专题09 二元一次方程组应用题分类训练（10种类型80道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期湘教版2024

专题09 二元一次方程组应用题分类训练 （10种类型80道） 考点01 行程问题 考点02 工程问题 考点03 年龄问题 考点04 配套问题 考点05 销售利润 考点06 古代问题 考点07 几何图形 考点08 方案问题 考点09 比赛积分 考点10 阶梯计费 考点01 行程问题 1．从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 2．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 3．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 4．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 5．根据题意，列出二元一次方程组： (1)摩托车的速度是货车速度的，两车的速度之和为200km/h，求摩托车和货车的速度． (2)某种裤子的单价是某种皮衣单价的1.4倍，5件皮衣比3条裤子贵700元，求裤子和皮衣的单价． 6．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 7．列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 8．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 考点02 工程问题 9．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 10．汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 11．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 12．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 13．甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 14．某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 15．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 16．对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解． (1)某村乡村振兴项目计划把黄桃加工成罐头，刚开始每天加工，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工，前后共用8天完成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？ (2)在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？ 考点03 年龄问题 17．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 18．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 19．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 20．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 21．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 22．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 23．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 24．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 考点04 配套问题 25．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 26．某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多少名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 27．如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 28．春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 29．工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 30．某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 31．某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 32．某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 考点05 销售利润 33．经销商从某厂家用元购买、两种产品共千克，这两种产品的进价和售价如下表，厂家承诺：卖不出去的产品，厂家可按进价的回收． 产品 A B 进价 70元/千克 80元/千克 售价 95元/千克 110元/千克 (1)求该经销商购进、两种产品各多少千克？ (2)若该经销商在销售结束时将剩余的的种产品和的种产品交回厂家，求他在这次销售中获利多少元？ (3)若该经销商计划再次购进这两种产品共千克，假设还会有的产品和的产品不能售出要交回厂家，求本次该经销商购进、两种产品各多少千克时可在销售中获利元？ 34．列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的A、B两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件A商品的售价为800元，利润为300元；每件B商品的进价为800元，利润率为： (1)若该商店第一次用68000元购进了A、B两种商品，其中B商品的件数比A商品件数的2倍少20件，求购进A、B两种商品各多少件； (2)在（1）的条件下，该商店第二次又购进A、B两种商品进行销售，与第一次相比，购进A商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进B商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1100元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的22件B商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润29180元，求m的值． 35．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 36．某地图书馆现需购买一批书架，有木质和铁质两种书架可供选择，已知购买3个木质书架比购买2个铁质书架少用180元，购买3个木质书架和2个铁质书架共需780元，求这两种书架的单价分别为多少元/个？（用二元一次方程组的知识解答） 37．“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元，其中A的价格是每件100元，B的价格是每件80元．问：购进A种型号和B种型号的挂件各多少件？ 38．倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，若购买3台型机器人和4台型机器人，共需万元；若购买台型机器人和台型机器人，共需万元，求、两种型号机器人的单价． 39．为了迎接2025年的“双十二”购物节并刺激消费，某工厂推出了甲和乙两种型号的雪地靴．已知该工厂生产了甲型和乙型雪地靴共200双，其中每双甲型雪地靴的生产成本为150元，每双乙型雪地靴的生产成本为200元，生产这些雪地靴的总成本为35500元． (1)请问甲型和乙型雪地靴各生产了多少双？ (2)这200双雪地靴被运往商场销售，甲型雪地靴的售价为每双300元，乙型雪地靴的售价为每双350元．销售过程中，由于甲型雪地靴销量不佳，在卖出一定数量后，工厂决定将剩余的甲型雪地靴按原价的四折出售．最终甲、乙两种型号的雪地靴全部售出，共获得利润20640元．问甲型雪地靴在卖出多少双后开始打折销售？ 40．列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． (1)求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ (2)为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 考点06 古代问题 41．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 42．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 43．我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 44．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 45．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 46．《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？” 47．古代数学文化  《九章算术》中的“玉石问题”：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何（斤、两是古代的质量单位，这里1斤6两；寸是古代的长度单位）．意思是1立方寸玉重7两，1立方寸石料重6两．现有一块形状为正方体的石头，里面含有玉，棱长是3寸，质量是11斤．请问这块石头中玉和石料各重多少？ 48．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房都住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？该批住店房客多少人？（请用方程组的知识解答） 考点07 几何图形 49．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 50．如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 51．如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），求一个小长方形的长与宽． 52．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 53．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 54．数学活动实践课上，小辰先画了一个长为，宽为的长方形，然后又在该长方形中面了5个相同大小的小长方形（阴影部分），如图所示，求图中空白部分的面积．（列方程组解） 55．如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边． (1)求通道的宽； (2)求铺上草皮的面积． 56．学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为的长方形草地，分成9块形状和大小完全一样的小长方形（放置位置如图所示），种上各种花卉．经预算，绿化每平方米造价为100元． (1)求出每一个小长方形的长和宽； (2)完成这项绿化工程需投入资金多少元？（结果用科学记数法表示） 考点08 方案问题 57．随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元． (1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案； (3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 58．为积极响应国家关于“推动人工智能与教育深度融合”的号召，全面提升学生的数字素养与创新能力，某校计划采购一批核心设备．已知市场报价如下：购进2台学习机器人和3套智能编程套装，总计花费90万元；购进3台学习机器人和2套智能编程套装，总计花费85万元． (1)每台学习机器人和每套智能编程套装的进价分别为多少万元? (2)若该校计划出资125万元资金全部用于购进学习机器人和智能编程套装两种设备（两种设备均购买）供学生使用，请问共有几种购进方案? 59．已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 60．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 61．李老师在某体育用品商店分两次购买篮球和足球，购买时，均按标价购买，两次购买篮球和足球的数量和费用如表所示． 篮球/个 足球/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 (1)求篮球和足球的标价分别为多少元； (2)元旦期间，商店举行优惠促销活动，篮球和足球同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买篮球和足球（篮球、足球均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 62．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 63．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 64．某校组织八年级学生赴博物馆进行综合实践活动．已知博物馆的文创商店推出了两款特色文创产品，若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元；若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元． (1)求该文创商店中甲、乙两种文创产品的单价； (2)若学校计划用元购买甲、乙两种文创产品（两种都要购买），求该校共有几种购买这两种文创产品的方案？ 考点09 比赛积分 65．明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 66．为了促进全民健身运动，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则为：胜一场积a分，平一场积b分，负一场积0分，当比赛进行到轮（每队均需比赛场）结束时，已知甲队负7场，平2场，积分；乙队负7场，平1场，积分；丙队积分． (1)求a，b的值； (2)请通过计算，判断丙队胜、平、负场次的可能情况． (3)若丙队赞助商对丙队的奖励方案为：胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，那么，丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是多少？ 67．甲、乙两支篮球队进行比赛，赛前两队的积分都不到50分．本场比赛的胜者将加分，负者则减同样的分．若甲队胜，则甲队的积分是乙队的4倍；若乙队胜，则甲队的积分是乙队的3倍．那么，赛前甲队、乙队的积分各是多少分?（注：两队赛前、赛后的积分都是整数） 68．安徽历史悠久，山川秀美．某校以“大美安徽”为主题举办征文比赛，其中七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级的一半少2篇，求七年级和八年级分别收到多少篇征文． 69．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 70．中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 71．重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ (2)已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 72．篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛． (1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分． (2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？ 考点10 阶梯计费 73．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过部分按二级单价收费．五月份王阿姨家用水，缴费37.6元；张奶奶家用水，缴费47.2元． (1)求该市一级水费、二级水费的单价分别是多少元？ (2)某户某月缴纳水费为63.2元时，用水量为多少？ 74．为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用三档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过220度时，按第一档单价收费；超过220度且不超过400度时，超过的部分按第二档单价计费；超过400度时，超过400度的部分按元/度计费．2025年某月张华家用电250度，缴费124元；李明家用电300度，缴费151元． (1)这个市第一档电费、第二档电费的单价分别是多少？ (2)某用户一个月的电费为元，则该用户这个月的用电量为________度．（直接写出结果，不必说明理由） 75．为鼓励居民节约用电，某市对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，如下表．小明家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知小红家今年4，5月份的家庭用电量分别为200千瓦时和490千瓦时，请你依据题目条件，计算小红家4，5月份的电费分别为多少元？ 每户每月用电量 电价/（元/千瓦时） 180千瓦时及以内 x 超过180千瓦时但不超过450千瓦时的部分 y 超过450千瓦时的部分 76．江西省居民用电采取阶梯电价的方式收费，分档标准如图所示．已知小明家在2023年用电总量为2760千瓦时，交纳电费1686元；小华家在2023年用电总量为3160千瓦时，交纳电费1946元． 分档 年电量水平（千瓦时/户） 第一档 第二档 （含4200） 第三档 (1)求第一档与第二档用电收费标准； (2)若小华家在2024年用电总量为4100千瓦时，求小华家2024年应交纳的电费总额． 77．水是生命之源，“节约用水，人人有责”，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是找市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息 阶梯 年用水量（吨/户） 水价（元/吨） 污水处理价格（元/吨） 第一阶梯 不超过250吨 2.20 1.00 第二阶梯 超过250吨不超过350吨 3.30 1.00 第三阶梯 超过350吨 6.60 1.00 ①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：水费=自来水费用+污水处理费用； ②每月用水量会计入全年总量，决定当月每吨水的价格． （例如：前几个月累计用水260吨，则当月水价均按3.3元/吨计算；若前几个月累计用水240吨，当月用水量20吨，则当月的水价中10吨按照2.2元/吨，另外10吨按照3.3元/吨计算） (1)若小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，10月预计用水35吨，则小明家10月份预计应缴纳水费多少元？ (2)若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119元，设上半年用水量x吨，下半年用水量y吨，列方程组解应用题，求上半年用水量． (3)若小红家2024年全年用水400吨，其中下半年比上半年少缴费76元，求上半年用水量． 78．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 79．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元． (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水多少立方米？ 80．为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0．05元． 海珠区的李白同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的另一位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和 490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、5月份的电费分别为多少元？ 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二元一次方程组应用题分类训练 （10种类型80道） 考点01 行程问题 考点02 工程问题 考点03 年龄问题 考点04 配套问题 考点05 销售利润 考点06 古代问题 考点07 几何图形 考点08 方案问题 考点09 比赛积分 考点10 阶梯计费 考点01 行程问题 1．从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】平路的长为，山路的长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设平路的长为，山路的长为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 2．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比． ()设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为米，由等量关系列出方程组，即可得解； （）由()知男运动员的速度是女运动员速度的倍，可设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈，利用男运动员追上女运动员时多跑圈，由等量关系列出方程组，即可得解． 【详解】（1）解：（1）设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为． 由题意，得 ， 解得 ， ∴男运动员的速度是女运动员的倍． （2）设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈， 根据题意，得 ， 解得． ∴男运动员追上女运动员时，女运动员跑了圈． 3．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 4．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 【答案】(1)坡道的长度为1800米 (2)经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——上下坡问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列方程，是解题的关键． （1）设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟．根据从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，列二元一次方程组解答； （2）利用第（1）问求出的速度，设经过分钟后两车相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程解答. 【详解】（1）解：设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟． 根据题意，得解得 答：坡道的长度为1800米． （2）解：由（1）可知甲、乙两车上坡的速度为600米／分钟，下坡的速度为（米／分钟）． 设经过t分钟后两车相距300米， ①相遇之前：，解得； ②相遇之后：，解得． 答：经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米． 5．根据题意，列出二元一次方程组： (1)摩托车的速度是货车速度的，两车的速度之和为200km/h，求摩托车和货车的速度． (2)某种裤子的单价是某种皮衣单价的1.4倍，5件皮衣比3条裤子贵700元，求裤子和皮衣的单价． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设摩托车的速度为，货车的速度为，列方程组即可； （2）设裤子的单价为元，皮衣的单价为元，列方程组即可. 【详解】（1）解：设摩托车的速度为，货车的速度为． 根据题意，得 （2）解：设裤子的单价为元，皮衣的单价为元． 根据题意，得 【点睛】本题考查了列方程组解应用题，其中准确找到等量关系列方程是解题的关键. 6．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 【答案】(1)x的值为2，y的值为 (2)小明的妈妈应付车费元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）根据甲、乙的打车总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用打车总费用=里程费+耗时费，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：x的值为2，y的值为； （2）（元）． 答：小明的妈妈应付车费元． 7．列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】(1)每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元 (2)甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． （1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意可列，解方程组即可； （2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题意可列，解方程组即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， 所以根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． （2）设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， 解得：． 答：甲的速度为，乙的速度为． 8．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 考点02 工程问题 9．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 10．汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】(1) (2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 11．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 12．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 13．甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【答案】385个 【分析】设甲原来每天做个，乙原来每天做个，根据甲工作效率提高之前和之后完成任务的两个等量关系列方程组即可． 【详解】解:设甲原来每天做个，乙原来每天做个，则原来任务数是个，根据题意，得 ： 解这个方程组得： (个) 答：原计划一共加工385个零件． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是从题中找出两个等量关系，再设未知数列方程组即可解题． 14．某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 15．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 16．对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解． (1)某村乡村振兴项目计划把黄桃加工成罐头，刚开始每天加工，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工，前后共用8天完成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？ (2)在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？ 【答案】(1)这个项目改进加工方法前、后各用了2天、6天． (2)这个队的胜、负场数分别是6场和4场． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设这个项目改进加工方法前、后各用了x、y天，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设这个队的胜、负场数分别是m、n场，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设这个项目改进加工方法前、后各用了x天和y天， 由题意可得：，解得：． 答：这个项目改进加工方法前、后各用了2天和6天． （2）解：设这个队的胜、负场数分别是m场和n场， 由题意可得：，解得：． 答：这个队的胜、负场数分别是6场和4场． 考点03 年龄问题 17．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 18．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 19．今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 20．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 21．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 22．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键． 23．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 24．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 考点04 配套问题 25．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 26．某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多少名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 【答案】每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，根据共有140名工人及一个卷筒与两个圆板配成一套，可得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，由题意得， ， 解得：， ∴每天生产卷筒：（个）， 每天生产圆板：（个）， ∴圆板数量恰好为卷筒数量的2倍，则可配成1000套，无剩余 答：每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板才能使每天生产出来的产品配成最多套． 27．如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设用木料做桌面，木料做桌腿，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设用木料做桌面，木料做桌腿，由题意，得： 解得． （张）． 答：用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌． 28．春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人 (2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设该工厂有男工x名，女工y名，根据题意列出方程组，即可得出答案； （2）设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，根据题意列出方程组，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得， 解得：， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得， 解得：， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 29．工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【答案】(1)制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元 (2)360面 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，根据布料一共有75米，且每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求求出大五角星的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元， 由题意得， 解得， 答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元； （2）解：面， 答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗． 30．某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得：， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 31．某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 32．某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 【答案】不存在恰好配套，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套，根据配套可得出，解出x，y的值，即可判断出结果． 【详解】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套， 依题意，得， 解得： 因为求出的x，y的值不是整数， 所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套． 考点05 销售利润 33．经销商从某厂家用元购买、两种产品共千克，这两种产品的进价和售价如下表，厂家承诺：卖不出去的产品，厂家可按进价的回收． 产品 A B 进价 70元/千克 80元/千克 售价 95元/千克 110元/千克 (1)求该经销商购进、两种产品各多少千克？ (2)若该经销商在销售结束时将剩余的的种产品和的种产品交回厂家，求他在这次销售中获利多少元？ (3)若该经销商计划再次购进这两种产品共千克，假设还会有的产品和的产品不能售出要交回厂家，求本次该经销商购进、两种产品各多少千克时可在销售中获利元？ 【答案】(1)该经销商购进产品千克，购进产品千克； (2)他在这次销售中获利元； (3)本次该经销商购进产品千克、产品千克时可在销售中获利元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程组求解是解题的关键． （1）设购进、产品的重量为未知数，根据总重量和总进价列二元一次方程组求解； （2）先计算实际销售额，再结合厂家回收款，通过“利润销售额回收款总进价”计算； （3）先确定每千克、的利润与回收款，再设新的购进量为未知数，根据总重量和总获利列方程组求解． 【详解】（1）解：设该经销商购进产品千克，购进产品千克， 根据题意得： 解得：． 答：该经销商购进产品千克，购进产品千克； （2）解： （元） （元） （元）． 答：他在这次销售中获利元； （3）解：销售每千克产品利润（元）， 销售每千克产品利润（元）， 厂家回收每千克产品亏损（元）， 厂家回收每千克产品亏损（元）． 设本次该经销商购进产品千克、产品千克时可在销售中获利元， 根据题意得， 整理得， 解得． 答：本次该经销商购进产品千克、产品千克时可在销售中获利元． 34．列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的A、B两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件A商品的售价为800元，利润为300元；每件B商品的进价为800元，利润率为： (1)若该商店第一次用68000元购进了A、B两种商品，其中B商品的件数比A商品件数的2倍少20件，求购进A、B两种商品各多少件； (2)在（1）的条件下，该商店第二次又购进A、B两种商品进行销售，与第一次相比，购进A商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进B商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1100元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的22件B商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润29180元，求m的值． 【答案】(1)商品件，商品件； (2) 【分析】                                                                                                                                                                                                                                                       本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价,设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解 （2）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元）， 因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元）， 设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件， 已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得： ， 解得：， ， 所以第一次购进商品件，商品件； （2）解：由（1）得第一次购进商品件，商品件， 第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元， 第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 35．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方120个，数独棋40个 (2)852元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）及题意可直接列式进行求解． 【详解】（1）解：设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意得： 根据题意得， 解得； 答：该商店购进魔方120个，数独棋40个． （2）解：由题意得： （元） 答：该商店共获利852元． 36．某地图书馆现需购买一批书架，有木质和铁质两种书架可供选择，已知购买3个木质书架比购买2个铁质书架少用180元，购买3个木质书架和2个铁质书架共需780元，求这两种书架的单价分别为多少元/个？（用二元一次方程组的知识解答） 【答案】木质书架的单价为100元/个，铁质书架的单价为240元/个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设木质书架的单价为元/个，铁质书架的单价为元/个，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设木质书架的单价为元/个，铁质书架的单价为元/个， 根据题意可得：， 解得， 答：木质书架的单价为100元/个，铁质书架的单价为240元/个． 37．“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元，其中A的价格是每件100元，B的价格是每件80元．问：购进A种型号和B种型号的挂件各多少件？ 【答案】购进A种挂件60件，B种挂件40件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键．设购进种挂件件，种挂件件，根据用元一次性购进了、两种挂件共件，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设购进种挂件件，种挂件件，根据题意得： 解得， 答：购进种挂件件，种挂件件． 38．倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，若购买3台型机器人和4台型机器人，共需万元；若购买台型机器人和台型机器人，共需万元，求、两种型号机器人的单价． 【答案】型机器人的单价为万元，型机器人的单价为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练列出方程组是解题的关键．通过设立二元一次方程组并求解，得到机器人的单价． 【详解】解：设型机器人的单价为万元，型机器人的单价为万元 根据题意，得方程组： ， 将两个方程相加，得， 化简得， 所以， 将代入第一个方程，得， 化简得， 即， ， 则． 因此，型机器人的单价为万元，型机器人的单价为万元． 39．为了迎接2025年的“双十二”购物节并刺激消费，某工厂推出了甲和乙两种型号的雪地靴．已知该工厂生产了甲型和乙型雪地靴共200双，其中每双甲型雪地靴的生产成本为150元，每双乙型雪地靴的生产成本为200元，生产这些雪地靴的总成本为35500元． (1)请问甲型和乙型雪地靴各生产了多少双？ (2)这200双雪地靴被运往商场销售，甲型雪地靴的售价为每双300元，乙型雪地靴的售价为每双350元．销售过程中，由于甲型雪地靴销量不佳，在卖出一定数量后，工厂决定将剩余的甲型雪地靴按原价的四折出售．最终甲、乙两种型号的雪地靴全部售出，共获得利润20640元．问甲型雪地靴在卖出多少双后开始打折销售？ 【答案】(1)甲型雪地靴生产了90双，乙型雪地靴生产了110双． (2)甲型雪地靴在卖出38双后开始打折销售． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． （1）甲型雪地靴生产了双，乙型雪地靴生产了双，根据题意列出方程，即可求解甲型和乙型雪地靴的生产数量； （2）根据利润和销售情况列方程求解甲型雪地打折前的销售数量． 【详解】（1）解：设甲型雪地靴生产了双，乙型雪地靴生产了双． 根据题意， 解得： 答：甲型雪地靴生产了双，乙型雪地靴生产了双． （2）总成本为元，总利润为元，因此总收入为元． 乙型雪地靴全部按原价元销售，收入为元． 设甲型雪地靴在卖出双后开始打折，则打折前甲型收入为元，打折后甲型收入为元． 总收入方程为： 解得： 甲型雪地靴在卖出双后开始打折销售． 40．列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． (1)求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ (2)为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 【答案】(1)喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元． (2)m的值为2． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，可化为一元一次方程的分式方程的应用，根据题目条件找出等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设喜洋洋挂件的销售单价为元，根据喜洋洋挂件单价比乐融融摆件的销售单价少10元，可表示出乐融融摆件的销售单价．再根据购买3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件共花费310元，列出方程求解； （2）先分别表示出降价后喜洋洋挂件和乐融融摆件的单价，再根据乙顾客购买两种商品的数量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设喜洋洋挂件的销售单价为元，则乐融融摆件的销售单价为元．根据题意，得 ， 解得， ， 答：喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元； （2）降价后喜洋洋挂件的单价为元，乐融融摆件的单价为元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：的值为2． 考点06 古代问题 41．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 【答案】甲有羊只，乙有羊只． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有羊只，乙原有羊只，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲原有羊只，乙原有羊只， 根据题意得，， 解得：， 答：甲有羊只，乙有羊只． 42．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每头牛值金两，每只羊值金两，根据5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意， ，解得， 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 43．我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 44．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱． 【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 根据题意得：， 解得：， 答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文. 45．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 【答案】有人，物价为钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物价为钱，根据题意，可列方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱． 46．《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长36尺，井深为8尺． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折来量，绳多四尺；②绳四折来量，绳多一尺． 【详解】解：设绳长为x尺，则井深为y尺，依题意得： 解得 ， 答：绳长36尺，井深为8尺． 47．古代数学文化  《九章算术》中的“玉石问题”：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何（斤、两是古代的质量单位，这里1斤6两；寸是古代的长度单位）．意思是1立方寸玉重7两，1立方寸石料重6两．现有一块形状为正方体的石头，里面含有玉，棱长是3寸，质量是11斤．请问这块石头中玉和石料各重多少？ 【答案】玉的质量为98两，石料的质量为78两 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据石头的总重及体积，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设玉的质量为两，石料的质量为两． 根据题意，得 解得 答：玉的质量为98两，石料的质量为78两． 48．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房都住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？该批住店房客多少人？（请用方程组的知识解答） 【答案】该店有客房8间，该批住店房客有63人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该店有客房间，该批住店房客有人，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设该店有客房间，该批住店房客有人， 由题意得： 解得： 答：该店有客房8间，该批住店房客有63人． 考点07 几何图形 49．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，结合图形列出方程是解题的关键． 设每块地砖的长与宽分别为，，根据图形列出方程计算即可； 【详解】设每块地砖的长与宽分别为，， 由题意：， 解得：； 答：每块地砖的长与宽分别为，． 50．如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 51．如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），求一个小长方形的长与宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形列方程组得：， 解得， 所以，小长方形的长为，宽为， 答：小长方形的长为，宽为． 52．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 53．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 【答案】方案一：的长度分别为．方案二：的长度分别为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 方案一：设，，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可； 方案二：设，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 方案二：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 54．数学活动实践课上，小辰先画了一个长为，宽为的长方形，然后又在该长方形中面了5个相同大小的小长方形（阴影部分），如图所示，求图中空白部分的面积．（列方程组解） 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形找出等量关系列方程组可得，求解得出长方形的长和宽，再求出空白部分的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形找出等量关系列方程组可得 ①－②，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 所以这个方程组的解是， 所以图中空白部分的面积是：． 55．如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边． (1)求通道的宽； (2)求铺上草皮的面积． 【答案】(1)通道的宽是米． (2)平方米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及长方形面积的计算，熟练掌握利用方程解决实际问题的思路和长方形面积公式是解题的关键． （1）设通道宽为米，米，米．根据长方形场地的长和宽与通道、草坪边长的关系列方程，先表示出场地长和宽关于、的表达式，再求解． （2）草皮面积等于长方形场地面积减去通道面积，可先求出每块草坪面积，再乘以；也可求出铺草皮部分的长和宽，进而求面积． 【详解】（1）解：设通道的宽为米，米，米．则， ． 又∵ ，， ∴， 由得， 把代入中， ， ， ， ． 把代入， ． 所以通道的宽是米． （2）解：由（1）知，则米，米． 每块草坪面积为平方米， ∵有块草坪， ∴草皮总面积为平方米． 56．学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为的长方形草地，分成9块形状和大小完全一样的小长方形（放置位置如图所示），种上各种花卉．经预算，绿化每平方米造价为100元． (1)求出每一个小长方形的长和宽； (2)完成这项绿化工程需投入资金多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)每一个小长方形的长为10米，宽为4米 (2)完成这项绿化工程需投入元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，科学记数法．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．要弄清小长方形长、宽和大长方形周长之间的关系． （1）设每一个小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形列出方程组求出结果即可； （2）由（1）求出的长与宽求出绿化面积再求投入资金即可． 【详解】（1）解：设每一个小长方形的长为x米，宽为y米， 有：， 解得：， 每一个小长方形的长为10米，宽为4米； （2）大长方形的面积为：， ， 答：完成这项绿化工程需投入元． 考点08 方案问题 57．随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元． (1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案； (3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案一；购进型玩具6个，型玩具5个；方案二：购进型玩具4个，型玩具10个；方案三：购进型玩具2个，型玩具15个 (3)购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元，根据“2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元”即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型玩具个，购进型玩具个，根据题意可得，再由m，n均为正整数，即可得出结论； （3）分别将三个方案的利润求出，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元， 由题意，得 解得， 答：型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元； （2）设购进型玩具个，购进型玩具个， 由题意，得， 解得， 因为m，n均为正整数， 所以或或， 所以共有3种购买方案， 方案一：购进型玩具6个，型玩具5个； 方案二：购进型玩具4个，型玩具10个； 方案三：购进型玩具2个，型玩具15个； （3）方案一可获得利润：（元）， 方案二可获得利润：（元）， 方案三可获得利润：（元）， 因为， 所以购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元． 58．为积极响应国家关于“推动人工智能与教育深度融合”的号召，全面提升学生的数字素养与创新能力，某校计划采购一批核心设备．已知市场报价如下：购进2台学习机器人和3套智能编程套装，总计花费90万元；购进3台学习机器人和2套智能编程套装，总计花费85万元． (1)每台学习机器人和每套智能编程套装的进价分别为多少万元? (2)若该校计划出资125万元资金全部用于购进学习机器人和智能编程套装两种设备（两种设备均购买）供学生使用，请问共有几种购进方案? 【答案】(1) 每台学习机器人进价为15万元，每套智能编程套装进价为20万元 (2) 共有2种购进方案，购进学习机器人台，智能编程套装套；或购进学习机器人台，智能编程套装套． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的整数解问题，解决本题的关键在于根据等量关系建立方程并正确求解． （1）通过设立两个未知数，根据题目给出的两种购买组合及其总价，建立方程并求解即可． （2）根据总预算和两种设备的单价，得到关于m和n的关系式，然后找出满足该方程的所有正整数解组合，这些组合即为可行的购进方案． 【详解】（1）解：设每台学习机器人的进价为万元，每套智能编程套装的进价为万元， 已知购进台学习机器人和套智能编程套装，总计花费万元，可列方程； 购进台学习机器人和套智能编程套装，总计花费万元，可列方程， 得到方程组，解得， 所以，每台学习机器人的进价为万元，每套智能编程套装的进价为万元． （2）解：设购进学习机器人台，购进智能编程套装套． 已知该校计划出资万元资金全部用于购进两种设备， 可列方程，可得． 因为、均为正整数， 当时，； 当时，，不是正整数，舍去； 当时，，不是正整数，舍去； 当时，； 当时，，不是正整数，舍去； 当时，，不是正整数，舍去； 当时，，不符合题意． 所以共有种购进方案，即方案一：购进学习机器人台，智能编程套装套； 方案二：购进学习机器人台，智能编程套装套． 59．已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；方案2：租用2辆A型车，6辆B型车；最少租车费是9200元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设未知数，结合用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨，进行列出方程组，即可作答． （2）结合某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载，得，再根据、n均为正整数，得或，再结合A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； （2）解：由（1）得1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； ∵租用m辆A型车，n辆B型车, 根据题意得：， ， 又、n均为正整数， 或， 该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用7辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用2辆A型车，6辆B型车． 选择方案1所需租车费用为（元）； 选择方案2所需租车费用为（元）． ， 最少租车费是9200元． 60．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A车运3吨，1辆B车运4吨 (2)租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B (3)租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨，根据题意列方程组，然后解方程组即可解答； （2）根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：，结合a、b值为非负整数确定a、b值即可； （3）分别求出每个方案的租车费用，比较大小后可得答案． 【详解】（1）解：设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨， 根据题意，列方程组： 解得， 答：1辆A车运3吨，1辆B车运4吨； （2）解：根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：， ∵a、b为非负整数， ∴或或， 故有三种租车方案：租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B； （3）解：租金：A：200元/次，B：240元/次， 计算各方案费用： 租用1辆A，8辆B费用为（元）， 租用5辆A，5辆B费用为（元）， 租用9辆A，2辆B费用为（元）， ∴最省钱方案为租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元． 61．李老师在某体育用品商店分两次购买篮球和足球，购买时，均按标价购买，两次购买篮球和足球的数量和费用如表所示． 篮球/个 足球/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 (1)求篮球和足球的标价分别为多少元； (2)元旦期间，商店举行优惠促销活动，篮球和足球同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买篮球和足球（篮球、足球均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的标价是80元，足球的标价是100元 (2)李老师共有三种方案：①购买篮球15个、足球4个；②购买篮球10个、足球8个；③购买篮球5个、足球12个 【分析】本题考查了二元一次方程组的建立与求解，以及在实际问题（打折销售和方案设计）中的应用；解题的关键是正确设未知数，根据表格信息列出方程组求解单价，并利用打折后的价格和总预算列出方程寻找整数解． （1）设篮球标价为 元，足球标价为 元，根据两次购买的数量和总费用，列出二元一次方程组并求解； （2）先根据第一问结果计算打折后的单价（六折），设购买篮球 个、足球 个（均为正整数），根据总费用 960 元列出方程，化简后寻找所有正整数解，即为购买方案． 【详解】解：（1）设篮球的标价是元，足球的标价是元， 依题意，得：， 解得：， 答：篮球的标价是80元，足球的标价是100元． （2）设李老师再次购买篮球个，足球个， 依题意得：，化简，得 ， 、均为正整数， 或或， 答：李老师共有三种方案：①购买篮球15个、足球4个；②购买篮球10个、足球8个；③购买篮球5个、足球12个． 62．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1) 种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． (2) 共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， ∴种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 63．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （2）设A配件要买m个，B配件要买n个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 64．某校组织八年级学生赴博物馆进行综合实践活动．已知博物馆的文创商店推出了两款特色文创产品，若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元；若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元． (1)求该文创商店中甲、乙两种文创产品的单价； (2)若学校计划用元购买甲、乙两种文创产品（两种都要购买），求该校共有几种购买这两种文创产品的方案？ 【答案】(1)甲种文创产品的单价为元/件，乙种文创产品的单价为元/件 (2)该校共有种购买这两种文创产品的方案 【分析】本题考查了列二元一次方程或方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程（组）； （1）根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意列方程，并求其特殊解即可． 【详解】（1）解：设甲种文创产品的单价为元/件，乙种文创产品的单价为元/件， 根据题意得： 解得 答：甲种文创产品的单价为30元/件，乙种文创产品的单价为25元/件． （2）解：设学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件， 根据题意，得， 整理，得． 因为、均为正整数， 所以或或 所以该校共有种购买这两种文创产品的方案． 考点09 比赛积分 65．明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况，理由见解析 (3)存在，胜场次数是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答，联系实际情况． （1）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以求得胜一场和负一场各积多少分； （2）先判断，然后说明理由，可以用假设存在，求出相应的胜场次数，注意胜场次数必须是整数； （3）首先判断，然后根据题意求出相应的胜场次数，本题得以解决． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， ，得， 答：胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 理由：假设当前8场胜场时，胜场总积分等于它的负场总积分， ， 解得，， 是整数， 不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况； （3）解：存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 设在比赛结束后，胜了场， ， 解得，， 当是正整数且是3的倍数时，胜场总积分等于它的负场总积分，胜场次数是． 66．为了促进全民健身运动，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则为：胜一场积a分，平一场积b分，负一场积0分，当比赛进行到轮（每队均需比赛场）结束时，已知甲队负7场，平2场，积分；乙队负7场，平1场，积分；丙队积分． (1)求a，b的值； (2)请通过计算，判断丙队胜、平、负场次的可能情况． (3)若丙队赞助商对丙队的奖励方案为：胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，那么，丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是多少？ 【答案】(1)a的值为3，b的值为1 (2)丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场 (3)元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系列出方程组，需要注意自变量的取值范围，考虑多种情况． （1）根据题意可列出方程组，然后即可求解； （2）设丙队胜x场，平y场，则负场场，再根据x，y，都为非负整数，然后即可求解； （3）由（2）得丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场，再根据胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，然后分别列式即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； ∴a的值为3，b的值为1； （2）解：设丙队胜x场，平y场，则负场； ∴； ∵x，y，都为非负整数， ∴或或； ∴丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场； （3）解：丙队胜6场，平1场，负5场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜5场，平4场，负3场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜4场，平7场，负1场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； ∴， ∴丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是元． 67．甲、乙两支篮球队进行比赛，赛前两队的积分都不到50分．本场比赛的胜者将加分，负者则减同样的分．若甲队胜，则甲队的积分是乙队的4倍；若乙队胜，则甲队的积分是乙队的3倍．那么，赛前甲队、乙队的积分各是多少分?（注：两队赛前、赛后的积分都是整数） 【答案】甲队赛前积分为分，乙队赛前积分为分 【分析】本题考查球赛积分表问题，设甲队赛前积分为x分，乙队赛前积分为y分，每场比赛加分或减分为n分，根据题意列方程，求出，，根据积分都不到50分，得到的值解答即可． 【详解】解：设甲队赛前积分为x分，乙队赛前积分为y分，每场比赛加分或减分为n分， 则①且②， ①+②得：， 把代入①得， ∵甲、乙两队的积分都不到50分， ∴， 这时甲队赛前积分为分，乙队赛前积分为分， 答：甲队赛前积分为分，乙队赛前积分为分． 68．安徽历史悠久，山川秀美．某校以“大美安徽”为主题举办征文比赛，其中七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级的一半少2篇，求七年级和八年级分别收到多少篇征文． 【答案】七年级收到的征文有38篇，八年级收到的征文有80篇 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设七年级收到的征文有x篇，八年级收到的征文有y篇，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设七年级收到的征文有x篇，八年级收到的征文有y篇， 由题意可得：， 解得， 答：七年级收到的征文有38篇，八年级收到的征文有80篇． 69．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 【答案】该班级胜负场数分别是12场和3场． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 设胜了场，负了场，由某班级在15场比赛中获得总积分为39分，再建立方程组求解即可． 【详解】解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得，， 答：该班级胜负场数分别是12场和3场． 70．中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 【答案】(1)A队赢了7场，平了5场 (2)B队赢了10场，平了2场，负了1场 【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意找准等量关系列方程或方程组解答即可． （1）设球队赢了场，平了场，根据“不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分”列方程组解答即可； （2）设队赢了场，平了场，根据题意列方程，求出，的整数解解答即可． 【详解】（1）解：设球队赢了场，平了场．由题意可列方程组： ，解得： 答：A队赢了7场，平了5场． （2）解：设队赢了场，平了场． 由题意可列方程：， 枚举可得方程的非负整数解为， 因为共踢了13场比赛， 所以， 所以， （场）， 答：B队赢了10场，平了2场，负了1场． 71．重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ (2)已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 【答案】(1)七一班男队胜了3场 (2)七一班男队最少负了2场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设七一班男队胜了场，平了场，根据七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）因为该校七年级共有16个班，所以七一班男队共比赛15场，设七一班男队负了场，则平了场，是整数，根据七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，即可得出关于z，k的二元一次方程，求出方程的正整数解即可得出结论． 【详解】（1）解：设七一班男队胜了场，平了场． 依题意得：， 解得：． 答：七一班男队胜了3场． （2）解：∵该校七年级共有16个班， ∴七一班男队共比赛15场， 设七一班男队负了场，则平了场，是整数． 依题意得：，解得：． 因为为整数，所以只能是奇数．即为30的正奇数约数， 所以只可能为1、3、5、15． 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 当时，； 当时，． 经比较可知，七一班男队最少负了2场． 72．篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛． (1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分． (2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？ 【答案】(1)，； (2)队胜了场，负了场． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题． （1）由题意知队负了场，再由积分规则计算即可得到队积分为分； （2）设队胜了场，负了场，由等量关系列方程组求解即可解得答案． 【详解】（1）解：每个队伍要进行场比赛， 队胜了场，负了（场）， （分）， 队积分为分， 故答案为：，； （2）解：设队胜了场，负了场， 由题意可得，解得， 答：队胜了场，负了场． 考点10 阶梯计费 73．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过部分按二级单价收费．五月份王阿姨家用水，缴费37.6元；张奶奶家用水，缴费47.2元． (1)求该市一级水费、二级水费的单价分别是多少元？ (2)某户某月缴纳水费为63.2元时，用水量为多少？ 【答案】(1)一级水费单价为2.6元，二级水费单价为3.2元 (2)该户某月用水22立方米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，根据五月份王阿姨家用水，,缴费37.6元；张奶奶家用水，缴费47.2元，列出方程组，解方程组即可； （2）设该户某月用水m立方米，根据该户某月缴费63.2元列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元， 根据题意列方程组：， 解得， 所以一级水费单价为2.6元，二级水费单价为3.2元， 答：一级水费单价为2.6元，二级水费单价为3.2元． （2）解：设该户某月用水m立方米， 则， 整理得，， 解得， 答：该户某月用水22立方米． 74．为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用三档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过220度时，按第一档单价收费；超过220度且不超过400度时，超过的部分按第二档单价计费；超过400度时，超过400度的部分按元/度计费．2025年某月张华家用电250度，缴费124元；李明家用电300度，缴费151元． (1)这个市第一档电费、第二档电费的单价分别是多少？ (2)某用户一个月的电费为元，则该用户这个月的用电量为________度．（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度 (2)410 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程（组）是解题的关键． （1）设第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度，根据张华家和李明家的用电量和缴费列出方程组，求出的值，即可解答； （2）先计算用电400度时应缴费（元），比较与205的大小得到该用户这个月的用电量超过400度，设该用户这个月的用电量为度，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度， 由题意得，， 解得：， 答：第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度． （2）解：用电400度时应缴费（元）， ∵， ∴该用户这个月的用电量超过400度， 设该用户这个月的用电量为度， 由题意得，， 解得：， ∴该用户这个月的用电量为410度． 故答案为：410． 75．为鼓励居民节约用电，某市对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，如下表．小明家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知小红家今年4，5月份的家庭用电量分别为200千瓦时和490千瓦时，请你依据题目条件，计算小红家4，5月份的电费分别为多少元？ 每户每月用电量 电价/（元/千瓦时） 180千瓦时及以内 x 超过180千瓦时但不超过450千瓦时的部分 y 超过450千瓦时的部分 【答案】小红家4月份的电费为122元，5月份的电费为327元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 根据题意列方程组求出，然后根据电费表示方法求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得 （元/千瓦时）， 小红家4月份的电费为（元）， 5月份的电费为（元）． 答：小红家4月份的电费为122元，5月份的电费为327元． 76．江西省居民用电采取阶梯电价的方式收费，分档标准如图所示．已知小明家在2023年用电总量为2760千瓦时，交纳电费1686元；小华家在2023年用电总量为3160千瓦时，交纳电费1946元． 分档 年电量水平（千瓦时/户） 第一档 第二档 （含4200） 第三档 (1)求第一档与第二档用电收费标准； (2)若小华家在2024年用电总量为4100千瓦时，求小华家2024年应交纳的电费总额． 【答案】(1)第一档用电收费标准为元/千瓦时，第二档用电收费标准为元/千瓦时 (2)小华家2024年应交纳的电费总额为2557元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设第一档用电收费标准为元/千瓦时，第二档用电收费标准为元千瓦时，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据阶段收费的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设第一档用电收费标准为元/千瓦时，第二档用电收费标准为元千瓦时， 则， 解得， 答：第一档用电收费标准为0.6元/千瓦时，第二档用电收费标准为0.65元/千瓦时； （2）解：（元）， 答：小华家2024年应交纳的电费总额为2557元． 77．水是生命之源，“节约用水，人人有责”，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是找市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息 阶梯 年用水量（吨/户） 水价（元/吨） 污水处理价格（元/吨） 第一阶梯 不超过250吨 2.20 1.00 第二阶梯 超过250吨不超过350吨 3.30 1.00 第三阶梯 超过350吨 6.60 1.00 ①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：水费=自来水费用+污水处理费用； ②每月用水量会计入全年总量，决定当月每吨水的价格． （例如：前几个月累计用水260吨，则当月水价均按3.3元/吨计算；若前几个月累计用水240吨，当月用水量20吨，则当月的水价中10吨按照2.2元/吨，另外10吨按照3.3元/吨计算） (1)若小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，10月预计用水35吨，则小明家10月份预计应缴纳水费多少元？ (2)若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119元，设上半年用水量x吨，下半年用水量y吨，列方程组解应用题，求上半年用水量． (3)若小红家2024年全年用水400吨，其中下半年比上半年少缴费76元，求上半年用水量． 【答案】(1)小明家10月份预计应缴纳水费元； (2)小明家2024年上半年用水140吨； (3)小红家2024年上半年用水260吨． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，理解分段收费的各段标准，确定相等关系是解本题的关键． （1）根据题意小明家10月消费有20吨按第一阶梯计费，15吨按第二阶梯计费，列式计算即可求解； （2）先判断小明家2024年上半年用水属于第一阶梯，再根据题意列二元一次方程组，求解即可； （3）设小红家2024年上半年用水吨，分三种情况讨论，列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，属于第一阶梯， 10月预计用水35吨，则10月后累计用水：吨，属于第二阶梯， ∴小明家10月消费有20吨按第一阶梯计费，15吨按第二阶梯计费， ∴元， 答：小明家10月份预计应缴纳水费元； （2）解：若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119， ∴小明家2024年上半年用水属于第一阶梯， ∴由题意得， 整理得，解得， 答：小明家2024年上半年用水140吨； （3）解：设小红家2024年上半年用水吨， 根据题意，下半年比上半年少缴费，故有三种情况： ①， 此时上半年水费为元，下半年水费为元， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； ②， 此时上半年水费为元， 下半年水费为元， 由题意得， 解得，符合题意； ③， 此时上半年水费为元， 下半年水费为元， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； 综上，小红家2024年上半年用水260吨 78．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 79．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元． (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水多少立方米？ 【答案】(1)一级水费2.6元，二级水费3.2元 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，根据五月份张华家用水，缴费元；李明家用水，缴费元，列出方程组，解方程组即可． （2）设小丽家三月份用水立方米，根据小丽家3月份缴费95.2元列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解，设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元， 根据题意列方程组：， 解得：， 答：一级水费单价为元，二级水费单价为元． （2）设小丽家三月份用水立方米， 则 解得 答：小丽家三月份用水立方米． 80．为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0．05元． 海珠区的李白同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的另一位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和 490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、5月份的电费分别为多少元？ 【答案】杜甫家四月份的电费为122元，五月份的电费为327元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，根据2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元，列方程组求解． 【详解】解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时， 由题意得， ， 解得： ， 元 则四月份电费为：（元）， 五月份电费为： （元）． 答：杜甫家四月份的电费为122元，五月份的电费为327元． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $