专题08 一元一次方程应用题分类训练（10种类型80道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期湘教版2024

专题08 一元一次方程应用题分类训练 （10种类型80道） 考点01 配套问题 考点02 工程问题 考点03 销售利润 考点04 比赛积分 考点05 日历问题 考点06几何图形 考点07 阶梯计价 考点08 行程问题 考点09 古代问题 考点10 比例问题 考点01 配套问题 1．齿轮作为机械传动中的核心元件，在日常生活和工业生产中发挥着不可替代的作用．某机械厂的一个车间生产大、小两种齿轮，该车间共有工人85人，每个工人每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使该车间每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮？ 【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设应分配x名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设分配x名工人生产大齿轮，则生产小齿轮的工人为名， 由题意得， 解得， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮． 2．某服装厂要生产一批学生服，已知长的面料可做上衣2件或裤子4条，1件上衣和1条裤子为一套，计划用长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套学生服？ 【答案】用600米生产上衣，300米生产裤子才能配套，共能生产400套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设用x米布料生产上衣，米布料生产裤子才能配套，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设用x米布料生产上衣，米布料生产裤子才能配套， ∵长的面料可做上衣2件或裤子4条， ∴可做上衣件，裤子条， ∵1件上衣和1条裤子为一套， ∴， 解得：， 则米布料生产裤子， 共能生产套． 即用600米生产上衣，300米生产裤子才能配套，共能生产400套． 3．（1）学校组织七年级7个班开展篮球赛．规定本班和其他班每班只打一场，赢一场积3分，输一场扣1分（无平局），已知四班同学获得积分为14分，那么四班赢了多少场？ （2）某车间有22名工人，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】（1）四班赢了5场；（2）安排10名工人生产螺栓，12人生产螺母 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设四班赢了x场，则输了场，根据积分为14分，列出方程，解方程即可； （2）设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【详解】解：（1）设四班赢了x场，则输了场，根据题意得： ， 解得：， 答：四班赢了5场； （2）设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，根据题意得： ， 解得：， ， 答：应该安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母． 4．某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，若生产一个螺钉的费用为元，生产一个螺母的费用为元，若车间工人正好使得每天加工零件能配套，求这一天生产所有零件的费用一共多少元？ 【答案】(1)49件 (2)应安排生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名． (3)8400元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． （1）工作岗位有名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件，列方程即可； （2）设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人，根据题意列方程即可； （3）根据（2）中结果计算即可． 【详解】（1）解：设工作岗位有名工人， 根据题意列式，， 解得， 礼品（件， 某班同学一共带去了件礼品； （2）解：设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人， 根据题意列式，， 解得， （人， 答：应安排生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名． （3）元． 5．某工厂一车间有50名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每名工人每天能加工甲种零件30个，或加工乙种零件20个． (1)若一辆轿车只需要1个甲种零件和1个乙种零件，要使每天能配套生产轿车，应安排多少名工人加工甲种零件？ (2)若一辆轿车只需要3个甲种零件和2个乙种零件，要使每天能配套生产轿车，应分别安排多少名工人加工甲、乙两种零件？ 【答案】(1)应安排20名工人加工甲种零件 (2)应安排25名工人加工甲种零件，25名工人加工乙种零件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设安排名工人加工甲种零件，则加工乙种零件的工人数为，根据甲、乙零件数量相等列方程求解； （2）设安排名工人加工甲种零件，则加工乙种零件的工人数为，根据甲、乙零件数量满足的比例关系列方程求解． 【详解】（1）解：设应安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件每天加工甲种零件个，乙种零件个 ∵一辆轿车需要个甲种零件和个乙种零件，且每天能配套生产 ∴ 解得： ∴应安排名工人加工甲种零件 （2）解：设应安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件 每天加工甲种零件个，乙种零件个 ∵一辆轿车需要个甲种零件和个乙种零件，且每天能配套生产 ∴甲种零件数量与乙种零件数量的比应为，即套数相等 ∴ 解得： ∴ ∴应安排名工人加工甲种零件，名工人加工乙种零件 6．某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位上的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)件 (2)生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． （1）工作岗位有名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件，列方程即可； （2）设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人，根据题意列方程即可； 【详解】（1）解：设工作岗位有名工人， 根据题意列式，， 解得， 礼品（件， 某班同学一共带去了件礼品； （2）解：设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人， 根据题意列式，， 解得， （人， 答：应安排生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名． 7．一条生产线上有台机器，已知一台机器一天可以生产支笔套或支笔芯，如果一支笔套需要支笔芯配成一套，学校准备批发套奖励学生． (1)若生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器制作笔芯和笔套？ (2)已知一支笔芯元，一支笔套元，学校一共需要准备多少钱？ 【答案】(1)应安排台机器制作笔套，台机器制作笔芯 (2)学校一共需要准备元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设安排台机器制作笔套，则安排台机器制作笔芯，根据题意建立方程，解方程，即可求解． （2）直接计算套所需的笔套和笔芯数量，再根据单价求总成本，即可求解． 【详解】（1）解：设安排台机器制作笔套，则安排台机器制作笔芯， 每台机器制作笔套每天生产支，总笔套产量为支， 每台机器制作笔芯每天生产支，总笔芯产量为支， 由于一支笔套需要支笔芯配套，故笔芯产量应为笔套产量的倍， ， 解得： ， 答：应安排台机器制作笔套，台机器制作笔芯； （2）学校需要套，每套包括支笔套和支笔芯， 需要笔套支，笔芯支， 笔套单价元，笔芯单价元， 总成本元， 答：学校一共需要准备元． 8．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 考点02 工程问题 9．某服装厂计划若干天完成一批服装的订单任务，如果每天生产服装25套，那么就会超过3天完成，如果每天生产服装28套，那么就会超额完成30套．问这批服装的订单是多少套？计划时间是多少天？ 【答案】这批生产服装的计划完成任务是套，计划时间是天． 【分析】此题考查了根据题目中的数量关系列方程和解方程．设计划时间是x天，根据两种不同生产速度下服装总数的关系来列方程求解． 【详解】解：设计划时间是x天． 根据服装总数不变可列方程： 解得： 则计划完成任务的服装套数为：（套） 答：这批服装的订单是套，计划时间是天． 10．为了更好的完成某小区绿化带改造任务，甲、乙两个施工队合作施工．已知甲队单独施工9天可以完成，乙队单独施工6天可以完成．如果甲、乙两队先合作施工几天后，余下的工作由乙队单独完成，已知在整个施工过程中乙队一共工作了4天．请问甲、乙两队合作施工了几天？ 【答案】3 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设甲、乙两队合作施工了x天，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作施工了x天， ∴， 解得，， ∴甲、乙两队合作施工了3天． 11．岳阳市某工厂生产一批零件，若由甲车间单独生产，需要10天完成；若由乙车间单独生产，需要15天完成．现安排甲、乙两车间合作生产，生产一段时间后，甲车间因设备检修停产，剩下的由乙车间单独生产3天完成．求甲、乙两车间合作生产的天数． 【答案】4.8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系列出一元一次方程是解题的关键． 设合作生产x天，总工作量为1，则，再解方程即可． 【详解】解：设合作生产x天，总工作量为1． 解得， 答：合作生产4.8天． 12．一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (2)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少万元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【答案】(1)10天 (2)4.32万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）先求出求出乙队单独完成这项工程所需的天数，然后设完成这项工程需要x天，根据甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据乙队单独施工一天需工程款0.2万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得，乙单独做需要：（天）， 设完成这项工程需要x天， 依题意，得：， 解得：， 答：完成这项工程需要10天． （2）解：设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， ∴完成这项工程共需支付工程款（万元）， 答：完成这项工程共需支付4.32万元工程款． 13．一项工程，甲队单独做完成，乙队单独做完成，丙队单独做完成，开始时三队合作．中途乙队另有任务，由甲、丙两队完成剩余部分，从开始到工程完成共用了，问乙队实际做了几个小时？（用方程求解） 【答案】2 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设乙队实际做了个小时，根据各劳动分量之和等于工作总量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设乙队实际做了小时，由题意，得： ， 解得； 答：乙队实际做了2小时． 14．列一元一次方程应用题 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了12个房间之外，还多粉刷了另外的墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积． 【答案】 每个房间需要粉刷的墙面面积是 【分析】本题考查解一元一次方程、列方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示每名一级技工和每名二级技工的工作效率是解题的关键．设每个房间需要粉刷的墙面面积是，则每名一级技工的工作效率是/天，每名二级技工的工作效率是/天，根据每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面列方程求出x的值即可． 【详解】解：设每个房间要粉刷的面积为x平方米，由题意得： ， 解得． 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是． 15．一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (3)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【答案】(1)18天 (2)10天 (3)4.32万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设完成这项工程需要x天，根据甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据乙队单独施工一天需工程款0.2万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要18天． （2）解：设完成这项工程需要x天， 依题意，得：， 解得：， 答：完成这项工程需要10天． （3）解：设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， ∴完成这项工程共需支付工程款（万元）． 16．某市为了缓解交通压力决定建高架桥，甲、乙两个公司都希望承接这项工程．已知甲公司每个月可建160米高架桥，乙公司每个月可建240米高架桥，而且完成这项工程甲公司比乙公司要多用20个月．该城市政府需付给甲公司建筑费每月240万元，乙公司建筑费每月360万元． (1)求该城市要建多长的高架桥？ (2)该城市政府设计方案时，考虑可由每个公司单独做，也可以由两个公司合作建成，在建设过程中，政府需要派5名工程师到建筑工地里进行指导，建筑公司负担每人每月3000元的生活补贴费．你帮助该城市政府选择一种既省时又省钱的建设方案，并说明理由．（用方程解决问题） 【答案】(1)该城市要建9600米的高架桥． (2)该公司选择既省时又省钱的建设方案，应选择时间最短，费用最低的由甲乙两公司合作完成． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设该城市要建x米的高架桥，根据题意列方程求解即可； （2）设甲乙合作需要y个月完成这项工程，求出合作需要的时间，再分别求出甲乙合作完成、甲单独完成、乙单独完成的费用，比较后作答即可． 【详解】（1）解：设该城市要建x米的高架桥， 由题意得， 解得：， 答：该城市要建9600米的高架桥； （2）解：设甲乙合作需要y个月完成这项工程，由题意得， ， 解得， 所以甲乙合作需要24个月； ①甲乙合作完成费用：万元， ②甲单独完成费用：万元， ③乙单独完成费用：万元， ， 综上所述，该公司选择既省时又省钱的建设方案，应选择时间最短，费用最低的由甲乙两公司合作完成． 考点03 销售利润 17．某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的八折购物． (1)顾客购买金额为多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下买卡合算？ (2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？ (3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，商场还能盈利，求这台冰箱的进价（若买卡，购卡费用计入商场销售收入）． 【答案】(1)当顾客购买金额等于1500元的商品时，买卡与不买卡花钱相等；当顾客购买金额大于1500元的商品时买卡合算 (2)小张买卡合算，小张能节省400元钱 (3)这台冰箱的进价是2480元 【分析】（1）设顾客购买元的商品，根据“买卡与不买卡花钱相等”列出等式，即可求解， （2）根据“”判断，即可求解， （3）设这台冰箱的进价是y元，根据“还能盈利”列式，即可求解， 本题考查了，一元一次方程的应用，解题的关键是：充分理解题意，找出等量关系式． 【详解】（1）解：设顾客购买元的商品，买卡与不买卡花钱相等， 根据题意得：， 解得：． ∴当顾客消费少于1500元时，不买卡合算； 当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等； 当顾客消费多于1500元时，买卡合算． （2）解：， ∴买卡合算， 则（元）， 答：小张买卡合算，可以节省400元． （3）解：设这台冰箱的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：这台冰箱的进价是2480元． 18．某药店计划购进，两种瓶装的消毒液共瓶，这两种消毒液的进价、售价如下表所示： A B 进价（元/瓶） 20 40 售价（元/瓶） 30 55 要使该药店售完这批消毒液的利润恰好为总进价的，则种消毒液应购进多少瓶？ 【答案】瓶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（利润问题），熟练掌握“利润售价进价”及根据等量关系列方程是解题的关键．通过设未知数表示、两种消毒液的购进数量，结合“利润总进价”的等量关系列方程求解． 【详解】设购进种消毒液瓶，则购进种消毒液为瓶， 由题意得 解得 种消毒液应购进瓶． 19．某校计划购买篮球和排球两种球若干．已知购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；篮球的单价比排球的单价贵20元． (1)求篮球和排球的单价； (2)该校计划购买篮球和排球共30个．某商店有两种优惠活动（两种优惠活动不能同时参加），活动一：一律打九折，活动二：购物不超过600元时不优惠，超过600元时，超过600元的部分打八折．请根据以上信息：①用代数式表示按两种活动方式购买篮球和排球需要支付的总金额；②说明选择哪一种活动购买篮球和排球更实惠． 【答案】(1)篮球的单价为50元，排球的单价为30元 (2)①按两种活动方式购买篮球和排球需要支付的总金额分别为元，元；②当购买篮球个数大于15个并且小于30个时，选择活动二更优惠；当购买篮球个数为15个时，选择两种购买方式的花费一样多；当购买篮球个数小于15个并且大于0个时，选择活动一更优惠． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减的应用，一元一次不等式的应用． （1）设篮球的单价为元，则排球的单价为元，根据题意列方程求解即可； （2）①设购买篮球个，则购买排球个，根据“购买篮球和排球共30个”可知，求出总价，再分别求按活动一、活动二优惠后的价格； ②用活动一的价格减去活动二的价格，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，则排球的单价为元， 依题意得：， 解得， 则， 答：篮球的单价为50元，排球的单价为30元； （2）解：①设购买篮球个，则购买排球个， 根据题意可得：， 花费的钱为：， 按活动一需付款：元； 按活动二需付款：元； 答：按两种活动方式购买篮球和排球需要支付的总金额分别为元，元； ②， 当时，，活动一更优惠； 当时，，两种活动花费一样多； 当时，，活动二更优惠； 答：当购买篮球个数大于15个并且小于30个时，选择活动二更优惠；当购买篮球个数为15个时，选择两种购买方式的花费一样多；当购买篮球个数小于15个并且大于0个时，选择活动一更优惠 20．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【答案】(1)小明原计划购买文具袋17个 (2)小明购买了钢笔20支，签字笔30支 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，理清数量关系是解题的关键． （1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了个，根据对话内容列出方程即可得出结果； （2）设小明可购买钢笔y支，根据两种物品的购买总费用272元，列出方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设小明原计划购买文具袋x个，根据题意，得 ， 解得， 答：小明原计划购买文具袋17个． （2）解：设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔支，由题意得 ， 解得， 则． 答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支． 21．为迎接新年的到来，A，B两家公司都打算购买一些彩灯和射灯来装饰新年晚会的会场．已知彩灯的售价为8元/个，射灯的售价为12元/个． (1)若A公司购买了彩灯和射灯共50个，花费540元，则A公司买了彩灯和射灯各多少个？ (2)B公司去购买时正逢商家让利促销，彩灯价格降低了，射灯在原价基础上打八折出售，B公司购买了彩灯50个，射灯30个，共花费608元，请求出m的值． 【答案】(1)A公司买了彩灯15个，射灯35个 (2) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意后，找到等量关系列方程是解题关键． （1）设买了个彩灯，则射灯买了个，根据买彩灯的费用加上买射灯的费用等于总费用来列方程，解出x即可； （2）彩灯的费用为，射灯的费用为，加起来等于总费用，列方程解出m即可． 【详解】（1）解：设A公司买了彩灯x个，则买了射灯个， 根据题意列方程：， 解得，， 射灯数量：个 答：A公司买了彩灯15个，射灯35个； （2）由题意可列方程： 解得， 答：m的值为20． 22．某商家销售羽绒服，为在春节前卖完，决定将其打折销售．若按标价的8折销售比直接降价40元销售少收入20元． (1)求每件羽绒服的标价为多少元？ (2)商家需销售完80件羽绒服，每件羽绒服进价是220元．按标价出售一部分后，将余下羽绒服按标价的8折全部售出，结算时发现共获利3400元，求按标价售出的羽绒服有多少件？ 【答案】(1)300元 (2)30件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设每件羽绒服的标价为元，根据若按标价的8折销售比直接降价40元销售少收入20元建立方程，解方程即可得； （2）设按标价售出的羽绒服有件，根据总收入总成本利润建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设每件羽绒服的标价为元， 由题意得：， 解得， 答：每件羽绒服的标价为300元． （2）解：设按标价售出的羽绒服有件， 由题意得：， 解得， 答：按标价售出的羽绒服有30件． 23．十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【答案】(1)A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； (2)a的值为560 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个，根据销售，两种品牌的空气净化器的利润相同建立方程求解即可； （2）根据利润等于实际售价减去进价后乘以销售量分别求出A、B两个品牌的利润，二者求和求出总利润，再根据总利润与m的值无关列式求解即可． 【详解】（1）解：设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； （2）解：由题意得，总利润为 ， ∵全部售出所获得的利润与无关， ∴， ∴， 答：的值应该为560． 24．跨年的氛围越来越浓，越来越多人解锁“自我犒劳”新姿势：不用等别人送礼，给自己买份心头好，用小确幸拉满节日仪式感．这种“为自己消费”的新潮流，正让节日经济焕发新活力．超市去年12月就瞄准“自我仪式感”赛道，用22600元购进“花漾拾光”鲜花礼盒和“蜜果满仓”水果礼盒共500盒．这些礼盒颜值吸睛、品质在线，不管是摆在家中装点氛围，还是作为健康零食解馋，都切中了大众的“悦己”需求．已知“花漾拾光”鲜花礼盒每盒进价为40元，售价为52元，“蜜果满仓”水果礼盒每盒售价为75元，利润率为． (1)求去年12月份该超市购进两种礼盒各多少盒． (2)该商店今年12月又购进两种礼盒进行销售，与去年十二月相比，购进鲜花礼盒数增加了，进价不变，但每盒的售价调整为65元，销售一段时间后，超市为回馈消费者，进行打折促销，于是将剩下的80盒鲜花礼盒打八折并全部售出；购进的水果礼盒数不变，进价提高了，售价不变且全部售出，若今年十二月购进的两种礼盒共获得利润11860元，求的值． 【答案】(1)“花漾拾光”鲜花礼盒240盒，“蜜果满仓”水果礼盒260盒 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题的关键； （1）设“蜜果满仓”水果礼盒每盒进价为x元，根据题意列方程，求出“蜜果满仓”水果礼盒每盒的进价，设购买“花漾拾光”鲜花礼盒y盒，则购买“蜜果满仓”水果礼盒盒，根据总进价为22600元列方程求解即可． （2）由今年十二月购进的两种礼盒共获得利润11860元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设“蜜果满仓”水果礼盒每盒进价为x元， 由题意，得， 解得； “蜜果满仓”水果礼盒每盒进价为50元； 设购买“花漾拾光”鲜花礼盒y盒，则购买“蜜果满仓”水果礼盒盒， 由题意，得， 解得， （盒）， 答：购买“花漾拾光”鲜花礼盒240盒，“蜜果满仓”水果礼盒260盒． （2）解：由题意，得， 解得：． 答：的值是20． 考点04 比赛积分 25．预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)16道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、有理数的运算，熟练掌握“得分规则（答对得分答错扣分总得分）”并建立方程是解题的关键． （1）通过听听全对的得分求答对一题的分数，再结合欢欢的得分算答错一题的扣分． （2）设乐乐答对题数为未知数，根据“答对得分答错扣分总得分”列方程求解． （3）假设小华得分分，设答对题数为未知数，列方程后判断解是否为整数且符合题数范围． 【详解】（1）解：∵听听答对题得分， ∴答对一题得分：分， 设答错一题扣分，欢欢答对题、答错题得分， 则， 解得， 故答案为：，； （2）解：设乐乐答对题，则答错题， 根据题意得， 解得， ∴他答对了道题； （3）解：小华不可能得分，理由如下： 假设小华得分，设他答对题，则答错题， 列方程：， ， ， ， ∵不是整数，不符合题数为整数的实际情况， ∴小华不可能得分． 26．某篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分． (1)若该队全胜，共得20分，请问该队胜了多少场？ (2)若该队负了2场，共得20分，请问该队胜了多少场？ (3)若该队赛了12场，共得20分，请问该队胜了多少场？ 【答案】(1)该队胜了10场 (2)该队胜了9场 (3)该队胜了8场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，是基础题，理解得分规则是解题的关键． （1）设该队胜了场，根据得分列出方程求解即可； （2）设该队胜了场，根据得分列出方程求解即可； （3）设该队胜了场，表示出负了场，再根据得分列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该队胜了场， 由题意得，， 解得； 答：该队胜了10场； （2）解：设该队胜了场， 由题意得，， 解得； 答：该队胜了9场； （3）解：设该队胜了场，则负了场， 由题意得，， 解得． 答：该队胜了8场． 27．在某届女排世界杯比赛中，参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜制，积分规则如下，比赛中以或者取胜的球队积分3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 球队 场次 胜场 负场 总积分 中国 11 11 0 美国 11 10 1 28 俄罗斯 11 8 3 巴西 11 23 (1)中国队11场胜场中仅有两场以取胜，则中国队的总积分为___________． (2)巴西队积3分取胜的场次是积2分取胜的场次的3倍，且负场总积分为1分．总积分见上表，求巴西队负场的场数． (3)美国队积3分的胜场数为偶数，美国队积3分的胜场数为___________场；俄罗斯队积3分的胜场数比美国队积3分的胜场数少2场，且俄罗斯队负场总积分为1分，则俄罗斯队总积分为___________分． 【答案】(1)分； (2)3 (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． （1）根据题干中提供的信息，列式计算即可； （2）设巴西队积2分取胜的场次为x场，则积3分取胜的场次是场，根据题意列方并解方程即可； （3）设美国队积3分的胜场数为场，则积2分的胜场数为场，进行分析即可得到美国队积3分的胜场数为8场；根据题意列出算式进行计算求出俄罗斯队总积分即可． 【详解】（1）解：（分）， 即中国队的总积分为分； （2）解：设巴西队积2分取胜的场次为x场，则积3分取胜的场次是场，根据题意得： ， 解得：， 巴西队负场的场数为：（场）． （3）解：设美国队积3分的胜场数为场，则积2分的胜场数为场， ∴美国队胜的场次积分为： ， ∵m为偶数，总积分为28分， 当时，则积2分的胜场数为场，则积1分的负场数为场，不合题意， 当时，则积2分的胜场数为场，则积1分的负场数为场，不合题意， 当时，则积2分的胜场数为场，则积1分的负场数为场，不合题意， 当时，则积2分的胜场数为场，则积1分的负场数为场，不合题意， 当时，则积2分的胜场数为场，则积1分的负场数为场，则负的一场积0分，符合题意， 即美国队积3分的胜场数为8场； ∵俄罗斯队积3分的胜场数比美国队积3分的胜场数少2场，且俄罗斯队负场总积分为1分， ∴俄罗斯队积3分的胜场数（场）， ∵俄罗斯队胜8场， ∴俄罗斯队积2分的胜场数为（场）， ∵俄罗斯队负场总积分为1分， ∴俄罗斯队总积分为：（分）． 故答案为： 28．某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对1道题得 分，答错1道题得 分； (2)参赛者F得76分，他答对了几道题？ (3)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)，； (2)他答对了道题； (3)参赛者说他得了分，是不可能的，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设参赛者F答对了x道题，则答错了道题，根据得分为76分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设参赛者G答对了y道题，则答错了道题，根据得分为80分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 【详解】（1）解：， 即参赛者答对1道题得5分， ， 即答错1道题得分； 故答案为：，； （2）解：设参赛者F答对了x道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 答：他答对了道题； （3）解：不可能，理由如下： 设参赛者G答对了y道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不是整数，不符合题意， 参赛者说他得了分，是不可能的． 29．12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分 小王 20 0 100 小李 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得___________分，答错一题或不答得___________分； (2)若参赛学生小刘得了65分，他答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)15 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据小王答对20道题得100分可求出答对一道题的得分，再根据小李的答题情况可求出答错一题得的分数； （2）设他答对了x道题，则答错或不答道题，根据总得分为65分建立方程求解即可． 【详解】（1）解：分， ∴答对一题得5分； 分， ∴答错一题或不答得分； （2）解：设他答对了x道题，则答错或不答道题， 由题意得，， 解得， 答：他答对了15道题． 30．受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 【答案】(1)3，1，0 (2)钢铁队胜7场 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题； （1）由表中蓝天队的胜场和总积分可得胜一场的积分，再由光明队的总积分可得平一场的积分，最后由雄鹰队的总积分可得负一场的积分； （2）设钢铁队胜x场，根据积分是23分，可列出一元一次方程求解即可. 【详解】（1）解：∵蓝天队胜了6场，积分为18分， ∴胜1场的积分为分 ∵光明队胜5场，平1场，积分为16分， ∴平1场的积分为分， ∵雄鹰队胜3场，平2场，负1场，积分为11分， ∴负1场的积分为分. 故答案为：3，1，0. （2）解：设钢铁队胜场，则平了场． 由（1）知，胜1场积分为3分，平1场积分为1分，负1场积分为0分， ∴，解得． 答：钢铁队胜7场． 31．12月4日为全国法制宣传日．某中学组织学生参加法制知识竞赛，共设30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．若小明答对了x道题． (1)小明的得分是________分；（用含x的代数式表示） (2)小明考完后说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请通过计算说明小明有没有可能拿到100分？ 【答案】(1) (2) 没有可能 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据得分规则列出代数式，再通过方程求解并判断合理性． （1）根据答对得分减去不答或答错扣分，列出含的代数式； （2）根据得分列方程，求解后判断其是否为整数且不超过总题数． 【详解】（1）解：答对道题，则不答或答错道题，得分是分． 故答案为：． （2）解：假设能拿到100分，则 （不是整数） 需为整数， 小明不可能拿到100分． 答：小明没有可能拿到100分． 32．根据题意，设未知数并列出方程． (1)一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，求长方形的宽． (2)某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共50米，共花费690元．其中蓝色布料每米13元，白色布料每米15元，求两种布料各买多少米？ (3)某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？ 【答案】(1)设长方形的宽为米，则方程为 (2)设买蓝色布料米，则方程为 (3)设该队胜了场，则方程为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设长方形的宽为米，则长为米，再由长方形周长计算公式列出方程即可； （2）设买蓝色布料米，则买白色布料米，再由一共花费690元列出方程即可； （3）设该队胜了场，则该队负了场，再由一共得15分列出方程即可． 【详解】（1）解：设长方形的宽为米，则长为米． 根据题意，列方程得． （2）解：设买蓝色布料米，则买白色布料米． 根据题意，列方程得． （3）解：设该队胜了场，则该队负了场， 根据题意列方程，得． 考点05 日历问题 33．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)在数表中将平行四边形框上下左右移动，当框满九个数时，这九个数之和与中间的数有什么关系？请说出理由． (2)平行四边形框内的九个数之和能等于1998吗？能等于2025吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由． 【答案】(1)九个数之和是中间的数的9倍，理由见解析 (2)不能等于1998；能等于2025，最小的数是207 【分析】本题考查了整式的规律问题． （1）设框中间的数为n，列出这九个数，进而推导即可； （2）根据已知规律逐一判断即可． 【详解】（1）解：九个数之和是中间的数的9倍，理由如下：设框中间的数为n，这九个数按大小顺序依次为，，，，，，，，， ， 即九个数之和是中间的数的9倍； （2）解：若和为1998，则， 解得，是偶数，显然不在数表中． 这九个数之和不能为1998． ，而225不在数表的边上， 这九个数之和能为2025． 则， 若和为2025，则中间数为225，最小的数为207． 34．将1到2025之间的所有奇数按顺序排成如图： 记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17，即． (1) ； (2)若，则 ， ； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体“T”字（由同一行上相邻的3个数及中间那个数正下方的1个数组成的图形）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)41 (2)169；5 (3)所覆盖的4个数之和不能等于200，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类． （1）根据题意可知，然后即可计算出相应的值； （2）根据规律可得是第个奇数，是第行，第5个数，可得到m、n的值； （3）设“”字第一行中间数为，由题意得，然后求解即可说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得，每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， 由表格可得 ∴， 故答案为：41； （2）解：由表格可得发现规律：每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， ∵， ∴是第个奇数， ∵， ∴是第行，第5个数， ∵， ∴，， 故答案为：169，5； （3）解：所覆盖的4个数之和不能等于200，理由如下： 设“”字第一行中间数为， 由题意得， 解得， 由表格可知，第三行最后一个数为35， ∵， ∴47位于第4行最后一个数， ∴不能与其他数构成“”字状， ∴所覆盖的4个数之和不能等于200． 35．解决问题 素材1： 如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． 问题： （1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； （2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为，则的值可以是90吗？请说明理由． 素材2： 无限循环小数化分数：利用一元一次方程可以将任何一个无限循环小数化成分数形式．下面以为例说明： 设①， 由 可得②， 由②－①，得 解得：，所以， 问题： （3）根据材料，将化成分数形式，并写出推理过程． 【答案】（1）22；（2）不可以，理由见解析；（3），推理过程见解析 【分析】本题考查了日历问题(一元一次方程的应用)，数字问题(一元一次方程的应用)，数字类规律探索等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）根据题意，列出方程进行求解． 【详解】（1）解：由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9， ∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为22； 故答案为：22； （2）不可以，理由如下： 设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为， 则， 根据题意得：， 解得：， ∵日历中的在最右边， ∴此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． （3）设， 两边都乘100，得， 由， 可得， 即， 解得：．， ∴将化成分数形式为． 36．把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2025排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列，…． (1)①数阵中排在第6行第1列的数是______； ②数阵中共有______个数，2025在数阵中排在第______列； ③数阵中排在第n行第5列的数可用n表示为______． (2)按如图所示的方式，用一个“▱”形框框住四个数，设被框住的四个数中最小的数为x，是否存在这样的x，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②，；③ (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）①由每行有8个数，可求出第6行第1列的数是第41个数，结合数列是从1开始的连续奇数，即可求出结论； ②利用数阵中数的个数，可求出数阵中数的个数，结合每行有8个数，即得出2025在数阵中排在第127行第5列； ③由每行有8个数，可求出数阵中排在第n行第5列的数是第个数，结合数列是从1开始的连续奇数，即可求出结论； （2）假设存在，设被框的四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，，，根据被框住的四个数的和为1308，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，结合该数在第8列，可得出假设不成立，即不存在这样的x，使得被框住的四个数的和为 【详解】（1）解：①数阵中排在第6行第1列的数是第个数， 该数为 故答案为：81； ②数阵中共有个数， ，， 在数阵中排在第127行第5列． 故答案为：1013，5； ③数阵中排在第n行第5列的数是第个数， 数阵中排在第n行第5列的数可用n表示为 故答案为：； （2）不存在这样的x，使得被框住的四个数的和为1308，理由如下： 假设存在，设被框的四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，，， 根据题意得：， 解得：， ，， 在数阵中排在第20行第8列，不符合题意， 假设不成立， 即不存在这样的x，使得被框住的四个数的和为 37．学习情境·日历如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22） (1)图中圈出的9个数的平均数是多少？直接写结果. (2)若用正方形圈出此日历中的任意9个数，位于中心位置的数是，那么这9个数的和是多少？ (3)若用正方形圈出此日历中的9个数，这9个数的和有可能是225吗？试说明理由. 【答案】(1)14 (2)9m (3)不可能，见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减，读懂题意，根据题意得出日历中的任意9个数的代数式是解本题的关键． （1）直接计算图中圈出的9个数的平均数即可； （2）根据中间一个数为m，根据左右相差1，上下相差7，分别表示出其余8个数，相加即可得到这9个数的和，9个数的和除以即可得到这个数的平均数； （3）用，结合日历上数的位置可得结果． 【详解】（1）解：9个数的平均数为； （2）解：∵中间的数为， ∴剩下的8个数分别为，，，，，，，， ∴这9个数之和：； （3）不可能，理由如下； 若这9个数的和为225， ， 则， 由图可知，25是日历中第4行的最后一个数，无以25为中心位置的圈出9个数的正方形， 所以不可能是225. 38．观察某月的月历，回答下列问题． (1)设十字框中间的数为，求带阴影的十字框中间的5个数的和是多少？ (2)在该月的日历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出十字框中间的数． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据月历表述出上面的数字为，下面的数字为，左面的数字为，右面的数字为，然后求和即可； （2）由（1）中结果，代入求解，然后对比月历即可． 【详解】（1）解：设十字框中间的数为，由月历得，上面的数字为，下面的数字为，左面的数字为，右面的数字为， 5个数字的和为：， ∴5个数的和是； （2）不能，理由如下： 由（1）得：5个数的和是， ∴， 解得：， 由月历得，20在最右边， ∴不能用十字框框出5个数，使这5个数的和为100． 【点睛】题目主要考查整式的加减运算，理解题意，列出相应式子是解题关键． 39．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 【答案】(1)22 (2)不可以；理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9， ∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为； 故答案为：22； （2）不可以，理由如下： 由题意，得：， 解得：， 此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． 40．如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)140 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示其它六个数． （1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，，相加即可得到答案； （2）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，得：，解得，最大的数是，而日历中没有32，故“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为． 【详解】（1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）解：“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是， 根据题意得：， 解得， 此时最大的数是， 而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）解：年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， 当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为， 故答案为：140． 考点06几何图形 41．如图①，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则无盖长方体盒子的体积为多少？ (2)若无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积． 【答案】(1) (2)该无盖盒子的体积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，长方体展开图的特点，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键． （1）根据无盖长方体盒子的体积等于底面长方形的长乘以宽的结果乘以其高，根据求出长方体盒子的底面长方形的长和宽，以及其高即可得到答案； （2）无盖长方体盒子的底面的长为，宽为，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的2倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可． 【详解】（1）解：（1）由图可知，长方体盒子的长为，宽为，高为， 当时，， ∴此时，折成的无盖长方体盒子的体积； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 42．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为． (1) 设“边的宽”为， 则天头长为 ， 地头长为 ．（用含x的式子表示） (2)若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长． 【答案】(1) (2)边的宽为，天头长为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据宽为天头长与地头长的和的，得到和为，再根据天头长与地头长的比是，即可得出结果； （2）根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵“边的宽”为，宽为天头长与地头长的和的， ∴天头长与地头长的和为， ∵天头长与地头长的比是， ∴天头长为，地头长为， 故答案为：，， ； （2）设“边的宽”为，由（1）可知：天头长为，地头长为，由题意，得， 解得， ∴， 答：边的宽为，天头长为． 43．综合与探究 如图所示，用同样大小的长方形硬纸片（阴影为裁去部分）做两种纸盒子：有盖纸盒和无盖纸盒．长方形的长均为，宽为．设图、图中左上角的正方形边长为． (1)请用含的代数式表示： ①图1中面的两条相邻边长分别为______、______； ②图2中盒子底面的两条相邻边长分别为______、______； (2)当时，分别计算两种纸盒子的体积； (3)若图1中的面是正方形，则______． 【答案】(1)①，；②，； (2)；； (3)5． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、一元一次方程的应用，熟练掌握长方形与正方形的边长关系、长方体体积公式是解题的关键． （1）①结合长方形长、宽与裁去正方形的边长，推导A面的邻边长；②根据长方形尺寸与裁去部分，确定无盖纸盒底面的邻边长； （2）明确两种纸盒的长、宽、高，代入长方体体积公式（长×宽×高）计算； （3）利用正方形邻边相等的性质列方程求解． 【详解】（1）解：①∵长方形长为，裁去个边长为的正方形， ∴面的一条邻边长为； ∵长方形宽为，裁去个边长为的正方形， ∴面的另一条邻边长为． 故答案为：，； ②∵长方形长为，裁去个边长为的正方形， ∴底面一条邻边长为； ∵长方形宽为，裁去个边长为的正方形， ∴底面另一条邻边长为． 故答案为：，； （2）解：有盖纸盒（图）： 长，宽，高， 当时，长，宽，高， ∴体积． 无盖纸盒（图）：长，宽，高， 当时，长，宽，高， ∴体积； （3）解：∵图中面是正方形， ∴， 解得， 故答案为：． 44．有若干张小长方形的纸片，已知小长方形纸片的长和宽的和等于．茗茗用6张这样的纸片拼出了如图1所示的大长方形；墨墨用4张这样的纸片拼出了如图2所示的大正方形．求： (1)茗茗所拼大长方形的周长； (2)墨墨所拼大正方形中间小正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用： （1）设小长方形的长为，宽为，根据长为宽的2倍列方程，求出小长方形的长和宽，进而即可求解； （2）用大正方形的面积减去4个小长方形的面积即为中间小正方形的面积． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得， 所以宽为， 所以大长方形的周长为． （2）解：∵小长方形的长为，宽为， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为． ∴墨墨所拼大正方形中间小正方形的面积为：． 45．将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 【答案】(1)①19；；②存在使得长方形的周长等于长方形的周长； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意可得，据此可求出m的值；再根据可求出的值；②分别表示出两个长方形的周长，根据两个长方形的周长相等得到关于m、n的等式，再结合得到关于n的方程，解方程即可得到答案； （2）设，分别表示出图2和图3中未覆盖的图形的周长，根据图2和图3中未覆盖部分的周长相等，可推出a与n的关系式，根据的长度不变可推出b与m的关系式，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ∵， ∴； ∵， ∴； ②由题意得，长方形的周长， 长方形的周长， ∵长方形的周长等于长方形的周长， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在使得长方形的周长等于长方形的周长； （2）解：设， 图2中未覆盖部分的周长为， 且， 图3中未覆盖部分的周长为， 且， ∴ ∵图2和图3中未覆盖部分的周长相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 甲长方形的面积为，乙长方形的面积为， ∴甲、乙两种长方形面积的比值为． 46．如图，几张大小不相等的正方形纸片A，B，…，I，无重叠地铺满了一块长方形纸片．已知正方形纸片E的边长为7，求其余各正方形纸片的边长． 【答案】正方形A，B，C，D，F，G，H，I的边长分别为18，15，14，4，8，10，1，9． 【分析】考查一元一次方程的应用；利用最小的正方形的边长表示出其余正方形的边长是解决本题的难点；利用最大正方形的边长相等得到等量关系是解决本题的关键．可从中间最小的正方形的边长入手思考，表示出其余正方形的边长，根据的边长相等列式求解即可． 【详解】解：设中间正方形的边长为，则的边长为，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长的边长的边长，或者的边长的边长的边长， ， 解得， ；；；；；；； 答：正方形A，B，C，D，F，G，H，I的边长分别为18，15，14，4，8，10，1，9． 47．如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积为30，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于两直角边分别为6和12的三角形面积减去两直角边分别为和的三角形面积，据此求解即可； （2）根据（1）所求列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得，， 解得． 48．小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 【答案】(1) (2)铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程解应用题，数形结合是解决问题的关键． （1）由长方形宽相等列方程求解即可得到答案； （2）根据题意，分别求出卧室面积及除卧室以外的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 长方形的宽相等， 则， 解得； （2）解：铺设木地板面积为 ； 铺设地砖面积为 ； 答：铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米． 考点07 阶梯计价 49．某市为鼓励市民节约用水实行阶梯水价制，2024年主城区居民生活用水阶梯价格收费标准如下（注每月还要收居民污水处理费：1元/．）： 类别 每户每月用水量（单位：） 阶梯水价（单位：元/） 第一阶梯 不超过15立方米的部分 5 第二阶梯 超过15立方米的部分 9 (1)若某居民户7月份用水量为，请用含x的代数式表示该居民户7月份应交水费多少元； (2)小云家7月份的水费为120元，她告诉小南她们家这个月的用水量为，小南通过计算发现小云的说法有误，试说明小南这样判断的理由，并计算小云家7月份的实际用水量． 【答案】(1)当时，应交水费元；当时，应交水费元 (2)小南判断的理由是：若用水量为，则水费应为元，但实际水费为 元，矛盾；小云家实际用水量为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用等． （1）根据题意分两种情况讨论可得两个代数式即为本题答案； （2）利用用水量为可知此时交水费为140元，不符合小云描述矛盾，再利用一元一次方程列式计算即可． 【详解】（1）解：∵某居民户7月份用水量为， ∴根据表格信息可得： 当时，水费元； 当时，水费：（元）， ∵每月还要收居民污水处理费：1元/， ∴当时，应交水费：（元）， 当时，应交水费：（元）； （2）解：小南判断的理由是：若用水量为，则水费应为元，但实际水费为元，矛盾，实际水费计算如下： 根据题意可知：（元）， ∵小云家7月份的水费为120元， ∴， ∴小云家水费一定超过15立方米， ∵由（1）得，当时，应交水费：（元）， ∴，解得：， ∴小云家实际用水量为． 50．某市为鼓励居民节约用电，对居民生活用电实行阶梯收费，居民用电价格改革方案已出台，如下表： 用电量的范围 不超过的部分 超过的部分 价格/﹝元/（﹞ 0.5 0.6 小芳家二月份用电，交电费105元，则的值为 ． 【答案】150 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题）需判断用电量是否超过阶梯电量，再根据电费的计算方式列出方程求解． 【详解】解：首先，若全部按元收费，电费为元 由于实际交电费元，说明即用电量超过了． 根据分段计费规则： 不超过的部分，电费为元； 超过的部分为kW⋅h，电费为元； 总电费为元，因此列方程： 解得：． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（分段计费问题），解题关键是判断用电量是否超过阶梯电量，再根据不同收费段的标准列出方程． 51．为鼓励居民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯电价”，按年度用电量分三个档次计费．小明家2025年前8个月的用电量共计2000千瓦时，根据缴费记录，这8个月共缴纳电费1060元．已知该市第一档电价为0.5元/千瓦时，第二档电价超出部分每千瓦时比第一档提价0.05元．请问小明家8月份的用电量是否超过了第一档的年度基础电量？请通过计算说明．（注：为简化计算，本题假设每月用电量平均，且只考虑前两档电价） 【答案】小明家8月份的用电量超过了第一档的年度基础量 【分析】本题考查了分段计费问题，解题关键是通过“假设全按第一档计费的电费与实际电费对比”判断是否超档，并利用分段电价的数量关系列方程计算． 假设全部用电量按第一档电价计费，计算理论电费；对比理论电费与实际电费，判断是否超档；结合第二档电价，通过方程验证并确定超档事实． 【详解】解：假设未超过第一档，即2000千瓦时全部按第一档电价（0.5元/千瓦时）计费， 电费为：元， ∵实际缴纳电费为1060元， ， ∴用电量超过了第一档基础电量． 第二档电价为：元/千瓦时． 设第一档基础电量为x，超过部分为，则电费为： 即第一档基础电量为800千瓦时，而小明家8个月用了2000千瓦时，远超过第一档基础电量． ∴小明家8月份的用电量超过了第一档的年度基础量． 52．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 53．为鼓励居民节约用电，某市试行每户每月阶梯电价加收费制，具体执行方案如表： 每户每月用电数（度）阶段 阶段电价（元/度） 小于等于200 大于200小于等于300的部分 大于300的部分 例如：一户居民五月份用电260度，则需缴电费（元）． (1)若小莹家六月份用电310度，则需缴电费多少元？ (2)已知小悦家四、五月份共用电360度，其中四月份用电量大于五月份用电量，共缴电费199元，问小悦家四、五月份各用电多少度？ 【答案】(1)需缴电费183元； (2)小悦家四月份用电210度，五月份用电150度． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）先根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可； （2）设小悦家四月份用电x度，则五月份用电度，分，及三种情况考虑，根据小悦家四、五月份共缴电费199元，可列出关于x的一元一次方程求解并取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：需缴电费183元． （2）解：设小悦家四月份用电x度，则五月份用电度， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得：， ∴（度）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小悦家四月份用电210度，五月份用电150度． 54．为鼓励居民节约用电，某市试行阶梯电价按月收费制度，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量（单位） 电价（元/） 第一档 0.5 第二档 0.7 第三档 450以上 1 (1)若欣欣家3月份用电量为，则需缴电费______元； (2)若欣欣家4月份用电量为（其中x大于450），则应交电费多少元？（用含x的式子表示并化简） (3)某户居民5，6两个月份共用电，交电费290元．已知该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，求该户居民5，6月份的用电量各是多少？ 【答案】(1)170 (2) (3)该户居民5月份用电，6月份用电 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程，分类讨论是解题的关键． （1）根据表格列出算式进行计算即可求解； （2）根据表格列代数式即可； （3）设该户居民5月份用电为，则6月份用电为．该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，得,分当时，当时，分类讨论，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意： （元）； （2）解：根据题意： （元）； （3）解：设该户居民5月份用电为，则6月份用电为． 该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于， ∴解得, 当x小于或等于200时，根据题意，得， 解方程，得． 所以． 所以该户居民5月份用电，6月份用电． 当x大于200且小于250时， 根据题意，得， 该方程无解． 综上，该户居民5月份用电，6月份用电． 55．某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式，阶梯计价问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用应缴纳气费超出立方米的部分，可用含a的代数式表示出应缴纳气费，结合该年度缴纳气费元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米，分及两种情况考虑，根据小钟家今年共缴纳气费元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当小依家年度用气立方米时，应缴纳气费元， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：，； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米， 当时，， 解得：， ∴（元）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小钟家今年采暖期用气费用为元． 56．某购物网站上一种小礼品按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过120件的部分 3.5元/件 超过120件不超过300件的部分 3.2元/件 超过300件的部分 3.0元/件 (1)“双十一”期间，购物总金额累计满300元可使用50元购物津贴（即累计总金额每满300减50元）． ①若购买120件时，所花费用为______元； ②“双十一”期间，王老师购买这种小礼品花了335元，求王老师购买了这种小礼品多少件？ (2)若“双十二”期间不能使用购物津贴，王老师和李老师各自单独购买这种小礼品共400件，其中王老师的购买数量大于李老师的购买数量，她们一共花费1336元，请问王老师和李老师各购买这种小礼品多少件？ 【答案】(1)①370，②件 (2)王老师购买320件，李老师购买小礼品80件 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确根据题意列出方程并解答是解决本题的关键． （1）根据销售量与单价进行计算即可； （2）先确定王老师购物总价，即可得到购买小礼物数量不足120件，然后计算解题； （3）设李老师购买x件，则王老师购买件，分三种情形分别构建方程解决问题即可． 【详解】（1）①解：（元）， 使用津贴后为（元）， 故答案为：370； ②由题知王老师花费了335元，由于满300减50元，则王老师的购物总价为385元， ， 王老师购物不超过120件， 王老师购买小礼品的件数为：（件）； （2）解：设李老师购买了件小礼品，则王老师购买了件小礼品， （ⅰ）当李老师购买小礼品不超过120件，王老师超过120件不超过300件时， ， 解得：，不满足题意，舍去； （ⅱ）当李老师购买小礼品不超过120件，王老师超过300件时， ， 解得，符合题意， 李老师购买小礼品80件，王老师购买320件； （ⅲ）当王老师和李老师购买小礼品都超过120件不超过300件时， ，方程无解； 综上所述：王老师购买320件，李老师购买小礼品80件． 考点08 行程问题 57．列一元一次方程解决下列实际问题 (1)我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？ (2)轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时，求船在静水中的速度．（船在顺流中速度=船在静水中速度+水流速度，船在逆流中速度=船在静水中速度﹣水流速度） 【答案】(1)该店有客房8间，有房客63人 (2)船在静水中的速度为每小时24千米 【分析】（1）设该店有x间客房，则， 解答即可． （2）设轮船在河流中的静水速度为x千米/时，则逆水行驶的速度为千米/小时，顺水行驶的速度为千米/小时， 由题意得，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该店有x间客房， 则， 解得． ． 答：该店有客房8间，有房客63人． （2）解：设轮船在河流中的静水速度为x千米/时，则逆水行驶的速度为千米/小时，顺水行驶的速度为千米/小时， 由题意得， 解得：． 答：船在静水中的速度为每小时24千米． 58．某自行车队进行训练，训练时所有队员都以的速度前进，突然，号队员以的速度独自前进，行进一段路程后又调转车头，仍以的速度往回骑，直到与其他队员汇合，号队员从离队开始到与其他队员重新汇合共行进了分钟，问号队员掉转车头时离队的距离是多少千米? 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设号队员独自前进时，调转车头前行进的时间为小时，根据题意列式后，求解出的值后再进行检验，再计算1号队员掉头时与车队的距离即可． 【详解】解：设号队员独自前进时，调转车头前行进的时间为小时， 根据题意得，， 解得：， 经检验，符合题意， ∴号队员调转车头时离车队的距离是． 59．小明骑车从A地出发，经过一段平路到达B地，再经过一段上坡路到达C地，然后立即原路返回地，返回途中在地休息了．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，小明出发后回到地，其中到达地前，平路用了，上坡路用了． (1)小明在平路上的速度为多少？（列一元一次方程解决问题） (2)若小明出发的同时，小红从地出发，沿相同路线，以的速度匀速步行至A地，经过几小时小红和小明在途中相遇？请直接写出结果． 【答案】(1)； (2)经过小时小红和小明在途中相遇． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设小明在平路上的速度为，则小明骑车上坡的速度为，小明骑车下坡的速度为，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设经过小时小红和小明在途中相遇，判断得到小红和小明在段相遇，根据题意可得方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：设小明在平路上的速度为，则小明骑车上坡的速度为，小明骑车下坡的速度为，根据题意可得， ， 解得， 答：小明在平路上的速度为； （2）两地之间的距离为， 两地之间的距离为， 设经过小时小红和小明在途中相遇， ∵，，， ∴小红和小明在段相遇， 根据题意可得，， 解得， 答：经过小时小红和小明在途中相遇． 60．甲车从地开往地，乙车从地开往地，两车同时出发，沿着两地间的同一条笔直的公路匀速行驶，出发后两车相距，又过，两车又相距，且此时两车均未到达终点，求两地间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设两地间的距离为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设两地间的距离为， 由题意得，， 解得， 答：两地间的距离为． 61．甲、乙两车早上7时20分分别从A，B两城市出发，沿两城间的同一公路相向而行，8时40分两车相遇，相遇时，甲车走的路程是乙车走的路程的． (1)求甲、乙两车相遇前平均每小时各行全程的几分之几？ (2)相遇后，两车继续按原速度前进．乙车在途中某地遇雾（一直到A地有雾），遇雾后速度降为原速度的；甲车从A城起至走完全程的时遇雨（雨一直下至到达B地），速度降为原速度的，结果乙车到达A城与甲车到达B城的时间相同，试问乙车什么时候遇雾？ 【答案】(1)甲车每小时行全程的，乙车每小时行全程的 (2)乙车在早上8时44遇雾 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设两车相遇前甲车平均每小时行驶全程的x，则乙车平均每小时行驶全程的，根据两车相遇用时小时，即可得出关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，由此即可得出结论； （2）设乙车遇雾时，行驶了全程的s，根据两车的速度以及两车同时到达，即可得出关于s的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：设两车相遇前甲车平均每小时行驶全程的x，则乙车平均每小时行驶全程的， 8时40分7时20分小时， 由已知得：， 解得：， ∴， 答：两车相遇前甲车平均每小时行驶全程的，乙车平均每小时行驶全程的． （2）解：设乙车遇雾时，行驶了全程的s， 由已知得：， 解得：， 乙车遇雾时所走的时间为（小时）， 此时时间为时，即为8时44分； 答：乙车在早上8时44分遇雾． 62．学校附近的“探索骑行社”组织了一次实践活动．该骑行道是一条笔直的骑行道，且足够长，小甲和小乙两位同学分别从A，B两地同时出发，A，B两地相距20千米．已知小甲从A地出发，骑行速度为；小乙从B地出发，骑行速度为．在下列不同任务要求下，请你分析运动过程，并通过列一元一次方程求解相应问题． 任务一：约定相遇 若两人同时出发，相向而行，请问经过多少小时两人会相遇？ 任务二：中途相距 若两人同时相向而行，请问出发多少小时后，两人之间的距离恰好是 5km？ 任务三：同向追赶 若两人同时出发，同向而行（均沿从B到A的方向，小乙在小甲后方出发追赶），请问经过多少小时小乙能追上小甲？ 【答案】任务1：经过0.8小时两人会相遇；任务2：出发0.6小时或1小时，两人之间的距离恰好是5km；任务3：经过4小时小乙能追上小甲 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： 任务1：设经过小时两人会相遇，根据两人的路程之和等于总路程，列出方程进行求解即可； 任务2：分相遇前和相遇后，分别设出未知量，列出方程进行求解即可； 任务3：设经过小时小乙能追上小甲，根据小甲行驶的路程加上两人相距的距离等于小乙的路程，列出方程进行求解即可． 【详解】任务1：解：设经过小时两人会相遇， 根据题意得：，解得： 答：经过0.8小时两人会相遇． 任务2：解：甲乙两人相遇前： 设出发小时，两人之间的距离恰好是 根据题意得：，解得： 甲乙两人相遇后： 设出发小时，两人之间的距离恰好是 根据题意得：，解得： 答：出发0.6小时或1小时，两人之间的距离恰好是． 任务3：解：设经过小时小乙能追上小甲． 根据题意得：，解得：． 答：经过4小时小乙能追上小甲． 63．两地相距，一列快车以的速度从地匀速驶往地，到达地后立刻原路原速返回地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截至到它们都到达终点时： (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）设经过两车第一次相遇，根据题意列出方程即可求解； （）设经过两车第二次相遇，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设经过两车第一次相遇， 由题意得，， 解得， 答：经过两车第一次相遇； （2）解：设经过两车第二次相遇， 第二次相遇时，快车已从A地到达B地后折返，而慢车仍在从B地驶往A地的途中， 此时，快车行驶的总路程比慢车行驶的总路程多一个全程的距离，即快车路程慢车路程， 由题意得，， 解得， 答：经过两车第二次相遇． 64．甲乙两地相距，一列慢车从甲地开出，每小时行驶，一列快车从乙地开出，每小时行驶． (1)若两列车同时开出，相向而行，经过多少小时两列车相遇？ (2)若快车先开出，两列车相向而行，慢车开出多少小时两列车相遇？ 【答案】(1)2小时 (2)小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）利用两车的速度结合甲、乙两地相距，得出等式求出答案； （2）利用快车先开出，再加上两列车以后行驶的路程总路程，进而列出方程求解． 【详解】（1）解：设经过x小时两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：经过2小时两列车相遇； （2）解：设慢车开出x小时后两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：慢车开出小时后两列车相遇． 考点09 古代问题 65．我国古代名著《算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的竹竿和牧童各有多少． 【答案】竹竿有56竿，牧童有7人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设牧童有人，结合每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完，进行列方程，再解得，最后求出竹竿有56竿，即可作答． 【详解】解：设牧童有人， 则， 解得， ∴， 即竹竿有56竿，牧童有7人． 66．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 【答案】孩童人数为6人，梨的数量为36个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（盈亏问题），熟练掌握“根据不变量（梨的数量）列方程”是解题的关键． 设孩童人数为未知数，根据梨的数量不变列方程，求解后再计算梨的数量． 【详解】解：设庭前孩童有人，由题意可得 ， ， ， ， 梨的数量：（个）， 答：孩童人数为6人，梨的数量为36个． 67．牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 【答案】有24个牧童，50个杏． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设牧童有人，根据两种分法中杏的总数不变这一等量，列出一元一次方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设牧童有人，根据题意，得 ， 解得， 所以． 答：有24个牧童，50个杏． 68．《九章算术》记载了一道以绳测井的题，其大意是：用绳子测量井的深度，绳子的三分之一比井深多四尺；绳子的四分之一比井深多一尺，问绳子和井深各多少尺？ 【答案】绳长36尺，井深8尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设绳子长尺，根据两种测量方式下井深相等建立方程，解方程求出的值，再代入求出井深，由此即可得． 【详解】解：设绳子长尺， 由题意得：， 解得：， 则井深为（尺）． 答：绳长36尺，井深8尺． 69．在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【答案】井深8尺，绳长36尺 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是此题的关键． 设井深尺，由两次测量绳长不变列出方程求解即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意列方程得， 解得， ． 答：井深8尺，绳长36尺． 70．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 71．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 【答案】客房有8间，房客有63人 【分析】本题属于一元一次方程的应用问题，得到题目中的等量关系是解题的关键． 设该店有客房x间，根据题意列出方程，求得x的值即可解答． 【详解】解：设客房有间， 根据题意可得：， 解得； 则房客有（人）； 答：客房有8间，房客有63人． 72．《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 【答案】60人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设妇人家中来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了只碗，列方程求解，即可得出结论． 【详解】解：设妇人家中来了位客人， 则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗， 依题意，得， 解得． 故妇人家中来了位客人． 考点10 比例问题 73．某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 【答案】10千克 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据药液与水的质量比为，可得出药液在药水中的比例，进而计算所需药液质量． 【详解】解：药液与水的质量比为，则药液与药水的质量比为， 设需要药液质量为千克，则药水质量为千克， 由题意，， 解得． 答：需要10千克的这种药液． 74．风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 【答案】(1)60 (2)5 (3)6 【分析】本题考查分数的应用，一元一次方程的应用： （1）求出短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的比例，用20除以该比例即可得到总人数； （2）求出参加英语节的男生人数，设歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人，根据题意用a表示b、c，根据男生总人数即可求解； （3）设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人，根据歌曲组人数是短剧组人数的列方程求出k即可． 【详解】（1）解：短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的， ∴六年级参加英语节总人数为（人）； （2）解：∵参加英语节的男生比女生少， ∴男生占总人数的， ∴男生人数为（人）， 设：歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人 已知：，（演讲组男生比歌曲组男生多，即是的倍）， 由和得：，故， 男生总数：， ， 解得， ∴歌曲组男生为5人． （3）解：由（2）知各组人数： 歌曲组：15人（男生5人，女生10人） 演讲组：25人（男生8人，女生17人） 短剧组：20人（男生12人，女生8人） 调整过程： 从演讲组调出学生，其中3名男生全部调入歌曲组． 调出的女生中，调入歌曲组和短剧组的人数比为． 设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人． 总调出女生：（人） 总调出人数：人 调整后各组人数： 歌曲组：原15人调入男生3人调入女生人人 短剧组：原20人调入女生人人 调整后歌曲组人数是短剧组人数的：， 解得， ∴调入歌曲组的女生：（人）． 75．甲、乙两人按的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？ 【答案】甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙可获得利润分别是元、元，根据“第一年盈利14000元”列出一元一次方程，计算即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设甲、乙可获得利润分别是元、元， ， 解得． （元），（元） 答：甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元． 76．A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【答案】A种商品元，B种商品元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设这两种商品的原价分别是元和元，列出比例式子，即可求解． 【详解】解：设这两种商品的原价分别是元和元， 解得：， ∴元，元； ∴A种商品元，B种商品元． 77．列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【答案】Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．根据比例设三种型号的洗衣机分别为台，台，台，再结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设计划生产Ⅰ型洗衣机台，则Ⅱ型洗衣机台，Ⅲ型洗衣机台， 由题意得，， 解得：， 则（台）， （台）， （台）， 答：洗衣机厂该月计划生产Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台． 78．在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 【答案】(1)参加街道清冰雪劳动的有人； (2)参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次方程的实际应用，解题关键是根据题意，找准等量关系，列出正确的方程式． （1）根据分式乘法的运算，用总人数乘以街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的分率即可求解； （2）设参加街道的清冰雪劳动有人，参加街道清冰雪的人数为人，由（1）可得参加街道清冰雪劳动的为人，根据总数为人列方程，即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 答：参加街道清冰雪劳动的有人； （2）解：设参加街道的清冰雪劳动有人，那么参加街道清冰雪的人数为人， ， 解得，， ， 答：参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 79．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【答案】1500人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 80．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为153本． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设甲捐书 本，则乙捐书 本，丙捐书为本，根据他们共捐374本，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为本， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴，，， 答：甲捐书85本，乙捐书136本，丙捐书为153本．． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元一次方程应用题分类训练 （10种类型80道） 考点01 配套问题 考点02 工程问题 考点03 销售利润 考点04 比赛积分 考点05 日历问题 考点06几何图形 考点07 阶梯计价 考点08 行程问题 考点09 古代问题 考点10 比例问题 考点01 配套问题 1．齿轮作为机械传动中的核心元件，在日常生活和工业生产中发挥着不可替代的作用．某机械厂的一个车间生产大、小两种齿轮，该车间共有工人85人，每个工人每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使该车间每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮？ 2．某服装厂要生产一批学生服，已知长的面料可做上衣2件或裤子4条，1件上衣和1条裤子为一套，计划用长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套学生服？ 3．（1）学校组织七年级7个班开展篮球赛．规定本班和其他班每班只打一场，赢一场积3分，输一场扣1分（无平局），已知四班同学获得积分为14分，那么四班赢了多少场？ （2）某车间有22名工人，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 4．某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，若生产一个螺钉的费用为元，生产一个螺母的费用为元，若车间工人正好使得每天加工零件能配套，求这一天生产所有零件的费用一共多少元？ 5．某工厂一车间有50名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每名工人每天能加工甲种零件30个，或加工乙种零件20个． (1)若一辆轿车只需要1个甲种零件和1个乙种零件，要使每天能配套生产轿车，应安排多少名工人加工甲种零件？ (2)若一辆轿车只需要3个甲种零件和2个乙种零件，要使每天能配套生产轿车，应分别安排多少名工人加工甲、乙两种零件？ 6．某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位上的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 7．一条生产线上有台机器，已知一台机器一天可以生产支笔套或支笔芯，如果一支笔套需要支笔芯配成一套，学校准备批发套奖励学生． (1)若生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器制作笔芯和笔套？ (2)已知一支笔芯元，一支笔套元，学校一共需要准备多少钱？ 8．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 考点02 工程问题 9．某服装厂计划若干天完成一批服装的订单任务，如果每天生产服装25套，那么就会超过3天完成，如果每天生产服装28套，那么就会超额完成30套．问这批服装的订单是多少套？计划时间是多少天？ 10．为了更好的完成某小区绿化带改造任务，甲、乙两个施工队合作施工．已知甲队单独施工9天可以完成，乙队单独施工6天可以完成．如果甲、乙两队先合作施工几天后，余下的工作由乙队单独完成，已知在整个施工过程中乙队一共工作了4天．请问甲、乙两队合作施工了几天？ 11．岳阳市某工厂生产一批零件，若由甲车间单独生产，需要10天完成；若由乙车间单独生产，需要15天完成．现安排甲、乙两车间合作生产，生产一段时间后，甲车间因设备检修停产，剩下的由乙车间单独生产3天完成．求甲、乙两车间合作生产的天数． 12．一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (2)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少万元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 13．一项工程，甲队单独做完成，乙队单独做完成，丙队单独做完成，开始时三队合作．中途乙队另有任务，由甲、丙两队完成剩余部分，从开始到工程完成共用了，问乙队实际做了几个小时？（用方程求解） 14．列一元一次方程应用题 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了12个房间之外，还多粉刷了另外的墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积． 15．一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ (3)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 16．某市为了缓解交通压力决定建高架桥，甲、乙两个公司都希望承接这项工程．已知甲公司每个月可建160米高架桥，乙公司每个月可建240米高架桥，而且完成这项工程甲公司比乙公司要多用20个月．该城市政府需付给甲公司建筑费每月240万元，乙公司建筑费每月360万元． (1)求该城市要建多长的高架桥？ (2)该城市政府设计方案时，考虑可由每个公司单独做，也可以由两个公司合作建成，在建设过程中，政府需要派5名工程师到建筑工地里进行指导，建筑公司负担每人每月3000元的生活补贴费．你帮助该城市政府选择一种既省时又省钱的建设方案，并说明理由．（用方程解决问题） 考点03 销售利润 17．某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的八折购物． (1)顾客购买金额为多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下买卡合算？ (2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？ (3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，商场还能盈利，求这台冰箱的进价（若买卡，购卡费用计入商场销售收入）． 18．某药店计划购进，两种瓶装的消毒液共瓶，这两种消毒液的进价、售价如下表所示： A B 进价（元/瓶） 20 40 售价（元/瓶） 30 55 要使该药店售完这批消毒液的利润恰好为总进价的，则种消毒液应购进多少瓶？ 19．某校计划购买篮球和排球两种球若干．已知购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；篮球的单价比排球的单价贵20元． (1)求篮球和排球的单价； (2)该校计划购买篮球和排球共30个．某商店有两种优惠活动（两种优惠活动不能同时参加），活动一：一律打九折，活动二：购物不超过600元时不优惠，超过600元时，超过600元的部分打八折．请根据以上信息：①用代数式表示按两种活动方式购买篮球和排球需要支付的总金额；②说明选择哪一种活动购买篮球和排球更实惠． 20．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 21．为迎接新年的到来，A，B两家公司都打算购买一些彩灯和射灯来装饰新年晚会的会场．已知彩灯的售价为8元/个，射灯的售价为12元/个． (1)若A公司购买了彩灯和射灯共50个，花费540元，则A公司买了彩灯和射灯各多少个？ (2)B公司去购买时正逢商家让利促销，彩灯价格降低了，射灯在原价基础上打八折出售，B公司购买了彩灯50个，射灯30个，共花费608元，请求出m的值． 22．某商家销售羽绒服，为在春节前卖完，决定将其打折销售．若按标价的8折销售比直接降价40元销售少收入20元． (1)求每件羽绒服的标价为多少元？ (2)商家需销售完80件羽绒服，每件羽绒服进价是220元．按标价出售一部分后，将余下羽绒服按标价的8折全部售出，结算时发现共获利3400元，求按标价售出的羽绒服有多少件？ 23．十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 24．跨年的氛围越来越浓，越来越多人解锁“自我犒劳”新姿势：不用等别人送礼，给自己买份心头好，用小确幸拉满节日仪式感．这种“为自己消费”的新潮流，正让节日经济焕发新活力．超市去年12月就瞄准“自我仪式感”赛道，用22600元购进“花漾拾光”鲜花礼盒和“蜜果满仓”水果礼盒共500盒．这些礼盒颜值吸睛、品质在线，不管是摆在家中装点氛围，还是作为健康零食解馋，都切中了大众的“悦己”需求．已知“花漾拾光”鲜花礼盒每盒进价为40元，售价为52元，“蜜果满仓”水果礼盒每盒售价为75元，利润率为． (1)求去年12月份该超市购进两种礼盒各多少盒． (2)该商店今年12月又购进两种礼盒进行销售，与去年十二月相比，购进鲜花礼盒数增加了，进价不变，但每盒的售价调整为65元，销售一段时间后，超市为回馈消费者，进行打折促销，于是将剩下的80盒鲜花礼盒打八折并全部售出；购进的水果礼盒数不变，进价提高了，售价不变且全部售出，若今年十二月购进的两种礼盒共获得利润11860元，求的值． 考点04 比赛积分 25．预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 26．某篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分． (1)若该队全胜，共得20分，请问该队胜了多少场？ (2)若该队负了2场，共得20分，请问该队胜了多少场？ (3)若该队赛了12场，共得20分，请问该队胜了多少场？ 27．在某届女排世界杯比赛中，参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜制，积分规则如下，比赛中以或者取胜的球队积分3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 球队 场次 胜场 负场 总积分 中国 11 11 0 美国 11 10 1 28 俄罗斯 11 8 3 巴西 11 23 (1)中国队11场胜场中仅有两场以取胜，则中国队的总积分为___________． (2)巴西队积3分取胜的场次是积2分取胜的场次的3倍，且负场总积分为1分．总积分见上表，求巴西队负场的场数． (3)美国队积3分的胜场数为偶数，美国队积3分的胜场数为___________场；俄罗斯队积3分的胜场数比美国队积3分的胜场数少2场，且俄罗斯队负场总积分为1分，则俄罗斯队总积分为___________分． 28．某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对1道题得 分，答错1道题得 分； (2)参赛者F得76分，他答对了几道题？ (3)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 29．12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分 小王 20 0 100 小李 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得___________分，答错一题或不答得___________分； (2)若参赛学生小刘得了65分，他答对了几道题？ 30．受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 31．12月4日为全国法制宣传日．某中学组织学生参加法制知识竞赛，共设30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．若小明答对了x道题． (1)小明的得分是________分；（用含x的代数式表示） (2)小明考完后说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请通过计算说明小明有没有可能拿到100分？ 32．根据题意，设未知数并列出方程． (1)一块长方形土地的周长为18米，长是宽的2倍多3米，求长方形的宽． (2)某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共50米，共花费690元．其中蓝色布料每米13元，白色布料每米15元，求两种布料各买多少米？ (3)某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？ 考点05 日历问题 33．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)在数表中将平行四边形框上下左右移动，当框满九个数时，这九个数之和与中间的数有什么关系？请说出理由． (2)平行四边形框内的九个数之和能等于1998吗？能等于2025吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由． 34．将1到2025之间的所有奇数按顺序排成如图： 记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17，即． (1) ； (2)若，则 ， ； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体“T”字（由同一行上相邻的3个数及中间那个数正下方的1个数组成的图形）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 35．解决问题 素材1： 如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． 问题： （1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； （2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为，则的值可以是90吗？请说明理由． 素材2： 无限循环小数化分数：利用一元一次方程可以将任何一个无限循环小数化成分数形式．下面以为例说明： 设①， 由 可得②， 由②－①，得 解得：，所以， 问题： （3）根据材料，将化成分数形式，并写出推理过程． 36．把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2025排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列，…． (1)①数阵中排在第6行第1列的数是______； ②数阵中共有______个数，2025在数阵中排在第______列； ③数阵中排在第n行第5列的数可用n表示为______． (2)按如图所示的方式，用一个“▱”形框框住四个数，设被框住的四个数中最小的数为x，是否存在这样的x，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 37．学习情境·日历如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22） (1)图中圈出的9个数的平均数是多少？直接写结果. (2)若用正方形圈出此日历中的任意9个数，位于中心位置的数是，那么这9个数的和是多少？ (3)若用正方形圈出此日历中的9个数，这9个数的和有可能是225吗？试说明理由. 38．观察某月的月历，回答下列问题． (1)设十字框中间的数为，求带阴影的十字框中间的5个数的和是多少？ (2)在该月的日历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出十字框中间的数． 39．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 40．如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 考点06几何图形 41．如图①，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则无盖长方体盒子的体积为多少？ (2)若无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积． 42．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为． (1) 设“边的宽”为， 则天头长为 ， 地头长为 ．（用含x的式子表示） (2)若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长． 43．综合与探究 如图所示，用同样大小的长方形硬纸片（阴影为裁去部分）做两种纸盒子：有盖纸盒和无盖纸盒．长方形的长均为，宽为．设图、图中左上角的正方形边长为． (1)请用含的代数式表示： ①图1中面的两条相邻边长分别为______、______； ②图2中盒子底面的两条相邻边长分别为______、______； (2)当时，分别计算两种纸盒子的体积； (3)若图1中的面是正方形，则______． 44．有若干张小长方形的纸片，已知小长方形纸片的长和宽的和等于．茗茗用6张这样的纸片拼出了如图1所示的大长方形；墨墨用4张这样的纸片拼出了如图2所示的大正方形．求： (1)茗茗所拼大长方形的周长； (2)墨墨所拼大正方形中间小正方形的面积． 45．将若干个长为、宽为的甲种小长方形纸片和长为、宽为的乙种小长方形纸片不重叠地放在一个大长方形内，其中未被覆盖的部分用阴影表示． (1)如图1，若用5张甲长方形纸片覆盖大长方形，其中，． ①若，则______，此时，______（用含代数式表示）； ②是否存在符合条件的，使得长方形的周长等于长方形的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图2和图3所示，将4张甲长方形纸片和3张乙长方形纸片分别按照两种不同的方式不重叠地放置在大长方形中，结果发现两种方式下未覆盖部分的周长相等．求甲、乙两种长方形面积的比值． 46．如图，几张大小不相等的正方形纸片A，B，…，I，无重叠地铺满了一块长方形纸片．已知正方形纸片E的边长为7，求其余各正方形纸片的边长． 47．如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积为30，求的值． 48．小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 考点07 阶梯计价 49．某市为鼓励市民节约用水实行阶梯水价制，2024年主城区居民生活用水阶梯价格收费标准如下（注每月还要收居民污水处理费：1元/．）： 类别 每户每月用水量（单位：） 阶梯水价（单位：元/） 第一阶梯 不超过15立方米的部分 5 第二阶梯 超过15立方米的部分 9 (1)若某居民户7月份用水量为，请用含x的代数式表示该居民户7月份应交水费多少元； (2)小云家7月份的水费为120元，她告诉小南她们家这个月的用水量为，小南通过计算发现小云的说法有误，试说明小南这样判断的理由，并计算小云家7月份的实际用水量． 50．某市为鼓励居民节约用电，对居民生活用电实行阶梯收费，居民用电价格改革方案已出台，如下表： 用电量的范围 不超过的部分 超过的部分 价格/﹝元/（﹞ 0.5 0.6 小芳家二月份用电，交电费105元，则的值为 ． 51．为鼓励居民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯电价”，按年度用电量分三个档次计费．小明家2025年前8个月的用电量共计2000千瓦时，根据缴费记录，这8个月共缴纳电费1060元．已知该市第一档电价为0.5元/千瓦时，第二档电价超出部分每千瓦时比第一档提价0.05元．请问小明家8月份的用电量是否超过了第一档的年度基础电量？请通过计算说明．（注：为简化计算，本题假设每月用电量平均，且只考虑前两档电价） 52．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 53．为鼓励居民节约用电，某市试行每户每月阶梯电价加收费制，具体执行方案如表： 每户每月用电数（度）阶段 阶段电价（元/度） 小于等于200 大于200小于等于300的部分 大于300的部分 例如：一户居民五月份用电260度，则需缴电费（元）． (1)若小莹家六月份用电310度，则需缴电费多少元？ (2)已知小悦家四、五月份共用电360度，其中四月份用电量大于五月份用电量，共缴电费199元，问小悦家四、五月份各用电多少度？ 54．为鼓励居民节约用电，某市试行阶梯电价按月收费制度，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量（单位） 电价（元/） 第一档 0.5 第二档 0.7 第三档 450以上 1 (1)若欣欣家3月份用电量为，则需缴电费______元； (2)若欣欣家4月份用电量为（其中x大于450），则应交电费多少元？（用含x的式子表示并化简） (3)某户居民5，6两个月份共用电，交电费290元．已知该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，求该户居民5，6月份的用电量各是多少？ 55．某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 56．某购物网站上一种小礼品按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过120件的部分 3.5元/件 超过120件不超过300件的部分 3.2元/件 超过300件的部分 3.0元/件 (1)“双十一”期间，购物总金额累计满300元可使用50元购物津贴（即累计总金额每满300减50元）． ①若购买120件时，所花费用为______元； ②“双十一”期间，王老师购买这种小礼品花了335元，求王老师购买了这种小礼品多少件？ (2)若“双十二”期间不能使用购物津贴，王老师和李老师各自单独购买这种小礼品共400件，其中王老师的购买数量大于李老师的购买数量，她们一共花费1336元，请问王老师和李老师各购买这种小礼品多少件？ 考点08 行程问题 57．列一元一次方程解决下列实际问题 (1)我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？ (2)轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时，求船在静水中的速度．（船在顺流中速度=船在静水中速度+水流速度，船在逆流中速度=船在静水中速度﹣水流速度） 58．某自行车队进行训练，训练时所有队员都以的速度前进，突然，号队员以的速度独自前进，行进一段路程后又调转车头，仍以的速度往回骑，直到与其他队员汇合，号队员从离队开始到与其他队员重新汇合共行进了分钟，问号队员掉转车头时离队的距离是多少千米? 59．小明骑车从A地出发，经过一段平路到达B地，再经过一段上坡路到达C地，然后立即原路返回地，返回途中在地休息了．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，小明出发后回到地，其中到达地前，平路用了，上坡路用了． (1)小明在平路上的速度为多少？（列一元一次方程解决问题） (2)若小明出发的同时，小红从地出发，沿相同路线，以的速度匀速步行至A地，经过几小时小红和小明在途中相遇？请直接写出结果． 60．甲车从地开往地，乙车从地开往地，两车同时出发，沿着两地间的同一条笔直的公路匀速行驶，出发后两车相距，又过，两车又相距，且此时两车均未到达终点，求两地间的距离． 61．甲、乙两车早上7时20分分别从A，B两城市出发，沿两城间的同一公路相向而行，8时40分两车相遇，相遇时，甲车走的路程是乙车走的路程的． (1)求甲、乙两车相遇前平均每小时各行全程的几分之几？ (2)相遇后，两车继续按原速度前进．乙车在途中某地遇雾（一直到A地有雾），遇雾后速度降为原速度的；甲车从A城起至走完全程的时遇雨（雨一直下至到达B地），速度降为原速度的，结果乙车到达A城与甲车到达B城的时间相同，试问乙车什么时候遇雾？ 62．学校附近的“探索骑行社”组织了一次实践活动．该骑行道是一条笔直的骑行道，且足够长，小甲和小乙两位同学分别从A，B两地同时出发，A，B两地相距20千米．已知小甲从A地出发，骑行速度为；小乙从B地出发，骑行速度为．在下列不同任务要求下，请你分析运动过程，并通过列一元一次方程求解相应问题． 任务一：约定相遇 若两人同时出发，相向而行，请问经过多少小时两人会相遇？ 任务二：中途相距 若两人同时相向而行，请问出发多少小时后，两人之间的距离恰好是 5km？ 任务三：同向追赶 若两人同时出发，同向而行（均沿从B到A的方向，小乙在小甲后方出发追赶），请问经过多少小时小乙能追上小甲？ 63．两地相距，一列快车以的速度从地匀速驶往地，到达地后立刻原路原速返回地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截至到它们都到达终点时： (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ 64．甲乙两地相距，一列慢车从甲地开出，每小时行驶，一列快车从乙地开出，每小时行驶． (1)若两列车同时开出，相向而行，经过多少小时两列车相遇？ (2)若快车先开出，两列车相向而行，慢车开出多少小时两列车相遇？ 考点09 古代问题 65．我国古代名著《算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的竹竿和牧童各有多少． 66．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 67．牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 68．《九章算术》记载了一道以绳测井的题，其大意是：用绳子测量井的深度，绳子的三分之一比井深多四尺；绳子的四分之一比井深多一尺，问绳子和井深各多少尺？ 69．在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 70．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 71．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 72．《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 考点10 比例问题 73．某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 74．风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 75．甲、乙两人按的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？ 76．A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 77．列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 78．在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 79．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 80．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？（本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量）． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $