专题11 线段相关压轴解答题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期湘教版2024

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11线段相关压轴解答题分类训练 (6种类型48道) : 考点归纳 考点01动点定值问题 考点02动点存在性问题 考点03探究数量关系 考点04求运动时间 考点05动点求值 考点06往返运动 考点专练 考点01动点定值问题 1.【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段AC的延长线上，且AB=CD,请仅用 一把圆规在图中确定D点的位置 【认识概念】在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且AB=CD,那么称AB与CD互为“对称线段”， 其中AB为CD的“对称线段”，CD亦为AB的“对称线段”. 如图2，下列情形中AB与CD互为“对称线段”的是（直接填序号）. ①AB=2,CD=3；②AB=1,BC=2,BD=4;③AC=2,BD=2. 【运用概念】如图3，AB与CD互为“对称线段”，点M为AC的中点，点N为BD的中点，且AB=2. (1)若AD=12,求AM的长： (2)若AC=12,求MN的长： 【拓展提升】如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，2AB=CD且AB=a(a为常数)，点M为 AC的中点，点N在BD上且ND=mBD.是否存在m的值使得MN的长为定值？若存在，请求出m的值 以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由. C D 图1 图2 才BMN七b 图3 图4 2.已知AB=13,CD=8,M和N分别为线段AB,CD的中点. 1/14 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 MN B(C)A DM NB C A DM N B C 图1 图2 图3 (1)若BC重合，D在线段AB上，如图1，求MN的长度： (2)①如果将图1的线段CD沿着AB向右平移n个单位，求MN的长度与n的数量关系： ②当n为多少的时，MW的长度为9： (3)如果AB保持长度和位置不变，点D保持图1的位置不变，改变DC的长度，将点C沿着直线AB向 右移动m个单位，其余条件不变，①BN+)BC②MN-)BC,请问以上两个式子哪一个式子的值是定值， 定值是多少？ 3.如图，已知C,D是线段AB上两点：E,F两点分别是线段4C·D上的点，且E=。4C, BD:M,N两点分别是线段D'BC上的点，且AM=AD,B n n n AEC D F B A CM ND B 图1 图2 (1)如图1，已知AB=12,CD=9,若n=2,请直接写出线段EF的长度： (2)如图2，在(1)的条件下，若n=3,求线段EF和MW的长度 EF+MN F-MN 3)如图3，若m=4,下列两个结论，①1B是定值，② AB 是定值，其中只有一个是正确的， 请直接写出正确结论的序号： 并直接写出其定值： AE CM ND FB 图3 4.如图，点A,B,C,D是同一直线上从左到右依次排列的四点，AB=a,CD=b,且a,b满足： la-d+(b-3)2=0,BC=15. A B C D B C D 备用图 (1)a=,b=: (2)线段AB以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动. ①求运动多少秒时，线段AB,CD重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段CD立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段AB的运动状态不变，若线段CD 向右运动过程中，式子2AC+mBD的值为定值n,请求m和n的值. 5.如图①，已知线段AB=m,CD=n,线段CD在射线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 侧)，且m-14+(7-n)2=0 图① A B C D 图② (1)若BC=4,求AD的长. (2)当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M,N分别是线段AD,BC的中点，求MN的长. (3)当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断 PA+PB PC是否为定值，并说明理由. 6.【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段AC的延长线上，且AB=CD,请仅用 一把圆规在图中确定D点的位置. A B 图1 C D 图2 A B M N C D 图3 A B M NC R 图4 【认识概念】在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且AB=CD,那么称AB与CD互为“对称线段”， 其中AB为CD的“对称线段”，CD亦为AB的“对称线段”. 如图2，下列情形中AB与CD互为“对称线段”的是」 (直接填序号). ①AB=2,CD=3:②AB=1,BC=3,BD=5;③AC=7,BD=7. 【运用概念】如图3，AB与CD互为“对称线段”，点M为AC的中点，点N为BD的中点，且AB=2. (1)若BC=10,求MN的长： (2)在BC的长度可以变化的情况下，试说明MN与AB互为“对称线段”. 【拓展提升】 (3)如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，2AB=CD且AB=a(a为常数)，点M为AC的中 点，点N在BD上且ND=mBD.是否存在m的值使得MN的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个 定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由. 7.已知线段AB=m,CD=n,线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 m,n满足m-12+(n-4)2=0. 3/14 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A B A M C DN B 备用图 (1)m=,n= (2)点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动. ①如图，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长： ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发，以3个单位长度/秒的速度向右 运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇.试探索整个运动过程中，FC-5DE 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 8.如图，线段AB=24,动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点. M P B (1)出发3秒后，AM=,PB=·(不必说明理由) (2)出发几秒后，AP=3BP? (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否为定值，若是，请给出证明：若不是，请 说明理由. 考点02动点存在性问题 9.如图，点C在线段AB上，AC=2cm,AB=6cm.点P以lcm/s的速度从点A沿线段AB向点B运动： 同时点Q以2Cms的速度从点B沿线段BA向点A运动，到达A点立即原速返回点B,当点P运动到点B时， 点P、Q都停止运动.设点P运动的时间为(s) A P C 9 B (1)当t=1时，求PQ的长： (2)用含t的代数式表示AQ的长： (3)当点C为PQ中点时，求t的值： (4)若点D是线段AQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使DP的长度保持不变？如果存 在，求出DP的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由 10.如图，点A,B,C,D在同一条直线上，且AB:BC:CD=2:3:5,线段BC=6,若在直线上存在一点 M使得AM=2,求线段DM的长. A B C D 11.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点， AD=10cm,设点B运动时间为t秒(0≤t≤10). B C D 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当t=2时，①AB= cm, ②此时线段CD的长度=_ cm: (2)①点B沿点A→D运动时，AB= cm;(用含t的代数式表示AB的长) ②点B沿点D→A运动时，AB= cm.(用含t的代数式表示AB的长) (3)在运动过程中，是否存在点B,使得AB=4CD,若存在，求出1的值，若不存在，请说明理由. 12.如图，已知线段AB,点C是AB的中点，点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边 D B 在线段AC上是否存在一点E,使得点E是AD的中点，同时点C也是DE的中点？若存在，请用圆规找出 点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由. 13.如图，线段AB=10,动点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上一点. C E B AD C E 图1 图2 (1)如图1，当点E是线段BC的中点时， ①若AD=3,则BE=; ②点C在线段AB上运动的过程中，线段DE的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值：若不是， 请说明理由. (2)如图2，当点E是线段BD的中点时，点C在运动的过程中，是否存在和点E重合的可能？如果存在， 求出重合时线段AC的长度；如果不存在，请说明理由 14.如图，线段AB=20Cm,C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向右运动，到 点B停止：点Q从点B出发，以1cms的速度沿线段AB向左运动，到点A停止.若P,Q两点同时出发， 当其中一点停止运动时，另一点也随之停止.设点P的运动时间为x(x>0)s. OB (1)AC=.cm. (2)是否存在某一时刻，使得C,P,Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满 足条件的x的值；若不存在，请说明理由 15.如图，在直线1上顺次取A,B,C三点，已知AB=20,BC=80,点M,N分别从A,B两点同时 出发向点C运动.当其中一动点到达C点时，M,N同时停止运动.己知点M的速度为每秒2个单位长 度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒. A B C (1)用含1的式子表示线段AM的长度为； (2)当t为何值时，M,N两点重合？ 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若点P为AM中点，点Q为BN中点.问：是否存在时间t,使P№长度为5？若存在，请说明理由. 16.如图，已知线段AB,点C是AB的中点，点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边 A CD B (1)若AB=6,求CD的长： (2)在线段AC上是否存在一点E,使得点E是AD的中点，同时点C也是DE的中点？若存在，请用圆规找 出点E的位置，并说明理由：若不存在，请说明理由」 考点03探究数量关系 1.如图，C是线段4B的中点，点D在线段4B上，且4D=DB.若1C-9求线段DC的长. A D C B (1)请将下面的解题过程补充完整： 解：因为C是线段AB的中点，AC=9,所以AB=2一= 因为点D在线段AB上，D=DB, 所以AD= AB= 所以DC=AC- (2)在图中，用圆规在线段AB上找一点E,使得BE=AD，并直接写出DC与CE的数量关系. 18.如图，己知线段a,b.射线AM. 实践与操作：在射线AM上作线段AB=a,AC=a+b.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法). a b A M 推理与探究：若线段AB的中点是点D,线段BC的中点是点E.请在上图中标出点D,E.探究：线段DE 与AC有怎样的数量关系，并说明理由， 19.如图，已知线段a,b,作线段AB,使得AB=a+b. a b L (1)请根据题意画出图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若AB=24,动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿直线AB向右匀速运动，同时动点N从 点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线AB向左匀速运动，设运动时间为t秒， ①当MN=6时，求t的值： ②若点C为AM的中点，点D为BN的中点，当点M在线段AB上运动时，且点M在点W的左侧时，试 猜想线段MW与CD之间的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由. 20.已知A、B、C、D四个车站的位置如图所示： 6/14 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 -a+b- →k2a-b→ 3a+2b (1)求A、D之间的距离： (2)若C为AD的中点，则a、b有何数量关系？并说明理由 21.如图，已知线段AB=24m,点C是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），点D和点E分别是 线段AC、BC的中点. D E B (1)线段DB-CE是图中哪条线段的长度： (2)若AC=18cm,求线段DE的长度： (3)若点C为线段AB的中点，则线段AD与线段AB的数量关系是： (4)试说明，无论点C如何移动，线段DE的长度为定值，并求出这个定值。 22.已知B、C在线段AD上 A B (1)如图，共有 条线段： (2)如图，AB=CD ①比较线段的大小：ACBD(填：“>”、“=”或“<”)； ②若BD=4AB,BC=12cm,则AD的长为 cm: (3)若AB:CD=1:2,且E为BC中点，求AE与BD的数量关系.（温馨提醒：重新画图） 23.如图，点C在线段AB上，若BC=AC,则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周 率伴侣线段 C (1)若AC=2,求AB的长： (2)在(1)的条件下，若点D也是图中线段AB的圆周率点（不同于点C),试求出线段CD的长，并写出 AC与BD的数量关系. 24.已知点C为线段AB上的一点，点D、E分别为线段AC,BD中点. (1)若AC=4,BC=10,求CE的长： A C B (2)若AB=5CE,且点E在点C的右侧，试探究线段AD与BE之间的数量关系. A B 考点04求运动时间 25.如图，E为线段AC上靠近点A的三等分点，B,D为线段EC上的两点，且满足CD=2BD, 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E BD C (1)若AC=6cm,求线段EC的长： (2)若图中所有线段的长度之和是线段AC长度的5倍，EB=10cm,求线段AC的长： (3)若AC=15cm,EB=4cm,动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以3cm/s,lcm/s的速度沿直 线AC向右运动，当BP+CQ=EC时，求动点P运动的时间 26.如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB,AM和BM,若其中有一条线段的长度是另外 一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“二倍点”. B D ① ② ③ B (1)一条线段的中点这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）： (2)如图②，若CD=6a,点N是线段CD的二倍点，则CN=_;(用含a的代数式表示) (3)如图③，已知AB=20cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出 发，以1©m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移 动，设移动的时间为s,求当1为何值时，点Q恰好是线段AP的二倍点。 27.如图，点C是线段AB上的一点，线段4C-8,BC=4C,点D为线段B的中点. A CD B C D 备用图 (1)直接写出线段AB和CD的长： (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向右运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单 位的速度沿直线BA向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线AB向右运动，当点Q再次回到点B时， 动点P,Q同时停止运动.设运动时间为1秒. ①当t为何值时，点P与点Q重合？ ②若点M,N分别为线段AP,AQ的中点，MN=5,求t的值. 28.如图，己知点A,点B是直线I上的两点，且AB=6Cm,点P和点Q是直线上的两个动点，点P的 速度为2cm/s,点Q的速度为lCm/s,点P、Q分别从点A、B同时出发在直线l上运动，运动时间为(s). A B 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求1为何值时P、Q两点相遇？ 8/14 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2cm时，求出t的值. 29.如图，点C在线段AB上，AC=3,BC=11,动点P从点A出友，沿线段AB以每秒3个单位长度的 速度向终点B匀速运动：同时，动点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运 动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t秒. A→PC Q←-B (1)当点P与点Q相遇时，求t的值： (2)当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值. (3)当PC+B=2.5时，求t的值 30.如图，点C为线段AB的中点，AB=8.动点P从点B出发，在线段AB上匀速运动，先以每秒2个 单位的速度从点B运动到点C,接着以每秒1个单位的速度运动到点A,最后以每秒4个单位的速度从点A 回到点B:同时，动点Q从点C出发，也在线段AB上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到 点A,接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B.设点P的运动时间为t(s), A C P B (1)当点P与点C第二次重合时，求PQ的长； (2)当2≤t≤4时，求证：P9=2: (3)当点P、点Q相遇时，求t的值： (4)当CP=2CQ时，直接写出t的值. 31.如图，直线1上有A、B两点，AB=6,1上有两个动点P、Q.点P从点A出发，以每秒2个单位长 度的速度沿直线，向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿直线，向右运动.设运动 时间为t(秒). A P B C (1)请用含1的代数式表示线段PB的长. (2)当点B是线段PQ的中点时，求1的值， (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段PO与线段AQ的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由. 3 32.如图，点0在线段AB上，线段40=15cm’OB=亏40，动点P,Q分别从4，B同时出发，点P以 5 3cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B,点Q以lcm/s的速度沿BA向左运动，终点为A,当一个点到达 终点，另一个点也随之停止运动. 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M O N B 图1 0 B 备用 (1)如图1，点M,N分别为AO,B0的中点，求线段MN的长： (2)求运动时间为多少时，点P与点O重合？ 考点05动点求值 33.如图，直线I上有AB两点，AB=12cm,点O是线段AB上的一点，OA=2OB A 0 B I (1)0A= cm,OB= cm; (2)若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB,求CO的长： (3)若动点P,Q分别从A,B同时出发，向右运动，点P的速度为2cms,点Q的速度为lcm/s.设运动时 间为s,当点P与点Q重合时，P,Q两点停止运动. ①当t为何值时，20P-O0=4: ②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cms的速度也向右运动.当点M追上点Q后立即返回， 以3cms的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以3cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P, Q停止时，点M也停止运动.在此过程中，点M行驶的总路程是多少？ 34.如图，在一条公路上有五个车站，依次为A,M,C,N,B. A M CNB (1)车站要准备车票，一共要准备种车票. (2)现在准备在其中一个车站处建加油站，使这五个车站各站到此加油站的总路程最短，加油站应建在处. (3)如果公路AB的路程为80千米，M,N分别是AC,CB的中点，求MN路段的长度. 35.如图所示，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A,B间的路程为100km,A,C间的路程为4Okm, 现欲在C,B之间建一个车站P,设P,C之间的路程为xkm. AC PB (1)若P为线段BC的中点，求AP的长： (2)用含x的代数式表示车站P到三个村庄的路程之和： (3)若车站P到三个村庄的路程之和为102km,则车站应建在何处？ (4)若要使车站P到三个村庄的路程总和最小，问车站应建在何处？最短路程是多少？ 36.线段AB=16,C,D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD=2,E为BC的中点. 10/14 专题11 线段相关压轴解答题分类训练 （6种类型48道） 考点01 动点定值问题 考点02 动点存在性问题 考点03 探究数量关系 考点04 求运动时间 考点05 动点求值 考点06 往返运动 考点01 动点定值问题 1．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 2．已知，，和分别为线段，的中点． （1）若重合，在线段上，如图1，求的长度； （2）①如果将图1的线段沿着向右平移个单位，求的长度与的数量关系； ②当为多少的时，的长度为9； （3）如果保持长度和位置不变，点保持图1的位置不变，改变的长度，将点沿着直线向右移动个单位，其余条件不变，①②，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？ 【答案】（1）2.5，（2）2.5+n，6.5，（3）一定为定值，定值是2.5． 【分析】（1）根据中点求出BM和BN长，相减即可； （2）①根据题意可知，AD=BC=n，根据中点表示出BN长，BM-BN即可；②列出关于n的方程求解； （3）根据题意可知，CD长为8+m，求出两个式子的值，判断即可． 【详解】解：（1）∵，M是线段AB的中点， ∴BM=6.5， ∵重合， ∴BD=CD=8，N是线段CD的中点， ∴CN=BN=4， MN=BM-BN=6.5-4=2.5； （2）①由（1）得，BM=6.5，CN=4，根据平移可知，BC=n， BN=CN-CB=4-n， MN=BM-BN=6.5-（4-n）=2.5+n； ②根据题意得，2.5+n=9， 解得，n=6.5， ∴当=6.5时，的长度为9； （3）根据题意，CD的长为8+m，BC=m，BM=6.5， ∵N是线段CD的中点， ∴， 当N点在B点左侧时，BN=CN-CB=， MN=BM-BN=， ，为定值； ，为定值； 当N点在B点右侧时，BN=CB-CN=， MN=BM+BN=， ，为定值； ，不为定值； 综上所述，一定为定值，定值是2.5． 【点睛】本题考查了线段的和差和线段中点的意义以及一元一次方程，体现了分类讨论思想，能够根据中点的意义，利用字母表示线段长是解决问题的关键． 3．如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 4．如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3 (2)①秒或秒；② 【分析】本题主要考查了非负数的性质，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练运用数轴上两点之间的距离，分类讨论，是解题关键． （1）根据非负数的性质即可求得答案； （2）①设运动时间为t秒，当时，根据，得，解得；当时，得，解得；②设相遇后运动时间为x秒，则，根据为定值n，得，得，． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴； 故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时， ∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒， ∵运动路程为，运动路程为， 则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n， ∴， ∴， ∴． 故． 5．如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 6．【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】一、感悟体验：见解析；二、认识概念：③；三、运用概念：（1）；（2）见解析；四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且 【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键． 一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得， ，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解． 【详解】解：一、感悟体验： 如图所示：点D即为所求： 二、认识概念： ①∵，， ∴ ②∵，， ∴ ∴ ③∵ ∴ 即： 故答案为：③ 三、运用概念： ∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ （1） （2）由以上解析可知， ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升： 设， ∵且， ∴，， ∵点M为的中点， ∴ ∵点N在上且， ∴ ∵ ∴ 整理得： ∴当，即时，可使的长为定值 且 7．已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是，为定值 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及非负数和为零的条件、中点定义求线段长、数轴上两点之间距离表示等知识，数形结合，求出各个点在数轴上表示的数是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的非负性、平方的非负性及非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①由（1）可知，结合线段中点定义，数形结合表示出线段之间的和差倍分关系后，代值计算即可得到答案；②将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示，令点表示的数为，分别表示出相关点运动后在数轴上表示的数，由点与点相遇秒后与点相遇，列方程求出，进而确定点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点之间的距离表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ，且， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图所示： 是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ； ②是定值；理由如下： 点与点重合时，如图所示： 由①知，， 点是线段的中点， ， ，， 将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示： 令点表示的数为， 点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，线段以个单位长度/秒的速度向左运动， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点与点相遇秒后与点相遇， 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； ， 解得， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， 在整个运动过程中，，， 则， 即在整个运动过程中，为定值． 8．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． (1)出发3秒后，AM＝　　，PB＝　　．（不必说明理由） (2)出发几秒后，AP＝3BP？ (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)3；18 (2)出发9秒或18秒后，AP＝3BP (3)是；理由见解析 【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出AP，再根据中点的定义求出AM，根据线段的和差关系求出PB； （2）分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在AB延长线上时，根据题意列出方程求解即可； （3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12，分别表示出MN，MA＋PN的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：出发3秒后，AM＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18． 故答案为：3；18． （2）解：分两种情况：①当点P在线段AB上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝24−2t， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（24−2t）， 解得t＝9； ②当点P在AB延长线上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝2t−24， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（2t−24）， 解得t＝18． 综上分析可知，出发9秒或18秒后，AP＝3BP． （3）解：是，理由如下： 设运动时间为x秒， 则有PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12， ∴MN＝PM−PN＝x−（x−12）＝12， 即MN的值为定值． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． 考点02 动点存在性问题 9．如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)， 【分析】（1）求出当时，， ，然后列式求解即可； （2）首先求出点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为，然后分两种情况列式即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，分别表示出求解即可． 【详解】（1）当时，， ∴； （2）∵，点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，点P以的速度从点A沿线段向点B运动， ∴点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为 ∴当时， ∴； 当时，； （3）当时，，， ∵点C为中点， ∴，即 解得，（此时点三点重合，舍去）； 当时，，， ∵点C为中点， ∴，即， 解得 综上所述，； （4）当时， ∵点D是线段的中点， ∴ ∴ ∴的长度随t的变化而变化 当时， ∴ ∴，是定值 ∴当时，的长度不变，为3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 10．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，线段，若在直线上存在一点M使得，求线段的长． 【答案】22或18 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差倍分，正确的理解题意是解题的关键，注意分类讨论． 本题分两种情况：点M在点A左侧，点M在点A右侧，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，且； ∴，， ∵， 若点在点左侧，则；解得：， 若点在点右侧，则 ；解得：， 综上所述，线段的长为22或18． 11．如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动时间为t秒（）． (1)当时，①__________， ②此时线段的长度________； (2)①点B沿点运动时，_________；（用含t的代数式表示的长） ②点B沿点运动时，_________．（用含t的代数式表示的长） (3)在运动过程中，是否存在点B，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；②3 (2)①；② (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据各线段长度间的关系，求出线段的长度；（2）根据各线段长度间的关系，用含的代数式表示出线段的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用路程速度时间，可求出当时，的长，利用，可求出的长，再结合是线段的中点，即可求出的长； （2）当点沿点运动时，利用的长点的速度点的运动时间，可用含的代数式表示出线段的长；当点沿点运动时，利用的长的长一点的速度点的运动时间，即可用含的代数式表示出线段的长； （3）分及两种情况考虑，当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：当时，， ∴， ∵是线段的中点， ∴此时线段． 故答案为：①4 ；②3 ； （2）解：根据题意得：当点沿点运动时，； 当点沿点运动时，． 故答案为：①；②； （3）解：存在，当时，， 根据题意得：， 解得：； 当时，， 根据题意得：， 解得：． 答：在运动过程中，存在点，使得的值为或． 12．如图，已知线段，点是的中点，点是的三等分点，且点在点的右边． 在线段上是否存在一点，使得点是的中点，同时点也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，画图及理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点、三等分点的计算，掌握线段和差的计算方法，数形结合分析是解题的关键． 根据题意，以点为圆心，以长为半径画弧，交 于点，即为所求作，如图，可得，根据中点的定义可得，由此线段和差的计算可得，，由此即可求解． 【详解】解：存在，理由如下， 以点为圆心，以长为半径画弧，交 于点，即为所求作，如图， 理由：∵， ∴， ∴， ∴是的中点， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点． 13．如图，线段，动点在线段上，点是线段的中点，点是线段上一点． (1)如图1，当点是线段的中点时， ①若，则______； ②点在线段上运动的过程中，线段的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)如图2，当点是线段的中点时，点在运动的过程中，是否存在和点重合的可能？如果存在，求出重合时线段的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①2；②是定值，其值为 (2)存在， 【分析】本题考查线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握线段的数量关系，根据题意，得到线段之间的数量关系，得到一元一次方程，进行解答，即可． （1）①根据题意，求出，根据，求出，即可得到；②根据题意，可得，，再根据，即可； （2）根据题意，，设，得到，当点和点重合时，，推出，解出，即可． 【详解】（1）解：①∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②是定值，理由如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 即是一个定值，其值为． （2）解：存在，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 设， ∴， 当点和点重合时，， ∴， 解得， ∴，即当点和点重合时，的长为． 14．如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据线段中点的定义进行分类讨论，并列出方程是解决问题的关键． （1）根据线段，C为的中点即可得AC的长； （2）依题意得：，然后分三种情况讨论如下：①当点C为的中点时，②当点P为的中点时，③当点Q为的中点时，再根据每一种情况画出图形，利用线段中点的定义列出方程求出x即可． 【详解】（1）线段，C为的中点， ． （2）存在． 依题意得：， 由（1）可知：， 分三种情况讨论如下： ①当点C为的中点时：则，如图1所示： ，， ， 解得：（不合题意，舍去）； ②当点P为的中点时，则，如图1所示： ， ， ， ， 解得：； ③当Q为的中点时，则，如图2所示： ，， ， 解得：． 综上所述：当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 15．如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 16．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 考点03 探究数量关系 17．如图，是线段的中点，点在线段上，且．若，求线段的长． (1)请将下面的解题过程补充完整； 解：因为是线段的中点，，所以______=________． 因为点在线段上，， 所以________________， 所以______=_______． (2)在图中，用圆规在线段上找一点E，使得，并直接写出与的数量关系． 【答案】(1)；18；；；；3． (2)见解析， 【分析】本题考查了线段中点的性质与线段的和差运算，解题的关键是利用中点性质和线段比例关系求出各线段长度． 先由中点性质得的长度，再根据与的比例关系求出，最后通过计算出的长． 根据确定点的位置，再结合各线段长度得出与的数量关系． 【详解】（1）解：是线段的中点， ． 已知，则． 点在线段上，且， ． ， ． 把代入可得． ，， ． 故答案依次为：；18；；；；3． （2） C 是线段 AB 的中点， ． 又， 根据线段的和差关系，． 把，代入可得． ，， ． 的数量关系为． 18．如图，已知线段a，b．射线． 实践与操作：在射线上作线段，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 推理与探究：若线段的中点是点D，线段的中点是点E．请在上图中标出点D，E．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】实践与操作：图见解析；推理与探究：，理由见解析 【分析】本题考查了作线段、与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的定义是解题关键． 实践与操作：先以点为圆心、线段的长度为半径画弧，交射线于点，则；再以点为圆心、线段的长度为半径画弧，交射线于点，则； 推理与探究：先根据线段中点的定义可得，，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：实践与操作：在射线上作线段，如图所示： ． 推理与探究：，理由如下： ∵线段的中点是点， ∴， ∵线段的中点是点， ∴， ∴． 19．如图，已知线段，，作线段，使得． (1)请根据题意画出图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向左匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②若点为的中点，点为的中点，当点在线段上运动时，且点在点的左侧时，试猜想线段与之间的数量关系，请直接写出你的结论，不必说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)①或；② 【分析】（）画射线，依次在射线上截取，，则，即为所求； （）①由题意得，，再分点相遇前和点相遇后两种情况，分别列出方程解答即可求解；②根据题意画出图形，根据线段中点定义和和差关系表示出线段与，进而即可求解； 本题考查了画一条线段等于已知线段，线段的中点，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：①由题意得，，， 当点相遇前时，则， 解得； 当点相遇后时，则， 解得； 综上，当 时，的值为或； ②，理由如下： 如图，由①知，，， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 即． 20．已知A、B、C、D四个车站的位置如图所示： (1)求A、D之间的距离； (2)若C为的中点，则a、b有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)（或或），理由见解析 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段中点的含义； （1）直接利用线段的和差关系可得答案； （2）由线段中点的含义可得，可得，再整理即可． 【详解】（1）解：； （2）解：（或或） 理由：∵C为的中点 ∴ ∴ 整理得：． 21．如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）由线段中点定义得，，然后根据可得答案； （2）由线段中点定义得，然后根据即可求解； （3）由（2）得，结合点为线段的中点即可求解； （4）利用（2）的过程即可解答． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点分别是线段、的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：由（2）得，． 22．已知B、C在线段上．    (1)如图，共有 　　条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小： 　　（填：“”、“”或“”）； ②若，，则的长为 　　cm； (3)若，且E为中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图） 【答案】(1)6 (2)①＝；②20 (3) 【分析】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案； ②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长； （3）根据题意画出图形，设，则，利用中点的性质分别表示出和的长度，分析关系即可． 【详解】（1）解：图中有线段：、、、、、，共6条， 故答案为：6． （2）解：①， ， 即， 故答案为：． ②，， ， ， ， ， 故答案为：20． （3）解：如图，当点在的延长线上，    设，则， 为的中点， ， ， ， ． 如图，当点在线段上时，    设，则， 为的中点， ， ， ， ． 23．如图，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段． (1)若，求的长； (2)在（1）的条件下，若点D也是图中线段的圆周率点（不同于点C），试求出线段的长，并写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了线段的和差和线段之间的数量关系． （1）根据线段之间的关系代入解答即可； （2）根据可求出，根据即可求出，最后比较与即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：∵点D也是线段的圆周率点（不同于点C）， ， ，即， ， ∵， ， ∵， ． 24．已知点C为线段上的一点，点D、E分别为线段中点． (1)若，，求的长； (2)若，且点E在点C的右侧，试探究线段与之间的数量关系． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据D为线段中点，可得，从而得到，再由E为线段中点，可得，即可求解； （2）设，，，可得， ，进而得到，即可． 【详解】（1）解：∵D为线段中点， ， 又， ， ∵E为线段中点， ， ； （2）解：如图， ∵D为线段中点， ∴设， ， ∴设，， ∵E为线段中点， ， ， 即， ，， ． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，线段的和与差，明确题意，准确得到线段与线段间的数量关系是解题的关键． 考点04 求运动时间 25．如图，E为线段上靠近点A的三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． (1)若，求线段的长； (2)若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； (3)若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 【答案】(1) (2) (3)存在，动点P运动的时间为或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题，线段的和差倍分，利用一元一次方程的方法求解是解题的关键． （1）根据三等分点的定义求出的长度，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）先求出所有线段的和为，结合已知可得出，设，则，，根据三等分点的定义求出，则可得方程，解方程即可求解； （3）分三种情况：①在左边时，；②在右边，在左边时，；③在右边时且在右边时，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵E为线段上靠近点A的三等分点，， ∴， ∴， （2）解：∵以A为端点的线段有，，，；以E为端点的线段有，，；以B为端点的线段有，，以D为端点的线段有， ∴所有线段的和为 ， ， ∵所有线段的长度之和是线段长度的5倍， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 又， ∴， ∵E为线段上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵，，E为线段上靠近点A的三等分点， ∴，， ∴，， ①在左边时，， ，， ∴， 解得； ②在右边，在左边时，， ，， ∴， 解得（舍去）； ③在右边时且在右边时，， ，， ∴， 解得， 综上，存在某个时刻使得成立，此时动点P运动的时间为或． 26．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. （1）利用中点及“二倍点”的定义，即可得出一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； （2）设，则，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点到达点及点与点相遇所需时间，当时，表示，，的长，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 27．如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)， (2)①4或；②2或10 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差以及线段中点的定义即可求解； （2）①由题意得，点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒，分2种情况讨论：当、时，分别表示出、的长，结合点与点重合，列出方程求出的值，即可解答；②分2种情况讨论：当、时，利用线段中点的定义表示出、的长，结合，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； 当时，，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 28．如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决追及问题，解题的关键是利用线段的和差列出方程． （1）根据路程列出一元一次方程求解即可； （2）根据路程列出一元一次方程求解即可； （3）根据路程列出含有绝对值的一元一次方程求解即可，或分两种情况进行分别求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得， ， 解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 29．如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (3) 【分析】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据，依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解； （2）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （3）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴， 依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 30．如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【分析】（1）分别求出和的长，即可求出； （2）当时，点P在线段上，点Q在线段上，求出即可； （3）分段讨论，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可； （4）分情况，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵， ∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 31．如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)能重合， (4) 【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到 ；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即． （2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，， ∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点． ∴， ∴， 解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴． 解得：； 故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得， 解得：． 当时，线段与线段的长度相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 32．如图，点О在线段上，线段，，动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动． (1)如图1，点M，N分别为的中点，求线段的长； (2)求运动时间为多少时，点P与点О重合？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段和差的计算，线段的中点； (1)根据题意，得，，整理得到，计算即可． (2)设运动时，P，O重合，根据路程、速度与时间的关系列式计算即可． 【详解】（1）∵线段，， ∴， ∵点M，N分别为的中点， ∴， ∴． （2）设运动时，P，O重合， ∵点P以的速度沿向右运动， ∴， 当P，O重合时，根据题意，得， 解得 故经过5秒钟，两点重合． 考点05 动点求值 33．如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，    (1)_______，_______； (2)若点是线段上一点，且满足，求的长； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动． ①当为何值时，； ②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也向右运动．当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动．在此过程中，点行驶的总路程是多少？ 【答案】(1)8，4 (2) (3)①或② 【分析】本题考查线段的和与差，一元一次方程的应用，两点间的距离： （1）由于，点O是线段上的一点，，则，依此即可求解； （2）根据图形可知，点C是线段上的一点，可设的长是，根据，列出方程求解即可； （3）①分在线段上和在线段的延长线上时，两种情况讨论求解即可；②求出点P经过点O到点P，Q停止时的时间，再根据路程速度时间即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8，4； （2）设的长是， 当点在线段上时，如图：    则：，解得：； 当点在线段上时，如图：    则：，解得：（舍去）； 故的长是； （3）①由题意，得：，，则：， 当在线段上时，，由题意，得：， 解得：， 当在线段的延长线上时，，由题意，得：，解得：； 综上：或； ②∵， ∴点运动到点时，，此时两点的间的距离为：， 当点与点重合时，所需时间为：秒， ∴点行驶的总路程是． 34．如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B． (1)车站要准备车票，一共要准备 种车票． (2)现在准备在其中一个车站处建加油站，使这五个车站各站到此加油站的总路程最短，加油站应建在 处． (3)如果公路的路程为80千米，M，N分别是的中点，求路段的长度． 【答案】(1)20 (2)C (3)40千米 【分析】本题考查了直线、线段以及距离的计算，熟练掌握线段的和差是解答本题的关键． （1）计算有多少条线段即可； （2）分别计算出各点的距离之和进行比较即可； （3）利用线段的和差倍分计算出即可． 【详解】（1）解：（种）． 故答案为：20； （2）①建在A处，， ②建在M处，， ③建在C处，， ④建在B处，， ∴最短， ∴建在C处． 故答案为：C； （3）解：∵M，N分别是的中点， ∴， ∴（千米）． 35．如图所示，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为，A，C间的路程为，现欲在C，B之间建一个车站P，设P，C之间的路程为． (1)若P为线段的中点，求的长； (2)用含x的代数式表示车站P到三个村庄的路程之和； (3)若车站P到三个村庄的路程之和为，则车站应建在何处？ (4)若要使车站P到三个村庄的路程总和最小，问车站应建在何处？最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) (3)车站应建在村庄C的右侧处 (4)车站建在村庄C处，路程和最小，最短路程是 【分析】本题考查了线段长的计算、代数式的应用、一元一次方程的应用等知识，根据题意画出图形分类讨论是解题关键． （1）根据计算出，再根据P为线段的中点，即可解答； （2）由题意列出车站P到三个村庄的路程，再求和即可； （3）由题意得解方程即可得到答案； （4）由题意得车站到三个村庄的总路程为，根据代数式的特点求出最小值，找到车站位置即可． 【详解】（1）解：， ∴． 又∵P为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：车站P到三个村庄的路程之和为 ； （3）解：若车站P到三个村庄的路程之和为，则， 故， 即车站应建在村庄C的右侧处； （4）解：要使车站P到三个村庄的路程总和最小，即最小，故取， 这时车站建在村庄C处，路程和最小，最短路程是． 36．线段，，是线段上的两个动点（点在点的左侧），且，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点．点，在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出的长． 【答案】(1) (2)线段的长度不会发生变化， 【分析】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． （1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴； （2）解：线段的长度不会发生变化，， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的概念是解题的关键． （1）根据线段中点的性质求出，，，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求解即可； （3）根据线段中点的性质求解即可． 【详解】（1）解：若点C是中点，则， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （3）解：∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴． ∴不论取何值（不超过），的长不变． 38．如图，，C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当C为线段的中点时，求的长． (2)若E为线段的中点，当E时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)求的长（用含a的式子来表示）； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，熟练运用相关的性质认真计算是解题的关键． （1）根据线段中点的意义得到，，再由线段和差得到，即，即可求解； （2）由（1）可知，而，则，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点 ∴， ∵点E是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 由（1）可知， 而， ∴， ∴． 40．如图，线段，a 为最小的正整数，点C 为线段上一点，将线段沿点C 对折后， 点A 的对应点为线段上的点D，． (1)求线段的长，并说明的理由； (2)动点M 从A点出发沿线段以每秒1个单位的速度向点B 运动，同时动点N 从B 点 出发沿线段以每秒2个单位的速度向点A运动．设运动的时间为t 秒，当点M，N在点H 处相遇时，求此时线段的长 ． 【答案】(1)10，理由见解析 (2) 【分析】本题考查线段的数量关系，一元一次方程的实际应用： （1）根据a 为最小的正整数，得到，进而求出的长，根据折叠，得到，进而得到，根据，得到，即可得证； （2）根据题意，列出方程，求出的值，进而得到的长，用的长减去的长即可． 【详解】（1）解：∵a 为最小的正整数， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：， 当点M，N在点H 处相遇时，， ∴， ∴， ∴． 考点06 往返运动 41．如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】本题考查了线段的和差倍分的计算，运动问题，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的关系，是解题的关键． （1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，当点P是线段的中点时，确定运动时间，后计算即可． 【详解】（1）解：∵根据，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为， 得，， 当点P是线段的中点时，， 故此时， ∴，， ∴． 42．如图，直线上有，两点，，点是线段上一点，． (1)________，________； (2)若点以的速度从点出发沿直线向右运动，同时，点以的速度从点出发沿直线也向右运动，设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动． ①当为何值时，； ②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也沿直线向右运动，当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止运动时，点也停止运动，在此过程中，点行驶的总路程是多少？ 【答案】(1)， (2)①或② 【分析】本题考查线段的和与差，一元一次方程的应用，两点间的距离： （1）由于，点O是线段上的一点，，则，依此即可求解； （2）①分在线段上和在线段的延长线上时，两种情况讨论求解即可； ②求出点P经过点O到点P，Q停止时的时间，再根据路程速度时间即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）①由题意，得：，，则：， 当在线段上时，，由题意，得：， 解得：， 当在线段的延长线上时，，由题意，得：， 解得：； 综上：或； ②∵， ∴点运动到点时，，此时两点的间的距离为：， 当点与点重合时，所需时间为：秒， ∴点行驶的总路程是． 43．直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足（且为正整数），则称此时是点M、N的一次“n时刻”．点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为ts． (1)当时，点M，N到达“______分时刻； (2)当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？ (3)当______时，点 M、N到达“8分时刻”？ (4)进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数． 【答案】(1)2 (2)或 (3)或或或 (4)见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）当时，，，可得，从而，进而可以判断得解； （2）根据M和N的运动时间进行分类讨论，然后用含t的式子表示出的长度，再根据题意可知，建立方程求解即可； （3）同（2）方法； （4）同上述方法可知当时，有2个对应的t；当时，有3个对应的t；当时，有4个对应的t． 【详解】（1）解：当时，，，如图： ， ， ∴． 点M，N到达“2分时刻”． 故答案为：2； （2）解∶当时，； 当时，； 当时，； 当M、N两点重合时，或， 解得或， 点M，N到达“3分时刻”，． ①当 时， ， ∴， 解得 ； ②当时， ， ∴， 解得 ，不合题意，舍去； ③当 时， ， ∴， 解得 ，不合题意，舍去； ④当时， ， ∴， 解得 ； ⑤当时， ， ∴， 解得 （舍去）； 综上所述，当t为或时，点M、N达到“3分时刻”； （3）解∶ 当时，； 当时，； 当时， ； 若时，则， 当M、N两点重合时， 或， 解得或， ①当 时， ， ∴， 解得 ； ②当时， ， ∴， 解得 ； ③当 时， ， ∴， 解得 ； ④当时， ， ∴， 解得 ； ⑤当时， ， ∴， 解得 （舍去）； 综上所述，当t为或或或时，点M、N达到“8分时刻”； 故答案为：或或或； （4）解∶ 同（3）的方法可知，当时，有2个对应的t； 当时，有3个对应的t； 当时，有4个对应的t． 44．点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 45．如图，相距千米的两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距地千米，小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时千米的速度向地匀速运动，当到达地后立即以原来的速度返回，到达地停止运动，设运动时间为t (时)，小明的位置为点. (1)当时，求点间的距离 (2)当小明距离地千米时，直接写出所有满足条件的值 (3)在整个运动过程中，求点与点的距离(用含t的代数式表示) 【答案】（1）1.5k；（2）；（3）5，20-5t 【分析】(1)根据速度，求出t=0.5时的路程，即可得到P、C间的距离； (2)分由A去B，B返回A两种情况，各自又分在点C的左右两侧，分别求值即可； (3)PA的距离为由A去B，B返回A两种情况求值. 【详解】(1)由题知: 当时,，即 当小明由A地去B地过程中： 在AC之间时， （小时）， 在BC之间时， （小时）， 当小明由B地返回A地过程中： 在BC之间时， （小时）， 在AC之间时， （小时）， 故满足条件的t值为： (3)当小明从A运动到B的过程中，AP=vt= 5t, 当小明从B运动到A的过程中，AP= 20-vt= 20- 5t. 【点睛】此题考查线段的和差的实际应用，掌握题中运用的行程题的公式，正确理解题意即可正确解题. 46．如图，线段AB＝15cm，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立即改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒． （1）若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值． （2）若点P点Q同时出发，在P与Q相遇前，若点P是线段AQ的三等分点时，求t的值． （3）若点P点Q同时出发，Q点与P点相遇后仍然继续往A点的方向运动到A点后再返回，求整个运动过程中PQ为6cm时t的值 ． 【答案】（1）t=5(秒）；（2）t=3或t=30/7；（3）当PQ=6cm时，t=3或t=7或t=9或t=21 【分析】（1）根据相遇时，两点共同走了15cm列方程解答即可； （2）分两种情况列方程求解即可：①当AP= AQ时，②当AP= AQ时； （3）分四种情况列方程求解即可：①相遇前PQ=6，②相遇后Q未到达A点前PQ=6，③相遇后Q到达A后返回未追上P时PQ=6，④相遇后Q到达A后返回追上P时PQ=6. 【详解】解: （1）∵t+2t=15 ， 则t=5(秒）； （2）①当AP= AQ时，即t= (15-2t)， ∴t=3； ②当AP= AQ时，即t= (15-2t)， ∴t=， 即当P点是AQ的三等分点时t=3或t=； （3）①相遇前PQ=6，即15-t-2t=6， ∴t=3 ②相遇后Q未到达A点前PQ=6，即t+2t=15+6 ∴t=7， ③相遇后Q到达A后返回未追上P时PQ=6，即2t-15+6=t， ∴t=9， ④相遇后Q到达A后返回追上P时PQ=6，即2t-15-t=6， ∴t=21， 综上所述当PQ=6cm时，t=3或t=7或t=9或t=21. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学解题思想，解答本题的关键是正确分类求解. 47．如图，已知线段． (1)若点C是的中点，是线段上一点，且，求线段的长； (2)点P从点A出发以每秒的速度在线段上向点B方向运动；同时点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．当点P是线段的中点时，求t的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了线段的和差，线段上的动点问题． （1）先求出的值，再分情况讨论即可； （2）求出重合时t的值，分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵点C是的中点， ∴， 当在C左边时，； 当在C右边时，； （2）解：点Q与点P重合时，， 当点Q与点P重合前，，解得：； 当点Q与点P重合后，，解得：． 48．如图，在数轴上有A，B，C三个点，所表示的数分别是a，b，，原点O是线段上一点．已知，且，有两条动线段和满足，．初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动． (1)直接写出a，b的值； ， ； (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段，同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值； (3)当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接写出m与n的数量关系． 【答案】(1)；2 (2)或4 (3) 【分析】（1）先根据，点C表示的数为，求出点A表示的数，再根据，求出，即可得出答案； （2）分两种情况：当点P为的中点时，当点M为的中点时，分别列出方程，解方程即可； （3）先求出，，得出，根据常数m，n使得的值与t无关，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，点C表示的数为， ∴点A表示的数， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：t秒后点M表示的数为，点P表示的数为， 当点P为的中点时，则： ， 解得：； 当点M为的中点时，则： ， 解得：； 综上分析可知：当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，时间t的值为或4． （3）解：点Q运动到点B需要的时间为： （秒）， ∴当时，线段向左运动，点Q表示的数为， ∴，， ∴ ， ∵常数m，n使得的值与t无关， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，整式加减的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $