专题04 数轴相关动点压轴题分类训练2（定值数量关系折返线段运动多动点5种类型40道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期湘教版2024

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04数轴相关动点压轴题分类训练2 (定值数量关系折返线段运动多动点5种类型40道) 考点归纳 考点01数轴动点定值问题 考点02探究数量关系 考点03数轴动点折返问题 考点04线段的运动 考点05多动点问题 考点专练 考点01数轴动点定值问题 1.小慧发现利用数轴结合所学的代数与几何知识可以解决很多问题： -8-7-6-5-4-3-2-10123456781 (1)利用数轴找出表示-4和6的两点的距离为-，中点表示的数为- (2)按(1)中的问题多尝试几组数，发现规律并思考：如果折叠数轴，当表示-100和44的点重合时，表示 2025的点和表示-（填数字）的点重合；此时恰好有两数相距106，则这两数的积为- (3)动点A、B分别从表示-8和2点处出发，以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，同时C 从6处以每秒Q个单位长度的速度向右运动，是否存在有理数Q使得3AC-2BC的值为定值？若存在直接写 出Q和定值，若不存在请说明理由。 2.已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2(单位长度)，慢车长 CD=4(单位长度)，设正在行驶途中的某一时刻为t秒，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向 为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是Q,慢车头C在数轴上表示的数是b.若快车AB以6个 单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且 a+8+(b-16)=0. BA 0 CD→ (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距一单位长度； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头AC相距8个单位长度？ (3)此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P,他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到 1/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定 值).你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由， 3.如图，在数轴上点A,B表示的数分别为a,b,且a+3+(b-9)=0,点0为原点. 40 B (1)请直接写出a=一，b=一，A,B两点之间的距离为一： (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动， 设运动时间为t(秒). ①试探究：P,Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段OB上运动时，分别取 OB和A0的中点E,F,试判断4BO的值是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由」 EF 4.操作发现 A MB -21 4 MOA BN 图1 图2 -102 -2013 图3 图4 操作一：如图1，己知点A、M所表示的数分别为-2、1，将点A绕点M旋转180°得到点B,此时点B所 表示的数为4.将上述过程记作：Y(A,M)=B或Y(-2,1)=4; 操作二：如图2，己知点M和线段AB,将点A、M绕同一点旋转180°，使点A和点B重合，此时点M所 对应的点用N表示.将上述过程记作：Y[M,(A,B刀=N;如：Y[-l,l,3】=5; (1)利用图3、图4，直接填空：Y(2,-)=-;Y[3,,-2川=- (2)点A表示的数为a,点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且Y(C,A)=D,Y[C,(4,B)川=E. ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出 它的取值范围； ②当点C表示的数是-1，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值. 5.【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x,点B对应的数为y,M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为 x+y 2 (1)在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为5，点D对应的数为-2，则CD的中点N所对应的数为： 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以 2/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 每秒2个单位长度的速度向右运动.设运动时间为s,t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点A对应的数为x,点B对应的数为y,M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式： 点M对应的数为2+少，若数轴上点A的对应数为X,点B的对应数为y,M为AB最靠近点A的四等分 3 点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：3x+y 4 在(2)的条件下，若E是P四最靠近0的五等分点，F为PC的中点，是否存在1使0E+20F为定值？若 存在，请求出的取值范围和此时的定值.若不存在，说明理由. 6.如图，在数轴上A点表示数a,B点示数b,C点表示数c,b的相反数是-1，且a、C满足 a+2+(c-8)2=0 A B (1)a= ;b= C= (2)若将数轴折叠，使得B点与C点重合，则点A与数 表示的点重合；若数轴上有一点D为线段AC 的三等分点（点D在线段AC内），则点D表示的数是 (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以 每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB, 点B与点C之间的距离表示为BC,是否存在常数k,使kBC-2AB为定值，若存在，求k的值；若不存在， 请说明理由. 7.已知有理数a,b满足：a-2b+(3-b)=0.如图，在数轴上，点0是原点，点A所对应的数是a,线 段BC在直线OA上运动（点B在点C的左侧），BC=b 0 y 0 01 01 备用图 (1)a=」 b= (2)①当点B与点0重合时，AC= ②当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，探索PO、PA、PB之间的数量关系； (3)在线段BC运动过程中，若M为线段OB的中点，N为线段AC的中点，则线段MN的长度是定值吗？若 是，请求出这个定值，若不是，请说明理由， 8.【问题背景】 我们知道x的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：x,-x,表示在 数轴上数x，x2对应点之间的距离.在数轴上，点A,B的位置如图1所示，AB=1-（-2=3. 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A -3-2 -1012> 图1 【问题解决】 (1)2-(-3的几何意义是 (2)如果点C为数轴上一点，它所表示的数为x,点D在数轴上表示的数为-2，那么CD=一（用含x 的代数式表示). 【关联运用】 (1)运用一：代数式x+1+x+4的最小值为 (2)运用二：代数式x-2-x+14的最大值为 (3)运用三：已知x-1+x+3=10,则x的值为 (4)运用四：如图2所示，点E,F,G是数轴上的三点，E点表示数是-5，F点表示数是-2，G点表 示数是6，点E,F,G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点 G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为 EF,点E与点G之间的距离表示为EG,点F与点G之间的距离表示为FG,4秒后，若mFG-3EF的值 是一个定值，试确定m的值， AF -5-2 图2 考点02探究数量关系 9.如图所示，在数轴上点A,B,C表示的数分别为-2,1,6，点A与点B之间的距离表示为AB,点B与点 C之间的距离表示为BC,点A与点C之间的距离表示为AC A, B C -3-2-1012345.7→ (1)则AB=,BC=一，AC= (2)点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒 2个单位长度和5单位长度的速度向右运动.请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离AB为多少？（用含t的代数式表示） ②BC-AB的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值： (3)由第(1)小题可以发现，AB,BC,AC三条线段的长度之间满足AB+BC=AC的数量关系.若点C以每 秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向 右运动.请问：随着运动时间t的变化，AB,BC,AC三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写 出答案 4/16 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.如图，在数轴上，点A表示-2，点B表示8，点P从原点0出发，沿数轴负方向以？的速度向终点A运 动，同时，点？从点B出发沿数轴负方向以”2的速度向终点O运动，运动时间为. A B -2 8 (1)求AB的长： (2)若y=1,2=2,且t=1,求P9的长； (3)直接写出点P、Q表示的数（用含%、2、t的式子表示）： (4)点N为0、Q之间的动点，在P、Q运动过程中，设NQ=m,A0=n,且n=4m,NP始终为定值，直 接写出%、2满足的数量关系 11.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现 了许多重要的规律：若数轴上点A，,点B表示的数分别为，b,则A,B两点之间的距离AB=a-b,线段 4B的中点表示的数为+也 2 【问题情境】数轴上点A表示的数为-4，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速 度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点 后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P,Q两点都停止运动，设运动时间为1秒(>0). 【综合运用】 A B -5-4-3-2-101234567 (1)填空：A,B两点间的距离AB= ,线段AB的中点表示的数为 (2)当t为何值时，P,Q两点间距离为3： (3)若点M为AQ的中点，点N为BP的中点，当点Q到达A点之前，在运动过程中，探索线段MN和AP的 数量关系，并说明理由 12.我们规定：对于数轴上不同的三个点M,N,P,当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为 点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即PM=nPN),则称点P是“[M,N]n关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O,点A,点B表示的数分别为4，-2. B A -5-4-3-2-101234567 (1)原点O-(填“是"或“不是”)[A,B]n关联点”； (2)若点C是“[A,B]整2关联点”，则点C所表示的数- (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度， 则运动时间为_秒时，原点O恰好是“[A,B]n关联点”，此时n的值为- (4)点Q在A,B之间运动，且不与A,B两点重合，作“[A,Q2关联点”，记为A,作“[Q,B]3关联点”，记为 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B,且满足，B分别在线段AQ和BQ上.当点Q运动时，若存在整数m,n,使得式子mQA'+nOB为 定值，求出m,n满足的数量关系 13.点O为数轴的原点，点A,B在数轴上分别表示数a,b,且a,b满足(a+5)+b-3=0. B 图1 Co B≥ 图2 (1)填空：a= ，b= (2)如图1，在数轴上有点M,若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的 数； (3)如图2在数轴上有两个动点P,Q,点P,Q同时分别从A,B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速为 m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段AQ的中点C(点C始终在线段P9上)， 若线段PC的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系. 14.数轴原点为O,A,B是数轴上的两点，点A对应的数是a,点B对应的数是b,且a,b满足 (a-2)+b+4=0,动点M,N同时从A,B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方 向运动，设运动时间为t秒 (1A,B两点间的距离是：动点M对应的数是 (用含t的代数式表示) (2)几秒后，线段OM与线段0N恰好满足30M=20N? (3)若M,N开始运动的同时，R从-1出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时， 求MB-NB与RN之间的数量关系. 15.己知点A,B,C,D在数轴上，点A和点C表示的数分别为-8和2，点B在点A的右侧，点D在点 C的右侧，且AB=4,CD=2. O C D (1)直接写出点B,点D表示的数分别为-、- (2)若线段AB沿数轴向右以2个单位长度/秒的速度运动，同时线段CD沿数轴向左以1个单位长度/秒的速 度运动.设运动时间为t(秒)(t>0). ①若B和D重合，则t的值为-，若A和C重合，则t的值为-： ②若BC=1,求运动的时间； ③当<1<10时，求线段4B与CD的数量关系. 3 3 16.己知数轴上两点A,B所表示的数分别为a和b,且满足a+3引+(b-9)224=0,0为原点. 6/16 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)a= ,b=」 (2)点C从0点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍，求点C的运动速度？ (3)点D以1个单位每秒的速度从点0向右运动，同时点P从点A出发以5个单位每秒的速度向左运动，点Q 从点B出发，以20个单位每秒的速度向右运动.在运动过程中，M、N分别为PD,OQ的中点，求PQ-OD 与MN之间的数量关系.（乘法分配律的逆用：多项式pa+pb+pc=p(a+b+c,如：6a+12b=6a+2b)) 考点03数轴动点折返问题 17.【问题背景】如图，在数轴上，点A表示的数是-5，点B表示的数是7.点P从点A出发，以每秒3个 单位长度的速度匀速向数轴正半轴运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向数轴负 半轴运动.设运动时间为t秒 A B -5 7 【问题再现】(1)运动t秒后，点P表示的数为一，点Q表示的数为：（用含t的代数式表示） 【问题推广】(2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ 【拓展提升】(3)若点P到达点B后立即返回，以原速向数轴负半轴运动，点Q到达点A后也立即返回，以 原速向数轴正半轴运动，求P、Q两点第二次相遇时，相遇点在数轴上表示的数 18.数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点M、N表示的数分别为m、n,那么：①它们之间的距离为 MN=m-:②它们中点所表示的数为m+”.如图所示，数轴上有A,B,C三个点对应的数分别为 2 a,b,c,其中a=-12,b、c满足b+4+(c-8)2=0. A C A BO 备用图 (1)b= ,C=; (2)若数轴上有两个动点P,Q分别从A,B两点同时出发，沿数轴向右匀速运动，点P速度为4单位长度/秒， 点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段AP的中点M到Q点的距离为3， 若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，另外两个动点E,F分别和P,Q同时出发，且始终保持EP=2,FQ=3(点E在P的 左边，点F在Q的左边)，当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时， 线段EP和Q立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段EP和FQ重叠部分为EP的一 半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由. 19.数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具.数轴上两点A、B表示 的数分别为a、b,则A、B两点之间的距离AB=a-b如图，数轴上有A、B两点，其中点A表示-20， 点B表示数30. 7/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 0 B a 0 (1)若数轴上有一点C满足BC=2AC,则点C表示的数为-； (2)点A、B分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点D从原点出发以每秒3个单位长度向右运 动，当点D追上点B后立即以原速返回原点.已知三个点同时出发，当D点回到原点时都停止运动.设运 动时间为(t>0). ①当D追上B时，求A、D两点之间的距离： ②在点D返回原点的过程中，是否存在常数k,使得2AD-kBD为定值？若存在，求出k的值；若不存在， 请说明理由 20.【问题背景】已知数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算.如 图，在数轴上，点A表示的数为a,点B表示的数为b,且满足2a+3=-5,-b-4a=4.动点P从点A出 发，以1个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动，同时动点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向 负半轴运动. 【问题再现】(1)求A、B两点之间的距离； 【问题推广】(2)经过几秒后，P、Q两点相距4个单位长度，并求此时点Q所表示的数： 【拓展提升】(3)设点P运动的时间为t秒(t>0),若在运动过程中，动点P始终保持原速度原方向；当 Q到达原点O时，立即返回，以原速度沿数轴向正半轴运动，当t为何值时，点P到原点O的距离是点Q 到原点O距离的2倍. A 0 B 21.如图：数轴上A,B,C三点分别表示的数为-4、4、7，点P表示的数为x. A -5-4-3-2-1012345678 【阅读材料】：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为a,数轴上表示数a的点与表示 数b的点的距离记a-b(或b-),数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为 x-a+x-b. (1)填空：BC=-;若AB=-; (2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C的距 离之和为10； 3)若点Q表示的数为y,当y+2+y-4+y-8取最小值时，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的 速度向C点运动，当到达C点后立即以每秒1个单位长度的速度返回A点，动点N从点C出发，以每秒1个 单位长度的速度向A点运动，当到达A点后立即以每秒2个单位长度的速度返回C点，M、N同时开始运 动，当经过多少秒时，点M、点N之间的距离正好等于点N到点Q、点C的距离之和. 8/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数-24、-10、10，两条动线段PQ和MN,PQ=2, MN=4,如图，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动，线段P2同时以每秒3个单 位的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到C时，线段⑨立即以相同的速度返回，当点P运动到点 A时，线段PQ、MN立即同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不 变，且点P总在点Q的左边，点M总在点N的左边) PA(O M B(N) -24-20 -10 0 10 (1)当t为何值时，点Q和点N重合？ (2)在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点P表示的数：若不能， 请说明理由 23.如图，数轴上有A,B,C三个点对应的数分别为a,b,c.已知(b+4)2+a+16+(c-4)2=0. A 0→ B (1)直接写出a,b,c的值：a=,b=,c=. (2)若数轴上有两个动点M,N分别从A,B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M度为4个单位长 度/秒，点N速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒.运动过程中，是否存在线段AM的中点E到点CN 的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由： (3)在(2)的条件下，另外两个动点P,Q分别随着M,N一起运动，且始终保持线段PM=2,线段 QN=4(点P在M的左边，点Q在N的右边).当点M运动到点C时，线段PM立即以原速度的2倍返 回，当点M再次运动到点A时，线段PM和QN立即同时停止运动.在整个运动过程中，是否存在使两条 线段重叠部分为PM的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由， 24.点A,B分别在数轴原点0的两侧，0A:0B=3:4,点A对应的数是-12. A 0 B (1)求点B对应的数： (2)若点M为数轴上一动点，其对应的数为m,是否存在点M,使得AM=3BM,若存在，请求出m的值； 若不存在，请说明理由； (3)若点P,Q分别从点A,0同时出发，沿数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度 为每秒1个单位长度，点P到达B点后立即沿数轴返回，并保持原来速度匀速运动.若运动t秒时，点P将 线段00分成1：2的两部分，求t的值 考点04线段的运动 25.初一年级开设了丰富多彩的社团活动课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒PQ、MN研 究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A,B,C三个点，分别表示有理数-24，-10和12，佳佳把两根木 棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且 9/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PQ=2,MN=6.木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动：木棒PQ同时从点A开 始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为 秒. A B PO -24 -10 0 12 A B C -24 -10 0 12 (1)当t=1时，求线段NP的长度； (2)当线段PM=2ON时，求t值： (3)点D为木棒PQ上一定点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距 离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长 26.【问题背景】 如图1，将一根木棒放在数轴上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合 0 8AB32→ 图1 【问题探索】 (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的点表示的数 为32；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的点表示的 数为8，由此可得这根木棒的长为 (2)图1中点A表示的数是， 点B表示的数是 【迁移应用】 (3)由【问题探索】的启发，请借助图2中的数轴解决下列问题： 一天，李明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大， 我就120岁啦”则奶奶现在多少岁？ 王芳的想法是：借助图2中的数轴，将一根木棒放在数轴上，两端分别与点A,B重合，把李明和奶奶的年 龄差看作木棒的长，奶奶是李明现在这么大时，可看作木棒沿数轴向左水平移动后，其右端移动到点A, 此时左端在数轴上所对应的点C表示的数为一45. ①李明是奶奶现在这么大时，可看作木棒沿数轴向右水平移动后，其左端移动到点B,此时右端在数轴上所 对应的点D表示的数为」 ②求奶奶现在的年龄. C A B D 图2 (4)如图3，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-6，点N所表示的数为10.木棒AB长度为1个 10/16 专题04 数轴相关动点压轴题分类训练2 （定值数量关系折返线段运动多动点5种类型40道） 考点01 数轴动点定值问题 考点02 探究数量关系 考点03 数轴动点折返问题 考点04 线段的运动 考点05 多动点问题 考点01 数轴动点定值问题 1．小慧发现利用数轴结合所学的代数与几何知识可以解决很多问题： (1)利用数轴找出表示和6的两点的距离为 ，中点表示的数为 ． (2)按（1）中的问题多尝试几组数，发现规律并思考：如果折叠数轴，当表示和44的点重合时，表示2025的点和表示 （填数字）的点重合；此时恰好有两数相距106，则这两数的积为 ． (3)动点A、B分别从表示和2点处出发，以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，同时C从6处以每秒个单位长度的速度向右运动，是否存在有理数使得的值为定值？若存在直接写出和定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)10；1 (2)； (3)存在，，定值为34 【分析】本题考查了数轴表示有理数，数轴上两点间距离的计算，中点计算公式，数轴的折叠问题，动点问题与定值探究，解决本题的关键是熟练掌握数轴的性质并会表示代数式，对动点的运动规律进行分析． （1）根据数轴上表示的点求解两点间距离与中点表示的数即可； （2）先求解表示和44的点重合的点，再根据点为2025列式求解即可；设这两个数分别为m和n，根据两点间距离与m与n的关系列式求解即可． （3）根据点A，点B，点C的运动速度，可表示运用时间t秒后，三点表示的数，由两点间距离可表示与，再根据定值可得t的系数为零，由此求解即可． 【详解】（1）解：和6的两点的距离为， 中点表示的数为 故答案为：10；1． （2）解：当表示和44的点重合时， ∴折叠点为， 设表示2025的点为x, ∴，解得， ∴表示2025的点和表示的点重合； 设这两个数分别为m和n， ∵折叠点为， ∴，即①， ∵两数相距106，即②， ∴①②可得，解得， ∴， ∴这两数的积为． 故答案为：；． （3）解：存在，，定值为34． 设运动时间为t秒， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ， ∴， 若的值为定值， 则，解得，定值为34． 2．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻为t秒，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)此时刻快车头与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)正确，秒，单位长度 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． （1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：，且，， ，， 解得，， 此时刻快车头与慢车头之间相距； 故答案为：； （2）解：由题意可得： ①当快慢车未相遇前相距个单位长度时，则有：（秒）； ②当快慢车相遇后相距个单位长度时，则有：（秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距个单位长度； （3）因为， 当在之间时，是定值， （秒） 此时（单位长度）． 故这段时间为秒，定值是单位长度． 3．如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，点为原点． (1)请直接写出______，_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①试探究：P，Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，9，12 (2)①或12；②的值是一个定值，为2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值，然后利用数轴上两点之间的距离求解即可； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴A，B两点之间的距离为； （2）解：①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，， 解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下： 当点Q运动到线段上时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，中点F表示的数是， 则， 所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， 中点F表示的数是， 则， 所以； 故的值是一个定值，为2． 4．操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1) (2)①是，；②的值为2或4 【分析】（1）按照题中操作一与操作二分别画图即可完成； （2）①由题意得点B表示的数为或；设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e；当点B表示的数为时，点B在点A的右侧；由题意表示出点D及点E表示的数，再计算出即可；当点B表示的数为时，点B在点A的左侧；同理可计算出，从而可作出判断； ②由①得，点B表示的数为，由题意得：，由此即可求得a的值． 【详解】（1）解：由图3知，；由图4知，；    故答案为：； （2）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4； 理由如下：∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或； 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e； 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧； ∵， ∴A为的中点， ∴， 即； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧； 同理得：； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 即点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点C表示的数是， ∴由①得， ∴； ∵点B表示的数为， ∴由题意得：， 即， ∴或， 解得：或． 故的值为2或4． 【点睛】本题是新概念问题，有一定的综合性，考查了数轴的点表示数，数轴上两点间的距离，绝对值的计算，有理数加减运算等知识，理解新概念是解题的关键． 5．【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)当时，，理由见解析 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）根据中点公式进行求解即可； （2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为， ∴的中点所对应的数为， 故答案为：． （2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得， ∴为17时，的中点所对应的数为10． （3）解：存在，当时，，理由如下： 根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴表示数到数10和之间的距离之和， ∴当时，． 6．如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，或 (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题． （1）根据绝对值和平方的非负性，相反数，即可求出a，b，c的值； （2）先求出折点为，即可求出与点A重合的数，由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， 的相反数为， ， 故答案为：，，； （2）解：与重合，即，重合， 折点为， 与点重合的点是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或． 故答案为：；或； （3）解：存在， ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值， 的值与无关， ， ∴． 7．已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)6，3； (2)①3；②； (3)线段的长度是定值， ． 【分析】此题主要考查非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段的中点，理解非负数的性质，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离，线段的计算是解决问题的关键． （1）根据非负数的性质得，据此可得a，b的值； （2）①依题意得点A所对应的数是6，，得点C所对应的数为3，可求；②当点与点重合时，点B所对应的数为3，设在数轴上点P所对应的数为，得，进而可得； （3）由(2)可知点A所对应的数是6，，设点B所对应的数为t，则点C所对应的数为，再根据点为线段的中点，为线段的中点，得点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ，据此可的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：6，3； （2）解：①，点所对应的数是， ，点所对应的数是6， 点在点的左侧， 点C所对应的数为3， ， 故答案为：3； ②当点与点重合时， ， 点B所对应的数为3， 点是线段延长线上的点， 设在数轴上点P所对应的数为， ， ，即， 、、之间的数量关系满足； （3）解：线段的长度是定值，； 理由如下：由(2)可知∶点A所对应的数为6， 设在数轴上点B所对应的数为t， 点B在点C的左侧，， 点C所对应的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ， ． 8．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】问题解决：（1）点与点之间的距离；（2）；关联运用：（1）；（2）；（3）或；（4）的值是一个定值时，的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 问题解决：（1）的几何意义是点与点之间的距离； （2）根据距离公式可得； 关联运用：（1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值，已知，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）运用四：时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】问题解决： 解：（1）的几何意义是点与点之间的距离， 故答案为：点与点之间的距离； （2）由题意得： 表示的数为，点在数轴上表示的数为， 则与之间的距离， 故答案为：； 关联运用： （1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为， 故答案为：； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值， 时，或， 故当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （4）运用四：点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 考点02 探究数量关系 9．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 10．如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 【答案】(1)10 (2)7 (3)点表示的数为：，点表示的数为：； (4)． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）直接根据两点间的距离公式计算即可； （2）先求出点P、点Q表示的数，再求的长即可； （3）直接根据两点间的距离公式计算即可； （4）由（3）可知，，则，，即，由，，可知，根据求出，根据始终为定值得到，即可求出、满足的数量关系． 【详解】（1）解：； （2）解：若，，且， 则点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴； （3）解：∵点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； ∵点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； （4）解：∵点表示的数为：， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵始终为定值， ∴， ∴． 11．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 12．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是 (2)0或 (3)2；1 (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数、的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值； （3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可； （4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，， ，， ， 原点是“，2关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，， ， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒， 则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为3的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1， 故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 13．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足． (1)填空： ______， ______． (2)如图1，在数轴上有点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)，3 (2)点M对应的数为或 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是数轴、绝对值和非负数，解题的关键是根据数轴的特点，表示出点表示的数和线段的长度． （1）根据非负性可得； （2）分点M在点A的左边，之间和点B的右边三种情况讨论； （3）分别表示出点P与点C表示的数，表示出的长度，因为的长度是定值，故含字母的部分为0，解出即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：，3； （2）设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3， ①当点M在点A的左侧时， 则， ∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍， ∴， ∴， 解得； ②当点M在线段之间时， 则， ∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍， ∴， ∴， 解得； ③当点M在点B右侧时，不满足题意， 综上所述：点M对应的数为或； （3），理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得：， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， 点C表示的数为：， 点P表示的数为：， ∴， ∵线段PC的长度总为一个固定的值， ∴， ∴． 14．数轴原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)A，B两点间的距离是______；动点M对应的数是______（用含t的代数式表示）． (2)几秒后，线段与线段恰好满足？ (3)若M，N开始运动的同时，R从出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求与之间的数量关系． 【答案】(1)6， (2)秒或秒 (3) 当时，；当时， 【分析】本题主要考查了非负性的应用：偶次方、绝对值，列代数式，数轴上点的表示、距离的表示，一元一次方程等知识；能将相关基础知识灵活运用起来是本题的关键． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，解之可得出，的值，利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长，再结合点的出发点、运动方向、运动速度及运动速度，可用含的代数式表示出动点对应的数； （2）当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点N对应的数是，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是，动点对应的数是，利用数轴上两点间的距离公式，可得出，分及两种情况，可找出与之间的数量关系． 【详解】（1）解： ∴，， ∴，， ∴， 当运动时间为秒时，动点对应的数是， 故答案为：， ； （2）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是， 根据题意得：， 解得：或， 答：秒或秒后，线段与线段恰好满足； （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是，动点对应的数是， ∴， ， ， ∵与不重合， ∴， ∴， ∴分及两种情况考虑： 当时， ， ， ∴； 当时， ，， ∴， 综上所述， 当时，；当时， . 15．已知点，，，在数轴上，点和点表示的数分别为和，点在点的右侧，点在点的右侧，且，． (1)直接写出点，点表示的数分别为 、 ； (2)若线段沿数轴向右以2个单位长度/秒的速度运动，同时线段沿数轴向左以1个单位长度/秒的速度运动．设运动时间为（秒）（）． ①若和重合，则的值为 ，若和重合，则的值为 ； ②若，求运动的时间； ③当时，求线段与的数量关系． 【答案】(1)、； (2)①、；②运动的时间为秒或秒；③ 【分析】本题考查了数轴上点的坐标表示、线段运动问题及两点间距离的计算，解题的关键是根据运动速度和时间表示出运动后各点的坐标，再结合距离关系列方程或推导数量关系． （1）根据“点在右侧则坐标相加”的原则，用点A、C的初始坐标分别加上、的长度，得到点B、D的坐标； （2）①先表示出t秒后点B、D和点A、C的坐标，再根据“重合时坐标相等”列一元一次方程求解；②用运动后点B、C的坐标表示两点间距离，结合“”列绝对值方程求解；③注意线段长度不随平移改变，直接分析与的固定长度关系． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B在A右侧且， ∴点B表示的数为； ∵点C表示的数为，点D在C右侧且， ∴点D表示的数为 故答案为：、； （2）①解：运动秒后，点B表示的数为，点D表示的数为； 当B和D重合时，， 解得，即； 运动秒后，点A表示的数为，点C表示的数为； 当A和C重合时，， 解得，即 故答案为：、； ②解：运动秒后，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵， ∴，即； 当时，，解得； 当时，，解得 答：运动的时间为秒或秒； ③解：∵线段平移不改变长度， ∴，，即； 又∵当时，线段与的长度关系不变， 故． 16．已知数轴上两点所表示的数分别为和，且满足为原点． (1)________，_______． (2)点从点出发向右运动，经过秒后点到点的距离是点到点距离的倍，求点的运动速度？ (3)点以个单位每秒的速度从点向右运动，同时点从点出发以个单位每秒的速度向左运动，点从点出发，以个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，分别为的中点，求与之间的数量关系．（乘法分配律的逆用：多项式，如：） 【答案】(1)； (2)个或个单位每秒 (3) 【分析】本题考查了绝对值的非负性，一元一次方程的应用，列代数式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由，可得，，解之即可； （2）设的速度为每秒个单位，可得：，解出即可； （3）设运动时间为秒，则运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是，由分别为的中点，有表示的数是，表示的数是，故，，，所以得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设的速度为每秒个单位，则运动后表示的数是， 根据题意得：， 或， 解得：或； （3）解：设运动时间为秒，则运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是， 分别为的中点， 表示的数是，表示的数是， ，，， ， ． 考点03 数轴动点折返问题 17．【问题背景】如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是．点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴正半轴运动；同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴负半轴运动．设运动时间为秒． 【问题再现】（1）运动秒后，点表示的数为______，点表示的数为______；（用含的代数式表示） 【问题推广】（2）经过多少秒后，点和点相遇？ 【拓展提升】（3）若点到达点后立即返回，以原速向数轴负半轴运动，点到达点后也立即返回，以原速向数轴正半轴运动，求、两点第二次相遇时，相遇点在数轴上表示的数． 【答案】（1）；（2）经过秒后，点和点相遇（3）、两点第二次相遇时，相遇点在数轴上表示的数是 【分析】本题考查了数轴上的动点问题（一元一次方程的应用），分析动点的运动阶段、用含时间的代数式表示动点位置是解题的关键． （1）用 “初始位置 ± 速度 × 时间” 即可得出、表示的数； （2）由“位置相等”列方程求解即可； （3）先计算点到、点到的时间，确定两者“到达端点并返回”的时间节点，再针对“均返回后”的阶段，重新用含的代数式表示、的位置（注意“返回后的运动时间总时间到达端点的时间”），最后利用“位置相等”列方程求解即可． 【详解】解：（1）点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴正半轴运动，秒后表示的数为：； 点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向数轴负半轴运动，秒后表示的数为：； （2）当点和点相遇时，二者位置相等， 列方程为，解得， 所以经过秒后，点和点相遇； （3）根据题意可知，点从到所需的时间为（秒）， 所以时，点表示的数为， 此时点还未到达点，仍在向左运动， 点从到所需的时间为（秒）， 所以这时点已从点的位置返回后运动了（秒）， 这时点表示的数为， 所以第二次相遇发生在点、点均返回后， 设第二次相遇的时间为秒（）， 这时点经过秒到达点后向负半轴运动，点表示的数为， 点经过秒到达点后向正半轴运动，点表示的数为， 列方程为， 整理得， 解得， 当时，点表示的数为， 所以、两点第二次相遇时，相遇点在数轴上表示的数是． 18．数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点表示的数分别为，那么：①它们之间的距离为；②它们中点所表示的数为．如图所示，数轴上有三个点对应的数分别为，其中，满足． (1)______，______； (2)若数轴上有两个动点分别从两点同时出发，沿数轴向右匀速运动，点速度为单位长度/秒，点速度为单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，是否存在线段的中点到点的距离为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，另外两个动点分别和同时出发，且始终保持，（点在的左边，点在的左边），当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回，当点再次运动到点时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段和重叠部分为的一半，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的值为或 (3)存在，的值为或或或 【分析】（）利用非负数的性质解答即可求解； （）由题意可得运动秒后，点对应的数为，点对应的数为，即得点对应的数为，再根据题意列出方程即可求解； （）分两种情况：线段向右运动和线段重叠，线段向左运动和线段重叠，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意可得，运动秒后，点对应的数为，点对应的数为， ∵点是线段的中点， ∴点对应的数为， ∵到点的距离为， ∴， 解得或， ∴存在的值为或，使得线段的中点到点的距离为； （3）解：存在，理由如下： 由题意可得，向右运动秒，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∵， ∴， 当线段第一次重叠时，若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 当重合时，， 解得， ∴点返回时对应的数为，点返回时对应的数为， 当线段第二次重叠时，若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 若点表示的数比点表示的数大， 则， 解得； 综上，在整个运动过程中，存在使两条线段和重叠部分为的一半，的值为或或或． 19．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离．如图，数轴上有A、B两点，其中点表示，点表示数． (1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为 ； (2)点A、B分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点D从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点D追上点B后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当D点回到原点时都停止运动．设运动时间为． ①当D追上B时，求A、D两点之间的距离； ②在点D返回原点的过程中，是否存在常数k，使得为定值？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①35；②存在， 【分析】本题主要考查了数轴、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题等知识点，运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． （1）设点表示的数为，则，，根据建立方程，解方程即可得； （2）①先求出在点追上点前，运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据当追上时，点与点表示的数相等建立方程，解方程即可得； ②先求出在点返回原点的过程中，，则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再求出，，分两种情况：，，计算整式的加减，根据含项的系数等于0求解即可得． 【详解】（1）解：设点表示的数为， ∵点表示，点表示数， ∴，， ∵， ∴，即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 故答案为：或． （2）解：①由题意得：在点追上点前，运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当追上时，则， 解得， ∴此时点表示的数为，点表示的数为， ∴此时两点之间的距离为． ②由①可知，点追上点后立即以原速返回原点所需时间为15秒， ∴在点返回原点的过程中，， ∴此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 令，解得， （Ⅰ）当时，， ∴ ， 要使得为定值，则， 解得； （Ⅱ）当时，， ∴ ， 要使得为定值，则， 解得； 综上，存在常数，使得为定值，此时的值为． 20．【问题背景】已知数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足，．动点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动，同时动点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动． 【问题再现】（1）求A、B两点之间的距离； 【问题推广】（2）经过几秒后，P、Q两点相距4个单位长度，并求此时点Q所表示的数； 【拓展提升】（3）设点P运动的时间为t秒（），若在运动过程中，动点P始终保持原速度原方向；当Q到达原点O时，立即返回，以原速度沿数轴向正半轴运动，当t为何值时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 【答案】（1）16；（2）经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度．点Q所表示的数为或；（3）当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， （1）先求出a，b，再根据两点之间的距离得出答案； （2）先表示出点P，Q表示的数，再根据P、Q两点相距4个单位长度得出两个方程，求出解； （3）先分两种情况：当时，当时，可得点Q表示的数，再根据点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍得出方程，再求出解． 【详解】解：（1）根据题意，，解得， 又因为，即， 解得． 所以A、B两点之间的距离为； （2）设运动时间为秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 又因为P、Q两点相距4个单位长度， 所以或， 解得或． 所以经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度． 当时，点Q所表示的数为， 当时，点Q所表示的数为， 所以此时点Q所表示的数为或； （3）根据题意可知，点P表示的数为，且点Q运动到原点O的时间为． 当时，点Q表示的数为， 当时，点Q表示的数为， 又因为点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍， 所以或， 解得或． 综上所述，当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 21．如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空： ；若 ； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒个单位长度的速度返回点，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【答案】(1)， (2)当经过秒或秒时，动点到点、点的距离之和为 (3)当经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【分析】本题主要考查一元一次方程，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）设当经过秒时，动点到点、点的距离之和为，点表示的数为，得到，，根据题意列方程即可求解； （3）当取最小值时，，得到点表示的数为，设经过的时间为秒，再分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，三点分别表示的数为、、， ，， 故答案为：，； （2）设当经过秒时，动点到点、点的距离之和为， ， 点表示的数为， ，， ， 解得或， 当经过秒或秒时，动点到点、点的距离之和为； （3）当取最小值时，， 点表示的数为， 设经过的时间为秒， 当到达点时，秒，当返回到点时，秒； 当到达点时，秒，点返回到点时，秒； ①当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意知， 解得或（舍）； ②当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 解得（舍）； ③当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 解得或（舍）或（舍）， 综上所述，当经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 22．数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，两条动线段和，，，如图，线段以每秒个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，线段同时以每秒个单位的速度从点开始向右匀速运动，当点运动到时，线段立即以相同的速度返回，当点运动到点时，线段、立即同时停止运动，设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变，且点总在点的左边，点总在点的左边） (1)当t为何值时，点Q 和点 N重合？ (2)在整个运动过程中，线段和重合部分长度能否为，若能，请求出此时点表示的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当或时，点和点重合； (2)能，此时 P 点表示的数是或或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴的知识．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分类讨论思想的应用． （1）分两种情况讨论，追及时等量关系为：点行走的路程行走的路程；返回后相遇等量关系为：点行走的路程行走的路程； （2）分两种情况讨论，追及时点超过点一个单位长度和点超过点一个单位长度时都符合线段和重合部分长度能为；返回后相遇时点离点一个单位长度和点离点一个单位长度时都符合线段和重合部分长度能为；据此求得的值，从而求得点的范围. 【详解】（1）解：①追及时，依题意得：，即：， 解得：； ②返回后相遇，依题意得： 即：， 解得：； 答：当或时，点和点重合； （2）解：①追及时点超过点一个单位长度：，即， 解得：，此时P点表示的数为：； ②追及时点超过点一个单位长度：，即， 解得：，此时P点表示的数为：； 即：， ∴点表示的数在和之间； ③返回后相遇时点离点一个单位长度：，即：， 解得：， 此时P点表示的数为： ④返回后相遇时点离点一个单位长度：，即：， 解得：， 此时P点表示的数为： 综上：点表示的数为：或或或. 23．如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值：，，． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M度为4个单位长度/秒，点N速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到点的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． （1）根据绝对值、平方的非负性即可求解、、，问题得解． （2）点M对应的数为，点N对应的数为．线段的中点E对应的数为：，线段的中点F对应的数为：，列出方程，即可求解； （3）点对应数，点对应数．再分段讨论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，，， ，，． 故答案为：，，； （2）解：存在， 点M对应的数为，点N对应的数为． 线段的中点E对应的数为：， 线段的中点F对应的数为： 点E与点F的距离为： 解得：或， 故存在这样的t，值为或； （3）解：存在， 点对应数，点对应数． 分段讨论： 当时，． 重叠部分左端点为中的大值，右端点为中的最小值， 当时，重叠长度为，令其为1得． 当时，． 当时，重叠长度为，令其为1得． 综上，存在或． 24．点分别在数轴原点的两侧，，点对应的数是． (1)求点对应的数； (2)若点为数轴上一动点，其对应的数为，是否存在点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点分别从点同时出发，沿数轴向右匀速运动，点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，点到达点后立即沿数轴返回，并保持原来速度匀速运动．若运动秒时，点将线段分成的两部分，求的值． 【答案】(1)点B对应的数是16； (2)存在，或 (3)的值为或或或． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意知，根据，得到，即可解答； （2）由题意可知，，根据，列式求解即可； （3）由题意可知：，得到点P从点A到点B所用的时间，Ⅰ．当点P由点A向点B运动，即时，动点P对应的数为，动点Q对应的数为t，此时点P将线段分成的两部分应分两种情况，Ⅱ．当点P由点B返回点A运动，即时，动点P对应的数为，动点Q对应的数为t，此时点P将线段分成的两部分应分两种情况，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是， ∴， ∵， ∴， ∴点B对应的数是16； （2）解：存在，或． 由题意可知：，， ∵， ∴， 解得或； （3）解：由题意可知：， ∴点P从点A到点B所用的时间秒， Ⅰ．当点P由点A向点B运动，即时， 动点P对应的数为，动点Q对应的数为t， 此时点P将线段分成的两部分应分两种情况： ①当时，， 解得； ②当时，， 解得； Ⅱ．当点P由点B返回点A运动，即时， 动点P对应的数为，动点Q对应的数为t， 此时点P将线段分成的两部分应分两种情况： ③当时，， 解得； ④当时，， 解得； 综上所述，的值为或或或． 考点04 线段的运动 25．初一年级开设了丰富多彩的社团活动课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，和，佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点重合，点与点重合，点在点的左边，点在点的左边，且．木棒从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动：木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当线段时，求值： (3)点为木棒上一定点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，定值为8，持续总时长为3秒 【分析】（1）先用t表示出经t秒，各动点表示的数，再求出时N、P两点表示的数，再求出； （2）先用表示出、，再根据，列出关于的方程，再令，则方程变为关于的方程，然后分、、三种情况讨论，分别求出，再求出的． （3）根据D是木棒上一定点，设D到P的距离为a（），则D到Q的距离就是．再表示出D表示的数，从而可表示出、，进而得出，然后用含有、的式子表示出、，从而可表示出点到点的距离之和，令，从而可转化为关于的方程，再分、、三种情况讨论，找出点到点的距离之和为定值时的范围即可求解． 【详解】（1）解：数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，和， 当时， ∵Q与A重合， ∴Q点表示数为， ∵P在Q左边，且， ∴P点表示的数为​， ∵N与B重合， ∴N点表示的数为， ∵M在N左边，且， ∴M点表示的数为， 经t秒， ∵木棒速度为每秒3个单位向右， ∴此时点Q表示的数为， 点P表示的数为， ∵木棒速度为每秒1个单位向右， ∴此时点N表示的数为， 点M表示的数为， 当时， 此时点P表示的数为， 点N表示的数为， ∴线段的长度为； （2）经t秒，各动点表示的数如下：步骤1：写出各点关于t的表达式 点P表示的数为， 点M表示的数为， 点Q表示的数为， 点N表示的数为， P和M都向右运动，但P速度更快，所以P会逐渐追上甚至超过M． 同样，Q比N快，也会追上N． 所以我们先不假设顺序，直接用绝对值表示： ， ， 根据题意： ∵， ∴， 令，则方程变为： ， 我们分情况讨论右边绝对值内的符号： 情况1：（即）， 此时，，， 方程化为：， 解得：， ∴， ，成立； 情况2：（即） 此时，，， 方程化为： 解得：， ， ∵， ∴， ∴， ， 在范围内，故符合； 情况3：（即） 此时，，方程化为： ， 解得：， 但不满足，此情况不符合， 当点Q运动到C时，两根木棒立即同时停止运动， 此时Q点表示的数为， 解得：， 所以t的取值范围是：， 或都在范围内， 综上，或； （3）∵D是木棒上一定点， ∴它相对于P和Q的位置是固定的． 设D到P的距离为a（）， 则D到Q的距离就是． 由于木棒整体向右运动， D表示的数为：， (因为D在P右侧a单位，固定) ， ∵D在上，， ∴， ∴， ∵D表示的数为， M表示的数为， N表示的数为， ∴， ， ∴点到点的距离之和为， 令， 则点到点的距离之和为， 当时，， 当时，， 当时，， 因此，当且仅当， 即时， 点到点的距离之和为定值： ， 此时， 解得：， 这个范围的长度为： 秒． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移（动点问题），列代数式，动点问题（一元一次方程的应用）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 26．【问题背景】 如图1，将一根木棒放在数轴上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合 【问题探索】 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的点表示的数为32；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的点表示的数为8，由此可得这根木棒的长为______ （2）图1中点表示的数是______，点表示的数是______． 【迁移应用】 （3）由【问题探索】的启发，请借助图2中的数轴解决下列问题： 一天，李明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就120岁啦！”则奶奶现在多少岁？ 王芳的想法是：借助图2中的数轴，将一根木棒放在数轴上，两端分别与点，重合，把李明和奶奶的年龄差看作木棒的长，奶奶是李明现在这么大时，可看作木棒沿数轴向左水平移动后，其右端移动到点，此时左端在数轴上所对应的点表示的数为－45． ①李明是奶奶现在这么大时，可看作木棒沿数轴向右水平移动后，其左端移动到点，此时右端在数轴上所对应的点表示的数为______ ②求奶奶现在的年龄． （4）如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为10．木棒长度为1个单位，左端点为，右端点为；将木棒左端点与点重合，木棒沿数轴以3个单位/秒的速度向右水平移动，当右端点到达点时，木棒返回沿数轴向左运动；点从点出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向左运动；若木棒与点同时出发，且当点到达点M时，木棒与点均停止运动．则当相距5个单位长度时，点所表示的数为____________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2），；（3）①；②岁；（4）或或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，运用分段讨论、模型类比思想是解题的关键； （1）设木棒的长为，根据题意列出方程，求出的值即可； （2）结合（1）中的木棒长度即可求解； （3）将年龄差类比为木棒长度，结合数轴模型列方程求年龄即可； （4）分木棒移动阶段，结合点的运动速度列方程求解即可． 【详解】解：（1）设木棒的长为， 由题意得，， 解得； 故答案为：； （2）点表示的数是； 点表示的数是； 故答案为：，； （3）①根据题意，此时右端在数轴上所对应的点表示的数为； 故答案为：120； ②设李明和奶奶的年龄差为岁， 由题意得，， 解得， ∴奶奶现在的年龄为（岁）； （4）点从到的时间：（秒）， 木棒从向右到到达的时间为（秒）， 因此，木棒先向右运动5秒，再向左运动（秒）， 设运动时间为秒， 当时（木棒向右运动）； 木棒A表示的数为；B的表示的数为；点Q的表示的数为； ， 解得或； 时，A表示的数为； 时，A表示的数为； 当时（木棒向左运动）； 木棒A表示的数为，B表示的数为，点Q表示的数为， ， 解得或（舍去）， 时A表示的数为； 故答案为：或或． 27．把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点重合，数轴的单位长度为，如图所示． (1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为，由此可得木棒的长为_________；未移动时点对应数为_________；未移动时点对应数为_________我们把这个模型记为“木棒模型”； (2)在（1）的条件下，已知点表示的数．将木棒从的位置以每秒的速度向左移动，设运动时间为秒，若木棒的右端与点的距离是木棒左端与点的距离的倍时，求的值； (3)请根据（1）中的“木棒模型”解决下列问题： 某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我就有岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请求出小宇现在的年龄． 【答案】(1)，， (2)秒或秒 (3)小宇岁，爷爷岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用． （1）木棒的长度为，木棒向右移动点到达点的位置，则木棒向右移动了一个的长度；木棒向左移动点到达点的位置；所以表示的点与表示的点之间的距离是，从而求出木棒的长度，根据木棒的长度求出点、表示的数； （2）把点、表示的数用含的代数式表示出来，根据分情况列一元一次方程求解； （3）根据题意可知爷爷与小宇的年龄差为，现在小宇的年龄为岁，爷爷的年龄为岁． 【小题1】解：当木棒的左端点移动到点处时、它的右端点在数轴上对应的数为，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为， ， 木棒的长度为， 未移动时点表示的数是，点表示的数是； 故答案为：，，； 【小题2】解：设木棒的左端点为点M，右端点为点N． 运动秒时，点M表示的数是，点N表示的数是， 当点M在点C的位置及右侧时，即，可得， 则有，， 由题意可知， ， 解得：； 当点M在点C的左侧，点N在点C的右侧，即，时，可得， 则有，， 由题意可知， ， 解得：； 当点N在点C的位置及左侧，即时，可得， 则有，， 由题意可知， ， 解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，当运动秒或秒时，木棒的右端与点的距离是木棒左端与点的距离的倍； 【小题3】解：爷爷与小宇的年龄差为（岁）， 现在小宇的年龄为（岁），爷爷的年龄为（岁）， 答：现在小宇岁，爷爷岁． 28．如图①，已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，点A到原点的距离是点B到原点距离的3倍，且． (1)则______，______； (2)若点P为数轴上一动点，其表示的数为p，当点P到点A和到点B的距离之和为50时，求此时p的值； (3)如图②，将两根长度分别为4个单位、6个单位长度的木棒放在数轴上，木棒的端点D与点A重合，木棒的端点E与点B重合，两根木棒同时沿数轴分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度相向移动，在运动过程中两根木棒重叠部分的长为1个单位长度时，求木棒的运动时间． 【答案】(1) (2)p的值为或17 (3)木棒的运动时间为秒或秒 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，数轴上的点表示有理数． （1）根据题意确定，写出结论即可； （2）先求出，再分两种情况：当点P在点A左侧时或当点P在点B右侧时，分别列出方程，解答即可； （3）设木棒的运动时间为t秒，则由题意得D，E两点表示的数分别为，C，F两点表示的数分别为，再分两种情况：当点D在点E右侧且时或当点F在点C右侧且时，分别列方程求出即可． 【详解】（1）解：∵点A到原点的距离是点B到原点距离的3倍，且， ， ， 故答案为：； （2）解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为，点P表示的数为p， ， ∵点P到点A和到点B的距离之和为50，， ，点P在点A左侧或点B右侧， 当点P在点A左侧时，， 解得：； 当点P在点B右侧时，， 解得：； 综上所述，p的值为或17； （3）解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为，木棒的端点D与点A重合，木棒的端点E与点B重合， ∴两根木棒运动前D，E两点表示的数分别为，C，F两点表示的数分别为， 设木棒的运动时间为t秒，则由题意得： D，E两点表示的数分别为，C，F两点表示的数分别为， 当在运动过程中两根木棒重叠部分的长为1个单位长度时，则 当点D在点E右侧且时，， 解得：； 当点F在点C右侧且时，， 解得：； 综上所述，木棒的运动时间为秒或秒． 29．已知、两点在数轴上所表示的数分别为、，且、满足：． (1)填空：_______，_______； (2)问题探究：将一根木棒如图1所示，放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这个木棒的长为_______个单位长度； (3)在（2）的条件下，当木棒从图1位置以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右和向左运动，记木棒运动后对应的位置为． ①当时，求运动的时间； ②当、相遇后是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)秒或秒； ，. 【分析】根据绝对值的非负性和平方的非负性求出、的值； 设这个木棒的长度为，由题意可知：，可列方程，解方程即可求出这个木棒的长为个单位长度； 设运动的时间为秒，根据可得：，解方程即可求出运动的时间是秒或秒； 由点、表示的数可知，当、相遇时，运动的时间是秒，当时，可得：，，所以可得：，根据的值与它们的运动时间无关，可得，求出此时的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设这个木棒的长度为， 由题意可知：， ， ， 解得：， 这个木棒的长为个单位长度， 故答案为：； （3）解：设运动的时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ， 由平移可知，， 当时， 可得：， 或， 解得：或， 答：当时，运动的时间是秒或秒； ②解：由可知， 点表示的数是，点表示的数是， 当、运动秒时相遇， ， 当运动时间秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是， ，， ， ， ， 当时，即时，的值与运动时间无关， 此时． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴上的动点问题、绝对值的非负性、平方的非负性，列出正确的方程是本题的关键． 30．如图1，有一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在点上．木棒在数轴上水平移动，当端点移动到点时，端点所对应的数为20，当端点移动到点时，端点所对应的数为5．（数轴单位：） (1)求木棒的长度； (2)如图2，数轴上另有两根与木棒形状、大小完全相同的木棒和木棒，端点所对应的数为，若木棒以每秒向右运动，同一时间木棒以每秒向左运动．若两根木棒接触时，木棒将合为一体继续保持同方向原速运动．设木棒运动的时间为，当三根木棒接触时，求时间的值． 【答案】(1)木棒的长度为 (2)当三根木棒接触时，时间的值为4 【分析】（1）设木棒长为，根据题意可得5和20之间的长度是3个的长度，得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先根据题意可得点表示的数为10，点表示的数为，从而得到，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设木棒长为， 根据题意得：， 解得：， 木棒的长度为； （2）解：由（1）可得：木棒的长度为， ， 点表示的数为：，点表示的数为：， ， 木棒以每秒向右运动，同一时间木棒以每秒向左运动．若两根木棒接触时，木棒将合为一体继续保持同方向原速运动， 木棒先与木棒相遇，然后一起向左运动，直至与木棒相遇， 设木棒运动的时间为， ， 解得：， 当三根木棒接触时，时间的值为4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、用数轴上的点表示有理数、两点之间的距离，理解题意，根据路程速度时间，列出一元一次方程是解此题的关键． 31．（1）【知识准备】爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图，他发现将火车在数轴上水平移动，则当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：单位长度）．由此可得移动前点处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写出结果） （2）【问题探究】如果火车正前方个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置匀速出发到完全驶离“隧道”恰好用t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则“隧道”的长为个单位．（用含t的代数式表示） （3）【拓展延伸】他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图，在（）的条件下，数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合．两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上同时移动，已知火车速度个单位秒，火车速度为个单位秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的处与处相距个单位？ 【答案】（1）12，6；（2）；（3）或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离． （1）根据题意，画出图形，求出三个玩具火车的长为，即可解答； （2）根据题意可得：，，设的长为m，根据题意得出，即可解答； （3）根据题意得出点C移动后对应的点为，点A所对应的点为，然后进行分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为， 则一个玩具火车长为． ∴点A处的数字是， 故答案为：12，6； （2）根据题意可得：，， 设的长为m， ∴， 整理得：． 故答案为：； （3）∵原点O与点C重合，点A表示的数为12， ∴点C移动后对应的点为，点A所对应的点为， 由题意可知，或， 解得：或， ∴或秒后两火车的A处与C处相距2个单位． 32．爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，他发现将火车在数轴上水平移动，则当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：单位长度）． (1)由此可得点处的数字是______，玩具火车的长为______个单位长度．（直接写答案）． (2)如果火车正前方个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧造”恰好用了秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则可知“隧道”的长为______个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含的代数式表示即可） (3)他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：在（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合，两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上同时移动，已知火车速度个单位秒，火车速度为个单位秒，几秒后两火车的处与处相距个单位？ 【答案】(1)， (2) (3)秒或秒后两火车的处与处相距个单位． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离； （1）画图对应的图形，由数轴观察知三个玩具火车长是，则一个玩具火车长为个单位长度； （2）根据题意画出图形，观察图形即可得出结论； （3）根据点的运动可知，点和点运动后所对应的数，根据处和处相距个单位列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为， 则一个玩具火车长为． 点所对应的数字是，玩具火车的长为个单位长度．    故答案为：；； （2）由题意可知，    设的长为，则， ． 故答案为：； （3）点移动后对应的点为，点移动后对应的点为， 由题意可知，或， 解得或． 秒或秒后两火车的处与处相距个单位． 考点05 多动点问题 33．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如：数轴上表示3和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为　 　．数轴上表示x和　 　的两点之间的距离表示为． (2)若x表示一个有理数，且，则x满足条件的所有整数x的是　 　． (3)已知，求的最大值和最小值． (4)已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数为6，点B与点C的距离为4．点B与点A的距离是10．点P以每秒1个单位长度的速度从点C向左运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从B点出发向左运动，点R从A点以每秒3个单位长度的速度向右运动．它们同时出发，运动时间为t秒.请求出点P与点Q、点R的距离相等时t的值． 【答案】(1)； (2)0，，，3 (3)最大值14148，最小值 (4)2或6 【分析】（1）根据题干信息进行解答即可； （2）根据绝对值的意义，结合，求出，即可得出答案； （3）先根据绝对值的意义求出，，，得出当，，时，有最小值， 当，，时，有最大值，求出结果即可； （4）点B表示是数为，点A表示的数为，则点P、Q、R所表示的数为，，，根据t秒点P与点Q、点R的距离相等求出结果即可． 【详解】（1）解：数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； 故答案为：；． （2）解：∵表示数x表示的点到的距离，表示数x表示的点到3的距离， ∴表示数x表示的点到的距离与到3的距离之和为5， ∵， ∴当数x表示的点在与3之间时，， ∴， ∴x满足条件的所有整数有0，，，3， 故答案为：0，，，3． （3）解：根据绝对值的意义可知，的最小值为3，最小值为3，的最小值为4， ∵，且， ∴，，， ∴，，， ∴当，，时，有最小值，且最小值为： ， 当，，时，有最大值，且最大值为： ． （4）解：点B表示是数为，点A表示的数为， 由题意得：t秒点P与点Q、点R的距离相等，则此时点P、Q、R所表示的数为，，， ①， 解得：； ②， 解得：； 答：点P与点Q、点R的距离相等时t的值为2或6． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，一元一次方程和数轴的应用，明确绝对值的几何意义是解题的关键． 34．已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒． (1)点A表示的有理数是______，点C表示的有理数是______，点P表示的数是______用含的式子表示． (2)当______秒时，两点之间相距8个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以个单位秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)，这个定值为 【分析】（1）设点B表示的数为，则点A表示的数为，由数轴可知，求出，根据算出点C表示的数，再由点P的运动速度和时间求出点P表示的数即可； （2）分点P在点B左边和点P在点B右边两种情况进行解答即可； （3）根据题意先将点A、点B和点C表示的数用t表示出来，再算出、、并代入中，合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：设点B表示的数为，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距个单位长度， ∴， 解得：， ∴点A表示的有理数是， ∵， ∴点C表示的有理数是， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒， ∴点P表示的数是， 故答案为：，，； （2）解：①当点P在点B左边时， ， ∵两点之间相距8个单位长度， ∴， 解得：， ②当点P在点B右边时， ， ∵两点之间相距8个单位长度， ∴， 解得：， ∴当或秒时，两点之间相距8个单位长度， 故答案为：或； （3）解：存在常数，使得为一个定值，理由如下： 由题意可知， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， 则， ， ， ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得：， ∴， ∴，这个定值为． 【点睛】本题考查的是数轴的知识，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键． 35．已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段的长度．对于线段和数轴上的点C，给出如下定义： ，此时，我们称是点C和线段的极大距离．例如：数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是原点，此时因为，，且，所以． (1)当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C对应的数是1时，______； (2)①当数轴上点A表示的数为，点C对应的数是1，，点B对应的数是______； ②当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C是数轴上的动点，的最小值是______； (3)已知数轴上A，B，C三点表示的数分别为，10，1．，C两点沿数轴以每秒2个单位长度向右运动，B点沿数轴以每秒4个单位长度向左运动，三点同时出发，运动时间为t，当最小时，求t的最大值和最小值． 【答案】(1)9 (2)6或；6 (3)t的最大值为2，最小值为1 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解答本题的关键． （1）分别求出的长即可求解； （2）由可知，然后分两种情况求解即可； 由点C是中点时，有最小值，求解即可； （3）先确定运动后A、B、C的坐标，当最小时，则点C到点A和点B的距离相等，据此分两种情况列式求解即可． 【详解】（1），B两点表示的数分别为，10，点C对应的数是1， ，， 故答案为：9； （2）①点A表示的数为，点C对应的数是1， ， ， 点B对应的数是或 故答案为：6或； ②点C是中点时，， 的最小值是， 故答案为：6； （3）运动t秒后： 点A表示的数：， 点B表示的数：， 点C表示的数：， 当最小时，则点C到点A和点B的距离相等， 当点C是中点时，如图， ， 解得． 当点A与点B重合时，如图， ， 解得． 因此，最小时，t的最大值为2，最小值为 36．如图1，已知数轴上有三点、、，，点对应的数是． (1)若，求点在数轴上对应的数； (2)如图2，在（1）的条件下，动点、两点同时从、出发向右运动，同时动点从点向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点的速度2倍少10个单位长度/秒，经过5秒，点、之间的距离与点、之间的距离相等，求动点的速度； (3)如图3，在（1）的条件下，表示原点，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为10个单位长度/秒、2个单位长度/秒、4个单位长度/秒，在运动过程中，如果点为线段的中点，点为线段的中点，请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．若其它条件不变，将的速度改为5个单位长度/秒，求10秒后的值． 【答案】(1) (2)14个单位长度/秒 (3)不变；；2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离计算． （1）根据，，得出，利用点对应的数是，即可得出点对应的数； （2）假设点速度为个单位长度/秒，根据点、之间的距离与点、之间的距离相等，得出等式方程求出即可； （3）分别表示出，，的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：，， ． 点对应的数是， 点在数轴上对应的数为：； （2）解：设点速度为， 由题意可得，点速度为，点速度为， 经过5秒，点对应的数是， 点对应的数是， 点对应的数是， ， ． 点、之间的距离与点、之间的距离相等， ， 或， 解得（舍去）或． 把代入中可得 动点的速度为14个单位长度/秒； （3）解：设动点，，的运动时间为秒， 由题意得，经过秒，点对应的数是， 点对应的数是， 点对应的数是， ，， ，， ，， ， ， ， ， 的值不会发生变化； 其它条件不变，将的速度改为5个单位长度/秒，则点对应的数是， ，， ， ， ， ， ， 10秒后的值为2． 37．如图，数轴上有三点A、O、B，点O是原点，点A在点O的左侧且，点B在点O的右侧且，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)点A表示的数是 ，点B表示的数是 ； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和是14？若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由； (3)若动点P从点O出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度匀速运动，同时，动点R从点A出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动．当动点P与动点Q相遇时，动点P立即调头以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，当Q追上R时，三个动点同时停止运动．在整个运动过程中，点P的运动时间设为t（秒）， ①当时，请求出所有满足条件的t的值； ②在整个运动过程中，以位于中间的动点为折点，将数轴对折，对折后另外两个动点之间的距离为1，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)，8 (2)存在点P，使点P到点A，点B的距离之和是14，x的值为9或 (3)①所有可能的t的值为，，12；②t的值为秒或秒或5秒或秒或9秒或秒 【分析】（1）根据及点A所在的位置，确定它表示的数，根据点B所在的位置及，确定点B表示的数； （2）分、、三种情形，分别列出关于x的方程求解即可； （3）①分、两种情况，分别列出关于t的方程求解即可；②根据P与Q相遇，P追上R，将运动时间分为、、为三段，分别列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：点O是原点，点A在点O的左侧且， ∴点A表示的数是， ∵点B在点O的右侧且， ∴点B表示的数是． 故答案为：，8； （2）根据题意，点P对应的数为， 当，即点在点右侧时， 则两点之间的距离为，两点之间的距离为， 若点P到点A，点B的距离之和是14， 可得，解得； 当，即点在两点之间时， 则两点之间的距离为，两点之间的距离为， 此时可得，不合题意； 当，即点在点左侧时， 则两点之间的距离为，两点之间的距离为， 若点P到点A，点B的距离之和是14， 可有，解得． 综上所述，存在点P，使点P到点A，点B的距离之和是14，x的值为9或； （3）设经过秒点P与点Q相遇，则P的位置为t，Q的位置为，R的位置为， ∵动点P从点O出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度匀速运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动， ∴，解得， 即相遇时P的位置为2，Q的位置为2，R的位置为， 设经过秒R追上Q， 则追上时R表示的数为，Q表示的数为， ∴，解得， ∴运动时间满足． ①当时，，， ∵， ∴， 当时，解得（舍去）； 当时，解得； 当时，P的位置可表示为，Q的位置可表示为，R的位置可表示为， ∴，， ∵， ∴， 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，所有可能的t的值为，，12； ②∵动点R从点A出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动， ∴若Q经过t秒追上R，则， 解得， ∴Q经12秒追上R， ∵动点P从点O出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度匀速运动， ∴若点P经秒与点Q相遇， 则，解得， ∴点P经2秒与点Q相遇，此时点P表示的数为2，Q点表示的数为2，R点表示的数为， 设从现在开始，经过秒P追上R， 则，解得， 此时运动时间为第7秒， 当时，以R、P、Q的顺序位于数轴上，且R表示的数为，P表示的数为，Q点表示的数为， ∴， 此时P为位于中间的动点，以P为折点，将数轴对折，对折后另外两个动点之间的距离为1， ∴或， 由，得，解得， 由，得，解得； 当时， ∵第2秒时，点P表示的数为2，Q点表示的数为2，R点表示的数为， 当动点P与动点Q相遇时，动点P立即调头以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动， ∴数轴上三点的位置顺序为R、P、Q， 其中R表示的数为，P表示的数为，Q表示的数为， ∴， 此时R为位于中间的动点，仍以P为折点，将数轴对折，对折后另外两个动点之间的距离为1， ∴或， 由，得，解得， 由，得，解得； 当时，点P追上R，且此时Q还没追上R， 此时P与R重合，所在点表示的数为，Q所在点表示的数为， 当时，点P超过R，且此时Q还没追上R，三点的顺序为P、R、Q， 此点P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∴， 此时P为位于中间的动点，仍以P为折点，将数轴对折，对折后另外两个动点之间的距离为1， ∴或， 由，得，解得， 由，得，解得． 综上所述，t的值为秒或秒或5秒或秒或9秒或秒． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，动点问题（一元一次方程的应用），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 38．【认识新知】 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．在数轴上表示的点到原点的距离，叫做的绝对值，记作．例如，．若点M，N表示的数分别为，我们把之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即． 【深入探究】 如图所示，已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为，0，1，点为数轴上任意一点，其表示的数为． （1）当___________时，点到点A、点的距离之和是6； （2）数轴上点到点A，点的距离之和最小，则的取值范围是__________； 【应用提高】 （3）若点以每秒3个单位长度的速度从向左运动时，点以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点以每秒4个单位长度的速度从点也向左运动，且三个点同时出发，那么运动多少秒时，点到点，点的距离相等． 【答案】（1）或2；（2）；（3）运动秒或2秒时，点P到点E，点F的距离相等 【分析】（1）由题意易得点P与点A、B之间的距离分别为，则有，然后根据绝对值可分别进行求解； （2）根据（1）可知当点P在之间时，点到点A，点的距离之和最小，然后问题可求解； （3）设运动的时间为t秒，则点P表示数、点E表示数、点F表示的数是，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由题意得：点P与点A、B之间的距离分别为， 当点P在之间，则点P与点A、B的距离之和为，不符合题意； ∴点P在之外，即或， ∴， 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：； ∴当或2时，点到点A、点的距离之和是6； （2）由（1）可知：当点P在之间时，点到点A，点的距离之和最小， ∴的取值范围是； （3）设运动的时间为t秒，则点P表示数、点E表示数、点F表示的数是， ∴，， ∴， ∴或， 解得或， ∴运动秒或2秒时，点P到点E，点F的距离相等． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题、数轴、绝对值、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是用代数式正确地表示运动过程中的点对应的数． 39．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为．点A与点B之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为，点A与点P之间的距离表示为，点C与点P之间的距离表示为． (1)若，则______； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或4 (3)不会，理由见解析 【分析】（1）若，则P在之间位置，即，即可求出x； （2）若，P在A左边，得；P在A右边，得； （3）设运动时间为t秒，，，故，进而求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则P在之间位置， 即， ， 故答案为：2； （2）解：若， ①P在A左边，得， 解得：， ②P在A右边，得， 解得：， 故答案为：或4； （3）解：设运动时间为t秒， 运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，， ∴，是定值， 的值不会随着t的变化而变化． 40．如图，已知点在数轴上表示的数为，其中满足，点，点之间的距离记为． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点从原点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度先沿负方向匀速运动，到达原点后立即按每秒5个单位长度的速度返回，三点同时出发，设运动的时间为，其中． ①当时，点在数轴上所表示数为______； ②当时，点在数轴上所表示的数为______（用含t的代数式表示）； ③当点到点的距离是点到点距离的两倍时，求点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)，， (2)①；②；③或或 【分析】（1）由非负数和为零的条件列方程求解即可得到的值，再由数轴上两点之间距离的表示求解即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况得到点在数轴上所表示数，按照①②③的要求，结合点在数轴上所表示数的结果求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ， 解得，， ， 故答案为：，，； （2）解：点表示的数为， ， 动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度先沿负方向匀速运动， 当点到达原点时，经过时间为， 设运动的时间为，其中， 当时，点在数轴上所表示的数为； 到达原点后立即按每秒5个单位长度的速度返回， 当时，点在数轴上所表示数为 ①， 点在数轴上所表示数为， 故答案为：； ②当时，点在数轴上所表示的数为， 故答案为：； ③点到点的距离是点到点距离的两倍， ， ∵点在数轴上所表示的数为，点在数轴上所表示的数为， 当时，点在数轴上所表示数为， ∴，， ∴，解得或4， ∴点在数轴上所表示数为或0； 当时，点在数轴上所表示数为， ∴，， ∴，解得（舍去）或， ∴点在数轴上所表示数为； 综上所述，点在数轴上所表示的数为或或． 【点睛】本题考查数轴表示有理数，数轴上两点之间距离的表示，数轴上的动点问题等，涉及平方非负性、绝对值非负性、非负数和为零的条件、列代数式对数轴上的点进行表示、数轴上两点之间距离的表示、解绝对值方程等知识，熟记数轴相关定义与性质是解决问题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $