湖南郴州市重点高中2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册8.1。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={x|x2-3x-10≤0)，B={x∈Z|x-2<3},则A∩B中的元素个数为 A.6 B.5 C.4 D.3 2.已知复数之满足z(1十i)=|2十2i,则之的虚部为 A.-√2i B.√2i C.√2 D.-√2 3.我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强p(单位：kP)随高度h(单 位：km)的变化满足指数衰减规律：p=poe“,其中p。为海平面处的大气压强，k为常量.已 知在高度为50km处，大气压强为海平面处的2，若某探测器测得当前高度的大气压强为海 平面处的。，则当前高度约为 A.150 km B.100 km C.175 km D.125 km 4.设m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，下列说法正确的是 A.若ma,na,则mn B.若a⊥B,mCa,则m⊥3 C.若m⊥a,m∥m,nCβ，则a⊥β D.若a∩B=m,nCa,n⊥m,则n⊥β 6已知双曲线C分(a>0,0>0的一条渐近线与直线1：x+2y=0垂直，且C的焦点 到L的距离为5，则C的标准方程为 A若y-1 B2-片=1 6.已知函数f(x)=e一(a十1)nx在区间(1,4)上单调递增，则a的取值范围是 A.(-∞，e-1] B.(-o,4e-1] C.(-∞，e-1) D.(-o∞，4e-1) 7.已知平面向量a,b满足|a=1,b=2,且〈a,b>=60°，若向量c满足(c一a)·(c一b)=0, 则c的最小值为 【高二数学第1页（共4页）】 A3、? 2 B?3 22 C.3 D③ 8.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin A=b(sinB+sinC),则号的 取值范围为 A.(2,2) B.(1,√3) C.(2,w3) D.(2,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到↑频率组距 锻炼时长（均在[13,18]区间内，单位：小时）的频率分布 0.38 0.32 直方图，如右图所示，下列说法正确的有 A.频率分布直方图中a的值为0.16 B.估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为 15小时 0.08 0.06 C.估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于150314516718锻炼时长小时 小时的有78人 D.估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F作斜率不为0的直线l交抛物线C于A(x1,y1), B(x2,y2)两点，下列说法正确的有 A若直线L的倾斜角为60，则1AB1-9 B.y?十y?的最小值为8 C.以线段AF为直径的圆恒与y轴相切 D.若P为C的准线与x轴的交点，且∠APB=,则直线L的斜率为士1 11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足对任意实数x,都有f(x+2)=f(一x),且当x∈[0， 1]时，f(x)=2x,则 A.f(x)是周期为4的周期函数 B.f(1)十f(2)+f(3)+…+f(2026)=2 C.∫(x)在[1,2幻上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x=1对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在长方体ABCD-A,B,C1D1中，AB=2,AD=AA1=1,则异面直线A1B与AD1所成角 的余弦值为▲一· 13.将函数∫(x)=6sin2x一√2cos2x的图象向右平移p(p>0)个单位长度后，所得图象关于 y轴对称，则9的最小值为▲一 14.设正整数n=a0·2十a1·2*-1十…十ak-1·2十ak,其中an=1,a,=0或1(i=1,2,…, k),记u(n)=a0十41十…十4k-1十ak.若w(n)=5且n≤4096，则满足题意的n共有 ▲个. 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知等差数列{am}的前n项和为Sn,且a2=5,S4=26. (1)求{am}的通项公式； (2)设6，=。，求数列6.)的前n项和T,并证明T,<合 anan+l 16.(15分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD, PA=AB=2,M为PA的中点. (1)证明：PC/平面BDM. (2)设点N在线段PC上运动，是否存在点N,使得平面BDN⊥平面BDM?若存在，求出 线段PN的长度；若不存在，请说明理由. M B 17.(15分) 巴知椭圆c:友× +芳=1a>6>0)的离心率为号，且过点P(1,号). (1)求C的标准方程： (2)设过点Q(2,0)的直线（斜率不为0）与C相交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为 A',证明直线A'B恒过定点，并求出该定点的坐标 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二(1)班代表队共20名 队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快 答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全 员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第 一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分， 答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概 率均为p(0<p<1),且各队员答题结果相互独立 (1)记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为f(p),求f(p)的极大值点p: (2)已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于 15分，则团队所有成员需集中参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题 时间十可能的培训时间)为X. (1)若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求E(X); (iⅱ)若第一轮10名队员中恰有3人答错，以(1)中确定的p。作为p的值，求E(X),并 比较（ⅰ）与（ⅱ）中谁的总时间成本的期望更小. 参考数据：0.73≈0.058， 19.(17分) 已知函数f(x)=xlnx一x2 (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程 (2)证明：f(x)无零点 (3)若函数h(x)=f(x)十x十e-2,证明：h(x)≥0.高二数学参考答案 1.B因为A={x|-2≤x≤5}，B={x∈Z-1<x<5}={0,1,2,3,4},所以A∩B=B,有 5个元素 2D因为-2牛料-名2积二区1-）-区-所以其度部为一反. 8A当A=50时，p=pc,则日=pe,得6-船由日，-e“,得-8- In 8x,50 2150, 4.C因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，所以B错误； 若m⊥a,m∥n,则n⊥a,又nC3,所以a⊥B,故C正确； 虽然n垂直于交线m,但不一定垂直于平面3内的其他直线，所以D错误， 5D因为双曲线C的一条渐近线与直线1垂直，所以=2.又C的焦点到1的距离为，5，所 以士0-5所以c=5,因为c2=a2+b,所以a2=5,6=20,故C的标准方程为-% √5 =1. 6.A由f'(x)=e_a十1>≥0，得a十1≤xc恒成立，由g(x)=xe的解析式可知其在区间 (1,3)上单调递增，所以g(x)>g(1)=e,则a十1≤e,即a≤e-1,则a的取值范围是(-∞， e-1]. 7.B由a|=1,b=2,且a,b)=60°，可设a=(1,0),b=(1,w3).设c=(x,y),因为(c一 a)(e-b)=0,所以(x-1)2+y0一)=0，整理得(x-1)P+(-)-子，即c的轨 迹是圆心为(1，)，半径为号的圆。©的最小值即为原点到圆上点的最知距离，等于图心 到原点的距离减去半径，故©的最小值为7 8.C因为asin A=b(sinB+sinC),所以a2=b2+bc. 因为a2=b2+c2-2 bccos A,所以c2-2 bccosA=bc,所以c=b(2cosA+1), 所以sinC=sinB(2cosA+1). sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=sin B(2cos A+1), 化简得sin Acos B一cos Asin B=sinB,所以sin(A-一B)=sinB. 【高二数学·参考答案第1页（共7页）】 因为△ABC是锐角三角形，所以A一B=B,即A=2B, 因为sinA=sin2B=2 sin Bcos B,所以a=2 bcos B,所以号=2cosB. 0<B<2, 因为0<A=2B<受， 所以<B<晋，故分∈Ew3). 0CC=元A-B=x-3B<受， 9.ACD由(0.06+a十0.38+0.32+0.08)×1=1，得a=0.16,所以A正确；众数为频率最高 组的组中值，频率最高的组为15,16)，组中值为5士5=15.5小时，所以B错误；因为抽取 的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06十0.16=0.22，对应人数为100× 0.22=22,所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确；设80%分位数为x,因为 0.06+0.16+0.38=0.6<0.8,0.06+0.16+0.38+0.32=0.92>0.8,所以x∈[16,17)，由 (x-一16)×0.32=0.8-0.6，解得x=16.625,故D正确. 10.ABC抛物线C的焦点为F(1,0),若直线l的倾斜角为60°，则直线l的方程为y=√3(x一 D,与C的方程联立得3x2-10x十3=0，所以x1十x4-9因为1AB=AP1+BF- x十x:十p,所以AB到-碧+2=9，故A正确，设直线L的方程为x=my十1，与C的方程 联立得y2-4my-4=0,则y1+y2=4,因为x1十x2=m(y1十y2)+2=4m2+2≥2，当m =0时，等号成立，所以y+y=4(x1十x2)≥8，最小值为8，故B正确.以AF为直径的圆 的圆心为AF的中点，横坐标为中，因为AF=十多=十1，所以圆的半径r 2引AP1-士，恰好等于圆心到y辅的距商，因此该圆恒与y销相切，故C正确 易知P(-1,0),若∠APB=交，则Pi·P克=0，所以(x,十1)(x2十1)十2=x1x十x1 十x2十1十y1y2=0.结合选项B的解析，可知y1y2=-4,x1十x2=m(y1十y2)十2=4m2十 -1,所以4m2=0,解得m=0,即直线1垂直于x轴，斜率不存在，故D错误. 2,x1x2=16 11.ABD因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=一f(x).因为f(x十2)=f(一x),所以f(x十 2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x十2)十2)=-f(x十2)=f(x),因此f(x)是周期为4 的周期函数，故A正确. 因为x∈[0,1]时，f(x)=2x,所以f(1)=2,所以f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.因为 【高二数学·参考答案第2页（共7页）】 f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.因为f(x)的周期为4，所以f(4)=0.因为 f(x+2)=f(-x),所以f(2)=-f(0)=0,所以f(2026)=f(4×506+2)=f(2)=0,所 以f(1)十f(2)+f(3)+…十f(2026)=f(1)+f(2)=2,故B正确. 因为f(x+2)=f(-x),所以f(x-1)+2)=f(-(x-1),即f(1+x)=f(1-x),所 以f(x)的图象关于直线x=1对称，故D正确. 当x∈[1,2]时，2-x∈[0,1]，因为x∈[0,1]时，f(x)=2x,所以f(2-x)-2(2-x)=4 一2x.因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)=f(2-x)=4-2x,在[1,2]上单 调递减，故C错误 12.10 10 连接BC1,A1C1(图略).因为AD1∥BC1,所以异面直线A1B与AD1所成的角即 A1B与BC1所成的角，即∠A1BC1.因为AB=2,AD=AA1=1,所以A1B=√AA+AB √2 -5,BC=BC+CC-2,AC=VA,B+B,C=5,所以os∠ABC=后 √10 10 13.因为f(x)=6sin2x-2cos2x=22sin(2x-),所以其图象向右平移9个单位 长度后的图象的解析式为y=2W2sin2(x-p)-]-2W2sin(2x-2p-否）.由-2g-石 =受十，k∈乙，得p=一吾受，k∈么因为9>0，所以9的最小值为行 14.792若n≤4096且w(n)=5,由n=a0·2+a1·2-1+…十ag-1·21+a,可知k≤12 (k∈N),当k=4时，符合题意的n有C4个，当k-5时，符合题意的n有C个，当k=6时， 符合题意的n有C个，…，当k=11时，符合题意的n有C个，所以符合题意的n共有C4 +C+C6+…+C11=Ci2=792个. 15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d. …1分 a1+d=5, 因为a2=5,S4=26,所以《 …4分 4a1+6d=26, a1=2, 解得 所以{an}的通项公式为an=2十3(n-1)=3n-1. 6分 d=3, 1 (2)由(1)知b= amam+1(3n-1)(3n+2) 1 11 1 因为6.=8m-10（3m十2）-3（3m-13m十2，.9分 【高二数学·参考答案第3页（共7页）】 所以.-合)+（日日）+(g)++(+2》 1 …12分 因为十6>0，所以T.<行 …13分 16.（1)证明：连接AC,交BD于点O,连接OM.…1分 因为底面ABCD是菱形，所以AC,BD互相平分，即O为AC的中点. 2分 因为M为PA的中点，所以在△PAC中，OM是中位线，即OM∥PC. …3分 因为OMC平面BDM,PC吐平面BDM,所以PC/平面BDM.…4分 (2)解：以A为坐标原点，AB,AP的方向分别为x,之轴的正 方向建立如图所示的空间直角坐标系.…5分 M 由题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,√3,0)，D(-1,3, 0),P(0,0,2),M(0,0,1).…7分 设平面BDM的法向量为n=(x1,y1,21). B 因为BD=(-3W3,0),BM=(-2,0,1), n·BD=-3x1+3y1=0, 所以 n.BM=-2x1+1=0, 令x1=1,则n=(1W3,2).…9分 设PN=λPC=(a,√3λ，-2)(0≤≤1)，则BN=BP+PN=(a-2,W3λ，2-2). 设平面BDN的法向量为m=(x2,y2,之2)， m·BD=-3x2十3y2=0, 则 … m·B=(Q-2)x2+V3λy2十(2-2)z2=0 令=1，则m=(1w5,头》. …12分 若平面BDN1平面BDM,则m·n=1X1+3X5+2×二-0，解得X=子，P时1 陀-3g 故存在点N,使得平面BDNL平面BDM,此时线段PN的长度为y2 2· …15分 17.解：)因为离心率e--号，所以a=2c2. …2分 y2 为a2=6+c2,所以a2=26,所以C的方程可写为元千2=1.…… 因为C过点P1,号》所以宏+云=1，康得6=1，因此e=2…1分 【高二数学·参考答案第4页（共7页）】 所以C的标准方程为号十y2=1.。 5分 (2)设直线l的方程为y=k(x一2)(k≠0)，与C的方程联立， 消去y得(1十2k2)x2一8k2x十8k2-2=0,…7分 由△=64-4(1+262)(82-2)>0，解得<号 ……8分 8k2 8k2-2 设A(x1y),B(x2y2),则A'（1,一y),x1十x2-1十2k2x1x2-1十2k …10分 直线AB的方程为y十二，-元（红-z),令y=0,可得x十工1吗 。…12分 y1十y2 因为y1=k(x1-2),y=k(z2-2),所以x=工21十1y些=2k1-2)十x(x22》 y1+y2 k(x1一2)十k(x2-2) 8k2 2x1x2-2(z1十x2) 2X8k2-2 1+2k2 1+2k2 =1 x1十x2-4 8k2 …14分 1+2k2-4 故直线A'B恒过定点(1,0). …15分 18.解：(1)由题意可得f(p)=Cp3(1-p)?, 因此f(p)=C3[3p2(1-p)7-7p3(1-p)]=C10p2(1-p)5(3-10p).…3分 令f'(p)=0,且0<p<1,得p=0.3,当p∈(0,0.3)时，f'(p)>0,当p∈(0.3,1)时， f'(p)<0, 所以f(p)的极大值点p。=0.3.… 5分 (2)(1)若不需启动“全员补答”， 则团队最终得分为8分（低于15分），需额外参加60分钟培训. 答题时间为10×2=20分钟， 培训时间为60分钟（因得分8<15）， 总时间成本X=20十60=80分钟（确定值），故E(X)=80. ……8分 (ⅱ)若启动“全员补答”， 则剩余10人全部答题，每人答错题的概率p=0.3,答对题的概率为0.7. 设剩余10人答对的题数为Y,则Y~B(10,0.7), 设团队的最终得分为Z,则Z=7+Y, 若Z<15,则P(Z<15)=P(7+Y<15)=P(Y<8)=P(Y≤7)，…10分 而P(Y≤7)=1-P(Y=8)-P(Y=9)-P(Y=10)=1-C。×0.78×0.32-C0×0.7× 0.3-0.710≈0.615， ……12分 答题时间为20×2=40分钟， 【高二数学·参考答案第5页（共7页）】 培训时间：以概率0.615发生，额外参加60分钟培训. 总时间成本的数学期望E(X)=40十60×0.615=76.9分钟.…15分 因为不启动全员补答时，E(X)=80分钟，启动全员补答时，E(X)=76.9分钟， 所以（ⅱ）中的总时间成本的期望更小.… …17分 19.（1)解：因为f(x)=xlnx一x2,所以f(1)=一1.…1分 又f'(x)=lnx十1一2x,所以所求切线的斜率k=f'(1)=一1，…2分 则所求的切线方程为y十1=一(x一1)，即y=一x.…3分 (2)证明：设g(x)=lnx-x,则g'(x)=1-x …4分 令g'(x)>0,得0<x<1,令g'(x)<0,得x>1, 可知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(1)=-1<0,从而lnx<x,…5分 故f(x)=xlnx一x2=x(lnx一x)<0恒成立，… 6分 所以f(x)无零点，…7分 (3)证明：h(x)=f(x)十x+e2-2=xlnx-x2+x+e-2(x>0). 要证h(x)≥0，需证nx-x+1+≥0，即证1nx一x+1+ea22≥0，即证cb-2 (x-lnx-2)-l>0.…. …10分 令o(t)=e-t-1,则p'(t)=e-1,令o'(t)>0,得t>0,令p'(t)<0,得t<0,可知o(t) 在（一0∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，…12分 所以p(t)≥p(0)=0,即e一t-1≥0，当且仅当t=0时，等号成立.…13分 令t=x-lnx一2，易知x一1≥lnx,则t=x一lnx一2≥-1，…15分 所以1nx一x+1+二=e-1-1≥0， 所以xlnx-x2十x十e-2≥0，即h(x)≥0.… 17分 【高二数学·参考答案第6页（共7页）】