阶段检测验收卷 函数（综合训练）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第三章 函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列函数不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若抛物线与x轴有交点，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 3．把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为（   ） A． B． C． D． 4．正比例函数与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（    ） A．图象经过点 B．函数值随的增大而减小 C．图象与坐标轴有交点 D．图象在第二、四象限都有分布 5．市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室，储存室的底面积与其深度成反比例，关于的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积定为，当施工队按计划掘进到地下时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少，相应地，储存室的底面积应（   ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 6．函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 9．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还有米．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 ． 12．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为 ． 13．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则 ． 14．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 15．如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点，将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，，则的面积 ． 16．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； (2)在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点的对应点的坐标为_____． 19．（本题10分）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 20．（本题10分）如图是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)将水从加热到需要______． (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 21．（本题10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． (1)求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ (3)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22．（本题12分）已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)观察图象，不等式的解集直接写出． 23．（本题14分）如图，已知直线的表达式为，且直线与坐标轴分别相交于两点，动点从点开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时动点从点开始在线段上以每秒5个单位长度的速度向点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为______，的坐标为______； (2)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (3)当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第三章 函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列函数不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，且必须是整式函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可； 【详解】二次函数必须是整式函数，且最高次项为2次， 选项：，含有根号，不是整式函数，故不是二次函数； 选项：，可化为，是二次函数； 选项：，展开为，是二次函数； 选项：，展开为，是二次函数； 不是二次函数的是． 故选． 2．若抛物线与x轴有交点，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题，解题的关键是根据抛物线与轴有交点得出判别式的取值范围，并考虑二次项系数不为0（抛物线的定义）． 先根据抛物线与轴有交点，得出对应的一元二次方程（当时）的判别式，同时考虑时函数为一次函数的情况井而求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ∴关于的方程有实数根，且， ∴，且， 解得：且， 故选：D． 3．把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律进行求解即可：左加右减，上加下减． 【详解】解：抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线为， 故选：A． 4．正比例函数与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（    ） A．图象经过点 B．函数值随的增大而减小 C．图象与坐标轴有交点 D．图象在第二、四象限都有分布 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质和反比例函数的图象与性质，根据正比例函数与反比例函数对每个选项进行判断后得出结论． 【详解】解：A．当时，正比例函数，故本选项不符合题意； B．反比例函数，在每一象限内函数值随的增大而增大，故本选项不符合题意； C．反比例函数图象与坐标轴没有交点，故本选项不符合题意； D．正比例函数，经过第二、四象限；反比例函数，双曲线的两个分支在第二、四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 5．市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室，储存室的底面积与其深度成反比例，关于的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积定为，当施工队按计划掘进到地下时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少，相应地，储存室的底面积应（   ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 先求出反比例函数解析式，再计算时的值，再用的函数值减去时的值即可得到答案． 【详解】解∶设反比例函数解析式为， 当时， ， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 增大的底面积为∶ ． 故选∶D． 6．函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合，熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于，逐一排除； 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，函数的图象应在一、二、三象限，故可排除D； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象应在一二四象限，故可排除B； 当时，两个函数的函数值都为1，故两函数图象应相交于，可排除A． 故选项C正确． 故选C． 7．已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，再根据当时，函数y的最小值为即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数的开口向下，函数的对称轴为直线， ∴越远离对称轴的所对应的函数值越小， 把代入得， ∴函数的顶点坐标为， ∴当时，， ∵当时，函数y的最小值为， ∴在函数上 ∴， 解得或（舍去）． 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：D． 9．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还有米．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查函数图像，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：根据图象，甲步行分钟走了米， 甲步行的速度为(米/分)，故正确； 由图象可知，甲出发分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故错误； 乙的速度为（米/分）， 则乙走完全程的时间为（分），故正确； 当乙到达终点时，甲步行了（米）， 甲离终点还有（米），故错误； 综上，正确的结论有， 故选：B． 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，当时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y随x的增大而减小；当时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数，解得m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 13．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，即可得出，再利用图象上对称两点的坐标，即可求出的值，从而得出抛物线的解析式，然后把代入，即可得出答案． 【详解】解：抛物线与x轴只有一个公共点， 该抛物线的顶点坐标为，且， ， 抛物线过点，， 该抛物线的对称轴为直线， 即：， ， 把代入，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，中点坐标公式等知识点，根据题意求得的值是解题的关键． 14．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 15．如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点，将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．待定系数法求反比例函数解析式为；根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算． 【详解】解：把代入中，， 解得， ∴， 把代入中，， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组， 解得（舍去）， ∴C点坐标为， 过点C作轴，交于点，    在中，当时，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 首先根据是边长为2的等边三角形，求出和的坐标．然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； ……， 由此可知，的横坐标为， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即； （2）解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即． 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； (2)在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点的对应点的坐标为_____． 【答案】(1)画图见解析 (2)①，；② 【分析】（）根据位似图形的性质画图即可； （）①根据（）所画图象解答即可；②根据①中对应点的坐标变化解答即可； 本题考查了画位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①由图可得，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 故答案为：，； ②由①可得，边上任意一点的对应点的坐标为， 故答案为：． 19．（本题10分）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为，点C的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式， （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式结合，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，， ∴点C的坐标为． （2）解：由题意得，， 即， 又， ∴， 解得：， ∴n的取值范围为． 20．（本题10分）如图是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)将水从加热到需要______． (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)4 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题等知识点，掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题是解题的关键． （1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到，再根据所需时间、热量差、每分钟加热的温度列式计算即可； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间与降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于C的时间利用（2）中的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到所需时间为． 故答案为：4． （2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是． （3）解：在加热过程中，水温为时， 所需时间为，即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，，解得：，即内温度都高于． ∵， ∴一个加热周期内水温不低于的时间为． 21．（本题10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． (1)求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ (3)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据价格每提高1元，平均每天少销售3箱，列出一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于单箱利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即； （2）解：由题意得：； （3）解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵ ∴当=55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元． 22．（本题12分）已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)观察图象，不等式的解集直接写出． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数几何综合，根据函数图象求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将代入反比例函数求出，进而求得得到点，再将点代入一次函数求解，即可解题； （2）记一次函数交于点，利用一次函数求出点，再根据列式求解，即可解题； （3）直接根据图象写出解集即可； 【详解】（1）解：由题意知，过点， ， 则反比例函数的解析式为， ，解得，即， 也过点， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：一次函数的解析式为， 当时，， 记一次函数交于点， ， ； （3）解：由图知，不等式的解集为或． 23．（本题14分）如图，已知直线的表达式为，且直线与坐标轴分别相交于两点，动点从点开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时动点从点开始在线段上以每秒5个单位长度的速度向点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为______，的坐标为______； (2)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (3)当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)1或 (3)当时，的面积最大，最大面积为6 【分析】此题考查了相似三角形综合题，主要考查了一次函数图象与坐标轴交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练掌握一次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键，要注意分类讨论思想的应用． （1）令，，分别求解即可． （2）先求出，得出，确定，然后分两种情况分析求解即可； （3）过Q作于H，根据相似三角形的判定和性质得出，，然后求三角形面积确定二次函数解析式，化为顶点式即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，， 当时，， 则点的坐标为：，点的坐标为：， 故答案为：，． （2）解：在中， ， 由勾股定理得：， 根据题意可得． ∴， 第一种情况：当时，， 即， 解得：； 第二种情况：当时，， 即， 解得：． 故当为1或时，以点、、为顶点的三角形与相似． （3）过Q作于H， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 解得：， 故的面积为： ∴当时，的面积最大，最大面积为6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $