专题02 解直角三角形的计算题（9大题型）（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题02 解直角三角形的计算题（9大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、特殊角三角函数值的混合运算 1 题型二、与特殊角三角函数值有关的化简求值 2 题型三、根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 3 题型四、根据特殊角的三角函数值求角的度数 5 题型五、比较三角函数值的大小 6 题型六、根据三角函数值判断锐角取值范围 8 题型七、利用同角三角函数关系求值 8 题型八、互余两角三角函数的关系 8 题型九、三角函数计算综合 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、特殊角三角函数值的混合运算 1．计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的运算以及分母有理化，还有四则运算的顺序．熟练掌握特殊三角函数值、分母有理化的方法以及四则运算规则是解题的关键． 本题是一个包含特殊三角函数值的混合运算题，解题思路是先分别将各个特殊三角函数值代入原式，然后按照四则运算的顺序进行计算． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数的计算．分别计算各项，将各项结果代入原式后再合并化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与零指数幂，二次根式的乘法等知识，熟悉这些知识是解题的关键；依次计算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，最后加减即可． 【详解】解：原式 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键． （1）代入特殊角的三角函数值，计算即可； （2）代入特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型二、与特殊角三角函数值有关的化简求值 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式化简求值，先计算多项式的乘法、括号内的分式的加法，同时将分式的除法转化为乘法，然后再约分化成最简形式，然后根据零指数幂及特殊角的三角函数值将化简，再代入计算即可．掌握相应的运算法则、运算顺序及公式是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，根据零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值的运算法则计算出的值，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，分式的化简求值；特殊角的三角函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先利用分式的除法法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 10．先化简，再求值：，其中，y是一个与最接近的整数． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化等知识点，正确计算是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简为最简分式，再求出，然后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， ； ， ， ∵， ∴与最接近的整数是，即， 原式． 11．先化简：，再求当时此代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再关键特殊角的三角函数值求出x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 12．先化简再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数，分母有理化等知识，先根据分式的运算法则进行化简，然后根据特殊角的三角函数值求出a的值，最后把a代入计算即可． 【详解】解∶ ， ∵， ∴原式． 题型三、根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 13．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 14．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 15．在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 16．在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 17．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 18．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 题型四、根据特殊角的三角函数值求角的度数 19．如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理的知识，掌握以上的知是解答本题的关键；本题根据特殊角的三角函数值求得，，然后根据三角形内角和定理的知识，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵、是的内角， ∴，， 由三角形内角和定理，得， 故选：D． 20．在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 21．在中，，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查特殊角的三角函数、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．先利用特殊角的三角函数值求得、的度数，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 22．已知是锐角，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 23．求锐角： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的锐角三角函数值． （1）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可； （2）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴． 24．已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 题型五、比较三角函数值的大小 25．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 26．已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．首先明确，再根据余弦值是随着角的增大而减小进行分析． 【详解】解：解：∵较接近1，， 又余弦值是随着角的增大而减小， 故越接近的值才对． 故选：C． 27．若，，，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 28．比较下列三角函数值的大小（选填“>”“<”或“=”）： （1） ． （2） ． 【答案】 < > 【分析】本题考查了正余弦的转换方法以及正弦值的变化规律，掌握这些知识点是解题的关键． 首先根据正余弦的转换方法，得，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析； 首先根据正余弦的转换方法，得，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析. 【详解】解：∵，正弦值随着角的增大而增大， 又∵， ∴． ∵，正弦值随着角的增大而增大， 又∵， ∴． 故答案为： 29．已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】利用三角函数的性质，分别分析在时，的正弦值、余弦值和正切值的大小关系. 【详解】解：．理由如下： 又 ∴的值最大； 又 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，解题的关键是理解当与互余时，. 30．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小； （3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”） 若，则___________；若，则__________；若，则__________； （4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）=，＜，>；（4） 【分析】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点，有，．利用正弦公式求得；依据余弦公式得到； （2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小，即可得到答案； （3）利用概念分别得到、、的正弦值和余弦值，比较即可得到答案； （4）由，，利用（1）的结论解答即可． 【详解】（1）在图（1）中，令，于点，于点，于点， 显然有：，． ∵，，， 而． ∴． 在图（2）中，中，， ，，， ∵， ∴． 即． （2）由（1）得，当角度越大时，正弦值越大；当角度越大时，余弦值越小， ∴； ． （3）∵，， ∴若，则； ∵，， ∴若，则； ∵，， ∴若，则． 故答案为：=，<，>； （4）∵，，且， ∴． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法是解题的关键． 题型六、根据三角函数值判断锐角取值范围 31．已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可． 本题考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 【详解】解：，，， ， 故选：B． 32．用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． 33．若为锐角，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解一元一次不等式，根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解，理解锐角的正弦值的范围，从而转化为解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 34．若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 35．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 36．若锐角满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 题型七、利用同角三角函数关系求值 37．下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、同角三角函数的关系．对于A、B选项代入相应的特殊三角函数值即可判定，对于C、D选项根据同角三角函数之间的关系即可判定． 【详解】解：A、，，则，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 38．若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 39．如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为①②③④． 40．已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 41．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 42．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 题型八、互余两角三角函数的关系 43．已知是的三个内角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的内角和得到，从而得到． 【详解】解：，， ． 故选：A. 【点睛】本题考查了互余的两角三角函数的关系，解题的关键是了解互余的两角之间的关系． 44．在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 45．已知，则值为 ． 【答案】/ 【分析】根据公式解答即可． 本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在直角三角形中， 由， 故， 故答案为：． 46．已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了互为余角的三角函数关系，解题的关键是熟练掌握一个锐角的正弦等于它余角的正弦，一个锐角的余弦等于它余角的正弦. 根据互为余角的三角函数关系，将转化为将转化为再代入已知数值求解. 【详解】解：． 又，． 故答案为： 47．(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 【答案】(1) ,,,,,； (2) ；； (3) . 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据特殊角的锐角三角函数值进行求解. （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算； （2）根据（1）发现的规律进行填写； （3）利用前两问发现的一般规律，对该式子进行求解即可. 【详解】（1）； ； ； ； ； ； 故答案为：，，，，，. （2）; 故答案为：；. （3）原式 故答案为：. 48．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【答案】（1）a，b，a，b，1，1；（2） 【分析】本题主要考查直角三角形中正切的定义（对边与邻边的比值），以及通过计算归纳出互余锐角的正切值关系（乘积为1），解决问题的关键是熟练掌握正切函数的定义. 【详解】（1）解：在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1． 故答案为： （2）解：已知，则_______． 互余的两个锐角的正切值的乘积为1， 故答案为： 题型九、三角函数计算综合 49．已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，由于关于x的方程有两个相等的实根，所以判别式，解可得，即；又已知，可得，故．根据这两个条件可以判断的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实根， ∴， 化简，得， 即． ∴； 又∵， ∴， 故， ∴， 所以的形状为等腰直角三角形． 故选：D． 50．如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 51．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 52．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可； （2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可； （3）根据角是钝角，且点是角终边上一点，得出点在第二象限，过点P作轴于点，根据三角函数定义得出，求出，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图1， ， 点在第四象限， ，， ， ，，， 、、中的正值是， 故答案为：． （2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合， 点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点． 如图2，点在第一象限，则，， ， ； 如图3，点在第三象限，则，， ， ； 综上所述，的值为或． （3）解：如图4， 角是钝角，且点是角终边上一点， 点在第二象限， 作轴于点， ，且， ， 解得：， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、三角函数的定义，两点间距离公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 53．如图1，在矩形 中 ，，点M 在线段上，连接．将线段绕点A 逆时针旋转α（）得到线段．线段绕点A 逆时针旋转α得到线段， 连接并延长交于点F，连接． (1)连接， 当时． ①求证：； ②若点M 在线段上，猜想的数量关系为 ；若点M 在线段 上，猜想的数量关系，并证明； ③若，求的面积； (2)如图2，若， 的面积为，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②；；证明见解析；③ (2)5或 【分析】（1）① 根据旋转的性质，等式的性质，边角边全等原理证明即可； ②根据矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质； ③过点E 作交 于点I,过点N 作交于点H,交 的延长线于点G,利用等边三角形的性质，三角函数，解答即可． （2）过点E 作交 于点P,过点N 作交于点R,交 的延长线于点Q,利用三角函数，四点共圆，矩形的性质，分类计算即可． 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数是解题的关键． 【详解】（1）①证明：∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段． ∴, ∴， ∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段， ∴, ∴, ∴， 在和中 ∴; ②解：点M 在线段上时，； ∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段， ∴, ∴是等边三角形， ∴, ∵矩形， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 若点M 在线段 上时，， 证明如下：如解图①,由①可知，, ∴, ∴, ∵线段绕点A 逆时针旋转α得到线段, ∴, ∴为等边三角形， ∴, ∴ ∴, ∴; 故答案为：； ③解：如解图②,过点E 作交 于点I,过点N 作交于点H,交 的延长线于点G, 由②得为等边三角形，, ∵, , , 由四边形是矩形， ∴ ∴, 在中， ∵, ． （2）解：如图，过点E 作交 于点I,过点N 作交于点H,交 的延长线于点G, ∵的面积为， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 由四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点A，B，F，E四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（1）得； 如图，过点E 作交 于点P,过点N 作交于点R,交 的延长线于点Q, ∵的面积为， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 由四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点A，B，F，E四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（1）得； 综上所述，线段BM 的长为5或． 54．如下图，在中，为边上的中线． (1)求的长和的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点． （1）根据，求出线段的长度，在Rt中由勾股定理即可求出的值，再在Rt中由勾股定理求出的长，利用锐角三角函数的定义即可求出的值； （2）解法一：连接，过F作的垂线，垂足为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，由勾股定理可得，，即可求．解法二：直接用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）， ， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ． （2）解：如图，连接，过点作的垂线，垂足为． 为边上的中线， 为的中点， 为等腰三角形， 又， 在中，， 一题多解法（2）如图，过点作的垂线，垂足为． 为边上的中线， 为的中点， 是的中位线， ， 在中，. 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查学生对特殊的三角函数值以及三角形的内角和的掌握，由，，且，知，；接下来由特殊的三角函数值得出，，至此利用三角形内角和定理即可得出答案，关键是求出与的值． 【详解】解：，，且， ，， ，， ，， ． 故选：C． 3．（2024·河北石家庄·二模）如图1，在中，，动点P从点A开始出发向点C运动，连接，设，，如图2是y关于x的函数图象，点Q是函数图象上的最低点．观察图象，对于以下结论：①，；②；③当是直角三角形时，x的值为7；④当时，是钝角三角形．其中正确的是（    ）      A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，含30度直角三角形的性质，从函数图像获取相关信息是解题的关键． 观察图像即可判断①；作于D，由图像知当时，最短，则可求得，再由①的结论求得，，进而可判断②；作交于E，由，则得，，因而可求得，当点P与点E重合时，，此时；当点P与点D重合时，，此时，由此可判断③；由③的计算过程可知，当点P在线段（不含端点）上运动时，即当时，为钝角三角形，故可判断④，最后可确定答案． 【详解】由图得时，，此时P点运动到了C点． ，，故①正确； 作于D，如图，   点P运动到D点时，最短，即， ， 在中，，， ， ， ， ， ，故②不正确； 如图，作交于E， ， ，， 在中，， ， 当点P与点E重合时，，此时， 当点P与点D重合时，，此时， 当是直角三角形时，x的值为1或7，故③不正确； 由上述③的计算过程可知，当点P在线段（不含端点）上运动时， 即当时，为钝角三角形，故④正确． 综上，正确的是①④． 故选C． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的运算，代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 5．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系，根据特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 6．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图是用个相似的直角三角形（）组成的图案，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，特殊角的三角函数值，求出直角三角形中较小的锐角为是解答关键． 根据题意先求出直角三角形中较小的锐角为，再利用直角三角形的性质求出，进而得到每个直角三角的所对的直角边与斜边的比，最后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：因为图中有个直角三角形都相似， 所以直角三角形中较小的锐角都相等， 所以， 即直角三角形中较小的锐角为． 在中 ， ， 同理可得 ，，，， ， ． ， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，点，点C是一点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．根据点和点的坐标，得到和的长度，根据角相等得到正切值相等，再得到长度即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：3． 8．（24-25九年级上·河北沧州·期中）求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值． （1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25九年级上·河北保定·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算、零指数幂，根据特殊角的三角函数并结合零指数幂计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 10．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键． （1）直接把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （1）直接把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）（1）解方程： （2）小明的一道错题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ （I）错误步骤：_________；（填最先出错的步骤序号即可） （II）写出正确解答步骤． 【答案】（1）， （2）（I）①；（II）过程见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）（I）根据计算过程即可得解；（II）根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）（I）由计算过程可得：错误步骤：①； （II） ． 12．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）（1）计算：； （2）如图，在中，，，，求的值．    【答案】（1）2；（2）． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、勾股定理、正弦的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案； （2）先由勾股定理求出的长，再由正弦的定义计算即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵在中，，，， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形的计算题（9大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、特殊角三角函数值的混合运算 1 题型二、与特殊角三角函数值有关的化简求值 2 题型三、根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 3 题型四、根据特殊角的三角函数值求角的度数 5 题型五、比较三角函数值的大小 6 题型六、根据三角函数值判断锐角取值范围 8 题型七、利用同角三角函数关系求值 8 题型八、互余两角三角函数的关系 8 题型九、三角函数计算综合 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、特殊角三角函数值的混合运算 1．计算：． 2．计算：． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算：． 5．计算：． 6．计算： (1) (2) 题型二、与特殊角三角函数值有关的化简求值 7．先化简，再求值：，其中． 8．先化简，再求值：，其中． 9．先化简，再求值：，其中． 10．先化简，再求值：，其中，y是一个与最接近的整数． 11．先化简：，再求当时此代数式的值． 12．先化简再求值，其中． 题型三、根据特殊角的三角函数值判断三角形形状 13．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 14．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 15．在中，满足：，则的形状为 ． 16．在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 17．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 18．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 题型四、根据特殊角的三角函数值求角的度数 19．如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 20．在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 21．在中，，，则的度数是 ． 22．已知是锐角，若，则的值为 ． 23．求锐角： (1)； (2)． 24．已知是锐角，且． 求的值． 题型五、比较三角函数值的大小 25．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 26．已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 27．若，，，则由小到大的顺序为 ． 28．比较下列三角函数值的大小（选填“>”“<”或“=”）： （1） ． （2） ． 29．已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 30．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小； （3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”） 若，则___________；若，则__________；若，则__________； （4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 题型六、根据三角函数值判断锐角取值范围 31．已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 33．若为锐角，且，则的取值范围是 ． 34．若是锐角，，则应满足 ． 35．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 36．若锐角满足，则的取值范围是 ． 题型七、利用同角三角函数关系求值 37．下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 38．若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 39．如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 40．已知中，，，则的值为 ． 41．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 42．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 题型八、互余两角三角函数的关系 43．已知是的三个内角，则等于（    ） A． B． C． D． 44．在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 45．已知，则值为 ． 46．已知为锐角，且，则 ． 47．(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 48．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 题型九、三角函数计算综合 49．已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 50．如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 51．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 52．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 53．如图1，在矩形 中 ，，点M 在线段上，连接．将线段绕点A 逆时针旋转α（）得到线段．线段绕点A 逆时针旋转α得到线段， 连接并延长交于点F，连接． (1)连接， 当时． ①求证：； ②若点M 在线段上，猜想的数量关系为 ；若点M 在线段 上，猜想的数量关系，并证明； ③若，求的面积； (2)如图2，若， 的面积为，请直接写出线段的长． 54．如下图，在中，为边上的中线． (1)求的长和的值． (2)求的值． 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北石家庄·二模）如图1，在中，，动点P从点A开始出发向点C运动，连接，设，，如图2是y关于x的函数图象，点Q是函数图象上的最低点．观察图象，对于以下结论：①，；②；③当是直角三角形时，x的值为7；④当时，是钝角三角形．其中正确的是（    ）      A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）计算： ． 5．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）计算： ． 6．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图是用个相似的直角三角形（）组成的图案，若，则 ． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，点，点C是一点，若，则 ． 8．（24-25九年级上·河北沧州·期中）求下列各式的值： (1) (2)． 9．（24-25九年级上·河北保定·期末）计算：． 10．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）求下列各式的值： (1) (2) 11．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）（1）解方程： （2）小明的一道错题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ （I）错误步骤：_________；（填最先出错的步骤序号即可） （II）写出正确解答步骤． 12．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）（1）计算：； （2）如图，在中，，，，求的值．    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $