第三十章 二次函数（知识清单）数学冀教版九年级下册

该初中数学二次函数知识清单系统梳理了第三十章核心内容，涵盖概念、图象性质、系数关系、图象变换、解析式求法、与方程不等式关系及实际应用七大知识范畴，搭建从定义理解到性质运用再到实际建模的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+例题”三维架构呈现知识体系，如将“二次项系数a≠0”设为易错点1并配例题，培养学生严谨的数学思维。通过表格对比不同形式二次函数的图象性质，用“平移口诀”简化变换规律，实际问题模块设计利润、面积等建模案例，发展学生用数学眼光观察现实的能力。教师可直接用于重难点教学，学生能自主排查薄弱点，高效提升学习实效。

第三十章 二次函数 知识点1 二次函数的概念 二次函数的概念 一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成（其中是 ，）那么称y为x的 ，称为 ，为 ，为 . 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是 ． 二次函数解析式的表示方法： (1)一般式： (其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式： ， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式： ， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点2 二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫 ，该直线叫做抛物线的 ，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的 . 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) 最值 a>0 开口 ，顶点是 ，此时 y 有 ； a<0 开口 ，顶点是 ，此时y有 . 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而 ，在对称轴的右边y随x的增大而 . a<0 在对称轴的左边y随x的增大而 ，在对称轴的右边y随x的增大而 . 知识点03 二次函数的图象与系数之间的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的 决定： ，； （2）的符号由抛物线的 及的 共同决定：对称轴在轴 同号，对称轴在轴 异号； （3）的符号由抛物线与轴的 的位置决定：与轴 相交，与轴 相交 知识点4 二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n 上加 向下平移n个单位 y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° a变号，h、k均不变 y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 知识点5 待定系数法求函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意 ，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的 ，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的 坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 知识点6 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程： ①若二次函数与轴有 ⇔一元二次方程有两个不相等的实数根⇔。 ②若二次函数与轴 ⇔一元二次方程有两个相等的实数根⇔。 ③若二次函数与轴 ⇔一元二次方程没有实数根⇔。 ④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。 2. 二次函数与不等式（组） 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在 的部分所对应的自变量取值范围；的解集取二次函数图像在 的部分所对应的自变量取值范围。 考点7 二次函数与实际问题 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2. 二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 3. 二次函数解决销售利润问题： 计算公式： 总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： （1） 建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 （2） 从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 （3） 利用待定系数法求函数表达式。 （4） 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 易错点 1：忽略二次函数定义中 “二次项系数 a≠0” 易错总结： 二次函数的严格定义是 “形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠ 0）的函数”，核心条件有两个： ①最高次数为 2； ②二次项系数a≠0。易只关注 “最高次数为 2”，忽略a≠0，导致求参数取值范围、判断函数类型时出错。 例题1 若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题2若是关于x的二次函数，则m 的值为 ． 易错点2 解析式转化（配方）或待定系数法代入失误 易错总结： 二次函数三种解析式（一般式、顶点式、交点式）的转化是基础。 易错点： ①一般式配顶点式时，移项、配方符号错误； ②顶点式y=a(x-h)²+k中，混淆顶点(h,k)与解析式的符号（易误写为(-h,k)）； ③待定系数法代入点坐标时计算失误。 例题3 （2024·河北邯郸·三模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 → → → → 顶点坐标 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．甲和丁 B．乙和丙 C．乙和丁 D．只有丁 例题4将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 易错点 3：混淆二次函数图像性质（对称轴、开口方向） 易错总结： 图像性质是中考高频考点 易错点： ①对称轴公式x=误记为x=或x=； ②开口方向与a的符号关系混淆（a>0向上），求其对称轴和开口方向，并判断当x为何值时，y随x的增大而减小。 例题5已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1 则该二次函数图象的对称轴为(    ) A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝ 例题6（25-26九年级上·河北邢台）已知二次函数 (1)补全表格，并在图中画出函数图象； x … -1 0 1 2 3 y … - (2)观察图象，写出该二次函数图象的开口方向、顶点及当x取何值时，y随x的增大而增大． 易错点 4：求最值时忽略自变量的取值范围（中考高频） 易错总结： 二次函数的最值分两种情况： ①无自变量范围限制时，最值在顶点处； ②有范围限制（如题目给定x的区间，或实际问题中变量的正数值限制）时，需先判断顶点横坐标是否在该范围内：若在，顶点纵坐标为最值；若不在，最值在区间端点处。学生易直接用顶点纵坐标作为最值，忽略范围限制。 例题7（2025·河北邯郸·模拟预测）如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，点对应点恰好落在斜边上，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当时，设，则 ； （2）最小值为 ． 易错点 5：混淆二次函数与一元二次方程、不等式的关系 易错总结： 核心关联： ①二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点横坐标 ↔ 方程ax²+bx+c=0的解； ②不等式ax²+bx+c>0（或 ↔ 二次函数图像在x轴上方（或下方）的x取值范围 易错点： ①误将 “交点纵坐标” 当作方程的解； ②判断不等式解集时，颠倒开口方向与解集的关系。 例题8设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 例题9如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 易错点 6：实际应用中建模错误或忽略变量实际意义 易错总结： 二次函数实际应用（面积、利润、最值问题）的核心是 “正确建模” 和 “变量限制”： ①建模时变量设定不当（如混淆长、宽的数量关系）； ②忽略变量的实际意义（如长度、数量为正数，时间非负），导致自变量取值范围错误，进而最值求解错误。 例10（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 1．若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 2．若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 3.若函数是二次函数，则 ． 4.已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a． 5．将二次函数化成的形式为 ． 6．如图，已知二次函数经过，则图象顶点坐标是 ；若在这个二次函数图象上，且点Q到x轴的距离小于3，则m的取值范围 ． 7．（2024·河北石家庄·三模）嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边分别在y轴，x轴上，点B的坐标为，其中矩形的顶点A，B，C，D处有四个通电开关． (1)点A的坐标________； (2)当时，求抛物线L的对称轴和y的最小值； (3)设抛物线L的顶点为点E． ①求点E的坐标（用含p的式子表示）； ②当点E在矩形的边上时，求点E的坐标； (4)当导电线缆（即抛物线L）接触开关时，即可通电，直接写出通电时整数p的值． 8．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·河北张家口·一模）图为函数，，，在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是的图象的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； x 0 1 2 3 y 0 13．（25-26九年级上·河北衡水·期中）将抛物线向右平移1个单位长度得到抛物线，下列关于抛物线的说法正确的是（） A．抛物线不经过第二象限 B．抛物线的对称轴是轴 C．抛物线最低点的纵坐标为 D．抛物线经过坐标原点 14．（25-26九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于，则满足条件的整数共有 个． 15．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 16．课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长是多少？ 小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 17．如图，在中，，，，分别是边，上的点，且． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)直接写出线段最小值． 18．（2025·河北·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于两点 A，B（A在B的左侧），抛物线 n)与x轴交于两点 C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论中错误的是（   ） A．C₁与C₂交点为 B．； C． D．A，D两点关于对称 19．（2025·河北邯郸·三模）关于的二次函数的四种说法：①若二次函数的图像与轴交于点，则；②若二次函数的图像与轴有两个不同的交点，则方程必有两个不相等的实数根；③若二次函数的图像与轴交于点，则一定有；④若二次函数的图像与轴交于点，则，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 20．（2025·河北邯郸·三模）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得，若在第13段抛物线上，则 ． 21．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 22．（2025·河北唐山·三模）如图1．抛物线（为常数）与轴交于点． (1)求证：抛物线一定与轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； (2)抛物线经过点． ①求抛物线的顶点坐标： ②若．函数的最大值与最小值的差总为1，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，将抛物线平移个单位长度得到抛物线，与轴相交于，两点（点在的左侧），与轴相交于点，如图2． ①直接写出的最小值； ②过点作直线，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴交直线于点，分别过点，作的对称轴的垂线，垂足为点，．当以点，，，为顶点的四边形在直线，之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点的横坐标的值． 23．（2025·河北·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 24．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） (1)如图②，若，，则______． (2)如图③，若，，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． ①点P坐标为______； ②当抛物线与直线相切时，求抛物线的解析式，并直接写出m的值． (3)如图④，B是直线l上一点，O是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中，直接写出挡板的长的最小值． 25．（2025·河北唐山·三模）如图1和图2，矩形中，，，点是边的中点，连接．点是边上的一点（可与点，重合），的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角三角形，其中． (1)点与点的最小距离为_____； (2)当点不与点重合时，求证：； (3)当点落在上时，如图2，求的长； (4)当点在矩形的内部（不含边界）时，直接写出四边形面积的最大值． 26．（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 二次函数 知识点1 二次函数的概念 二次函数的概念 一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成（其中是常数，）那么称y为x的二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点2 二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点03 二次函数的图象与系数之间的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴负半轴相交 知识点4 二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 知识点5 待定系数法求函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 知识点6 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程： ①若二次函数与轴有两个交点⇔一元二次方程有两个不相等的实数根⇔。 ②若二次函数与轴只有一个交点⇔一元二次方程有两个相等的实数根⇔。 ③若二次函数与轴没有交点⇔一元二次方程没有实数根⇔。 ④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。 2. 二次函数与不等式（组） 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 考点7 二次函数与实际问题 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2. 二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 3. 二次函数解决销售利润问题： 计算公式： 总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： （1） 建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 （2） 从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 （3） 利用待定系数法求函数表达式。 （4） 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 易错点 1：忽略二次函数定义中 “二次项系数 a≠0” 易错总结： 二次函数的严格定义是 “形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠ 0）的函数”，核心条件有两个： ①最高次数为 2； ②二次项系数a≠0。易只关注 “最高次数为 2”，忽略a≠0，导致求参数取值范围、判断函数类型时出错。 例题1 若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 例题2若是关于x的二次函数，则m 的值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：2． 易错点2 解析式转化（配方）或待定系数法代入失误 易错总结： 二次函数三种解析式（一般式、顶点式、交点式）的转化是基础。 易错点： ①一般式配顶点式时，移项、配方符号错误； ②顶点式y=a(x-h)²+k中，混淆顶点(h,k)与解析式的符号（易误写为(-h,k)）； ③待定系数法代入点坐标时计算失误。 例题3 （2024·河北邯郸·三模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 → → → → 顶点坐标 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．甲和丁 B．乙和丙 C．乙和丁 D．只有丁 【答案】A 【详解】解： ∴甲出现错误， ，故乙正确， ，故丙正确， ∴顶点坐标为，故丁错误； 综上所述，错误的是甲、丁， 故选：A ． 例题4将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴该抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的函数表达式为． 故选：D． 易错点 3：混淆二次函数图像性质（对称轴、开口方向） 易错总结： 图像性质是中考高频考点 易错点： ①对称轴公式x=误记为x=或x=； ②开口方向与a的符号关系混淆（a>0向上），求其对称轴和开口方向，并判断当x为何值时，y随x的增大而减小。 例题5已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1 则该二次函数图象的对称轴为(    ) A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝ 【答案】D 【详解】∵x=1和2时的函数值都是-1， ∴二次函数的对称轴为； 故答案选D． 例题6（25-26九年级上·河北邢台）已知二次函数 (1)补全表格，并在图中画出函数图象； x … -1 0 1 2 3 y … - (2)观察图象，写出该二次函数图象的开口方向、顶点及当x取何值时，y随x的增大而增大． 【答案】(1)见解析 (2)开口向上；顶点为；当时，y随x的增大而增大 【详解】（1）从左到右依次填；如图； （2）二次函数图象开口向上；顶点为； 当时，y随x的增大而增大． 易错点 4：求最值时忽略自变量的取值范围（中考高频） 易错总结： 二次函数的最值分两种情况： ①无自变量范围限制时，最值在顶点处； ②有范围限制（如题目给定x的区间，或实际问题中变量的正数值限制）时，需先判断顶点横坐标是否在该范围内：若在，顶点纵坐标为最值；若不在，最值在区间端点处。学生易直接用顶点纵坐标作为最值，忽略范围限制。 例题7（2025·河北邯郸·模拟预测）如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，点对应点恰好落在斜边上，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当时，设，则 ； （2）最小值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）过点F作于点H，如图1所示： ， 在中，，， ，， ∴， ∴， 由旋转性质得：，， ， 在中，， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点F作于点H，过点G作于点P，如图2所示： 同证明： ，是等腰直角三角形， ，，， ， 设，则， ， ， ，， ， 由旋转性质得：，， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 当时，的值为最小，最小值为， 的最小值为： 故答案为： 易错点 5：混淆二次函数与一元二次方程、不等式的关系 易错总结： 核心关联： ①二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点横坐标 ↔ 方程ax²+bx+c=0的解； ②不等式ax²+bx+c>0（或 ↔ 二次函数图像在x轴上方（或下方）的x取值范围 易错点： ①误将 “交点纵坐标” 当作方程的解； ②判断不等式解集时，颠倒开口方向与解集的关系。 例题8设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，并且， ∴， 解方程得， ∵， ∴当时，， ∴或﹒ ∵关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标， ∴当时，， 当时，﹒ 当时，二次函数开口向上， ∵， ∴， 解不等式组得，不合题意； 当时，二次函数开口向下， ∵， ∴， 解不等式组得， 又∵， ∴﹒ 故选：D﹒ 例题9如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴    ∵如图；与关于y轴对称，抛物线与直线交于两点， ∴抛物线与直线交于两点，   ∴，即 ∴ 故答案为：. 易错点 6：实际应用中建模错误或忽略变量实际意义 易错总结： 二次函数实际应用（面积、利润、最值问题）的核心是 “正确建模” 和 “变量限制”： ①建模时变量设定不当（如混淆长、宽的数量关系）； ②忽略变量的实际意义（如长度、数量为正数，时间非负），导致自变量取值范围错误，进而最值求解错误。 例10（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为． (1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标． (2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度． (3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为 (2)9米 (3) 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， 设滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得，解得（负值已舍去）． ∴滑道所在抛物线的解析式为， 把代入得： 解得：或， ∴点D的坐标为． （2）解：由题意知点G的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 对于，当时，， ∴， ∴滑道所在抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 对于，当时，， ∴， 答：车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度是9米． （3）解：由题意知点M的坐标为，点N的横坐标为， 由题意知，当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，， 当点N与点F重合时，， 解得：， 当时，点M的纵坐标为， ∴点M，N的高度差为， ∴当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方， 对于，当时，， 令， 解得：（不合题意的值已舍去）， 分析可知，符合题意的d的取值范围为：． 1．若是关于的二次函数，则的值为（　　） A．0 B．0或3 C．3 D．0或 【答案】D 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得，， 故选：D． 2．若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得： ．解得：． 故选A． 3.若函数是二次函数，则 ． 【答案】3 【详解】解：是二次函数， 且， 即，且 ，且， ， 故答案为：3． 4.已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a． 【答案】a＝﹣1 【详解】解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函数， 则a2﹣2a﹣1＝2， 解得a＝3或a＝﹣1， 又∵a﹣3≠0， ∴a≠3， ∴a＝﹣1． 5．将二次函数化成的形式为 ． 【答案】 【详解】解：， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：为常数)； (2)顶点式：； (3)交点式(与轴)：． 6．如图，已知二次函数经过，则图象顶点坐标是 ；若在这个二次函数图象上，且点Q到x轴的距离小于3，则m的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：把点代入中， 得， 中， ∴图象的顶点坐标为． ∵点到x轴的距离小于3， ， 当时，， 解得或， ， 故答案为：，． 7．（2024·河北石家庄·三模）嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边分别在y轴，x轴上，点B的坐标为，其中矩形的顶点A，B，C，D处有四个通电开关． (1)点A的坐标________； (2)当时，求抛物线L的对称轴和y的最小值； (3)设抛物线L的顶点为点E． ①求点E的坐标（用含p的式子表示）； ②当点E在矩形的边上时，求点E的坐标； (4)当导电线缆（即抛物线L）接触开关时，即可通电，直接写出通电时整数p的值． 【答案】(1) (2)对称轴 (3)①E的坐标为，②或 (4)或1 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点B的坐标为 ∴ ∴点A的坐标是； （2）解：当时， ， 抛物线的对称轴为，的最小值为； （3）解：①， 抛物线顶点E的坐标为， 令，， 顶点E所在直线的解析式为； ②∵四边形是矩形，点B的坐标为 ∴ ∵点E所在直线的解析式为； 当时，，解得，此时 当时，，解得，此时 ∴或 （4）解：抛物线顶点始终在直线上， 当时，，， 在位置变化的过程中，会经过顶点，，不会经过顶点，， 当经过点时，把，代入解析式，得，解得或； 当经过点时，把，代入解析式，得，解得（舍去）； ∴直接写出通电时整数p的值为或1． 8．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 9．（2024·河北张家口·一模）图为函数，，，在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是的图象的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【详解】根据题意，得，，，， 图象的对称轴是，即图象中第②个； 图象的对称轴是，即图象中第①个； 图象的对称轴是，即图象中第③个； 图象的对称轴是，即图象中第④个. 故选C． 10．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 11．（2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴有交点， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2)表格见解析，图象见解析， (3)①或；②；③ 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， 当时， ， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 函数图象如下所示： （3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； ③∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左边，y随x的增大而减小， ∵当(k是常数)时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·河北衡水·期中）将抛物线向右平移1个单位长度得到抛物线，下列关于抛物线的说法正确的是（） A．抛物线不经过第二象限 B．抛物线的对称轴是轴 C．抛物线最低点的纵坐标为 D．抛物线经过坐标原点 【答案】D 【详解】∵将抛物线向右平移1个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为． A：∵开口向上，顶点在，当时，（如）， ∴经过第二象限， 故A错误． B：∵的对称轴为， ∴不是y轴， 故B错误． C：∵的最低点（顶点）纵坐标为， ∴不是， 故C错误． D：当时，， ∴经过原点， 故D正确． 故选：D． 14．（25-26九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于，则满足条件的整数共有 个． 【答案】 【详解】解：， 二次函数的图象开口向上， 二次函数图象的对称轴， 当时，二次函数有最小值为； 当时，；当时，； ， ，即， 则二次函数有最大值为； 函数的最大值与最小值的差不大于， ， 解得， ， 则满足条件的整数有，共有个， 故答案为：． 15．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵直线与抛物线没有交点， ∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点， ∴的取值范围是， 故答案为：． （2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上， 当时，y有最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，y有最大值1， ∵直线与抛物线，当时它们有交点， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 16．课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长是多少？ 小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 【答案】达到这个最大值时矩形零件的两条边长， 【详解】解：如图1，设正方形的边长为，则， ， ， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； 如图2，设，矩形的面积为， 由条件可得， ，即， 解得：， ∴， ∴的最大值为，此时，， ∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长，． 17．如图，在中，，，，分别是边，上的点，且． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)直接写出线段最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）知：， ∴，即， ∴； （3）设，则：， 由（2）可知：，即：， ∴， ∴当时，有最大值为，即的最大值为， ∵， ∴当最大时，最小为． 18．（2025·河北·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于两点 A，B（A在B的左侧），抛物线 n)与x轴交于两点 C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论中错误的是（   ） A．C₁与C₂交点为 B．； C． D．A，D两点关于对称 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴与交点为，故选项A正确， 当时，，解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则有：， ∵， ∴，故选项B正确； ∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧）， ∴，， 解得：或，或， 由得， ∴， 当时，，或当时，， ∴，故选项C错误； 由得：，解得， ∵在的左侧，在的左侧， ∴，，，， ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴由对称性可知：，两点关于对称，故选项D正确； 故选：C． 19．（2025·河北邯郸·三模）关于的二次函数的四种说法：①若二次函数的图像与轴交于点，则；②若二次函数的图像与轴有两个不同的交点，则方程必有两个不相等的实数根；③若二次函数的图像与轴交于点，则一定有；④若二次函数的图像与轴交于点，则，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】解：①图像过点，则代入得，此时二次方程至少有一个实根（），故判别式，原说法正确； ②图像与x轴有两个不同交点，说明方程有两个不等实根，故，原说法正确； ③图像过点，代入得，即，则或，原说法错误； ④若是方程的根，则，解得，代入， 则，原说法正确． 综上，错误的是③， 故选：C． 20．（2025·河北邯郸·三模）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得，若在第13段抛物线上，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点，旋转的性质，二次函数图象的平移，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值． 【详解】解：一段抛物线：， 图象与x轴交点坐标为：，， 将绕点旋转得，交x轴于点； 将绕点旋转得，交x轴于点； … 如此进行下去，直至得 的解析式与x轴的交点坐标为，，且图象在x轴上方，相当于将平移到， 的解析式为：， 当时，， 故答案为： 21．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得出答案．先求得点A、C的坐标，再得到直线过定点，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线相切时的k值，结合图象，即可得出答案． 【详解】解：令，由解得，， 令，则， ∴，， ∵当时，， ∴直线经过定点， 如图， 当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点， 当直线与抛物线相切时， 由得， 由解得，， 当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点， 由图可知，当，直线与图象G有两个交点， 故答案为：． 22．（2025·河北唐山·三模）如图1．抛物线（为常数）与轴交于点． (1)求证：抛物线一定与轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； (2)抛物线经过点． ①求抛物线的顶点坐标： ②若．函数的最大值与最小值的差总为1，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，将抛物线平移个单位长度得到抛物线，与轴相交于，两点（点在的左侧），与轴相交于点，如图2． ①直接写出的最小值； ②过点作直线，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴交直线于点，分别过点，作的对称轴的垂线，垂足为点，．当以点，，，为顶点的四边形在直线，之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点的横坐标的值． 【答案】(1)见解析 (2)①抛物线的顶点坐标为；② (3)①；②或 【详解】（1）证明：在中， 判别式， ∴抛物线一定与轴有两个交点， 设抛物线与轴的交点的横坐标分别为， ∵， ∴这两个交点分别在原点的两侧； （2）解：①∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵与y轴相交于点， ∴点D关于直线的对称点为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，抛物线上的最高点是顶点，最低点时和， 最高点与最低点的竖直距离为1， 结合图象可得，； （3）解：①由（2）知，抛物线的函数表达式为， 即，顶点为， 又∵抛物线的函数表达式为， 即，顶点为， ∴抛物线是由抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位得到的， ∴， ∴k的最小值为； ②在中，令，得， 解得：，， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线，且直线l经过点C， ∴直线l的表达式为， 设直线l与抛物线的对称轴交于点K， 当时，， ∴， 设，则， ∴，则， 当时，若点P在直线AB上时，则， ∴， 即， 解得：，（舍）， 此时，点Q在点K的上方， ∴； 当时，如图，点N的纵坐标， ∴点Q在点K的上方， 四边形夹在直线与直线l之间的部分的面积大于四边形面积的一半； 当时，如图， 设直线l与交于点L，则， ∴， ， 由题意得：， ∴， 解得：，（舍）， 综上，点M的横坐标为或． 23．（2025·河北·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：点是抛物线上一点， ． ． （2）解：， 抛物线最高点的坐标为． （3）解：设直线的解析式为：， 将代入中， 得，解得：， 直线的解析式为． 设这束红外线的长度为，则． ， 小球飞行过程中这束红外线的最大长度为． 24．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） (1)如图②，若，，则______． (2)如图③，若，，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． ①点P坐标为______； ②当抛物线与直线相切时，求抛物线的解析式，并直接写出m的值． (3)如图④，B是直线l上一点，O是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中，直接写出挡板的长的最小值． 【答案】(1) (2)①；②， (3) 【详解】（1）解：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ，， ，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）解：①以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切有唯一交点时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， 经过、、， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ， 设， ∵经过、， 设抛物线解析式为， 设直线解析式为，则，解得， ， 联立方程组， 化简得， 直线与的图象有唯一的交点， 方程有两个相等的实数根， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 即m的值为； （3）解：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， 则， ∴，则， ∴， ， ， 的解析式为， 点P在的图象上， ∴， 又， ∴， 当时，有最小值为8， 的最小值为． 25．（2025·河北唐山·三模）如图1和图2，矩形中，，，点是边的中点，连接．点是边上的一点（可与点，重合），的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角三角形，其中． (1)点与点的最小距离为_____； (2)当点不与点重合时，求证：； (3)当点落在上时，如图2，求的长； (4)当点在矩形的内部（不含边界）时，直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) (4) 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ， 当取值最小时，值最小， 最小值为的长，即， ∴， 故答案为：2； （2）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：， ， 三角形为等腰直角三角形，点为斜边的中点， ，即，， ， ， 又， ， ， ； （4）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴，四边形为矩形， 由（3）得，且， ∴， ∵三角形为等腰直角三角形，点为斜边的中点， ， ∴， 设， ， ，， ∴, ∴四边形的面积 ， 点在矩形内部， ， 解得， ， 当时，四边形的面积有最大值． 26．（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 【答案】(1)点B的坐标为， (2)①抛物线的解析式为：，对称轴为直线；②， 【详解】（1）解：消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， 点B的坐标为， 抛物线L的解析式为经过点， ， 整理得：； （2）①着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ， ， 由（1）得， 抛物线的解析式为：， 水流恰好经过着火点A， 代入得：， 解得：， ， 抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， ②消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， 当抛物线经过点时， ， 解得：； 当抛物线经过点时， ， 解得：， 综上可得：， ，， 随b的增大而增大， 当时，c取得最小值为， 的最小值为 故答案为：， 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $