精品解析：天津市第五十五中学2025-2026学年高三上学期12月检测数学试题

天津市第五十五中学2025—2026学年度第一学期12月检测 高三年级数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，，平面，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校高一年级女生人数是 B. 已知关于的回归直线方程为，若，则 C. 数据的第百分位数为 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于 7. 已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左右焦点分别为，直线经过点及虚轴的一个端点，且点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 9. 已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且是钝角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 11. 已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________． 12. 已知三棱锥中，平面ABC，是边长为3的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥的体积为________. 13. 甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为_____，乙射中的概率为_____． 14. 如图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则______，的最小值为______． 15. 已知函数，在上的最大值为，若函数有4个零点，则实数的取值范围为________． 三、解答题 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，. （1）若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线，所成角的余弦值； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值?若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的两焦点，且椭圆过. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围 19. 已知是等差数列，是递增的等比数列.，，. （1）求数列和的通项公式及； （2）若数列满足，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）设，对，都有恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第五十五中学2025—2026学年度第一学期12月检测 高三年级数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简两个集合，再根据集合的并集的定义运算. 【详解】由，得，即，得，故， 由，得，得，故， 故. 故选：A 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的计算方法及复数的四则运算法则计算即可．虚部为虚数单位的系数． 【详解】∵，∴， 即，即，即， ∴z的虚部为， 故选：D． 3. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当”时，则或 此时可能无意义，故不一定成立， 而当时，则或，“”成立 故“”是的一个必要不充分条件． 故答案选 4. 函数的图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出函数是偶函数，则其图像关于轴对称，可以排除C,D，然后再由的符号可得出答案. 【详解】的定义域为，. . 所以为偶函数，排除C,D. 又，则排除A. 故选：B 【点睛】本题考查函数图像，函数的奇偶性，已知函数解析式选择图像的试题要对定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等进行研究，属于中档题. 5. 已知直线，，平面，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】A，与平行或；B，由线面垂直的判定定理可得；C，平行或异面；D，三条直线或相交或平行. 【详解】对A，若，，则与平行或，故A错误； 对B，若，，，则由线面垂直的判定定理可得，故B正确； 对C，若，，，则平行或异面，故C错误； 对D，若，，，则三条直线或相交或平行，故D错误. 故选：B. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校高一年级女生人数是 B. 已知关于的回归直线方程为，若，则 C. 数据的第百分位数为 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样计算判断A；根据回归方程经过样本中心判断B；求出第75百分位数判断C；利用独立性检验的思想判断D. 【详解】对于A，由抽样比为，样本中女生有人，可得该校高一年级女生人数是人，A正确； 对于B，线性回归方程中，根据回归方程经过样本中心，关于的回归直线方程为，若，则，B正确； 对于C，由，得第百分位数为，C错误； 对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于，D正确. 故选：C. 7. 已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数知识可得在R上单调递增，然后比较三者大小关系结合单调性可得答案. 【详解】，则在R上单调递增. 又，， 注意到，则，则， 因为在R上单调递增. 所以， 即. 故选：A 8. 双曲线的左右焦点分别为，直线经过点及虚轴的一个端点，且点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】【解析】设虚轴的一个端点为B，则,即 ,, 解得,选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 9. 已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且是钝角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出两函数图象，求出A的纵坐标为，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案. 【详解】作出函数和的图象，如图所示．由图可知．取的中点D，连接，则．因为是钝角三角形，所以，则，即．由，得，，即，，则，即A的纵坐标为，故．因为，所以，所以． 故选：D 二、填空题 10. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】先利用正态分布对称性求出的值，然后利用二项展开式求出常数项即可. 【详解】由随机变量，正态分布关于均值对称， 因为， 所以和关于2对称， 所以， 所以二项式为：， 又二项展开式的通项为：， 令解得：， 所以二项展开式中常数项为：， 故答案为：60. 11. 已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆方程求得圆心和半径，利用点到直线的距离公式求得弦心距，结合半径即可求得. 【详解】由， 因此圆心到直线的距离为， 解得， 圆的面积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与圆相交时，弦心距的求解，属基础题. 12. 已知三棱锥中，平面ABC，是边长为3的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】将三棱锥补成直三棱柱，进而求出外接球半径，得出三棱锥的高，最后利用体积公式计算即可. 【详解】如图，将三棱锥补成直三棱柱， 则三棱锥和直三棱柱的外接球相同， 又直三棱柱的外接球球心为的外接圆圆心连线的中点， 且的外接圆半径为， 故三棱锥的外接球半径为, 因为三棱锥外接球的体积为，所以外接球半径为， 故，得， 故三棱锥的体积为. 故答案为： 13. 甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为_____，乙射中的概率为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】甲击中的次数，由此能求出甲三次射击命中次数的期望，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式能求出乙射中的概率． 【详解】解：甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为， 则甲击中的次数， ∴甲三次射击命中次数的期望为， 乙第一次射击的命中率为， 第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为， 如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为， 乙若射中，则不再继续射击， 则乙射中的概率为：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，涉及了二项分布、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力． 14. 如图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则______，的最小值为______． 【答案】 ①. 6 ②. 24 【解析】 【分析】对第1个空，由所给数据直接利用数量积公式，直接求解即可；对第2个空，需要利用的中点为进行问题的转化，依题意可知点的轨迹是以点为圆心，1为半径的一段圆弧，故可得，利用的特征即可得解. 【详解】 因为，， 所以， 设的中点为，连接，因为， 所以，又，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的一段圆弧， 如图，连接，， 则，所以． ， 又，所以， 即的最小值为24． 故答案为：24. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了向量和圆的结合，同时考查了转化思想，有一定的计算量，属于中档题.本题关键有： （1）理解记忆数量积公式，并能简单应用； （2）利用圆的相关性质解决向量相关问题，把向量问题转化成圆的问题求最值是解决向量难题的一个重要方法. 15. 已知函数，在上的最大值为，若函数有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三次函数单调性确定，再结合函数图像确定实数t的取值范围 【详解】因为函数，在上的最大值为， 在R上单调递增， 所以, 作与的图像，由图像可知 当时，；当时，即有两个不等正根， 则或解得或， 从而实数t的取值范围为 故答案为： 三、解答题 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，再由同角三角函数的基本关系求解即可； （2）由余弦定理求解即可； （3）由题意可得出，再由二倍角的正弦和余弦公式及两角和的余弦公式求解即可得出答案. 【小问1详解】 由及正弦定理， 得，因为， 所以，且. 又，可得. 【小问2详解】 因为， 由余弦定理，得， 即，解得(负值舍去). 【小问3详解】 由（1）及，，，得， 从而. 由（1）得. ，， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，. （1）若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线，所成角的余弦值； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值?若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 设是棱上一点，则存在使得， 设，则，， 所以.所以，，， 所以.所以， 因为，，且，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量. 若平面，则，所以，此时方程组无解， 所以在棱上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）取中点，证得平面，进而得到，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由（1），求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，求得平面的一个法向量，结合平面，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：取中点，连接，，因为，所以 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面，平面，所以，， 因为，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，，，，可得，， 设异面直线，所成角为，则. 所以异面直线，所成角的余弦值为. 【小问2详解】 解：由（1）得，. 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆的两焦点，且椭圆过. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，求解即可； （2）先确定直线的斜率必不为0，设其方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，结合题意可得直线恒过轴上一定点.从而可求得，进而可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，解得，所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 依题意，，设，直线斜率为. 若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意. 所以直线的斜率必不为0，设其方程为， 与椭圆的方程联立得， 所以，且 因为是椭圆上一点，满足， 所以， 则，即. 因为 所以，此时， 故直线恒过轴上一定点. 因此， 所以 ， 令， 当即时，取得最大值. . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知是等差数列，是递增的等比数列.，，. （1）求数列和的通项公式及； （2）若数列满足，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）设，对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2）（ⅰ）证明：因为，， 所以， 即，又 所以是以为首项，公比为的等比数列. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解公差、公比即可得解通项公式，再由等差数列求和公式求； （2）（ⅰ）根据条件及，利用等比数列的定义证明为等比数列； （ⅱ）求出，再由等比数列的求和公式化简得出，分奇数、偶数求出数列的最大值即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，解得或（由等比数列递增知不符合题意，舍去）， 所以， 所以，. . 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，所以， 故， 所以， 当时，单调递减，所以时有最大值， 当时，单调递增，且， 因为，所以，即的最大值. 因为恒成立，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一，利用等比数列的求和公式求和的运算得出， 关键点之二，利用分类讨论的思想，分别求出数列中的偶数项、奇数项的最值得出的最大值. 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可； （2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可； （3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式. 【小问1详解】 ，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. 【小问3详解】 由得， 即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， ②当时，不等式化为， 令， ，函数在上单调递增， 所以， 由，得， 所以不等式成立， 综上，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $