专题12 角度相关压轴解答题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期湘教版2024

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题12角度相关压轴解答题分类训练 (6种类型48道) 考点归纳 考点01探究角的数量关系 考点02三角板相关旋转问题 考点03角相关存在性问题 考点04求运动时间 考点05定值问题 考点06线段和角的知识迁移 考点专练 考点01探究角的数量关系 1.如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠B0C的平分线. A B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠A0B是直角，∠B0C=60°时，求∠M0N的度数是多少？ (2)如图2，当∠A0B=a,∠B0C=60°时，尝试发现∠MON与a的数量关系. 3)如图3，当∠A0B=a,∠BOC=B时，猜想：∠MON与a、B有数量关系吗？直接写出结论即可. 2.已知O为直线AB上的一点，∠C0E是直角，OF平分∠AOE. D —B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠C0F=34°，则∠B0E= ;若∠C0F=m°，则∠BOE=;LBOE与∠COF的 1/22 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 数量关系为 (2)在图2中，若∠C0F=75°，在∠B0E的内部是否存在一条射线0D,使得2LB0D与∠A0F的和等于 BOE与∠BOD的差的三分之一？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，(1)中∠B0E与∠C0F的数量关系是否仍然成立？请 说明理由，若不成立，求出∠BOE与∠COF的数量关系 3.【问题探究】(1)已知点0是直线AB上一点，∠C0D=90°，射线OE平分∠B0C. E D B E 图1 图2 图3 ①如图1，当射线0C,0D均在直线AB上方时，若LA0C=30°，求∠DOE的度数 ②如图2，当射线0C在直线AB上方，射线0D在直线AB下方时，若LAOC=a,求LDOE的度数；（用 含a的代数式表示) 【问题解决】(2)如图3，机器人机械臂的关节点O固定在末端执行器AB上，左上臂OD与左下臂OC的 夹角为∠C0D,机械臂运动时，左上臂0D与左下臂0C的夹角始终为90°（即∠COD=90°），右下臂OE与 左下臂OC和末端执行器中OB所成的夹角始终相等（即射线OE平分∠BOC).在机械臂运动过程中，末 端执行器中OA与左下臂OC的夹角的度数和左上臂0D与右下臂OE的夹角的度数存在怎样的数量关系？ (即判断∠AOC与∠DOE间的数量关系)，请说明理由， 4.点O是直线AB上一点，LC0D=90°，OE平分∠B0C. B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A0C=30°，则∠B0D= °，∠D0E= (2)将图1中的∠C0D绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若LA0C=a，,求D0E的 度数（用含α的代数式表示）： (3)将图1中的∠C0D绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出∠A0C与∠D0E 之间的数量关系。 5.如图，OB是∠AOD的平分线，OC是∠BOD的平分线，LAOD与∠BOC有怎样的数量关系？ 2/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.如图，∠A0B=90°，OB是∠C0D的平分线，OE为CO的延长线， (1)当∠A0C=50°时，求∠D0E的度数 (2)当∠D0E=140°时，求∠A0C的度数 (3)通过(1)(2)的计算，直接写出∠A0C和∠D0E之间的数量关系 7.如图，O为直线AB上一点，∠M0N=90°，OE是∠M0B的平分线，设∠AOM=a,∠EON=B. E M A B (1)若a=36°，求LE0N的度数； (2)求a和B的数量关系， 8.如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作LA0B=90°，且OA,OB位于直线CE两侧，OB平分 ∠COD. A B D E (1)当∠A0C=60°时，求∠D0E的度数； (2)请你猜想∠AOC和∠D0E的数量关系，并说明理由. 考点02三角板相关旋转问题 9.将一副直角三角板按如图①摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON,∠OBC=90°， ∠B0C=45°，∠M0N=90°，∠MN0=30°)，保持三角板OBC不动，将三角板M0N绕点0以每秒10°的 速度顺时针旋转s. 3/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N A BM O D D 图① 图② M N A B A 0 D 图③ 备用图 (1)如图②，当t=s时，0M平分∠AOC,此时LN0C-LA0M=一 (2)继续旋转三角板M0N,使得OM,ON同时在直线0C的右侧，如图③，试猜想∠N0C与∠AOM之间的 数量关系，并说明理由； (3)直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的 速度顺时针旋转，当OM旋转至射线0D上时，两个三角板同时停止运动. ①当t=时，LM0C=15°； ②请直接写出在旋转过程中∠NOC与∠AOM之间的数量关系， 10.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线0C,使∠A0C=50°.将一直角三角板的直角顶点放 在点O处，边OM在射线OB上，边ON在直线AB的下方. C M -B 图1 图2 图3 (1)将图1中的三角板绕点O旋转至图2的位置，使边0M在∠B0C的内部，若0M恰好平分∠BOC,则 ∠COM=_,∠BON=; (2)将图1中的三角板绕点O旋转，使边OM在∠B0C的内部，试探究∠C0M与∠B0N之间的数量关系； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转一周.在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平 分锐角∠AOC,则t的值为· 11.如图1，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使∠A0C:∠B0C=2:1,将一直角三角板的直角 顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方. 4/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O A -B 图1M 图2 M 图3 备用图 (1)在图1中，∠A0C= °，∠MOC= (2)将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得0M落在射线OA上，此时∠C0N= (3)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得0M在∠B0C的内部，则 ∠B0N-LC0M=_°； (4)上述三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，观察三角板0M边的运动情况.若OM绕点O按每秒钟 15°的速度旋转，当OM恰好为∠BOC的平分线时，此时，OM绕点O运动时间为秒，并说明理由. 12.新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半， 那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角 如图1，若射线0C、0D在∠A0B的内部，且∠C0D=)∠A0B,则∠C0D是∠A0B的内半角. 根据以上信息，解决下面的问题： A 一D D B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，己知∠A0B=70°，∠A0C=25°，若∠C0D是∠A0B的内半角，则∠B0D=-°： (2)如图2，已知∠A0B=60°，将∠A0B绕点O按顺时针方向旋转一个角度a(0<a<60°)至LC0D.若 ∠COB是∠AOD的内半角，求a的值； (3)把一块含有30°角的三角板C0D按图3方式放置.使0C边与OA边重合，0D边与OB边重合，如图4， 将三角板COD绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、0C 、OD构成内半角时，直接写出t的值 13.如图1，先画出直线EF,然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠A0B)的顶点与60°角 5/22 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (∠COD)的顶点重合，且边OA,OC都在直线EF上. 图1 图2 图3 E 备用图 (1)∠B0D=度； (2)如图2，固定三角板C0D不动，将三角板A0B绕点0按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB第一次落 在射线OF上时停止 ①当OB平分∠EOD时，求旋转角a的度数； ②如图3，当OB运动到∠COD内部时，∠BOD+LAOC是定值，求这个定值； ③当∠B0C=2LA0D时，直接写出旋转角a的度数为- 14.将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板M0N,∠0BC=90°， ∠B0C=45°，∠M0N=90°，∠MN0=30°)，保持三角板0BC不动，将三角板M0N绕点O以每秒6°的速 度顺时针方向旋转t秒， A BM O DA B 0 D 图1 图2 图3 备用图 (1)如图2，当t=_秒时，OM平分∠AOC,此时∠N0C-∠A0M=-: (2)继续旋转三角板M0N,如图3，使得oM、ON同时在直线0C的右侧，猜想∠NOC与∠AOM有怎样的 数量关系？并说明理由（数量关系中不能含）： (3)直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒2°的 速度顺时针旋转，当OM旋转至射线0D上时，两个三角板同时停止运动. ①当t=_秒时，∠M0C=15°； ②请直接写出在旋转过程中，∠N0C与∠AOM的数量关系（数量关系中不能含t). 6/22 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15.如图1，点0是直线AB上一点，将一个直角三角形板（∠M0N=90)如图1放置，使其中一条直角边 ON在直线AB上，射线OC在∠BOM内部. B 图1 图2 图3 (1)如图2，将三角板绕点0逆时针旋转，当∠B0N=∠C0N时，请判断OM是否平分∠AOC,并说明理由； (2)若∠B0C=40°，将三角板绕点0逆时针旋转，每秒旋转1°， ①多少秒时∠AOM=∠C0M? ②如图3，当ON在∠AOC内部，另一边OM在直线AB的另一侧，请探索∠AOM与∠CON的数量关系， 并说明理由 16.【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边OA,0C在直线EF上，其中∠A0B=45°，∠C0D=60°. ① (1) 填空：∠B0D=-°； (2)如图②，三角板C0D固定不动，将三角板A0B绕点O以每秒4的速度顺时针开始旋转，在转动过程 中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角板AOB运动时间为t秒. ①当t=2时，∠B0E=-°； ②当t为何值时，∠B0E=2LBOD? 【拓展延伸】 (3)如图③，在(2)的条件下，若OM平分∠B0E,ON平分∠AOD.请问在三角板AOB旋转的过程中， ∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出∠MON的度数. 考点03角相关存在性问题 17.问题提出 如图，点O为直线EF上一点，将一副直角三角尺按图中方式放在点O处，使边OA,OC落在直线EF上， ∠A0B=45°，∠C0D=30°. 7/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，∠B0C的度数为 问题探究 (2)如图2，三角尺C0D固定不动，将三角尺A0B绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，在旋转过程中， 两块三角板都在直线EF的上方，设运动时间为t秒.t为何值时，OB平分∠AOD. 问题解决 (3)如图3，若在三角尺A0B开始绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转的同时，三角尺C0D也绕点O以每 秒10°的速度逆时针旋转，三角尺AOB和三角尺COD始终在直线EF的上方.在旋转过程中，是否存在某 时刻使2∠AOD=3∠B0C?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. R E F 图3 备用图 18.小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处.例如，线段有中点，角有平分线；线 段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以.他尝试运用“类比” 的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题 B 图① 图② 图③ 备用图 (1)问题类比 ①如图①，己知线段AB=24,点P从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，运动时 间为t秒(0<1≤12)，若点Q是PB的中点，则AQ= (用含t的代数式表示)： ②如图②，己知∠A0B=120°，射线OP从OA位置开始绕点0以每秒6°的速度顺时针向OB方向旋转，运 动时间为t秒(0<1≤20)，若射线00平分∠P0B,则∠AOQ= (用含t的代数式表示)： (2问题解决 如图③，已知∠A0B=160°，0C平分∠A0B.若射线OP从OA位置绕点0以每秒8°的速度顺时针向OB方 向旋转，同时射线OQ从OB位置绕点O以每秒5°的速度逆时针向OA方向旋转，当OP旋转至OB时，OP、 O0均停止转动.设运动时间为t秒1>0). 8/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①在旋转过程中，是否存在某一时刻t,使得∠POC=∠QOC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由， ②若在旋转过程中，OP到达OB后立即以原速度逆时针向OA方向旋转，OQ到达OA后立即以原速度顺时 针向OB方向旋转，当OP旋转至OA时，OP、O0均停止转动.是否存在某一时刻，使得∠POQ=∠BOC? 若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由. 19.如图1，将一副三角板中一块含有60°角的三角板的顶点和另一块含45°角的三角板的顶点重合于一点O ,将含有60°角的三角板绕点O按顺时针方向旋转为如图2所示的情况(OB在∠C0D内部)，请回答问题： C D 图1 图2 (1)图1中∠A0D的度数为-· (2)在旋转过程中，当OB平分∠COD时，求∠A0D的度数. (3)是否存在某一时刻，满足∠A0C=3∠B0D?若存在，求出此时∠AOD的度数；若不存在，请说明理由. 20.如图，∠A0B=120°，射线0C在平面内 B A 备选图 (1)若∠A0C与∠B0C互补，则∠B0C-: (2)射线0C在直线OA的上方时，射线OA的反向延长线与射线0C形成的夹角是a(0°<a<180°)，OM平 分∠AOC. ①若∠B0C=90°，求∠M0B的度数为-： ②是否存在c的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出a;若不存在，请说明理由. 21.(1)探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①135°，②125°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是一·（填序号) (2)在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF, 然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB)的顶点与60°角（∠C0D)的顶点互相重合，且边 OA、OC都在直线EF上，固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当 边OB与射线OF第一次重合时停止. 9/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1) (2) ①当OB平分LEOD时，求旋转角度a; ②是否存在∠B0C=2∠A0D?若存在，直接写出旋转角度α；若不存在，请说明理由. 22.如图1，在同一条直线上依次有A,O,B三点，∠B0C=40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处， 其中∠D0E=90°，∠ED0=60° X D B B B B 图1 图2 备用图1 备用图2 (1)将三角板DOE绕点O旋转到图2的位置，OD在∠BOC的内部，∠E0C,∠BOD有怎样的数量关系？ 请写出来，并说明理由； (2)若将三角板DOE绕点O转动，直角三角板DOE所有部分始终保持在直线AB上或上方.若 ∠C0D-写A0E,求∠B0D的度数： (3)若将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，射线OE,0C, OB中的一条射线，是否可以成为另两条射线组成的夹角的平分线？若存在，直接写出t的值；若不存在， 请说明理由 23.【知识技能】 (1)如1图，把一副三角尺拼接在一起，其中0A,0C与直线EF重合，∠A0B=45°，∠C0D=60°，则 ∠BOD的度数为 【数学理解】 (2)如2图，三角尺C0D固定不动，将三角尺A0B绕着点0以每秒4°的速度按顺时针方向旋转.在旋转 过程中，两块三角尺都在直线EF的上方.设三角尺AOB的旋转时间为t秒，在旋转过程中，当OB平分 ∠AOD时，求出时间t的值： 【深入探究】 (3)如3图，若三角尺AOB绕着点0以每秒4°的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺COD同时也绕着 点O以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两块三角尺都在直线EF的上方.当三角尺AOB停 止旋转时，三角尺COD也停止旋转.设三角尺AOB的旋转时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻 10/22 专题12 角度相关压轴解答题分类训练 （6种类型48道） 考点01 探究角的数量关系 考点02 三角板相关旋转问题 考点03 角相关存在性问题 考点04 求运动时间 考点05 定值问题 考点06 线段和角的知识迁移 考点01 探究角的数量关系 1．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，与的大小无关 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线是解题的关键． （1）根据题意求出度数，根据角平分线求出和的度数，由求出即可； （2）与（1）同理，求出、和的关系，用表示； （3）与（1）同理，求出、和的关系，用、表示． 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ； （2）解：，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , , 即； （3）解：，与的大小无关，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ， 即． 2．已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）由直角三角形的性质求得的度数，再平分，求得的度数，从而求得的度数；若，则，由角平分线的定义求得，从而求得的度数，进而求得； （2）由，，求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再由平角的定义求得的度数，再代入求解即可； （3）设，则，，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 即． 3．【问题探究】（1）已知点是直线上一点，，射线平分． ①如图1，当射线，均在直线上方时，若，求的度数； ②如图2，当射线在直线上方，射线在直线下方时，若，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题解决】（2）如图3，机器人机械臂的关节点固定在末端执行器上，左上臂与左下臂的夹角为，机械臂运动时，左上臂与左下臂的夹角始终为（即），右下臂与左下臂和末端执行器中所成的夹角始终相等（即射线平分）．在机械臂运动过程中，末端执行器中与左下臂的夹角的度数和左上臂与右下臂的夹角的度数存在怎样的数量关系？（即判断与间的数量关系），请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的计算以及角的和差，熟练掌握以上知识，学会用类比的方法解决问题是解题的关键． （1）①先根据平角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据即可求出的度数． ②先根据平角的定义将用含有的式子表示出来，再根据角平分线的定义将用含有的式子表示出来，再根据即可将用含有的式子表示出来． （2）先根据平角的定义得出与的关系，再根据角平分线的定义得出与的关系，再根据，再进一步可得结论． 【详解】解：（1）①因为， 所以， 所以． 因为射线平分， 所以， 所以． ②因为点是直线上的一点，， 所以． 因为射线平分， 所以， 因为， 所以． （2）和之间的数量关系为．理由如下： 设，则， 因为射线平分， 所以， 因为， 所以． 所以， 即． 4．点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，15 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查角的计算与角平分线的性质，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）用含的式子表示，结合角平分线和直角定义求； （3）设为，同（2）通过角的关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：∵点是直线上的一点，是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，15； （2）解：∵点是直线上的一点，， ， ∵平分， ， ∵是直角， ， ； （3）解：和之间的数量关系为，理由如下： 设， ∵点是直线上的一点， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴， 即． 5．如图，OB是的平分线，OC是的平分线，与有怎样的数量关系？ 【答案】 【分析】设，由题意可得，，则与的数量关系可一目了然． 【详解】解：设， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，用含有一个字母的代数式表示出两个角度，观察两个代数式之间的数量关系即可得出两个角度之间的数量关系． 6．如图，，是的平分线，为的延长线． (1)当时，求的度数 (2)当时，求的度数 (3)通过（1）（2）的计算，直接写出和之间的数量关系 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由，可求得，再由角平分线可得，从而可求的度数； （2）由，可得，由角平分线可得，从而可求的度数； （3）根据（1）（2）进行总结即可． 【详解】（1）解：，当， ， 是的平分线， ， 为的延长线， ； （2）解：，是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ； （3）由（1）（2）得：， 故和之间的数量关系是：． 证明：设， ， ， 是的平分线， ， 为的延长线， ； ∴． 7．如图，为直线上一点，，是的平分线，设，． (1)若，求的度数； (2)求和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的相关概念及应用： （1）先求出，再求出，最后根据即可求出； （2）根据已知条件即可列出等量关系，化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ∵， ； （2）解：由题意可知， 即， ， ， 即． 8．如图，O是直线上一点，以O为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 考点02 三角板相关旋转问题 9．将一副直角三角板按如图①摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转． (1)如图②，当____时，平分，此时____． (2)继续旋转三角板，使得，同时在直线的右侧，如图③，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当____时，； ②请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 (3)①或12；② 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系、用代数式表示旋转过程中的角是解题的关键． （1）先由角平分线定义求出的度数，结合旋转速度算时间；再利用，通过角的和差求． （2）用表示和，通过角的差得到，再推导其与的数量关系． （3）①用表示和，结合列绝对值方程求解；②用表示旋的角度和，推导数量关系即可． 【详解】（1）解：∵，且平分， ， ∵三角板的旋转速度是每秒， ， 又∵，， ； （2）解：，理由如下： 由旋转可知，且， ， 又∵， ； （3）解：①由旋转可知，，且， ， ∵， ∴， ，即， 当时， 解得； 当时， 解得． ∴当或12时，； ②由旋转可知，，，， ∴转动的角度为，， ， 又∵，即， ． 10．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O旋转至图2的位置，使边在的内部，若恰好平分，则______，______； (2)将图1中的三角板绕点O旋转，使边在的内部，试探究与之间的数量关系； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______． 【答案】(1)； (2)或 (3)23或59 【分析】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的定义． （1）由邻补角的定义与角平分线的定义可得答案． （2）分两种情况讨论：当在的外部时，当在的内部时，再结合角的和差运算可得答案． （3）解：分两种情况讨论：①如图，当平分时，②如图，当的反向延长线平分时，再分别画示意图，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 分两种情况讨论： 当在的外部时， ∴． ∵，， ∴； 当在的内部时， ∴， ∴． 综上所述，与之间的数量关系为或． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当平分时， ， ∴旋转的角度是：， ∴； ②如图，当的反向延长线平分时， ， ∴， ∴旋转的角度是：， ∴． 综上所述，t的值为23或59． 11．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______； (2)将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则______； (4)上述三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，观察三角板边的运动情况．若绕点O按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，绕点O运动时间为______秒，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键． （1）根据，，即可求得和的度数； （2）根据题意，利用，即可解答； （3）表示出，，作差即可； （4）分类讨论，即当绕点O顺时针旋转时或当绕点O逆时针旋转时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：；； （2）解：在图2中，， ， 故答案为：； （3）解：在图3中，， ， ， 故答案为：； （4）解：或，理由如下： 如图， ， 当恰好为的平分线时，， ， 当绕点O顺时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 当绕点O逆时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 故答案为：或． 12．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图1，若射线、在的内部，且，则是的内半角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，已知，，若是的内半角，则 ； (2)如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至．若是的内半角，求α的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或30或90或 【分析】本题主要考查角的相关计算： （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：， ∴α的值为； （3）解：①如图4所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ②如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ③如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ④如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30或90或． 13．如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据图形中角的和差关系进行计算即可； （2）①根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； ②根据图形中角的和差关系进行计算即可； ③分两种情况，当在内部时，当在内部时，利用角的和差表示出和，然后根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①当平分时， ∴， ∴， 即旋转角； ②如图3，，理由如下： ； ③如图2，当在内部或与重合时，即， 由题意得，， ， 当时， 即， 解得． 如图3，当在内部与重合时，即， ， ， 当时， 即， 解得， 故答案为：或． 14．将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数， （1）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到， （2）根据题意得，求得，即可得到结论； （3）①根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）解：①∵，， ∴ ∴或， 解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴， ∴． 15．如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 16．【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中． （1） 填空： ； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】（1）75；（2）①；②；（3）不变， 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得；（2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）根据角平分线定义得，，代入计算即得 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：75； （2）①当时，， 故答案为：69； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）的度数不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ， ∴的度数不会发生变化，它的度数为． 考点03 角相关存在性问题 17．问题提出 如图，点O为直线上一点，将一副直角三角尺按图中方式放在点O处，使边，落在直线上，，． （1）如图1，的度数为______． 问题探究 （2）如图2，三角尺固定不动，将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，两块三角板都在直线的上方．设运动时间为t秒．t为何值时，平分． 问题解决 （3）如图3，若在三角尺开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，三角尺和三角尺始终在直线的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（3）7或9.4 【分析】本题主要考查邻补角的定义、角平分线的性质和旋转过程中角度的和差关系，解题的关键是熟悉角度和差关系，并应用动态的思想解决问题． （1）利用邻补角的定义求解即可． （2）根据角平分线的定义，再得出旋转角，再除以转动速度即可； （3）当在左侧时，在旋转过程中，和；当在右侧时，在旋转过程中，和 ，根据题意分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知：点O，A，C三点共线，且， ∴ （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴（秒）； （3）存在，理由是： 当在左侧时， 在旋转过程中，， ， 当， ∴， 解得：； 当在右侧时， 在旋转过程中， ， ， ， ， 综上：的值为7秒或9.4秒． 18．小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处．例如，线段有中点，角有平分线；线段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以．他尝试运用“类比”的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题． (1)问题类比 ①如图①，已知线段，点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒，若点是的中点，则___________（用含的代数式表示）； ②如图②，已知，射线从位置开始绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，运动时间为秒，若射线平分，则___________（用含的代数式表示）； (2)问题解决 如图③，已知，平分．若射线从位置绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．设运动时间为秒． ①在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ②若在旋转过程中，到达后立即以原速度逆时针向方向旋转，到达后立即以原速度顺时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．是否存在某一时刻，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①； (2)①；②或或 【分析】本题考查线段和差，几何图形中的角度计算，一元一次方程； （1）①根据题意得，，，再结合中点得到，即可求出； ②根据题意得，，，由角平分线得到，即可求出； （2）①由角平分线得，根据题意得，，当射线与重合时，，根据列方程求解；再根据与不重合时，根据列方程求解即可； ②先求出与两次次相遇时间，当到达时间，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时间；当到达时间，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时间；再根据这些时间段分别画出图形，表示出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； ②根据题意得，，， ∵射线平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，平分， ∴， 根据题意得，，          当射线与重合时，，此时，即，解得； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 综上所述，当时，； ②由①得当时，与第一次相遇； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当和第二次相遇时，，解得； 当时，与第一次相遇之前， ， 由得， 解得； 当时，与第一次相遇之后，到达之前， ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之前，此时，，   ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之前，此时，，   ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之后，直到旋转至时，、均停止转动．此时，，   ， 由得， 解得，不合题意， 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或或． 19．如图1，将一副三角板中一块含有角的三角板的顶点和另一块含角的三角板的顶点重合于一点O，将含有角的三角板绕点O按顺时针方向旋转为如图2所示的情况（在内部），请回答问题： (1)图1中的度数为 ． (2)在旋转过程中，当平分时，求 的度数． (3)是否存在某一时刻，满足？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）设，则，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为； （2）解：因为平分， 所以， 所以； （3）解：存在，理由如下： 因为在内部， 所以， 设，则， 因为， 所以， 解得：， 所以， 所以． 20．如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则 ； (2)射线在直线的上方时，射线的反向延长线与射线形成的夹角是α（），平分． ①若，求的度数为 ； ②是否存在α的值，使得与互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了余角、补角，角平分线，解题的关键是读懂题意，确定射线位置，分情况讨论解决问题． 对于（1），根据题意可知的位置有两种情况，分情况讨论计算 的值； 对于（2）①，读懂题意，确定 的位置，根据角平分线定义，角的和差，计算的度数； ②读懂题意，根据的两种位置，分情况计算α的值． 【详解】（1）解： 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或； 故答案为：或； （2）解：① ∵， ∴， ∴. ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②存在，理由如下： ∵与互余， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵与互余， ∴. ∵， ， ∴， ∴， ∴的值为或． 21．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 22．如图1，在同一条直线上依次有A，O，B三点，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，其中，． (1)将三角板绕点O旋转到图2的位置，在的内部，，有怎样的数量关系？请写出来，并说明理由； (2)若将三角板绕点O转动，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．若，求的度数； (3)若将图1中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，射线，，中的一条射线，是否可以成为另两条射线组成的夹角的平分线？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)存在，或14或26 【分析】（1）设，可得，可得，从而可得结论； （2）如图，当在的右边时，设，如图，当在的左边时，结合，再建立方程求解即可； （3）如图，当平分时，则，当平分时，则，如图，当平分时，则，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：如图，当在的右边时， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：，即， 如图，当在的左边时， 则，， ∵， ∴， 解得：，即； （3）解：存在，理由如下： 如图，当平分时，则， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当平分时，则， 同理可得：， ∴， 解得：， 如图，当平分时，则， 同理可得：， ∴， 解得：， 综上：当的值为或或时，射线，，中的一条射线，可以成为另两条射线组成的夹角的平分线. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的动态定义，清晰的分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键. 23．【知识技能】 （1）如1图，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_______； 【数学理解】 （2）如2图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； 【深入探究】 （3）如3图，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在；t的值为21或25 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴； （3）存在，理由是： 当在左侧时， 根据旋转可知：， ， ∵， ∴， 解得：； 当在右侧时， ， ， ， ， ； 综上：的值为21或25． 24．如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的大小不变，；②存在使得，或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）①根据图2，利用角平分线的定义进行计算即可； ②分二种情况：当时，当时，设，，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：平分，平分，，， ，， ． （2）解：①的大小不变，为，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， 又∵， ， ， ∴为定值； ②存在使得，理由如下： 平分，平分， ∴设，， 情况1，如图：当时， ， ∴， ①， ， ， ∴②， 由①②得：， ； 情况2，如图：当时， ， ， ， ①， ， ， ， ②， 由①②得， ， 综上所述，或． 考点04 求运动时间 25．已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧． (1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 【答案】(1)①；②； (2)或 (3)秒或20秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用． （1）转化成已知角的式子计算即可； （2）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的式子即可求解； （3）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的方程即可求解． 【详解】（1）解：①． 故答案为：； ② ． 故答案为：； （2）解：由题意可知 当与相遇时，由题意得， 解得， 当旋转到射线上时，由题意得， 解得， 当与相遇前，时，， ∴； 当与相遇后，时，， ∴． 综上为或； （3）解：设运动时间为x， 当与相遇时， 解得， 当旋转一周时，， 解得， 当与相遇前，时， 射线是，两条射线组成的角的平分线，， 解得； 此时，不成立； 当与相遇后，时， 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得； 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得． 综上：运动时间为秒或20秒时，射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线． 26．如图，点在直线上，，，． (1)______； (2)绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止转动． ①当射线平分时，运动时间为多少秒？ ②若射线同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，当停止转动后射线也停止转动．若，运动时间为多少秒？ 【答案】(1) (2)①运动时间为秒；②运动时间为5秒或秒 【分析】此题主要考查了角的和差计算及一元一次方程的应用． （1）先求出，再根据求解即可； （2）①先求旋转角度，再根据旋转速度求出时间即可；②分情况讨论，分别表示出，根据题意列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）①当射线平分时，如下图： ， ， 的旋转角度为， 绕着点以每秒的速度逆时针旋转， 运动时间为秒； ②当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 设运动时间为t秒， 旋转过程中当均在直线上方时，如图： ，， ， ， 解得：； 旋转过程中当均在直线上方时，在直线下方时，如图： ，， ， ， 解得：； 旋转过程中当均在直线下方时，在直线上方时，如图： 为钝角， 故不存在的情况； 旋转过程中当、均在直线下方时，如图： 故不存在的情况； 旋转过程中当均在直线下方时，在直线上方时，如图： ，， ， ， 解得：（不合题意舍去）； 综上所述，，运动时间为5秒或秒． 27．如图1，射线在的内部，图中有3个角，，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．         (1)一个角的角平分线______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） (2)若，射线从出发，以每秒的速度绕P点顺时针旋转，问：当射线是的“巧分线”时，求射线的运动时间． 【答案】(1)是 (2)射线的运动时间为或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键． （1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答； （2）根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可； 【详解】（1）解：如图所示，平分， ∴， ∴根据巧分线定义可得是 “巧分线”． 故答案为：是； （2）解：如图所示：①当时，则， ∴射线的运动时间为； ②当，则， 解得：， ∴射线的运动时间为；    ③当，则， 解得：， ∴射线的运动时间为； 综上所述，射线的运动时间为或或． 28．若、、三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注，．      (1)如图1，使三角板的长直角边在射线上，则 °； (2)将图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周， ①若旋转到到图2位置，此时，求运动时间的值； ②经过秒后，直线恰好成为的三等分线，直接写出的值． 【答案】(1)50 (2)①10秒；②的值为2秒，32秒，38秒或68秒． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：50； （2）解：①三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转， 经过秒，，， ， ， 解得：， 即运动时间为10秒； ②情况1：    经过t秒后，， ∵为的三等分点， ∴， 又∵， ∴， 即， 解得； 情况2：    ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； 情况3：    ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； 情况4：    ∵，， ∴， 即旋转了， 即， 解得； 综上所述：的值为2秒，32秒，38秒或68秒． 【点睛】本题主要考查余角和补角的知识，解一元一次方程的应用，熟练掌握余角和补交的知识是解题的关键． 29．已知：，是内的射线． (1)如图，若平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (2)如图，若，平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (3)在（）的条件下，若以为起始位置，当在内绕着点以/秒的速度逆时针旋转秒时，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)秒 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，正确识图是解题的关键． （）由角平分线的定义得，，进而根据角的和差关系解答即可求解； （）由角平分线的定义得，，进而根据角的和差关系解答即可求解； （）由题意得，即得，又可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴； （2）解:∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）解：∵射线以为起始位置，以每秒的速度逆时针旋转秒，， ∴． ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵， ∴， 解得． 30．综合与探究 数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺的直角顶点O放在直线上，过点O作平分线． 【操作发现】 （1）“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值： 请依据上表，写出与的数量关系__________． 【思考论证】 （2）老师进一步提出了如下问题：当三角尺在直线上方绕顶点O旋转时（到达边时停止旋转），与是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）“创新小组”又提出如下问题：将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（），为的角平分线，当时，求t的值． 【答案】（1）；（2）满足，见解析；（3）的值为或 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，熟练地利用方程解决问题是解本题的关键． （1）由表格数据可得结论； （2）设，则，由角平分线可得，再结合角的和差运算可得结论； （3）分两种情况讨论：①当时，，则，②当时，，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）根据表中数据得：， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当时，，则，    ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ②当时，，则，    ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 31．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据角的和差关系即可得解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）是的内余角， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转得：，， 所以，， 因为是的内余角， 所以， 所以， 解得； （3）解：当在内部时，如图1， 则，， 所以，， 若是的内余角时，则， 所以，无解； 当在射线下方时，如图2， 则，， 若是的内余角，则， 所以， 解得（秒）； 当在上方时，如图3， 则，， 若是的内余角，则， 所以，解得（秒）； 当在内部时，如图4， 则，，， 所以， 若是的内余角，则， 所以，无解； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 32．若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图 1，已知 ，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图 2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且 ，求的大小； (3)如图 3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（ ）．若是的“余倍角”，求出此时的值． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3)的值为或或 【分析】本题主要考查角的新定义运算，一元一次方程的运用，理解“余倍角”的定义，几何中角的数量关系的计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据“余倍角”的定义和计算即可求解； （2）当在内部时，当在外部时，数形结合分析即可求解； （3）先求得，分情况讨论，当时，当时，分旋转超过时，旋转超过时，即时，找出数量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知° ， ∴，则， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：如图所示，当在内部时， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当在外部时， ∴， ∴， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：∵，是的“余倍角”， ∴， ∴， 由题意可得，，， ∵平分，平分， ∴，， ①当未转够，即时，如图所示， ∴， ∴， 解得，； ②当旋转超过时，且即时， 由题意可得，转了，， ∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 解得，； ③当旋转超过时，即时， 由题意可得，转了，转了， ∴，, ∵平分，平分， ∴，， 如图所示， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或或． 考点05 定值问题 33．如图1，平面上顺时针排列射线，，，，，在外部且为钝角，，射线，分别平分，（题目中所出现的角均小于且大于） (1)若，________，________； (2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在（1）的条件下，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到（，的对应边分别是，），若旋转时间为秒（），当时，求出的值． 【答案】(1)； (2)的值不会随着的变化而变化，且定值为 (3)t的值为50或者112 【分析】（1）由周角求出，根据求得，，从而求出，再根据角平分线定义求出和，从而可得出结论； （2）设，则，，再用含的式子表示，，代入可得结论； （3）求出，，分五种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，； ∴， ∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：的值不会随着的变化而变化， 理由如下： 设， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值不会随着的改变而改变，且定值为； （3）解：，， 且题目中所出现的角均小于且大于， 当， 时，    ∵， ∴， 此时，无解； 当， 时，    ∵， ∴， 解得，； 当， ，    ∵， ∴， 此时无解． 当，，    ∵， ∴， 解得：． 当， ，    ∵， ∴， 此时无解． 综上：t的值为50或者． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差以及一元一次方程在几何方面的运用，是学习方程之后接触平面几何中一道典型的数型结合题，有利于对数学学科本质的认识．在计算时易出错不会用一个式子代入表示另一个式子，隐含了数学消元思想，熟练掌握各知识点是解题的关键． 34．已知：如图，直线和相交于点O（为锐角），点M在直线上方，，平分． (1)若，求的度数； (2)试说明：的度数是一个定值，并求出这个定值的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义； （1）先求解，可得，再结合角平分线的含义可得答案； （2）先求解，证明，结合，进一步可得结论； （3）先求解，结合，可得，求解，结合（2）的结论可得答案. 【详解】（1）解：，，， ， 又， ， 又平分， ； （2）解：， ， 又平分， ． 又， ， ． （3）解：， ， ∵， ， ． 由（2）知：， ； 35．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线．如图2，当射线恰好平分时，求的度数； (3)若射线在的内部，且，若的值为定值，试求出n与这个定值． 【答案】(1)和的度数相等，理由见解析 (2)； (3)，此定值为． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算． （1）分别求出，的度数，即可解答； （2）根据角平分线的定义以及，可得，即可解答； （3）设，分别求出，，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：和的度数相等，理由如下： ，， ， ，， ，     ， （2）解：如图， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ． 即的度数是； （3）解：设， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∵的值为定值， ∴， ∴，此定值为． 36．在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案： (1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若，则______，______． (2)图②中，将两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)65，115． (2)定值， 【分析】（1）根据角的和差即可求得． （2）两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，重叠部分是2个，是定值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 故答案为：65，115． （2）是定值， ∵两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起， ∴重叠部分是2个， ∴一个与是， 另一个与是 ∴， 【点睛】此题考查了三角板角度问题，解题的关键是熟知三角板各个角的度数． 37．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， (1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； (2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； (3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)∠BOE＝30° (2)∠BOC＋∠BOE＝90° (3)是定值， 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE＝∠BOC，根据题意得到∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°，于是得到结论； （2）根据角的和差即可得到结论； （3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE，如图4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵OE是∠BOC的角平分线， ∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC， ∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠BOE＝30°； （2）∵∠BOC是∠AOE的差余角， ∴∠AOE−∠BOC＝∠AOC＋∠COE−∠COE−∠BOE＝∠AOC−∠BOE＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＋∠BOE＝90°； （3）是定值2， 理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）； 如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE， ∵∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−（90°＋∠COE）＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）， 综上所述，为定值． 【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键． 38．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°．将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM与射线OB重合，另一边ON位于直线AB的下方． （1）将图1的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时ON所在直线是否平分∠AOC？请说明理由； （2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒，在旋转的过程中，ON所在直线或OM所在直线何时会恰好平分∠AOC？请求所有满足条件的t值； （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使边ON在∠AOC的内部，试探索在旋转过程中，∠AOM和∠CON的差是否会发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围． 【答案】（1）直线ON平分∠AOC，见解析；（2）10秒或40秒或25秒或55秒；（3）不变，30° 【分析】（1）直线ON平分∠AOC，设ON的反向延长线为OD，已知OM平分∠BOC，根据角平分线的定义可得∠MOC=∠MOB，又由OM⊥ON，根据垂直的定义可得∠MOD=∠MON=90°，所以∠COD=∠BON，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BON，即可∠COD=∠AOD，结论得证； （2）分直线ON平分∠AOC时和当直线OM平分∠AOC时两种情况进行讨论求解即可； （3）设∠AON=x°，则∠CON=60°－x°，∠AOM=90°－x°，即可得到∠AOM－∠CON=30°. 【详解】解：（1）直线ON平分∠AOC 理由：设ON的反向延长线为OD， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC=∠MOB， 又∵OM⊥ON， ∴∠MOD=∠MON=90°， ∴∠COD=∠BON， 又∵∠AOD=∠BON， ∴∠COD=∠AOD， ∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC； （2）①当直线ON平分∠AOC时， 三角板旋转角度为60°或240°， ∵旋转速度为6°/秒， ∴t=10秒或40秒； ②当直线OM平分∠AOC时， 三角板旋转角度为150°或330°， ∴t=25秒或55秒， 综上所述：t=10秒或40秒或25秒或55秒； （3）设∠AON=x°，则∠CON=60°－x°，∠AOM=90°－x°， ∴∠AOM－∠CON=30°， ∴∠AOM与∠CON差不会改变，为定值30°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及角的和差计算，解题的关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系． 39．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)30 (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案； （2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案； （3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定． 【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：30； （2）当时，如图2， ∵是平角，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当时（如图3），为定值． 理由如下： ∵是平角，，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 40．如图1，两条直线相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为．运动时间为秒．（，本题出现的角均不超过平角）． (1)若所在的直线平分，求的值； (2)如图2，直线交于点，交于点，交射线的延长线于点，当射线在内部，且是定值时，求的取值范围，并求出这个定值． 【答案】(1)56.25 (2)当时，是定值，定值为7． 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的和差运算，一元一次方程的应用，注意分类讨论． （1）分在外部和在内部两种情况列出方程解答即可； （2）先确定时t的值，再分和两种情况进行计算，解题即可． 【详解】（1）解：当在外部时，， 解得：； 当在内部时，， 解得：． （2）解：当点P在点E的左边时，， 解得， t秒时，，， ， ∴． 当点P在点E的右边时，，， ∴，不是定值． ∴当时，是定值，定值为7． 考点06 线段和角的知识迁移 41．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是的中点，则______． （2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数． ②请你猜想，和三个角之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）24；（2）①；②，理由见解析 【分析】本题考查了线段中点的定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）先根据线段的和差关系求出，然后结合线段中点的定义可求出，最后根据线段的和差关系求解即可； （2）①先根据角的和差关系求出，然后结合角平分线定义可求出，最后根据角的和差关系求解即可； ②根据角平分线定义得出，，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵点C和点D分别是的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24； （2）①∵，， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ② 理由：∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 42．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点．若，则线段 ； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出 ．（用含α的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出 ． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4）80． 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 43．【问题探究】 在数学的几何世界里，我们常常会遇到一些具有特殊关系的图形元素．其中，在同一条直线上，有一个公共端点的两条线段被定义为“共端点线段 ”． 例如：如图 1，和都有公共端点B ，所以这两条线段是“共端点线段”． （1）当两个“共端点线段”的长度分别为6和4时，它们非共端点的两个点间的线段的长度为 ； 【类比迁移】 （2）类比上述过程，在同一平面内，把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”已知和是一组“共边角” ①若，则的度数为 ； ②如图2，若是和的角平分线，求的度数 (结果用α和β表示)，请画出图形，并直接写出结果； （3）如图3，已知，射线按顺时针方向以秒的速度旋转至，按顺时针方向以/秒的速度旋转至，设旋转时间为，且为的角平分线，为的角平分线，用含t的代数式表示的大小． 【答案】（1）2或10；（2）①或；②图见解析，或或；（3）当时，；当时，． 【分析】本题考查了线段的和差计算，角的和差计算，找到相等关系和理解分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差求解即可； （2）①根据角的和差求解即可； ②分类讨论，根据角的和差求解即可； （3）先求出与重合时和与重合时需要的时间，分类讨论，根据角的和差求解． 【详解】解：（1）根据题意：线段的长度为或， 故答案为：2或10． （2）①如图所示，当在内部时，则； 如图所示，当在外部时，则； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． ②当在内部时，如图： 是和的角平分线， ，， ； 当在外部时，如图： 是和的角平分线， ，， ； 当在内部时，如图， 是和的角平分线， ，， ； 综上，的度数为或或． （3）当与重合时，， 解得； 当与重合时，， 解得； 当时，， ， 为的角平分线，为的角平分线， ，， 当时，， 当时，； 当时，，， 为的角平分线，为的角平分线， ，， ∴； 综上所述，当时，；当时，． 44．（1）理解计算：如图①，，．射线平分，平分，求的度数； （2）拓展探究：如图②，，（α，β为锐角）．射线平分，平分，求的度数； （3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段，延长线段到C，使得，点M，N分别为，的中点，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由题意依据射线平分可得，依据平分可得，进而依据可得答案； （2）由题意依据射线平分可得，依据平分可得，进而依据可得答案； （3）根据题意依据中点性质得出，，进而依据可得答案. 【详解】解：（1）， 射线平分， ， ∵平分， ， ． （2）， ∵射线平分， ， ∵平分， ， ． （3），， ， ∵点M，N分别为，的中点， ，， ． 【点睛】本题考查角的运算以及线段两点间距离，熟练掌握角平分线性质和线段中点性质并利用数形结合思维分析是解题的关键. 45．【特例感知】（）如图，点为线段上的一个动点，点在线段上，，点在线段上且，若线段，求线段的长． 下面是小泽的解答过程，请你补全解答过程： 解：因为且， 所以______① ， 同理可得：______② ， 因为， 所以， 又因为， 所以______③， 即的长为______④． 【知识迁移】（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线在内部且，射线在内部且，求的度数． 【拓展探究】（）已知在内的位置如图所示，若，射线在内部且，射线在内部且，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】（），，，；（）；（），理由见解析 【分析】（）由且，得，同理，则，然后根据即可得出的长； （）根据且，得，同理，则，由此可得的度数； （）根据且，得，同理，则，再根据即可得出与的数量关系； 本题考查了线段的和差，角的计算，准确识图，熟练掌握角的计算是解题的关键． 【详解】解：（）且， ， 同理可得：， ， ， 又， ， 即的长为， 故答案为：，，，； （）且， ， 同理可得：， 又， ， ， ， 即的度数为； （）与的数量关系为：，理由如下： 且， ， 同理可得：， ，， ， ， ， ． 46．（1）感知：如图，已知线段，点 C 在线段上，点M 和点 N 分别是、的中点，则______ ；    （2）迁移：如图① ， ，是内部的一条射线，平分， 平分 ，求的度数； （3）拓展：如图②，，是外部的一条射线，且 ，平分，平分，求的度数．    【答案】（1）9；（2）；（3） 【分析】本题考查了两点间的距离，角的计算，解题的关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）根据中点定义得出，，根据，求出结果即可； （2）根据是内部的一条射线，射线平分，射线平分，得出，，已知，可得的度数； （3）根据是内部的一条射线，射线平分，射线平分，得出，，根据，可得的度数；． 【详解】解：（1）∵点M 和点 N 分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴ ； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3）是外部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ． 47．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则　 　cm； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则　 　度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 【答案】（1）①16；②不变，的长度始终等于 （2）①90；②，理由见解析 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①先求，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可；②设，则，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义可得：，，，， ①由，可得，即可求解； ②设，则，结合，即可求解． 【详解】解：（1）①，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， 故答案为：； ②不变，的长度始终等于， 设， ， ， 点和点分别是，的中点， ，， ； （2）设，， 射线和射线分别平分和， ，，，， ①，， ，即， ， ； 故答案为：； ②，和之间的数量关系是：，理由如下： 设， 则， ， ， ． 48．如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则________； (2)若，求的长； (3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变； (4)知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点画射线．若、分别平分和，试说明与射线的位置无关． 【答案】(1)6 (2) (3)理由见解析 (4)理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线和线段的中点的性质，利用相关定义找出数量关系是解题关键． （1）由中点的定义推出； （2）由，，即可推出，然后根据中点的定义即可推出，，即可推出的长度； （3）设，则，然后通过中点的定义推出，即可推出结论； （4）由角平分线的定义可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，是中点， ∴，， ∵点、点分别是和的中点， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵点、点分别是和的中点， ∴，， ∴． （3）解：设，则， ∵点、分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴不论取何值（不超过），的长不变． （4）解：∵、分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴的度数与射线的位置无关． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $