阶段检测验收卷 三角形（综合训练）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第四章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 2．已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 4．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 5．直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（   ） A． B． C． D． 6．下表是综合实践小组填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量河内小岛B到河边公路的距离 测量目标 示意图    相关数据 米 则小岛B到公路的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，在中，，是角平分线，，，，且，则为（    ） A． B． C． D．不能确定 8．如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ；； A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，为等边三角形，为上一点，为等边三角形，与相交于点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④若，则． A．只有①② B．只有①③ C．只有①②③ D．①②③④ 2、 填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有 ． 12．如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 13．已知是的三个内角，其中为锐角，若，则的度数是 ． 14．如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是 ． 15．如图，在矩形中，，，连接，的平分线交于点，则线段的长为 16．如图，已知，平分，且于点，则 ． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，在直角中，． (1)在内找一点，使点到点、距离相等且到边、的距离相等．（利用直尺圆规作图） (2)若，求的度数． 18．（本题8分）如图，平分交于点D，于E，于F，，，若，求的长． 19．（本题10分）如图，点C在的内部，，与互补， (1)求证：； (2)若，，求的长度． 20．（本题10分）数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡角，小红在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为，其中点、、在同一直线上． (1)求斜坡的高度； (2)求大楼的高度（结果保留根号）． 21．（本题10分）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 22．（本题12分）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，是内的一点，且，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置，你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： ①如图2所示，设是等边内一点，，求的度数． ②如图3所示，设是等边内一点，要使，，求线段满足的数量关系． 23．（本题14分）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第四章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形特殊点(重心、内心、垂心、外心)的性质，解题的关键是理解 “游戏公平” 意味着凳子到 A、B、C 三点的距离相等，进而判断哪种特殊点到三角形三个顶点的距离相等． 先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项． 【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心) 重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； B、选项为三条角平分线的交点(内心) 内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； C、选项为三边上高的交点(垂心) 垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； D、选项为三条垂直平分线的交点(外心) 外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意； 故选：D． 2．已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形分类，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和，根据，再根据可得出答案． 【详解】解：设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形为钝角三角形． 故选：C． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，中垂线的性质，根据，得到，设，中垂线的性质，得到，根据，求出的值，再利用勾股定理，求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选A． 4．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；解方程得到两根为2和5，即为等腰三角形的两边长，分两种情况讨论：腰为2底为5或腰为5底为2，利用三角形三边关系检验，只有腰为5底为2成立，再计算周长即可 【详解】解：∵方程可化为， ∴两根为，， ∵等腰三角形两边长分别为2和5， ∴可能情况： ①腰为2，底为5：但，不满足三角形三边关系，不成立； ②腰为5，底为2：，，，均成立； ∴三角形边长为5、5、2，周长为； 故选：A 5．直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由，得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．下表是综合实践小组填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量河内小岛B到河边公路的距离 测量目标 示意图    相关数据 米 则小岛B到公路的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解题关键． 作于点E，作，在上，则，设，表示，，再进一步求解即可． 【详解】解：作于点E，在上取点F，使得，则， 设， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴小岛B到公路的距离为：（米）. 故选：B 7．如图，在中，，是角平分线，，，，且，则为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质；由的面积，的长，可求出高，是角平分线，所以，进而可求解的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∴. 故选：B． 8．如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ；； A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①利用等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可； ②利用角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边即可求解； ③证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故①正确； 由题意得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的作法和定义，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 9．如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 10．如图，为等边三角形，为上一点，为等边三角形，与相交于点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④若，则． A．只有①② B．只有①③ C．只有①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等、相似三角形的判定是解题的关键． 通过等边三角形的性质证明三角形全等，推导角的关系判断平行和角度；利用相似三角形的判定证明线段比例关系；结合中点性质分析垂直关系，逐一验证四个结论． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴，故①②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即，故④正确． 故选：． 2、 填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，正确理解三角形的稳定性是解题的关键．根据图示，有三角形构成，结合三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：根据图示，运用的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性 ． 12．如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到点到的距离等于点O到的距离，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵的两个外角的平分线，相交于点O， ∴点到的距离等于点O到的距离，且点到的距离等于点O到的距离， ∴点到的距离等于点O到的距离， ∵点O到的距离为， ∴点到的距离为， ∵， ∴的面积为； 故答案为：7． 13．已知是的三个内角，其中为锐角，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．利用非负数的性质求出和的度数，再根据三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵，且绝对值和平方项均非负， ∴ ∴，， ∵，为锐角， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质． 连接，作于，因为与相切于，所以，可得，当与重合时，最小，此时最小，求出的长，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，作于， ∵与相切于， ， ∵的半径为1， ， 当与重合时，最小， ∵等边的边长为2， ， ， ∴的最小值为：． 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，，连接，的平分线交于点，则线段的长为 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作于点F，根据勾股定理求得，由角平分线的性质得，再证明，得，则，设，则，再由勾股定理得，即可求得． 【详解】解：作于点F， 在矩形中，，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，已知，平分，且于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线求面积，得出点是的中点是解题关键．延长交于点，证明出，得到，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 又， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：4． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，在直角中，． (1)在内找一点，使点到点、距离相等且到边、的距离相等．（利用直尺圆规作图） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作平分，作线段的垂直平分线，直线交射线于点，点即为所求； （2）由作图可知，推出，求出可得结论． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：，， ， 平分， ， 垂直平分线段， ， ， ． 18．（本题8分）如图，平分交于点D，于E，于F，，，若，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，利用角平分线的性质得出是解决本题的关键．利用角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 19．（本题10分）如图，点C在的内部，，与互补， (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、互补的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据互补的定义得到，根据三角形内角和定理得到，则有，再利用两角对应相等判定三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵与互补， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴的长度为． 20．（本题10分）数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡角，小红在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为，其中点、、在同一直线上． (1)求斜坡的高度； (2)求大楼的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（）根据角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）过作，交于点，则，所以四边形为矩形，证明，设米，则米，由米，同理米，在中，根据勾股定理得：，即，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，米，，， ∴米， 则斜坡的高度为米； （2）解：过作，交于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 设米， ∵四边形为矩形， ∴米，即米， 在中，， ∴米， 同理米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴（米）， ∴大楼的高度为米． 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21．（本题10分）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 22．（本题12分）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，是内的一点，且，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置，你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： ①如图2所示，设是等边内一点，，求的度数． ②如图3所示，设是等边内一点，要使，，求线段满足的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）线段满足的数量关系为： 【分析】（1）将绕C旋转到的位置，得到，通过证明，得到，利用角度关系解题即可； （2）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明为等边三角形，得到，通过、、的边长关系证明，利用勾股定理逆定理得到，求出的度数即可． （3）先求出，由等边三角形得到，把绕点B顺时针旋转得到，证明出为等边三角形，则，，求出，，则，再由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：如图： 由题意得： ，， ∴， 由勾股定理得： ， ． 答：的度数为． （2 ）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图： ，， 为等边三角形，， ， ， ． 答：的度数为． （3）解：线段满足的数量关系为： ∵， ∴ ∵为等边三角形， ∴ 把绕点B顺时针旋转得到，如图： ∴， ∴为等边三角形 ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ 故． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，角直角三角形的性质，掌握勾股定理逆定理解题的关键． 23．（本题14分）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． 【答案】(1)5， (2)当t为秒或秒时，与相似，理由见详解 (3)当秒或秒或秒，是等腰三角形． 【分析】（1）运用勾股定理得出，再结合动点运动速度以及运动方向，得出，即可作答． （2）根据与相似，进行分类讨论，再代入数值到比例式中进行计算，即可作答． （3）根据是等腰三角形，进行分类讨论，且每个情况进行作图，再结合等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，直角边，． ∴， ∵ 在点P自点A沿方向向B作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴； （2）解：当t为或时，与相似，理由如下： ∵点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴， 由（1）得，， ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； 综上：当t为或时，与相似． （3）解：由（2）得， 由（1）得，， 依题意，当时，如图所示： 则， 解得； 依题意，当时，如图所示： 过点P作， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 解得， 依题意，当时，如图所示： 过点Q作， 则， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上：当秒或秒或秒，是等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $