专题02 相似三角形中的手拉手模型 培优训练 讲义2025-2026学年苏科版 数学九年级下册

该初中数学讲义以“相似三角形中的手拉手模型”为核心，通过问题链系统构建知识体系，将图形旋转、相似判定与性质等要点按“基础认知-动态探究-综合应用”递进组织，用选择、填空、解答题分层呈现模型变式，清晰梳理重难点内在联系。 讲义亮点在于动态探究题型设计，如正方形旋转中线段比值问题（第4题）和三角形旋转相似证明（第7题），培养学生几何直观与推理意识。基础题巩固模型识别，综合题提升空间观念，支持分层复习，助力教师实施精准化培优教学。

专题02 相似三角形中的手拉手模型 培优训练 一、选择题 1.如图，在中，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板饶点旋转，两条直角边始终与边分别相交于，则在运动过程中，与的关系是（ ） A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断 2.如图， 一副三角板， ， 顶点重合， 将绕其顶点旋转， 在旋转过程中， 以下4个位置， 不存在相似三角形的是 (     ). A． B． C． D． 3.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（　　） A．一定相似 B．当E是AC中点时相似 C．不一定相似 D．无法判断 二、填空题 4.如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ． 5.如图，在中，，，，先将绕着顶点顺时针旋转，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到（点的对应点分别是点），联结，如果和相似，那么的长是__________． 6.将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=_____时，△OMN与△BCO相似． 三、解答题 7.如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【问题发现】①当时，___________；②当时，___________； 【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． 【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 8.在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题． 【问题发现】 （1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是 　 　，直线CD与BE的夹角为 　 　； 【类比探究】 （2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由． 【拓展延伸】 （3） 在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长 ． 9.在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且． 【观察猜想】 （1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________． 【探究证明】 （2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积． 10.在和中，，，．、分别为、的中点，连接、． （1）如图1，当时，的值是 　　，直线与直线相交所成的较小角的度数为 　　； （2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数； （3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、、在同一直线上时的值． 11.把正方形纸板按如图①方式放置在正方形纸板上，顶点G在对角线，并把正方形绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为a． （1）如图②，当时，请直接写出线段与的数量关系和位置关系． （2）如图③，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明，若发生改变，请举例说明． （3）如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为相似矩形，其他条件不变，设，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明． 12.（1）【问题发现】 如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF． 填空： ①线段CF与DG的数量关系为 　 　； ②直线CF与DG所夹锐角的度数为 　 　． （2）【拓展探究】 如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明． （3）【解决问题】 如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 　 　（直接写出结果）． 13.（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 14.如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 　 　（填“是”或“不是” “旋转位似图形”； 如图1，和互为“旋转位似图形”， ①若，，，则　　； ②若，，，则　　； （2）知识运用： 如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值． 15.一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形中的手拉手模型 培优训练 一、选择题 1.如图，在中，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板饶点旋转，两条直角边始终与边分别相交于，则在运动过程中，与的关系是（ ） A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据已知条件可得出，，再结合三角形的内角和定理可得出，从而可判定两三角形一定相似． 解：由已知条件可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 继而可得出， ∴． 故选：A． 【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键． 2.如图， 一副三角板， ， 顶点重合， 将绕其顶点旋转， 在旋转过程中， 以下4个位置， 不存在相似三角形的是 (     ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一副三角板，得到△ABC中，有一个角为60°，一个角为30°；△ADE为等腰直角三角形；再依据两个角对应相等的两个三角形相似解答即可． 解：∵∠C=∠C，∠CAF=∠CAB-∠BAF=60°-30°=30°=∠B， ∴△ACF∽△BCA，故A不符合题意； ∵∠ACF=∠E， ∴BC∥DE， ∴∠AFC=∠D， ∴△ACF∽△AED，故B不符合题意； ∵∠APC和∠DPE是对顶角， ∴∠APC=∠DPE， ∵∠C=∠E=90°， ∴△ACP∽△DEP，故C不符合题意； ∵∠DAB和∠EAB没有明确的度数， ∴不存在相似三角形． 故选D． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 3.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（　　） A．一定相似 B．当E是AC中点时相似 C．不一定相似 D．无法判断 【答案】A 【分析】 解：连结OC， ∵∠C=90°，AC=BC， ∴∠B=45°， ∵点O为AB的中点， ∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°， ∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°， ∴∠EOC=∠BOF， 在△COE和△BOF中， ∴△COE≌△BOF（ASA）， ∴OE=OF， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°， ∴△OEF∽△△CAB． 故选A． 二、填空题 4.如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解决本题的关键． 根据角边角证明得出，连接，证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 连接，如图， ∵，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为： ． 5.如图，在中，，，，先将绕着顶点顺时针旋转，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到（点的对应点分别是点），联结，如果和相似，那么的长是__________． 【答案】3-5 【分析】由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．证明△AA′H≌△AA′C（AAS），推出A′C=A′H，AC=AH=2，设A′C=A′H=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题． 解：由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵cosB==，AB=6， ∴BC=4，AC==2， ∵∠A′AH=∠A′AC，∠AHA′=∠ACA′=90°，AA′=AA′， ∴△AA′H≌△AA′C（AAS）， ∴A′C=A′H，AC=AH=2， 设A′C=A′H=x， 在Rt△A′BH中，（4-x）2=x2+（6-2）2， ∴x=3-5， ∴A′C=3-5， 故答案为3-5． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 6.将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=_____时，△OMN与△BCO相似． 或 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣；②当ON=MN时，由△OMN∽△BCO，得出=，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长． 解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6， ∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B=∠MON． 若△OMN与△BCO相似，分两种情况： ①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示： 则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC， ∴OD==3，CE=， ∵△OMN∽△BOC， ∴， 即， ∴OM=MN=， ∴DM=， ∴CM=CD﹣DM=4﹣； ②当ON=MN时， ∵△OMN∽△BCO， ∴=，即， 解得：OM=， ∴DM=， ∴CM=CD﹣DM=4﹣； 综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键． 三、解答题 7.如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【问题发现】①当时，___________；②当时，___________； 【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． 【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】[问题发现]①；②；[拓展探究]的大小无变化；见解析；[问题解决]或 【分析】[问题发现]先利用勾股定理求得，再利用中点的意义分别求得与，然后求出它们的比； [拓展探究]先证明，再求出与，然后得出结论； [问题解决]分“点在线段上”、“点在线段上”两种情形，分别证明，列出比例求出． 【详解】解：[问题发现] ①当时，如图1， ∵在Rt中，， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； ②当时，如图， 由旋转的性质可知：，， ∴， ， ∴， 故答案为：； [拓展探究] 无变化． 理由：如图1中，∵是的中位线， ∴， 如图2中，∵在旋转过程中形状大小不变， ∴仍然成立， 又∵， ∴， ∴， ∴的大小无变化． [问题解决] 当点在线段上时，如图， 与[拓展探究]同理可证， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：； 当点在线段上时，如图， 同理可证， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求线段的长，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，解题关键是利用相似三角形的判定证明三角形相似，并列出比例求出待线段的长． 8.在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题． 【问题发现】 （1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是 　BE＝CD　，直线CD与BE的夹角为 　45°　； 【类比探究】 （2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由． 【拓展延伸】 （3） 在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长 ． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，计算即可； （2）过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，根据直角三角形的性质得到AB＝AC，AE＝AD，证明△CAD∽△BAE，根据相似三角形的性质解答即可； （3）分点E在线段BD上、点D在线段BE上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE， ∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°， ∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m， ∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m， ∴BE＝CD， ∵∠A＝45°， ∴直线CD与BE的夹角为45°， 故答案为：BE＝CD，45°； （2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°， 理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F， ∵CA＝CB， ∴AH＝HB， ∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE， ∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°， ∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE， 由勾股定理得：AH＝AC， ∴AB＝AC， 同理可得：AE＝AD， ∴＝， ∵∠CAD＝∠BAE， ∴△CAD∽△BAE， ∴＝＝，∠ACD＝ABE， ∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°， ∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°； （3）如图3，点E在线段BD上， ∵m＝2， ∴AD＝DE＝1，AB＝2， 由勾股定理得：BD＝＝， ∴BE＝BD﹣DE＝﹣1， ∴CD＝BE＝， 如图4，点D在线段BE上， BE＝BD+DE＝+1， ∴CD＝BE＝， 综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或． 9.在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且． 【观察猜想】 （1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________． 【探究证明】 （2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）不成立，理由见解析；（3）2 【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题； （2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题； （3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）如图①中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°， ∴△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°， ∴∠DAB=∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=EC，∠ABD=∠ACE， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=BE2+EC2． 故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2． （2）结论：EA2=EC2+2BE2． 理由：如图②中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°， ∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE=∠BAC=45°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵=， =， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴=，∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=EC2+BE2， ∴EA2=EC2+2BE2． （3）如图③中， ∵∠AED=45°，D，E，C共线， ∴∠AEC=135°， ∵△ADB∽△AEC， ∴∠ADB=∠AEC=135°， ∵∠ADE=∠DBE=90°， ∴∠BDE=∠BED=45°， ∴BD=BE， ∴DE=BD， ∵EC=BD， ∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x， 在Rt△ABC中，∵AB=BC=2， ∴AC=2， 在Rt△ADC中， ∵AD2+DC2=AC2， ∴x2+4x2=40， ∴x=2（负根已经舍弃）， ∴AD=DE=2， ∴BD=BE=2， ∴S△BDE=×2×2=2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 10.在和中，，，．、分别为、的中点，连接、． （1）如图1，当时，的值是 　　，直线与直线相交所成的较小角的度数为 　　； （2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数； （3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、、在同一直线上时的值． 【解答】解：（1）如图1，连接，并延长交于，设直线与的交点为， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ，， 、分别为、的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）如图2，连接，并延长交于，设直线与的交点为，过点作于， ，， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， 、分别为、的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， 直线与直线相交所成的较小角的度数为； （3）如图3，当点在线段上时，连接，， ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， 、分别为、的中点， ，， ， 又点是中点， ， ， ， 当点在线段上时，同理可求， 综上所述：的值为或． 11.把正方形纸板按如图①方式放置在正方形纸板上，顶点G在对角线，并把正方形绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为a． （1）如图②，当时，请直接写出线段与的数量关系和位置关系． （2）如图③，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明，若发生改变，请举例说明． （3）如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为相似矩形，其他条件不变，设，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明． 【答案】（1）DE=BF且DE⊥BF；（2）不变，理由见分析；（3）数量关系发生改变，变为，位置关系不变，理由见分析 【分析】（1）可直接由题意证得△AED≌△AFB，从而得到DE=BF，再延长BF，与DE相交，根据全等的性质即可证明； （2）和（1）证明过程一样的思路即可判断； （3）利用相似三角形的性质进行推理，首先根据题意确定，可确定△AED∽△AFB，从而运用相似三角形的性质得出数量关系，对于位置关系的推理，如前两个问一样的思路证明即可． 解：（1）当时，在△AED与△AFB中， ∴△AED≌△AFB， ∴DE=BF，∠EDA=∠FBA， 如图，延长BF与DE交于P点， 又∵∠DFP=∠BFA， ∴∠BAF=∠DPF=90°， 即：BP⊥DE， ∴DE=BF且DE⊥BF； （2）当时，（1）中结论不改变，理由如下： 如图所示，连接DE，BF，并延长相交于Q点， ∵∠EAF=∠DAB=90°， ∴∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF，即：∠EAD=∠FAB， 在△AED与△AFB中， ∴△AED≌△AFB， ∴DE=BF，∠EDA=∠FBA， ∴∠BAD=∠DQB=90°， 即：BQ⊥DQ， ∴DE=BF且DE⊥BF，不改变； （3）数量关系发生改变，位置关系不改变，理由如下： 如图，连接DE，BF，并延长BF与DE交于M点， ∵∠EAF=∠DAB=90°， ∴∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF，即：∠EAD=∠FAB， 又∵两个矩形为相似矩形， ∴，即：， ∴△AED∽△AFB， ∴，∠EDA=∠FBA， 即：， ∵BM与AD相交， ∴∠BAD=∠DMB=90°， 即：BM⊥DM， ∴此时DE与BF的数量关系发生改变，变为，位置关系不改变． 【点拨】本题主要考查旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质，还涉及到矩形和正方形的性质，熟练掌握基本性质，推理出全等或相似三角形是解题关键． 12.（1）【问题发现】 如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF． 填空： ①线段CF与DG的数量关系为 　CF＝GD　； ②直线CF与DG所夹锐角的度数为 　45°　． （2）【拓展探究】 如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明． （3）【解决问题】 如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 　　（直接写出结果）． 【分析】（1）连接AF，由正方形的性质可得点A、F、C三点共线，AC＝，AF＝AG，从而得出答案； （2）连接AF，AC，利用△CAF∽△DAG，得CF＝DG，∠ACF＝∠ADG，从而解决问题； （3）连接CE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE＝45°，则∠DCE＝90°，可知当OE⊥CE时，OE最小，再利用等腰直角三角形的性质求出答案． 【解答】解：（1）连接AF， ∵四边形AEFG、ABCD是正方形， ∴∠GAF＝45°， ∴点A、F、C三点共线， ∴AC＝，AF＝AG， ∴CF＝GD， 故答案为：CF＝GD，45°； （2）仍然成立，连接AF，AC， ∵∠CAD＝∠FAG＝45°， ∴∠CAF＝∠DAG，， ∴△CAF∽△DAG， ∴CF＝DG，∠ACF＝∠ADG， ∴∠COD＝∠CAD＝45°， ∴（1）中的结论仍然成立； （3）连接CE， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠DCE＝90°， ∴当OE⊥CE时，OE最小， ∵AC＝10，O为AC的中点． ∴OC＝5， ∵∠OCE＝45°， ∴OE＝OC＝， 故答案为：． 13.（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：，理由见解析；（3）或 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，     ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或． 14.如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 　是　（填“是”或“不是” “旋转位似图形”； 如图1，和互为“旋转位似图形”， ①若，，，则　　； ②若，，，则　　； （2）知识运用： 如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值． 【解答】解：（1）两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”； ①和互为“旋转位似图形”， ， ， 又，， ； ②， ， ，，， ， ， 故答案为：是；；； （2）证明：，， ， ，即， 又， ， ， 又，， ， ， 和互为“旋转位似图形”； （3）， ，， ，， ，，代入求得：． 如图3，过作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理，得； 综上，，． 15.一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）． 【答案】（1）见解析；（2）当时，，理由见解析；（3）． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，，，得出，则可证明，从而可得出结论； （2）由菱形的性质得出，，则可证明，由全等三角形的性质可得出结论； （3）设与交于Q，与交于点P，证明，得出，得出，连接，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴，， 又∵四边形为正方形， ∴，， ∴ ∴， 在△AEB和△AGD中， ， ∴， ∴； （2）当时，， 理由如下： ∵， ∴ ∴， 又∵四边形和四边形均为菱形， ∴，， 在△AEB和△AGD中， ， ∴， ∴； （3）设与交于Q，与交于点P， 由题意知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，， ∴ ， ∵，，， ∴，， 在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $