第3章 一次方程（组）【章末复习】（课件）-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一次方程（组）的核心内容，以“一元一次方程→二元一次方程组→三元一次方程组→实际应用题”为主线，通过知识框架图、核心思想提炼及公式汇总，串联定义、解法、应用等知识点，帮助学生构建完整的方程知识网络。 其亮点在于融合“数学眼光、思维、语言”核心素养，设计“口诀记忆-易错警示-分层练习”策略，如用“单一未知用一元，系数为1用代入”口诀强化方法选择，通过古代数学问题、跨学科物理应用题等实例，培养学生方程建模与运算推理能力。分层练习覆盖基础到拓展，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

湘教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月24日 章末复习 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级上册 第3章 一次方程（组） 全章总复习 一、全章知识框架 本章核心主线：一元一次方程 → 二元一次方程组 → 三元一次方程组 → 实际应用题 核心思想：消元思想、方程建模思想，将复杂未知问题转化为可解的一元一次方程求解。 二、3.1-3.4 一元一次方程 核心知识点 1. 一元一次方程定义 只含一个未知数，未知数次数为1，且是整式方程，一般形式：$$ax+b=0(a eq0)$$。 2. 等式的基本性质（解方程依据） 性质1：等式两边同时加/减同一个数（式），等式仍成立； 性质2：等式两边同时乘/除同一个不为0的数，等式仍成立。 3. 解一元一次方程标准步骤 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 易错点：去分母不漏乘常数项、移项必变号、去括号注意符号。 4. 一元一次方程实际问题——行程问题（3.4.3） 核心公式：路程=速度×时间 ① 相遇问题（相向）：甲路程+乙路程=总路程； ② 追及问题（同向）：快者路程-慢者路程=初始相距路程； ③ 航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，往返路程相等。 三、3.5 认识二元一次方程组 1. 二元一次方程 含两个未知数，未知项次数均为1的整式方程，形式：$$ax+by=c(a、b eq0)$$，有无数组解。 2. 二元一次方程组 两个含相同双未知数的一次方程联立，一般有唯一一组解，解需同时满足两个方程，必须用大括号联立。 3. 判定易错点 含$$xy、x^2、\frac{1}{x}$$均不是二元一次方程。 四、3.6 二元一次方程组的解法（两大核心方法） 1. 代入消元法（3.6.1） 适用场景：某未知数系数为±1，方便变形。 步骤：变形方程→代入另一方程→消元得一元方程→求解→回代求第二个未知数→写解。 禁忌：不可代入原变形方程，无法消元。 2. 加减消元法（3.6.2） 适用场景：未知数系数规整、无±1系数，适合扩倍消元。 核心规则：系数相反相加消元，系数相同相减消元；系数不同先扩倍统一系数。 易错点：扩倍不漏乘常数项、相减消元全项变号。 五、3.7 二元一次方程组实际应用题 1. 3.7.1 “x+y=”和定值问题 题型特征：含总数、合计、一共等量，固定方程组结构： $$\begin{cases}x+y=总数量\\倍数/差值/总价关系方程\end{cases}$$ 常见场景：人数、物品数、总重量、总数量求和问题。 2. 3.7.2 系数不都为1的实际问题 题型特征：无简单和差倍数，双总价、双工程量、双行程问题，方程组无系数为1的未知数。 解题首选：加减消元法，先扩倍统一系数，再消元求解。 通用模型：$$\begin{cases}m_1x+n_1y=a\\m_2x+n_2y=b\end{cases}$$ 六、3.8 三元一次方程组 1. 定义 含三个未知数，未知项次数均为1的整式方程组，整体共三个未知数即可。 2. 核心解题思想 三元→二元→一元，全程消去同一个未知数，不可中途换元。 3. 解题步骤 观察最简未知数→两组方程消同一元→得二元方程组→求解二元→回代求第三个未知数→联立写解。 4. 技巧 优先消系数为0、1、-1的未知数，计算量最小。 七、全章解题方法选择口诀（必考） 1. 单一未知用一元，系数为1用代入； 2. 系数规整用加减，和定总数找x+y； 3. 三元消同不乱变，层层降元是关键； 4. 应用题先建模，设列解验答齐全。 八、全章高频易错汇总 1. 解方程：去分母漏乘、移项不变号、去括号符号错误； 2. 方程组求解：消元混乱、扩倍漏常数、只解部分未知数； 3. 格式错误：方程组解不写大括号； 4. 应用题：忽略实际意义（人数、物品数为正整数）、漏写答句。 九、全章核心公式汇总 1. 行程公式：$$s=vt、v=\frac{s}{t}、t=\frac{s}{v}$$ 2. 航行公式：顺水=静水+水流、逆水=静水-水流 3. 消元核心：二元化一元、三元化二元 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程． 2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数(元)，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程． 3. 方程的解：使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解. 习惯上记作 x = c. 4. 解方程：根据等式的性质求方程的解的过程． 一 1 1. 等式的性质1：等式两边都加上 或减去同一个数 (或整式)，等式两边仍然相等． 如果 a＝b，那么 a± ＝b±c. 2. 等式的性质2：等式两边都乘同一个数， 或除以 同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式． 如果 a＝b，那么 ac＝ ___ ， ＝ (c ≠ 0). 二、等式的性质 c 3. 如果 a = b，那么 b = a.（对称性） 4. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.（传递性） bc ___ 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘. (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边， 常数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式． (5) 除以未知数的系数：方程两边同除以 x 的系数， 得 x＝m 的形式. 三、一元一次方程的解法 1. 二元一次方程的概念：含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程，叫作二元一次方程. 2. 二元一次方程组的概念：只含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程组. 3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解. 四、二（三）元一次方程组的有关概念 两个 1 1 两个 4. 三元一次方程组的概念：含有 未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程组叫作三元一次方程组. 1 三个 五、二元一次方程组的解法 ①代入消元法： ②加减消元法： 转化 代入 求解 回代 写解 检验 变形 加减 求解 回代 写解 检验 六、三元一次方程组的解法 消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组. 1. 列方程 (组) 的应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程（组）． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 七、用一次方程与方程组解决实际问题 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间的关系： ① 路程＝速度×时间； ②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ③追及问题：甲为快者， 被追路程＝甲走路程－乙走路程； ④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． （2）等积变形问题中基本量之间的关系： ① 原料面积 = 成品面积； ② 原料体积 = 成品体积. （3）储蓄问题中基本量之间的关系： ① 本金×利率×年数 = 利息； ② 本金 + 利息 = 本息和. （4）销售问题中基本量之间的关系： ① 实际售价 - 进价(成本) = 利润； ② 利润÷进价×100% = 利润率； ③ 进价×(1 + 利润率) = 售价； 标价×折扣数÷10 = 进价. （5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系： ① 增长率 = 原有量×增长率； 现有量 = 原有量 + 增长量. ② 降低量 = 原有量×降低率； 现有量 = 原有量 - 降低量. （6）百分率问题中基本量之间的关系： ① 浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量； ② 增长率问题：原量×(1+增长率) = 增长后的量； 原量×(1 - 减少率) = 减少后的量. 学而时习之 1.解下列一元一次方程： (1) 5x-3=-x+3 ； (2) 0.4x-7=0.6x-9 ； (3) 5(x-1)=3(x+1) ； (4) -=1 . 解 ：(1) 5x-3=-x+3 (2) 0.4x-7=0.6x-9 5x+x=3+3 6x=6 x=1 0.6x-0.4x=-7+9 0.2x=2 x=10 【课本P141 复习题 第1题】 随堂练习 学而时习之 1.解下列一元一次方程： (1) 5x-3=-x+3 ； (2) 0.4x-7=0.6x-9 ； (3) 5(x-1)=3(x+1) ； (4) -=1 . (3) 5(x-1)=3(x+1) (4) -=1 5x-5=3x+3 5x-3x=3+5 2x=8 x=4 4(2x-1)-3(3x-4)=12 8x-4-9x+12=12 8x-9x=12-12+4 -x=4 x=-4 【课本P141 复习题 第1题】 随堂练习 2.一百馒头一百僧，大和三个更无争， 小和三人分一个，大小和尚得几丁. ——《算法统宗》 意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大 和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完. 试问大、小和尚各有多少人？ 解：设小和尚有x人，则大和尚有(100-x)人. 由题意，得 解得 大和尚： 100-x =100-75=25 . 答：大和尚有25人，小和尚有75人. 【课本P141 复习题 第2题】 随堂练习 3.某长方体的展开图如图所示，已知展开图的面积为310cm²，求x的值. 解：由题意，得 x x 5 10 5 2(10x+5x+10×5)=310 解得 x=7 x的值为7. 【课本P141 复习题 第3题】 单位：cm 随堂练习 4.小丽每天要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学. 一天，小丽以0.8m/s的速度出发，5 min后，小丽的爸爸发现她忘了带数学书. 于是，爸爸立即以1.2m/s的速度去追小丽，并且在途中追上了她. 爸爸追上小丽用了多长时间? 追上小丽时，距离学校还有多远? 解：设爸爸追上小丽用了x秒. 由题意，得 解得 追上时爸爸走的路程： 追上时距离学校： 答：爸爸追上小丽用了600秒. 追上小丽时，距离学校280米. 0.8(5×60+x)=1.2x x=600 1.2×600=720 (米) 1000-720=280 (米) 【课本P141 复习题 第4题】 随堂练习 5.已知二元一次方程：(1) x＋y=4；(2) 2x-y=2； (3) x-2y=1.请从这三个方程中选择两个你喜欢的方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解. ① ② 解：①+②，得 解得 把x用2代入①式，得 所以 是原方程的解. (选择不唯一) 3x=6 x=2 y=2 【课本P141 复习题 第5题】 随堂练习 6.解下列二元一次方程组： ① ② 解：(1) ①+②，得 把x用3代入①式，得 所以 是原方程的解. (2) ①+②×3，得 把y用代入②式，得 所以 是原方程的解. ① ② 9x=27， x=3. y=-2. 【课本P141 复习题 第6题】 随堂练习 6.解下列二元一次方程组： ① ② ① ② (3) ①×4+②×3，得 把x用-2代入①式，得 所以 是原方程的解. (4) ①×2+②×5，得 把x用4代入①式，得 所以 是原方程的解. 【课本P141 复习题 第6题】 随堂练习 7.为建设宜居宜业和美乡村，满足人民日益增长的精神文化需求，某村委会决定扩建“村民活动中心”，分两次采购了同一型号的电脑和乐器(两次采购的单价不变)，具体如下表： 第1次 第2次 电脑/台 10 2 乐器/件 8 5 合计/件 39800 10000 求该型号电脑和该种乐器的单价. 【课本P142 复习题 第7题】 随堂练习 解：设电脑的单价为x元/台，乐器的单价为y元/件. 由题意，得 解得 答：电脑的单价为3500元/台，乐器的单价为600元/件. 随堂练习 8. 为在全社会弘扬劳动精神、奉献精神，小亮所在年级到某地参加志愿者活动. 车上准备了5箱矿泉水，每箱的瓶数相同.到达目的地后，先从车上搬下2箱，分发给每位志愿者1瓶矿泉水，有8位未领到；接着又从车上搬下3箱，继续分发，最后每位志愿者都有2瓶矿泉水，还剩下8瓶. 问：有多少人参加志愿者活动？每箱有多少瓶矿泉水？ 解：设有x人参加志愿活动，每箱有y瓶矿泉水. 由题意，得 解得 答：有56人参加志愿者活动，每箱有24瓶矿泉水. 【课本P142 复习题 第8题】 随堂练习 9. *解下列三元一次方程组： ① ② ③ 解：(1) ②×3-③，得 ④-①×5，得 把y用1代入①式，得 把x用2，y用1代入②式，得 所以 是原方程的解. ④ 【课本P142 复习题 第9题】 随堂练习 9. *解下列三元一次方程组： ① ② ③ (2) ①×2-②，得 ①×3+③ ⑤-④×2，得 把z用1代入④式，得 把y用-2，z用1代入①式，得 所以 是原方程的解 . ④ ⑤ 【课本P142 复习题 第9题】 随堂练习 温故而知新 10. 解下列一元一次方程： 解：(1)去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 两边同时除以3，得 -4(3x+2)+15(x-1)=1 -12x-8+15x-15=1 3x=24 x=8 【课本P142 复习题 第10题】 随堂练习 温故而知新 10. 解下列一元一次方程： (2)去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 两边同时除以-4，得 6(x-3)+4(-x+6)-3(2x+1)=12 6x-18-4x+24-6x-3=12 -4x=9 x=- 【课本P142 复习题 第10题】 随堂练习 11. 要配制含盐6%的盐水700 g，已有含盐5%的盐水200 g，还需要加入含盐8%的盐水及水各多少克? ( 此处溶质质量为盐的质量，溶剂质量为水的质量) 解：设需要加入含盐8%的盐水x g。 由题意，得 解得 需加入水的质量： 答：还需要加入含盐8%的盐水400克，加入水100克. 700-400-200=100 (克) 【课本P142 复习题 第11题】 随堂练习 12. 解下列二元一次方程组： ① ② 解：(1) 原方程组可化为 ①-②，得 两边同时除以2，得 把y用-2代入①式，得 所以 是原方程组的解. 【课本P143 复习题 第12题】 随堂练习 12. 解下列二元一次方程组： ① ② (2) 原方程组可化为 ①+②，得 两边同时除以3，得 ②×2-①，得 两边同时除以9，得 所以 是原方程组的解. 【课本P143 复习题 第12题】 随堂练习 13. 下列二元一次方程组有解吗？如有，有多少组解？ ① ② ① ② 解：(1) ①×(-2) ，得 ③式和②式矛盾， 故原方程组无解. ③ (2) ②÷ (-2)，得 故原方程有无数组解. ③ ③ ① 【课本P143 复习题 第13题】 随堂练习 14.建一个长方形花圃，为了节约材料，以建好的墙或局部为长方形的长，其他三边用总长为70m的栅栏围成. 现在甲、乙两人各设计了一个方案：甲的方案是长比宽多10m，乙的方案是长比宽多4m. 已知墙长28m，问谁的方案比较符合实际？为什么？ 解：设甲的方案宽为x m，则长为 (10+x) m. 由题意得， 2x+ (10+x)=70 解得 x=20 ∵10+20＞28， ∴甲方案不符合实际. 【课本P143 复习题 第14题】 随堂练习 设乙的方案宽为y m，则长为(4+y)m. 由题意得， 2y+(4+y)=70 解得 y=22 ∵4+22＜28， ∴乙方案符合实际. 答：乙的方案比较符合实际，它的长没有超过墙长. 随堂练习 15.已知m，n满足的条件分别为： (a，b均不为0)，求mn的值. 解：由题意，得 去分母，得 去括号，得 移项并合并同类项，得 当a、b同号时，n=1+1=2 或 n=(-1)+(-1)=-2；当a、b异号时，n=0 所以当m=-7，n=2时，mn=(-7)×2=-14； 当m=-7，n=-2时，mn=(-7)×(-2) =14； 当m=-7，n=0时，mn=0. 综上所述，mn的值为-14或14或0. 上下而求索 【课本P143 复习题 第15题】 随堂练习 16. 足球的表面由白块和黑块组成. 已知黑块是五边形，白块是六边形，且每一白块的6条边中，有3边与黑块相接，另3边与白块相接，每一黑块的5边全与白块的边相接. 已知黑块总数是12，求白块数. 解：设白块有x块，则白块一共有6x条边. 其中有3x条边与黑块相接. 由题意得，3x=12×5 解得 x=20 答：白块有20块. 【课本P143 复习题 第16题】 随堂练习 17.甲、乙二人骑自行车同时从相距5km的两地相向而行，经过10 min相遇. (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解. (2)请你适当增加题目中的条件，使问题(1)有唯一解，并解答你改编后的问题. 解：(1) 甲、乙两人的速度和： 满足条件的解：甲的速度为10km/h，乙的速度为20km/h；甲的速度为20km/h，乙的速度为10km/h. (2) 增加的条件：如果甲的速度是乙的两倍，问甲、乙两人的速度各是多少？ 甲的速度为20km/h，乙的速度为10km/h. 【课本P143 复习题 第17题】 随堂练习 考点1 方程及方程的解 1. 下列各式：，，为已知数 ， ，，， 中，方程有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知关于的方程的解是，则 的值 为___. 5 返回 中考考法 39 考点2 一元一次方程 3. 有下列方程：； ； ；； ，其中是一元一次方 程的有( ) A A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 4.已知是关于的一元一次方程，则 ___. 1 返回 中考考法 40 考点3 等式的性质 5. 下列等式变形正确的是( ) D A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 返回 中考考法 41 考点4 一元一次方程的解法 6.解下列方程: （1） ； 【解】去分母，得 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 中考考法 42 （2） . 原方程可变为 . 去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 返回 中考考法 43 考点5 一元一次方程的应用 7. 如图，在某年11月份的月历表上， 用一个正方形可以圈出9个数 （如3，4，5，10，11，12，17，18， 19），若圈出的9个数中，最大数与 最小数的和为42，则这9个数的和为 ( ) D A. 69 B. 207 C. 84 D. 189 中考考法 44 【点拨】设中间的数为 ，则另外8个 数分别为，， ， ，，，， ， 根据题意得 ，解得 ，所以 . 返回 中考考法 45 8.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图 形，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7个三角形， 第3个图形中有10个三角形…按照此规律排列下去，第 个图 形中有2 026个三角形，则 _____. 675 中考考法 46 【点拨】第1个图形中有4个三角形，即 ；第2个 图形中有7个三角形，即 ；第3个图形中有10个 三角形，即； ，按照此规律排列下去，第 个图形中有个三角形，所以 ，解得 . 返回 中考考法 47 9. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮， 温水和开水共用一个出水口.温水的温度为 ，流速为 ；开水的温度为，流速为 .某学生先接 了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 温度为 的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间. 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的 热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降 低的温度 温水的体积×温水升高的温度. 中考考法 48 【解】设该学生接温水的时间为 ， 根据题意可得 ，所以 . 答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为 . ，解得 ，所以 返回 中考考法 49 考点6 二元一次方程组的相关概念 10.已知 是二元一次方程，则 ___. 0 11. 若关于, 的二元一次方程组 的解为则多项式 可以是_______________ _______________ （写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 中考考法 50 考点7 二元一次方程组的解法 12. 对于任意有理数,,, ，我们规定 ，已知，同时满足 ， ，则 ____. 中考考法 51 【点拨】因为， ， 所以联立可得 由，得 ， 解得，将代入①，得，解得 .所以 . 返回 中考考法 52 13.解方程组： 【解】原方程组整理得 得 ，③ 得，解得 . 把代入②得，解得 ， 所以原方程组的解为 返回 中考考法 53 $