第二十六章 解直角三角形（单元测试·基础卷）数学冀教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记角的余弦值． 根据特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键，根据特殊角的三角函数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，点是射线上的任意一点，于，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 根据正切的定义即可得到答案． 【详解】解：，， 故选：A ． 4．（2025·河北保定·二模）如图，嘉淇在量角器的圆心O处下挂一个铅锤，制作了一个简易测角仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，根据直角三角形的性质求出的度数，再根据仰角的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， 由题意得，， ， 此时观察楼顶的仰角为． 故选：A． 5．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 先找出所在的直角三角形，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ， 故选：D． 6．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】本题考查方向角，根据方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， ∵一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上， ∴由图可得，这艘渔船的大致位置可以在点处． 故选：B． 7．（2025·河北石家庄·三模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点，若，，，则的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用，关键是熟练掌握折叠的性质．首先根据平行四边形的性质得，，，，可证出，根据翻折可得，，，进而可得，从而可得，解直角三角形求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理即可得的长． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 将沿翻折至， ，，， ， ， 在中，， ， ，， ， ，， ， 故选：． 8．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： ①作线段，分别以为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为； ②以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； ③连接．下列说法不正确的是（    ） A．是等边三角形 B． C．点在的中垂线上 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，锐角三角函数，直角三角形的性质，尺规作图， 先根据尺规作图可知，即可判断A；再根据，解答C；然后根据等边三角形的性质和三角形内角和定理说明B；最后根据锐角三角函数的定义解答D即可． 【详解】解：根据尺规作图可知，则是等边三角形，可知A正确； 再根据， ∴， ∴点C在的垂直平分线上， 所以C正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 则B正确； 在中，， ∴． ∵， ∴设，则， ∴， 所以D不正确． 故选：D． 9．（2025·河北保定·二模）如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质，三角形内角和定理，求出，解得到，再解得到，由折叠的性质可得，，则可证明三点共线，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质可得，， ∴三点共线， ∴， 故选：C． 10．（2024·河北·模拟预测）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ∵米，， ， ， 米， 在中， ， 故选：D． 11．（2025·河北·模拟预测）在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C． 或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，分别考虑在之间时和在的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解． 【详解】解：当在之间时，如图， 根据，不妨设，，， ∴， 由翻折的性质知：， ∵沿直线l翻折至所在直线， ∴， ∴， ∴， 过F作的垂线交于点E， ∴， ∴， 当在的延长线上时，如图， 根据，不妨设，，， 同理知：， 过点F作的垂线交于E， ∴， ∴， 故选：C． 12．（2025·河北邢台·三模）如图，在矩形纸片中，为边上一点，将沿折叠，得到．点E，F关于对称，若，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先利用矩形纸片的性质得出，再轴对称的性质得出垂直平分，接着根据垂直平分线性质得出，结合，可证明是等这三角形，进而求得，再分“点在上方”、“点在下方”两种情况分别求得． 【详解】解：∵矩形纸片中， ∴ ，， ． 连接， 点E，F关于对称， 垂直平分， ， ∵， ∴是等边三角形， ． ， 当点在上方时，如图1， ， ， 当点在下方时，如图2， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键是利用矩形的性质、轴对称的性质证明相应的量相等 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，，．则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根据正弦的定义：对边比斜边求出，再根据勾股定理，进行计算即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 故答案为：3． 14．（2025·河北唐山·二模）如图，，延长，交于点P，若，，，，则的值为 . 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，作于点H，交于点O，证明，推出，求出、即可解决问题． 【详解】解：如图，作于点H，交于点O， ∵， ∴， ，即 ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 15．（2025·河北唐山·二模）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记①，②，③部分，若①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；若①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．设正六边形的边长为，根据题意，①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；根据题意，得；根据题意，画出拼图，求得，计算即可． 【详解】解：设正六边形的边长为，根据题意，①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；根据题意，得； 当①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，如图所示， 根据题意，，，， 过点C作于点D，则， 故即， 故， 故答案为：． 【点睛】 16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知等腰直角，点是矩形与的公共顶点，且；点是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长时，点与点的距离为；当线段达到最短时，点与点的距离为，则的值为 ． 【答案】 【分析】解直角三角形，求出的长，易得线段达到最长时，此时点在点的下方，且，三点共线，勾股定理求出的长，线段达到最短时，此时点在点的上方，且三点共线，求出此时的长，再进行计算即可． 【详解】解：为等腰直角三角形，， ， ． 当线段达到最长时，此时点在点的下方，且，三点共线，如图， 则． 在Rt中，， ． 当线段达到最短时，此时点在点的上方，且三点共线，如图， 则． 在Rt中，， ． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，确定动点的位置，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，先把各特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，根据以及已知条件求得的长，进而勾股定理即可求得的长． 【详解】解：在中，， ， ． 19．（8分）（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，且，． (1)求长； (2)求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义以及相关基本性质是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质求得，再根据三角函数的定义求得，勾股定理求得，即可求解； （2）过点A作交延长线于点E，根据等腰直角三角形的性质求得，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作交延长线于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 20．（8分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 【答案】(1)28.7米 (2)10人 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）过点作于点D，如图，，可得四边形为矩形，在中，（米），由此即可求解； （2）根据题意，在中，（米），在中，（米），则（米），结合题意即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点D，如图，， 地面，地面， 四边形为矩形， 米，米， 在中，（米）， （米）， 即建筑物的高度为米； （2）解：由题意，，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （人）， 行人在斑马线上一横排并排行走的人数最多为10人． 21．（9分）（2025·河北沧州·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图，三根梅花桩、、垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，． (1)在图中， ___________度； (2)醒狮少年在休息时发现，太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，计算与的高度比； (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)104 (2) (3) 【分析】本题考查了四边形内角和，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，作辅助线构造直角是解题关键． （1）根据四边形内角和得到，，再根据周角求解即可； （2）连接，根据相似三角形的判定和性质求解即可； （3）过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，再利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：三根梅花桩、、垂直于地面放置， ， 四边形和四边形的内角和为，，， ，， ， 故答案为：104； （2）解：如图1，连接， 太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合， 点A、B、N三点共线． ，， ， ； （3）解：如图2，过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接．     图2 由题意，得， 四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ，，，． ，， ，， ，， ， ． 在中，，， ． 答：“采青”路径的长度为． 22．（9分）（2025·河北保定·一模）折纸中蕴含着很多数学知识．小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形． (1)将小珍剪的角展开后，其图形一定是___________（填“菱形”或“矩形”）； (2)若小轩按图3剪掉两个角后，剩余图形展开后是如图4所示的边长为的正八边形，图中虚线是折痕，则原正方形纸片的长为___________； (3)小珍和小轩要通过各自的剪切方法，得到相同大小的正方形．当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为___________． 【答案】(1)菱形 (2) (3) 【分析】本题主要涉及到图形的折叠与剪切问题，需要运用到菱形的判定、正方形和正八边形的性质、解直角三角形等数学知识．熟知相关知识点是正确解答此题的关键． （1）小珍将正方形纸片对折两次后剪角，由于折叠的性质，展开后得到的四边形的四条边都相等．根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形．所以将小珍剪的角展开后，其图形一定是菱形； （2）根据正八边形的性质以及折叠的特点，找出正八边形边长与原正方形边长的关系来求解； （3）先确定小轩剪出的最大正方形的边长，这个最大正方形是以原正方形的四个角剪掉等腰直角三角形后得到的．再根据小珍和小轩得到相同大小正方形这一条件，结合小珍剪切图形的特点求出图2中虚线的长度． 【详解】（1）解：如图所示： 小珍剪的角展开后，其图形是图中虚线组成的，四条边相等，根据四条边相等的四边形是菱形， 故答案为：菱形； （2）解：如图所示： 根据题意，，正八边形的内角， ，为剪下去的一个角， ， 同理可求， 原正方形的边长， 故答案为：； （3）解：当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形， 如图所示： 他应沿剪，此时为正方形的边的中点，， ， ， ， 展开后的图如图所示： 由折叠可知， ， 若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为， 故答案为：． 23．（11分）（2025·河北·模拟预测）如图，点在同一直线上，，，，线段与线段交于点（点不与点重合），连接，，，． (1)求证：； (2)若点是的中点，则点是否是的中点，并说明理由； (3)设，若对于的一个数值，能找到两个不同位置的点，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当点是的中点时，点是的中点，理由见解析 (3)当时，对于x取某一数值时，有两个位置表示点 【分析】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，特殊角的三角函数值的计算，关键是根据全等三角形的判定方法解答． （1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）连接，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）分两种情况得出取值范围即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点是的中点时，点是的中点，理由如下： 连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点是的中点时，点是的中点； （3）解：∵， ∴， 当时，最小，且点只有一个位置， 在中，，， ∴， 当与重合时，此时， ∴当时，对于取某一数值时，有两个位置表示点 ． 24．（12分）（2025·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1)点在线段上，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可得出结论； （2）由（1）易得，证明，推出，根据在中，，在中，，即可证明结论； （3）延长交的延长线于点，连接，证明，推出，易证，得到，再证明，推出，由（1）知，设，则，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点在线段上，理由如下： 如解①，连接， ∵四边形是正方形，点是正方形的中心， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即点在线段上； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴在中，，在中，， ∴； （3）解：如图②，延长交的延长线于点， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 由（1）知， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，构造三角形全等和相似是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章 解直角三角形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A A A D B B D C D C B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．3 14．2 15． 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，先把各特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式·······································3分 ·······································6分 ．········································7分 18．（8分） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，根据以及已知条件求得的长，进而勾股定理即可求得的长． 【详解】解：在中，， ，······································4分 ．······································8分 19．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义以及相关基本性质是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质求得，再根据三角函数的定义求得，勾股定理求得，即可求解； （2）过点A作交延长线于点E，根据等腰直角三角形的性质求得，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴；······································4分 （2）解：如图，过点A作交延长线于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，······································6分 ∴．······································8分 20．（8分） 【答案】(1)28.7米 (2)10人 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）过点作于点D，如图，，可得四边形为矩形，在中，（米），由此即可求解； （2）根据题意，在中，（米），在中，（米），则（米），结合题意即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点D，如图，， 地面，地面， 四边形为矩形， 米，米，······································2分 在中，（米）， （米）， 即建筑物的高度为米；······································4分 （2）解：由题意，，， 在中，（米），······································5分 在中，（米）， （米），······································6分 （人）， 行人在斑马线上一横排并排行走的人数最多为10人．······································8分 21．（9分） 【答案】(1)104 (2) (3) 【分析】本题考查了四边形内角和，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，作辅助线构造直角是解题关键． （1）根据四边形内角和得到，，再根据周角求解即可； （2）连接，根据相似三角形的判定和性质求解即可； （3）过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，再利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：三根梅花桩、、垂直于地面放置， ， 四边形和四边形的内角和为，，， ，， ， 故答案为：104；······································2分 （2）解：如图1，连接， 太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合， 点A、B、N三点共线． ，， ， ；······································5分 （3）解：如图2，过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接．     图2 由题意，得， 四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ，，，． ，， ，， ，， ， ． 在中，，， ． 答：“采青”路径的长度为．······································9分 22．（9分） 【答案】(1)菱形 (2) (3) 【分析】本题主要涉及到图形的折叠与剪切问题，需要运用到菱形的判定、正方形和正八边形的性质、解直角三角形等数学知识．熟知相关知识点是正确解答此题的关键． （1）小珍将正方形纸片对折两次后剪角，由于折叠的性质，展开后得到的四边形的四条边都相等．根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形．所以将小珍剪的角展开后，其图形一定是菱形； （2）根据正八边形的性质以及折叠的特点，找出正八边形边长与原正方形边长的关系来求解； （3）先确定小轩剪出的最大正方形的边长，这个最大正方形是以原正方形的四个角剪掉等腰直角三角形后得到的．再根据小珍和小轩得到相同大小正方形这一条件，结合小珍剪切图形的特点求出图2中虚线的长度． 【详解】（1）解：如图所示： 小珍剪的角展开后，其图形是图中虚线组成的，四条边相等，根据四条边相等的四边形是菱形， 故答案为：菱形；······································2分 （2）解：如图所示： 根据题意，，正八边形的内角， ，为剪下去的一个角， ， 同理可求， 原正方形的边长， 故答案为：；······································5分 （3）解：当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形， 如图所示： 他应沿剪，此时为正方形的边的中点，， ， ， ， 展开后的图如图所示： 由折叠可知， ， 若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为， 故答案为：．······································9分 23．（11分） 【答案】(1)见解析 (2)当点是的中点时，点是的中点，理由见解析 (3)当时，对于x取某一数值时，有两个位置表示点 【分析】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，特殊角的三角函数值的计算，关键是根据全等三角形的判定方法解答． （1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）连接，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）分两种情况得出取值范围即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴；······································3分 （2）解：当点是的中点时，点是的中点，理由如下： 连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点是的中点时，点是的中点；······································6分 （3）解：∵， ∴， 当时，最小，且点只有一个位置， 在中，，， ∴， 当与重合时，此时， ∴当时，对于取某一数值时，有两个位置表示点 ．······································11分 24．（12分） 【答案】(1)点在线段上，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可得出结论； （2）由（1）易得，证明，推出，根据在中，，在中，，即可证明结论； （3）延长交的延长线于点，连接，证明，推出，易证，得到，再证明，推出，由（1）知，设，则，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点在线段上，理由如下： 如解①，连接， ∵四边形是正方形，点是正方形的中心， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即点在线段上；······································3分 （2）证明：由（1）得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴在中，，在中，， ∴；······································6分 （3）解：如图②，延长交的延长线于点， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴，······································8分 由（1）知， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去），······································12分 ∴， ∴，即．······································12分 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，构造三角形全等和相似是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）的值是（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，点是射线上的任意一点，于，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北保定·二模）如图，嘉淇在量角器的圆心O处下挂一个铅锤，制作了一个简易测角仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角为（    ） A． B． C． D． 5．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 6．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 7．（2025·河北石家庄·三模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点，若，，，则的长度是（ ） A． B． C． D． 8．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： ①作线段，分别以为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为； ②以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； ③连接．下列说法不正确的是（    ） A．是等边三角形 B． C．点在的中垂线上 D． 9．（2025·河北保定·二模）如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 10．（2024·河北·模拟预测）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北·模拟预测）在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C． 或 D．或 12．（2025·河北邢台·三模）如图，在矩形纸片中，为边上一点，将沿折叠，得到．点E，F关于对称，若，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，，．则的值为 ． 14．（2025·河北唐山·二模）如图，，延长，交于点P，若，，，，则的值为 . 15．（2025·河北唐山·二模）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记①，②，③部分，若①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；若①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，则 ． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知等腰直角，点是矩形与的公共顶点，且；点是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长时，点与点的距离为；当线段达到最短时，点与点的距离为，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）计算：． 18．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，．求的长． 19．（8分）（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，且，． (1)求长； (2)求的正弦值． 20．（8分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 21．（9分）（2025·河北沧州·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图，三根梅花桩、、垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，． (1)在图中， ___________度； (2)醒狮少年在休息时发现，太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，计算与的高度比； (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度．（参考数据：，，） 22．（9分）（2025·河北保定·一模）折纸中蕴含着很多数学知识．小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形． (1)将小珍剪的角展开后，其图形一定是___________（填“菱形”或“矩形”）； (2)若小轩按图3剪掉两个角后，剩余图形展开后是如图4所示的边长为的正八边形，图中虚线是折痕，则原正方形纸片的长为___________； (3)小珍和小轩要通过各自的剪切方法，得到相同大小的正方形．当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为___________． 23．（11分）（2025·河北·模拟预测）如图，点在同一直线上，，，，线段与线段交于点（点不与点重合），连接，，，． (1)求证：； (2)若点是的中点，则点是否是的中点，并说明理由； (3)设，若对于的一个数值，能找到两个不同位置的点，求的取值范围． 24．（12分）（2025·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）的值是（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，点是射线上的任意一点，于，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北保定·二模）如图，嘉淇在量角器的圆心O处下挂一个铅锤，制作了一个简易测角仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角为（    ） A． B． C． D． 5．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 6．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 7．（2025·河北石家庄·三模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点，若，，，则的长度是（ ） A． B． C． D． 8．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： ①作线段，分别以为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为； ②以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； ③连接．下列说法不正确的是（    ） A．是等边三角形 B． C．点在的中垂线上 D． 9．（2025·河北保定·二模）如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 10．（2024·河北·模拟预测）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北·模拟预测）在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C． 或 D．或 12．（2025·河北邢台·三模）如图，在矩形纸片中，为边上一点，将沿折叠，得到．点E，F关于对称，若，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，，．则的值为 ． 14．（2025·河北唐山·二模）如图，，延长，交于点P，若，，，，则的值为 . 15．（2025·河北唐山·二模）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记①，②，③部分，若①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；若①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，则 ． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知等腰直角，点是矩形与的公共顶点，且；点是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长时，点与点的距离为；当线段达到最短时，点与点的距离为，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）计算：． 18．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，．求的长． 19．（8分）（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，且，． (1)求长； (2)求的正弦值． 20．（8分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 21．（9分）（2025·河北沧州·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图，三根梅花桩、、垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，． (1)在图中， ___________度； (2)醒狮少年在休息时发现，太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，计算与的高度比； (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度．（参考数据：，，） 22．（9分）（2025·河北保定·一模）折纸中蕴含着很多数学知识．小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形． (1)将小珍剪的角展开后，其图形一定是___________（填“菱形”或“矩形”）； (2)若小轩按图3剪掉两个角后，剩余图形展开后是如图4所示的边长为的正八边形，图中虚线是折痕，则原正方形纸片的长为___________； (3)小珍和小轩要通过各自的剪切方法，得到相同大小的正方形．当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为___________． 23．（11分）（2025·河北·模拟预测）如图，点在同一直线上，，，，线段与线段交于点（点不与点重合），连接，，，． (1)求证：； (2)若点是的中点，则点是否是的中点，并说明理由； (3)设，若对于的一个数值，能找到两个不同位置的点，求的取值范围． 24．（12分）（2025·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $