专题04 解直角三角形（期末复习讲义）九年级数学上学期冀教版

该初中数学期末复习讲义通过表格和知识框架系统梳理了解直角三角形的知识体系，将锐角三角函数的定义、性质、特殊角值、解法类型及实际应用等核心考点按逻辑关系呈现，用表格归纳考情规律和特殊角值，清晰展示重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层设计的题型训练和实际应用导向，如构造直角三角形解题培养几何直观，坡度坡角问题强化模型意识，新定义题型发展创新思维。基础通关与重难突破练习满足不同学生需求，助力教师精准教学，帮助学生提升用数学思维解决实际问题的能力。

专题04 解直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数的定义与计算 能准确识别直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边，熟练计算给定边长的锐角三角函数值 基础必考点，常出现在选择、填空题；易错点是混淆对边与邻边、忽略直角三角形前提；命题趋势是结合简单图形直接考查定义应用 特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 能熟练记忆并准确默写特殊角的正弦、余弦、正切值，能运用特殊角三角函数值进行简单计算 高频必考点，覆盖选择、填空、解答题；易错点是记错函数值；命题趋势是融入计算类小题或解答题第一步，分值占比3-5分 解直角三角形的基本解法 能根据不同已知条件，灵活运用勾股定理和三角函数求解直角三角形的未知边与角 核心重点考点，解答题必考；命题趋势是单独考查基础解法或作为综合题的基础环节，难度中等 解直角三角形的实际应用 能从实际情境中抽象出直角三角形模型，准确转化角度与边长关系并求解 中档大题考点，期末解答题高频出现；命题趋势是结合测量物体高度、道路坡度、航海方向等场景考查 知识点01 锐角三角函数的定义（Rt△ABC中，∠C＝90°） 1．正弦（sin）：∠A的对边a与斜边c的比，即 2．余弦（cos）：∠A的邻边b与斜边c的比，即 3．正切（tan）：∠A的对边a与邻边b的比，即 4．统称：锐角A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数。 知识点02 锐角三角函数的性质 1．取值范围： 时，，，； 时，，。 2．增减性（0°～90°间）： 随角度增大而增大，随角度减小而减小； 随角度增大而减小，随角度减小而增大； 随角度增大而增大，随角度减小而减小。 3．同角三角函数关系： 平方关系： 商的关系：（或） 4．互余两角三角函数关系（）： 知识点03 特殊角的三角函数值 角度 30° 45° 1 60° 知识点04 解直角三角形的定义与依据 1．定义：在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素（边或角）的过程； 2．核心依据（Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边）： 三边关系（勾股定理）： 锐角关系：； 边角关系：、、（同理可表示∠B的三角函数）。 知识点05 解直角三角形的类型与解法 已知条件 核心解法 一直角边+一锐角（如a、∠A） 1.求； 2.用求c（或求b）； 3.用勾股定理求剩余边 斜边+一锐角（如c、∠A） 1.求； 2.用求a； 3.用求b（或勾股定理） 两直角边（a、b） 1.用勾股定理求； 2.用求∠A； 3.求 斜边+一直角边（如c、a） 1.用勾股定理求； 2.用求∠A； 3.求 知识点06 解直角三角形的实际应用 1．解题通用步骤： 抽象建模：将实际问题转化为平面图形，构造直角三角形； 转化条件：将已知条件转化为直角三角形的边、角关系； 求解验证：用三角函数或勾股定理求解，检验答案是否符合实际。 2．三大典型场景： （1）仰角与俯角问题： 仰角：向上看的视线与水平线的夹角； 俯角：向下看的视线与水平线的夹角； 关键：构造直角三角形，视线为斜边，水平线与铅垂线为直角边。 （2）坡度与坡角问题： 坡度（坡比）i：坡面铅直高度h与水平宽度l的比，（为坡角）； 坡角：坡面与水平面的夹角； 关键：坡角的正切值等于坡度，通过高或水平宽度建立边角关系。 （3）方向角（方位角）问题： 方向角：以正北/正南为基准，与目标方向的锐角（如北偏东30°、南偏西45°）； 方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角； 关键：通过作正北/正南线构造直角三角形，利用平行线性质转化角度。 题型一 锐角三角函数的定义 【例1】在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【例2】在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【变式1-1】在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，，，，则 ， ， ．   【变式1-3】如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、，分别与对角线交于点、，，若，则的长为 ． 题型二 网格中的锐角三角函数值计算 【例3】如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【例4】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、均在格点上，则的值为 ． 【变式2-1】如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画，使； (2)在图②中画，使； (3)在图③中画，使． 题型三 同角/互余两角三角函数的关系 【例5】已知（为锐角），则的值为（    ） A． B． C． D． 【例6】如果为锐角，且，那么 ． 【变式3-1】若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．0 【变式3-3】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 题型四 特殊角的三角函数值计算 【例7】下列各数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【例8】在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【变式4-1】已知锐角满足，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 ． 【变式4-3】计算： (1) ； (2)． 题型五 新定义问题 【例9】定义：三个内角的度数之比为的三角形叫做“朔望三角形”．如图，中，，点是边上任意两点（点M在点的N左侧），连接．若为“朔望三角形”，则的长为 ． 【例10】阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫做顶角正对． 