精品解析：陕西省洛南中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

陕西省洛南中学2025-2026学年高二上学期12月月考 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定数列前4项，利用观察法求出通项公式. 【详解】依题意， 由此得. 故选：B 2. 已知， ，且，则的值为（ ） A. B. 5 C. －6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示计算即可． 【详解】因为， ，且， 所以，解得． 故选：A． 3. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案. 【详解】因为随机事件和相互独立，且， 所以. 故选：D. 4. 直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因两条直线平行，得的最小值就是两条平行线间的距离可得. 【详解】由直线：与：，，所以. 所以的最小值就是两条平行线间的距离，. 故选：C. 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求. 【详解】如图，设动圆的圆心为，半径为， 由题意得圆：，圆：， 则，，， 所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）. 故选：C. 6. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得出，可求得，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】由已知可得，则，，则， 由余弦定理可得. 故选：D. 8. 上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（ ） A. 7.5 B. 8.5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可． 【详解】以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得，解得， ∴圆． 当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求出数列通项判断A,B,C，再结合二次函数的对称性判断D. 【详解】A选项，当时，，又， 所以，因为，则是递减数列，故A错误； B选项，由可得，故B正确； C选项，令，解得，故C正确； D选项，因为的对称轴为，开口向下，又，所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以， 所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当时, ，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误. 故选：ABC. 11. 已知对任意，不等式恒成立，则实数m的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】先分析不等式的几何意义得出不等式表示点到直线的距离大于等于3，再利用直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式构造不等式求出的取值范围，进而判断选项． 【详解】 把不等式转化为点到直线的距离问题，设点， ，令，两边同平方化简得，是上的点， 则表示点到直线的距离大于等于3， 直线在轴的截距为，在半圆上方，则圆上点到直线的最小距离为原点到直线的距离减去半径， ， 最小距离为， 不等式恒成立， ，即，解得， ，，故选项BC正确． 故选：BC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，，三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】三点共线可得到与共线，利用向量共线定理即可求出答案. 【详解】，， 若，，三点共线，则向量与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得， 故答案为：. 13. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 14. 椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系列出点的坐标，然后根据共线向量得到的关系式，进而可求出椭圆的离心率. 【详解】设，，过点作轴，因为垂直于轴， 将代入椭圆方程，得，所以， 又因为，所以，， 所以，，即，代入椭圆方程得， 即，因为，所以，. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 ∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 16. 已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为． （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意写出点横坐标代入抛物线方程，求出三角形高，利用三角形求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在讨论，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，利用点差法求出斜率即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，点F的坐标为， 因为，所以点P的横坐标为，不妨设， 将点P坐标代入得， 所以的面积，解得， 所以C的方程是. 【小问2详解】 当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，点(1,1)显然不在x轴上，不合题意. 当直线AB的斜率存在时，不妨设直线AB的斜率为k ，， 则，两式相减得， 因为点(1,1)是线段AB的中点，所以， 所以 所以直线的方程为，即. 17. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案； （2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解. 【小问1详解】 由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得， 故圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 圆心到直线的距离， 因为，所以， 在直角中，，即， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 18. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解； （3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，， 设平面的一个法向量， 则即，解得，，所以， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）得，， 设平面的一个法向量，则即 令，解得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 . 19. 已知椭圆的右焦点为，椭圆上一动点到的距离的取值范围为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交椭圆于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交椭圆于，两点. ①求证：； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②3 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦半径的取值范围列方程组可解得，从而可求得. （2）①由（1）可得直线的方程，设，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得线段的中点的坐标，从而可知直线的方程，点的坐标，直线的斜率，由斜率之积为可判断直线与直线垂直； ②由弦长公式可求得，同理得，从而可将四边形的面积表示为关于的函数，根据基本不等式可求得最小值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知点，则直线的方程为， 如图，设， 由消去得， 则， ， 则， 所以线段的中点为， 所以直线的斜率， 则直线交直线于点， 因此直线的斜率，即， 则直线与直线垂直， 所以. ② 由①知， ， 直线的方程为， 同理得， 因此四边形的面积， 而， 当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省洛南中学2025-2026学年高二上学期12月月考 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知， ，且，则的值为（ ） A. B. 5 C. －6 D. 10 3. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 4. 直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 6. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（ ） A. 7.5 B. 8.5 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 11. 已知对任意，不等式恒成立，则实数m的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，，三点共线，则______. 13. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 14. 椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 16. 已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为． （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程． 17. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 18. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的右焦点为，椭圆上一动点到的距离的取值范围为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交椭圆于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交椭圆于，两点. ①求证：； ②求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $