专题六：全等和相似中的手拉手、一线三等角模型2025年九年级中考数学复习

编号： 6 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 专题六：全等和相似中的手拉手、一线三等角模型 教学内容 【认识模型①】手拉手模型 例1 如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等边△ABD和等边△AEC，连接BE，CD交于点O，若∠DBE＝75°，则∠ADC的度数是（ ） A.10° B.15° C.20° D.25° 例2 如图,已知∠ABC＝∠ADE,∠ACB＝∠AED,AB＝6,AC＝4,BD＝4，求CE的长. 模型分析 （1）条件:△AOB∽△COD. 辅助线:△COD绕公共顶点O旋转后连接AC,BD. [结论]① △AOC∽△BOD; ② 两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB的关系是相等或互补. 简记:非等腰，共顶点，顶角相等，旋转得相似. （2） 若在（1）的条件下添加条件_____,可得:△AOC≌△BOD. 简记:双等腰，共顶点，顶角相等，旋转得全等. 【构造模型】 例3 如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝4，，以BC为腰作等腰△BCD，若∠BCD＝120°，求AD的长. 例4 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6，将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE,若DE交AC于点F,求AF的长. 方法解读 情形1:当图形中有共端点的三条线段，其中两条线段相等，且夹角已知. 条件:在△BCD中,AD＝AC, ∠DAC＝α. 辅助线:将线段AB绕点A顺时针旋转α，得到线段AE，连接BE,CE. [结论]△ABE∽△ADC. 拓展:添加条件__________________，可得:△ABE≌△ADC. 情形2:当图形中有两个共顶点的等腰三角形. 条件:如图，△ABC和△ADE都为等腰三角形，∠BAC＝∠DAE， AB＝AC,AD＝AE,点A为共顶角顶点. 辅助线:连接CE,BD. [结论]△ABD≌△ACE. 【综合练习】 1.如图，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置放置，连接DG，点B在线段DG上，连接BE. （1）求证:DG⊥BE; （2）若AB＝4，AG＝5，求BE的长. 【认识模型②】一线三等角模型 例1 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC上一点，连接AE,DE,若∠BAE＝∠CED,AB＝EC,求证:△AED是等腰直角三角形. 例2 如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，点E是AD上一点,连接BE,若∠BAC＝∠BED,∠BAC+∠ADC＝180°,AE＝1, BE＝CD＝2,求DE的长. 例3 如图，在等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的点，将△CEF沿EF折叠，使得点C的对应点D恰好落在AB上，若BD ＝2AD＝4，求的值. 模型分析 情形:如图，已知△ACP，△BPD和∠1，∠2，∠3，且满足以下特点: （1）∠1，∠2，∠3的顶点在一条直线上; （2）∠1，∠2，∠3之间的关系是 [结论]（1）△APC和△BDP的关系是_______________; （2）若在（1）中的条件下，增加条件____________________，可以得到△APC ≌△BDP. 【构造模型】 例4 如图,四边形ABCD中,∠A＝∠BCD＝90°,BC＝CD,CE∥AD交AB于点E,若AB＝7,AD＝3,求BE的长. 例5如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，点E是AB边上一点，过点E作EF⊥DE，交BC边于点F，若∠EFD＝60°，求AE的值. [解法一]补“一个等角”: [解法二]补“两个等角”: 方法解读 方法一:若图中存在一条直线，且直线上有一个直角时，根据一线三等角的特点，从直角的两边上已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角; 方法二:若图中存在一条直线，且直线上有两个等角时，根据一线三等角的特点，补上一个与前面角度数相等的角. 【综合练习】 1.已知等边△ABC的边长为6，点D为射线CB上的一个动点，作AD的垂直平分线分别交直线AB， AC于点M,N. （1）如图① ，若点D在线段BC上，求证:; （2）如图② ，若点D在线段CB的延长线上，连接DM，DN，当BD＝2时，求△DBM与△NCD的面积之比. 2.在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B，C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF. （1）如图① ，点E在BC边上，若AB＝6，EC＝2，求BF的长; （2）如图② ，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$