如图1，在中，，顶角A的正对记作，这时容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：_______． (2)对于的正对值的取值范围是________． (3)如图2，已知中，试求的值． 【变式5-1】定义：若一个钝角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图，在中，，，，点为上一个动点，若为“奋进三角形”，则的长为 ． 【变式5-2】我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则 ． 【变式5-3】定义：在中，，我们把的对边与的对边的比，叫做的邻弦，记作．解决问题：在中，，，，则 ． 题型六 解直角三角形 【例11】如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【例12】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，， (1)求的长； (2)求的值． 【变式6-1】如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【变式6-2】如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式6-3】如图，在平行四边形中，于点，是上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若°，，，求矩形的面积； 题型七 构造直角三角形解直角三角形（作垂线） 【例13】如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【例14】如图，O为坐标原点，，，且点的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式7-1】如图，在梯形中，，，，，则的长（　　） A． B．4 C． D．4 【变式7-2】已知锐角中，，，则的长为 ． 【变式7-3】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 题型八 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题） 【例15】已知有一山坡，若沿着水平方向前进了，就升高了，那么这个山坡的坡度是（   ） A． B． C． D． 【例16】楼房后有一假山，其斜坡的坡度，山坡坡面上点处有一个休息亭，如图所示，小红从楼房顶处测得点的俯角为，测得斜坡的点处与楼房的水平距离，与亭子的距离，求楼房的高度． 【变式8-1】如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【变式8-3】“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 题型九 解直角三角形的应用（俯角仰角问题） 【例17】如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角，竖直下降10米至D，测得A点俯角，那么峭壁的高是 米（精确到米） 【例18】综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 【变式9-1】某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在处测得树顶的仰角为，处测得树顶的仰角为（点，，在一条水平直线上），已知测量仪高度米，米，求树BD的高度（参考数据：）． 【变式9-2】综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 【变式9-3】如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高（参考数据：，，）． 题型十 解直角三角形的应用（方位角问题） 【例19】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则A，B间的距离为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【例20】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行10千米到达点C处，此时点C位于点B的北偏东． (1)求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． (2)渔船到达点C后，按原航向继续航行一段时间后，到达点D等待补给，此时渔船在点B的南偏东的方向．在渔船到达点D的同时，一艘补给船从点B出发前往D处，请问补给船行驶的距离的长度．（参考数据：） 【变式10-1】如图，一艘货轮以海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行分钟后到达处，发现灯塔在它北偏东方向． (1)求此时货轮到线段的距离；（结果保留根号） (2)求此时货轮与灯塔的距离（结果精确到海里，参考数据，）． 【变式10-2】如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，，） (1)求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的倍．两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米?（结果保留小数点后一位） 【变式10-3】如图，海岸上有两点，相距200米，又、两点观测海上一灯塔，测得，，求灯塔到海岸的距离． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为了测量河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在电线杆离地面米高的点处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成角，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．北京成功举办第24届冬奥会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．鑫鑫乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行130米，则她下降的高度为（    ） A．25米 B．50米 C．60米 D．120米 5．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．计算的值为 ． 7．在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 8．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为 ． 9． 中，，，则 ， ． ②中，，若，，那么 ， ． 10．计算： (1)； (2)． 11．如图，矩形中，点在边上．将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处．若，，求的值． 12．如图，，分别表示某市一小区的两幢楼房，高都为30米，两楼间的距离为24米，现了解到该市规定：在时，前楼在后楼上的影长不得高于16米（该地区，太阳光线与水平线的夹角为）． (1)问该小区是否符合规定？ (2)如果要求在时，前楼恰好不影响后楼的采光，那么两楼应相距多少米？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在中，，点，分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 2．在割圆八线图中记录了三角函数余割，在直角三角形中，斜边比的对边叫作的余割，记作，如图，在中，，．将沿直线平移得到，为的中点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，过点作于点． （1） ； （2）连接，若交于点，则 ． 4．在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 5．如图， 图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具----“碓（）”的结构简图，图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若 分米， 分米，，求点到水平线的距离的长． 6．已知：正方形，，，经过点，，分别交，于点，，连接，，． （1）若，且，则 （2）若，且，则 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04解直角三角形（期末复习讲义) 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 基础必考点，常出现在选择、填空题；易错 能准确识别直角三角形中锐角的对边、邻 锐角三角函数的 点是混淆对边与邻边、忽略直角三角形前提 边与斜边，熟练计算给定边长的锐角三角 定义与计算 命题趋势是结合简单图形直接考查定义应 函数值 用 特殊角的三角函 能熟练记忆并准确默写特殊角的正弦、余 高频必考点，覆盖选择、填空、解答题；易 数值(30°、45°、 弦、正切值，能运用特殊角三角函数值进 错点是记错函数值；命题趋势是融入计算类 60°) 行简单计算 小题或解答题第一步，分值占比3-5分 能根据不同已知条件，灵活运用勾股定理 核心重点考点，解答题必考；命题趋势是单 解直角三角形的 和三角函数求解直角三角形的未知边与 独考查基础解法或作为综合题的基础环节， 基本解法 角 难度中等 中档大题考点，期末解答题高频出现；命题 解直角三角形的 能从实际情境中抽象出直角三角形模型， 趋势是结合测量物体高度、道路坡度、航海 实际应用 准确转化角度与边长关系并求解 方向等场景考查 记·必备知识 同知识点01锐角三角函数的定义(Rt△4BC中，∠C=90) 1.正弦(sin)：∠A的对边a与斜边c的比，即sinA=A的对边= 斜边 c 2.余弦(cos):∠A的邻边b与斜边c的比，即cosA=A的邻边=b 斜边 3,正切(tam)：∠A的对边a与邻边b的比，即tanA=A的对边=日 ∠A的邻边b 4.统称：锐角A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数。 同知识点02锐角三角函数的性质 1.取值范围： 0°<∠A<90°时，0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0; 1/59 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0°≤LA<90°时，0<sinA≤1,0cosA≤1. 2.增减性(0°~90°间)： sinA随角度增大而增大，随角度减小而减小； cosA随角度增大而减小，随角度减小而增大； tanA随角度增大而增大，随角度减小而减小。 3.同角三角函数关系： 平方关系：sin2A+cos2A=1 商的关系：tanA=sA(或sinA-tanA:cosA) cosA 4.互余两角三角函数关系(LA+∠B=90°)： sinA=cosB=cos(90°-∠A)；cosA=sinB=sin(90°-∠A) 局知识点3特殊角的三角函数值 角度 sina cosa tand. 30° B 450 2 2 1 2 60° B 局知识点04解直角三角形的定义与依据 1,定义：在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素（边或角）的过程； 2.核心依据(Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为LA、LB、LC的对边)： 三边关系（勾股定理）：a2+b2=c2 锐角关系：∠A+LB=90°； 边角关系：sinA=。、cosA=:、tanA=号（同理可表示∠B的三角函数）。 同知识点05解直角三角形的类型与解法 已知条件 核心解法 1.求∠B=90°-∠A; 一直角边+一锐角（如a、LA) 2用sinA-求c(或tanA-求b); 3.用勾股定理求剩余边 2/59 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知条件 核心解法 1.求∠B=90°-∠A; 斜边+一锐角（如c、∠A) 2.用sinA=求a; 3用cosA-求b(或勾股定理) 1.用勾股定理求c=Va+b2; 两直角边(a、b) 2用anA-求L4: 3.求∠B=90°-LA 1.用勾股定理求b=Vc2-a2; 斜边+一直角边（如c、a) 2.用sinA-求LA: 3.求∠B=90°-∠A 局知识点06解直角三角形的实际应用 1.解题通用步骤： 抽象建模：将实际问题转化为平面图形，构造直角三角形； 转化条件：将已知条件转化为直角三角形的边、角关系； 求解验证：用三角函数或勾股定理求解，检验答案是否符合实际。 2.三大典型场景： (1)仰角与俯角问题： 仰角：向上看的视线与水平线的夹角； 俯角：向下看的视线与水平线的夹角： 关键：构造直角三角形，视线为斜边，水平线与铅垂线为直角边。 (2)坡度与坡角问题： 坡度（坡比）i:坡面铅直高度h与水平宽度1的比，i=片-tana(a为坡角)； 坡角a:坡面与水平面的夹角； 关键：坡角的正切值等于坡度，通过高或水平宽度建立边角关系。 (3)方向角（方位角）问题： 方向角：以正北/正南为基准，与目标方向的锐角（如北偏东30°、南偏西45）； 方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角： 3/59 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关键：通过作正北正南线构造直角三角形，利用平行线性质转化角度。 破·重难题型 题型一锐角三角函数的定义 【例1】在Rt△ABC,∠ACB=9O°，若△ABC的三边都缩小到原来的：，则sin∠BAC的值() A.放大5倍 B.缩小到原来的 C.不变 D.无法确定 【答案】C 【详解】解：44CB=90°， sin4=∠4的对边与斜边的比值， ~△ABC的三边都缩小到原来的；，nn ∠A的对边与斜边的比值不变， sin4的值不变. 故选：C 【例2】在Rt△ABC中，AC=3,CD为斜边AB上的中线，若CD=2,则cosA的值为 【答案】 【详解】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线， ÷AB=2CD=2×2=4, c0s4=4c=3 AB 4' 故答案为： 【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=2,那么sin4的值是() A.月 B.月 c.9 D.5 2 【答案】C 4/59 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】解：∠C=90°，AC=2,AB=3, 由勾股定理，BC=√32-22=√5， .'.sinA BC=5 AB 3 故选：C 【变式1-2】如图，在RtA ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,AC=3cm,tanB=},则BC=,AB=,CD D 【答案】 4cm/4厘米 5cm/5厘米 2.4cm 【详解】解：Rt△ABC中，4C=90,tanB=瓷-景4C=3cm, .BC =4cm AB=AC2+BC2=32+42=5cm CD⊥AB SA△4BC=AB×CD=BC x AC ..CD=BCxAC-4x3-2.4cm AB 5 故答案为：4cm,5cm,2.4cm. 【变式1-3】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接CE、CF,分别与对角线BD交于点 M、N,∠ECF=45°，若BM=3,则4F的长为 D 【答案】3V2 【分析】 【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=LBCD=90°， 5/59 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠CBM=∠CAF=LBCA=90°×1=45°， LECF=45°， .∠ACB=∠ECF, ∠BCM=∠ACF, .△BCM△ACF, 0是-C, BM=3, 品 2 4F=3V2, 4F的长为3V2. 故答案为：32， 题型二网格中的锐角三角函数值计算 【例3】如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的△ACB的内角∠ACB的正弦值是() 分 A.v1o 5 B.v 10 c.} D.以上都不对 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图 D C 有AD=14AC=V12+32=V10, .'sinACB =D=1=10 AC 1010 故选B. 【例4】如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则tn4的值 为 6/59 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 【详解】解：过点C作AB的平行线CM,连接4AM, AB lI CM, ∴LCAB=LACM ~每个小正方形的边长均为1， ∴AM=12412=V2,CM=√42+42=42,4AC=V32+52=V34 :△AMC是直角三角形，且∠M=90°， 在R△4CM中，mL4CM-兴是- tanzCAB =tanLACM=1 4 故答案为：寻 【变式2-1】如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则siB的值为() A号 B. c.9 D.1 【答案】C 【详解】解：如图标记点D, 7/59 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rt△ABD中，AD=BD, ∴4B=45°， sinB=sin45°=2 故选：C 【变式2-2】九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方.它是由9个正方形组成的图 案，如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则sinzBAC的值为() A.月 B.9 c.} D.9 【答案】B 【详解】解：如图， B 由网格可知：AD=√22+22=2√2，BD=√12+12=V2,AB=V12+32=V10, AD2+BD2=10=AB2, ∠ADB=90°， 'sinBAC=BD== AB 10 5 故选B. 【变式2-3】图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均 为1，线段AB的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图 痕迹，不要求写出画法， 8/59 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图① 图② 图③ (1)在图①中画LABC,使tanzABC=l; (2)在图②中画4ABD, 使itan-ABD= (3)在图③中画∠ABE, 使tanABE=子 【答案】（①）见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】 【详解】(1)解：如图，∠ABC即为所求；tanL4BC=4=1: 4 B 图① 图② 图③ (2)解：如图， ∠ABD即为所求；tan-ABD=子 (3)解：如图，∠ABE即为所求； .AF II GH, △FAE一△HGE, 4F=1,GH=2,AG=4, 瓷品 B=4G=寺 sanABE ☑题型三同角/互余两角三角函数的关系 9/59 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例5】已知sin4=；(∠4为锐角)，则cos4的值为() A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：“sinA=子 且4A为锐角， 六cosA0, 'sin24 +cos24=1, .cos24 =1-sin24=1- “c0sA= 故选：B. 【例6】如果a为锐角，且sina=0.619,那么cos(90°-a)=· 【答案】0.619 【分析】 【详解】解：如图，Rt△ABC中，设∠A=a, 则sina=sin4=Bc-0.619 AB cos(90-a)=cosB=-sina-0.619, 故答案为0.619. 【变式3-1】若sin(80°-a)=cos50°，则a的度数是() A.20° B.30° C.409 D.50 【答案】C 【详解】解：sin(80°-a)=cos50°， ÷.80°-a=90°-50°， .a=40°， 故选：C 【变式3-2】计算sin49°-cos41°的结果为() 10/59