD 【分析】结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】解：对于A，，，由 ，可得 ，当且仅当，时，取得最大值 ，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，选项B错误； 对于C，由，得，且，所以， 当，时，等号成立，选项C正确； 对于D，，当且仅当，时，等号成立，选项D正确． 故选：ACD 12． 【分析】结合对数函数的定义域及单调性解不等式即可. 【详解】不等式可化为， 所以， 解得 故答案为：. 13．4 【分析】借助扇形周长公式与面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角为，母线为， 则， 依题意，得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：4. 14． 【分析】由题设在上严格单调递减，结合二次函数、对数函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由图象的开口向下且对称轴为，且在上单调递减， 由题设在上严格单调递减，则，且在定义域上单调递增， 所以，可得. 故答案为： 15．（1）28；（2）. 【分析】（1）根据指数与分数指数幂化简以及运算法则计算可得结果； （2）利用对数运算法则计算可得结果. 【详解】（1）； （2）. 16．（1），；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式，求解； （2）上下同时除以，化简求值. 【详解】（1）是第二象限角，， 可得， ， ，. （2）原式上、下同时除以得， . 17．(1)，增区间为，；无减区间，图见解析 (2)当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 【分析】（1）利用奇函数的对称性可求解析式，结合解析式可得单调区间，描点作图即可； （2）结合图象，分类讨论，根据交点个数得出方程根的个数. 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，，所以当时，，， 因为，所以，综上. 由于为增函数，所以的单调增区间为，；无减区间. 其简图如图， （2）由可得， 由图可知，当时，即时，方程仅有一个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程有三个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程仅有一个根； 综上，当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 18．(1)增区间为，减区间为，值域为 (2) 【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性求单调区间，利用单调性求值域； （2）根据单调性转化为，分类讨论去掉绝对值号求解即可. 【详解】（1）由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. （2）当时，关于的不等式可为， 可化为或. 可得或， 故关于的不等式的解集为. 19．（1）；（2）凹函数；见解析（3）[﹣2，0）． 【分析】(1)根据二次函数的图像与性质求解即可. (2)根据凹函数的定义求解的正负判断即可. (3)分情况去绝对值,再参变分离求解范围即可. 【详解】（1）当a＝1时，， 由二次函数的图象及性质可知，，f（x）max＝f（2）＝6，即所值域为； （2）当a＝1时，函数f（x）是凹函数，此时f（x）＝x2+x， ，， 作差得到： ， 即有f（），故函数f（x）＝x2+x是凹函数； （3）由﹣1≤f（x）＝ax2+x≤1，则有，即， 当x∈（0，1]时，有，即， 又x∈（0，1]，则， ∴当时，，， 综上实数a的取值范围为[﹣2，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的值域,图像与性质等.同时也考查了新定义的运用,需要根据题意计算求解分析.同时也考查了参变分离求参数范围的问题.属于难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $