专题03 数轴相关动点压轴题分类训练1（最值存在性折线变速4种类型32道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期湘教版2024

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03数轴相关动点压轴题分类训练1 (最值存在性折线变速4种类型32道) 考点归纳 考点01数轴动点最值问题 考点02数轴动点存在性问题 考点03折线数轴问题 考点04数轴动点变速问题 考点专练 考点01数轴动点最值问题 1.如图，数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,点C表示的数为c,其中b是最大的负整数，c是 最小的正整数。 A B C a b (1)b=-,C=- (2)用"<”将a,a,-c,c连接起来： (3)点P为数轴上一动点，则PB+PC的最小值为- 2.己知A,B,C三点在数轴上的位置如图，它们表示的数分别是Q,b,C. A B C a 0 b c (1)填空a×bxc-0,a+b-0，-a-b-0(填“>"，"="或“<") (2)若a=-2且点B到点A,C的距离相等，当-b=-4时，求c的值. (3)在(2)的条件下，若M是数轴上一个动点，设点M表示的数为m,当M点在运动过程中，求 |m+a+m+b+m+c的最小值及此时m的值. 3.阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法 解决一些问题.例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如， 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为引3-1=2；有理数5与-2对应的两点之间的距离为 15-(-2)=7;有理数-8与-5对应的两点之间的距离为-8-(-5)=3；… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A,有理数b对应的点为点B,A,B两点之间的距离表示为a-b例 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 或b-a|,记为引AB曰a-b曰b-a. A B y M 0b -5-4-3-2-1012345→ 图1 图2 解决问题： (1)数轴上有理数-10与3对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数x与-5对应的两点之间的 距离用含x的式子表示为 ;若数轴上有理数x与1对应的两点A,B之间的距离|AB=6,则x等 于 ； 联系拓广： (2)如图2，点M,N,P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为-2，动点P表示的数为 x.若点P在点M,N两点之间，则|PM|+|PN= ;若|PM|+|PN=10,则点P表示的数x为： 由此可得：当|x+3引+x-7取最小值时，整数x的所有取值的和为一， 4.如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度.可以看出， 终点表示的数是-2.已知A,B都是数轴上的点.参照图中所给的信息，完成下列问题 5 -3-2-101234 (1)若点A表示的数是-3，将点A向右移动5个单位长度至点A,则点A表示的数是- (2)己知点B表示的数是2.5，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D,则点D表示的数是-，再向 右移动}个单位长度至点C,则点C表示的数是一 (3)在(2)的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点V从点C出 发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到-5.5所在的点处时，求M,N两点间的距离； (4)如果点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A、B两点之间的距离ABa-b|.利用数形结合思想回 答问题：若x、y都表示有理数，请直接写出式子x+1+x+y-3+|y-4|+x-y的最小值- 5.己知数轴上有A,B两个点，分别表示有理数-6,4. A -6 04 (1)数轴上点A到点B的距离为；数轴上到点A,B的距离相等的点的位置表示的有理数为； (2)若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒.用含t的式子分别表示P 点到点A和点B的距离。 3)若x-3+x+5=8,则x的取值范围是； (4)若x表示一个有理数，求式子8-2x-3引-2x+5最大值 6.如图A、B两点之间相距3个单位长度，B、C两点之间相距7个单位长度，点A、B、C在数轴上表示 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的数分别为a、b、c. A B (1)若以B为原点，求a+c. (2)若以C为原点，求a-b. (3)现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止： ①设点P到A、B两点的距离之和为m,求m的最小值： ②设点P到A、B、C三点的距离之和为n,直接写出的最大值与最小值. 7.我国著名数学家华罗庚曾经说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要 思想方法，数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系.我们知道，|表 示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b,那 么点A与点B的距离表示为ABa-b|,利用此结论，回答以下问题： 【初步应用】 (1)数轴上表示-1和-5的两点之间的距离是； (2)如图1，数轴上点A、B、P表示的数分别为-1、2、x,则1x+1川+x-2的几何意义是线段一与 的长度之和，所以当点P在线段AB上时，PA+PB=一；当点P在点A的左侧或点B的右侧时， PA+PB>3.所以x+1川+x-2的最小值是 A PB -4-3-2-10x1234 图1 【深入探究】 (3)如图2，数轴上点M、N表示的数分别为-4、4，当有理数x在数轴上所对应的点P为点M、N之间 (包括点M、W)的任意一点时，|x+1川+|x-2|+a的值在数轴上所对应的点也在点M、W之间（包括点M 、W),求a的最大值与最小值. M 4 P B N 人 43-201234 图2 8.数形结合是解决数学问题的重要思想方法. 材料分析：如图1，已知数轴上两点m,n.则两点距离为两数差的绝对值，即m-川 m n 图1 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即1-3=2；x到3的距离为两数差的绝对值，即x-3. 根据以上思想，完成下题 3/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B→ 图2 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题 (1)如图2，数轴上表示-2和6的数的两点之间的距离是 (2)若数轴上表示数a的点位于-3与5之间，求a+3+a-5的值是_ (3)当a-1+a-3取最小值时，相应的数a的取值范围是_ 实际应用： (4)己知数轴上点A,B表示的数分别为8和-16，动点P,Q分别从A,B两点，同时出发，点P以每 秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，Q点以P点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 t(t>0)秒.问当t为多少秒时？P,Q之间的距离为3. 拓展提升： (5)若数a,b满足a-1+a-3+b-4+b+5=11,求a+b的最小值， 考点02数轴动点存在性问题 9.一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴 折叠，使点A和点C重合，折点记为B;最后将数轴展开. (1)直接写出A,B,C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒0.3个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离： ②动点Q,M分别以每秒0.5个单位长度和0.4个单位长度的速度从A,B两点同时出发，向右运动.记Q 与M两点之间的距离为QM,M与P两点之间的距离为MP在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m, 使QM+MP的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由 10.已知数轴上的两点A,B所表示的数分别是Q和b,O为数轴上的原点，如果有理数a,b满足 a+8+(b-22)=0. B (1)请直接写出a和b的值，a= ，b= (2)若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点 P恰巧到达线段AB的三等分点？ (3)若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个 单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动；点P与点M 之间的距离表示为PM,点P与点N之间的距离表示为PN,是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在， 请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由 11.唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热 门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度已知点在P,Q数轴上分别表示有理数p,9, P和Q两点之间的距离表示为PQ=p-q,例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为 3-1=2;有理数5与-2对应的两点之间的距离为5-(-2=7.…；解决问题： 已知有理数a,b,c,在数轴上对应的点分别为A,B,C,且满足(a-1)2+b+3=0,c=-2a+b. -6-5-4-3-2-10123456 (1)填空：a=一’b=一’c= (2)若点D在数轴上对应的数为x,当A,D间距离是C,D间距离的3倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为 t秒，是否存在一个常数m,使得5AC-mAB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由 12.阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,在数轴上A、B两点之间的距离AB=a-b.回 答下列问题： A B a 0 b (1)数轴上表示-3和1两点之间的距离是，数轴上表示x和2的两点之间的距离是一； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则Q表示的数为 ； (3)若x表示一个有理数，则x-3+x+2有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由 (4)请你画出数轴，探究：是否存在数x,使x-3+x+2=7？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的 值；如果不存在，简要说明理由. 13.已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面， 01 (1)若1表示的点与-1表示的点重合，则-2表示的点与数 表示的点重合. (2)若-1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①7表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠重合，求A,B两点表示的数 各是多少？ ③在②的条件下，数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为14？若存在，请求点P所对应 的数值；若不存在，说明理由。 14.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点之间的距 离AB=a-b.己知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x. 5/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A0, 210 3 (1)A,B两点之间的距离是-： (2)设点P在数轴上表示的数为x,则x与-4之间的距离表示为-： (3)若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为-： (4)数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请直接写出x的值；若不存在，说 明理由。 15.如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数是6，点B与点C之间的距离是4，点B与点A的 距离是12，点P为数轴上一动点. A o B C A 0 B A 0 B (1)数轴上点4表示的数为」 一，点B表示的数为 (2)数轴上是否存在一点P,使点P到点A、点B的距离和为16，若存在，请求出此时点P所表示的数；若 不存在，请说明理由。 16.己知点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,且Ia+3|+(b-4)2=0,点C是OB的中 点. -7-6-5-4-3-2-10123456 (1)请根据题意将图形补充完整，直接写出线段AB是线段OC的倍数： (2)动点M、P、Q在线段AB上，点M从原点O出发，以每秒4个单位的速度沿O-B-O运动，到达点O停 止；点P从OB的中点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向左运动，到达A点停止.点Q从点B出发， 以每秒1个单位的速度沿B0向左运动，到达点O停止.己知点M、P、Q同时出发，设运动的时间为t秒 (20). ①是否存在t值，使得AP 号PQ:若存在，求出1值：若不存在，诗说明理由， ②在点P的整个运动过程中，求点M可能落在线段PQ上的总时长， 考点03折线数轴问题 17.如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示-10，点B表示10 ,点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P从点A出发，以2单位/秒的速度 沿着“折线数轴”的正方向运动，从点0运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动 点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍， 之后也立刻恢复原速.点P运动到B点时停止，此时点Q也随之停止.设运动的时间为t秒.问： 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 0←C 10 18 A→P 0 -10 0 (1)动点P从点A运动至B点需要多少时间？ (2)P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少： (3)求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等. 18.如图1，己知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c24,其中a、b分别为单项式-10x4yz的 系数和次数，C为BD的中点. B AO B C D a 0bc24 24 图1 图2 (1)填空：a= b= C= (2)如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和m(m<4)个单位长度的速度匀速向 左运动，假设经过(1>0)秒后，点A与点B之间的距离表示为4B.若AB-4C的值始终保持不变，求m 的值； (3)如图2，将数轴在原点0，点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”.动点P从点A出发，始终以每 秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D,点P出发的同时，动点Q从点D出发以每秒 6个单位长度的速度沿着“折线数轴"的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初 始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒.若P、Q两点在点M处相遇，请直接 写出点M表示的数， 19.如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、C、24,其中a、b满足 (a+12)+b-8=0,点C到原点距离是点B到原点距离的2倍. O B C D D a 0bc24 24 图1 图2 (1)填空：a=b=一’c=； (2)如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和mm>4)个单位长度的速度匀速 向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD, 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①t为何值时，AD=3BD? ②若4B-号4C的值始终侯持不变，求m的值： (3)如图2，将数轴在原点0、点B和点C处各折一下，得到一条"折线数轴”.动点P从点A出发.以每秒3个 单位长度的速度沿折线数轴”的正方向匀速运动至点D,同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着 “折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速 度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒.若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为一。 20.已知a=-10,且a、b、c满足(c-18)+a+b=0,a、b、c所对应的点分别为A、B、C. 0 (1)则b= ,C= (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别 以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之 间的距离表示为AB,设运动时间为t秒，请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说 明理由；若不变，请求其值. (3)如图，若将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.我们把在折线数轴上线段 AQOB、BC三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿 着“折线数轴”向右运动，在OB上坡段运动期间速度变为原来的一半.点P从点A出发的同时，点Q从点C 出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在B0下坡段运动期间速度变为原来的2倍， 之后在OA段又以1个单位长度/秒的速度运动.当点P到达点B时，点P,Q均停止运动.设运动的时间 为t秒.在某一时刻，P、Q两点在"折线数轴”上的路程为10个单位.求出此时t的值. 21.数学活动课上，同学们将数轴进行折叠变换.请阅读下列素材，完成探究任务， 【素材1】机灵小组绘制了一条数轴（如图①），其中点A表示的数为Q,点B表示的数为b,点C表示的数 为c.己知a、b、c满足a+4+(c+8)2=-√b-6. 【素材2】笨笨小组把如图①中的数轴在点A和点B处各折一下，形成了如图②所示的"折线数轴”，其中点 A和点B之间的部分（包括点A和点B)叫做“滑梯坡面”. 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C A B 图① C A 0 B 图② 【任务1】在【素材1】中，a=」 ,b= ,C= 【任务2】折叠如图①的数轴，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数， 【任务3】点D落在“滑梯坡面”上，BD=6.现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以4个单位 长度/秒的速度向点A运动，过点A后以5个单位长度/秒的速度至点B,再以2个单位长度/秒的速度至终 点A;点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度至终点B.当一个点到达终点后，另一个点也立即停止 运动.当点P在“滑梯坡面”上运动时，满足2AQ=3PQ,若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值。 22.如图1，己知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24,其中a、b满足 (a+12)2+b-8=0,0C=20B. A O B C D a 0bc24 B 24 图1 图2 (1)填空：a=一，b=-’ C= (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为 秒.问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”.动点P从点A出发.以每秒2 个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D,同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度 沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡 时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒.若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为 23.数轴上点A表示-8，点B表示6，点C表示12，点D表示18.如图，将数轴在原点O和点B、C处各折 一下，得到一条“折线数轴”在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离.例 如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为8-18=26个单位长度. 动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原 来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以 3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动.设运动 的时间为t秒， 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 6 0 D 12 18 (1)当t=2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离MN为； (2)当点M、N都运动到折线段0-B-C上时， O、M两点间的和谐距离OM=(用含有t的代数式表示)： C、N两点间的和谐距离CV=一（用含有t的代数式表示）； t=时，M、N两点相遇； (3)当t=时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； 当t=时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等 24.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为-6，点 B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离"为24个长度单位，动点P 从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两 倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点 B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，则： B 10 18 AP 0 -6 0 (1)动点P从点A运动至点C需要秒，动点Q从点C运动至点A需要秒： (2)若P,Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数： (3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的“折线距离”相等. 考点04数轴动点变速问题 25.已知A,B,C三点在数轴上所对应的数分别为a,b,18,且a,b满足(a+10)+b-10=0.,动点 M从点A出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1单位/秒的速度向左运动.线 段OB为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；从点B运动 到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的 时间为t秒. 10/14 专题03 数轴相关动点压轴题分类训练1 （最值存在性折线变速4种类型32道） 考点01 数轴动点最值问题 考点02 数轴动点存在性问题 考点03 折线数轴问题 考点04 数轴动点变速问题 考点01 数轴动点最值问题 1．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，其中b是最大的负整数，c是最小的正整数． (1) ， ； (2)用“<”将连接起来； (3)点P为数轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值以及数轴，正确得出、的值是解答本题的关键． （1）根据最大的负整数为，最小的正整数为1可得答案； （2）根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果； （3）根据数轴上两点之间的结论解答即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是最小的正整数， ∴，， 故答案为：，1； （2）解：由题意可知，即， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，当点在、之间时，的最小，的最小值为2． 故答案为：2． 2．已知，，三点在数轴上的位置如图，它们表示的数分别是，，． (1)填空 0， ， 0 （填“”，“”或“”） (2)若且点到点，的距离相等，当时，求的值． (3)在（2）的条件下，若是数轴上一个动点，设点表示的数为，当点在运动过程中，求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，， (2) (3)，最小值是12 【分析】本题主要考查了有理数的运算，数轴； （1）利用数轴求得a，b，c的符号，再利用有理数的乘法法则和加法法则解答即可； （2）利用有理数乘方的意义和数轴上的点的意义解答即可； （3） 表示点M到，，三点距离之和，当点M在表示的点位置时距离之和最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：由a，b，c在数轴上的位置可知，，，， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下， 表示点M到，，三点距离之和， 当点M在表示的点位置时距离之和最小，即最小，， ∴最小值． 3．阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于________； 联系拓广： （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则________；若，则点P表示的数x为________；由此可得：当取最小值时，整数x的所有取值的和为________． 【答案】（1）13；；或7；（2）6，或6；22 【分析】本题主要考查了列代数式，数轴，绝对值，正确列出含绝对值的代数式是基础，通过分类讨论去掉绝对值符号是解答本题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）根据P是动点，分析点P的位置，再计算即可． 【详解】解：（1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于； 数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为； 若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则， ∴或； 故答案为：13；；或7； （2）∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为， ∴ ∵， ∴点在线段外， 当P在N左边，即，， 解得，； 当P在M点右边时，即，， 解得，； ∴点表示的数为或6； 当取最小值时，整数x在和7之间，可能为 ∴； 故答案为：6，或6；22． 4．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度．可以看出，终点表示的数是．已知，都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题. (1)若点表示的数是，将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； (2)已知点表示的数是，点从点出发先向左移动个单位长度至点，则点表示的数是 ，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； (3)在（）的条件下，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间的距离； (4)如果点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离．利用数形结合思想回答问题：若都表示有理数，请直接写出式子的最小值 ． 【答案】(1)； (2)，； (3)，两点间的距离是； (4)． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移（动点问题），绝对值的意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意进行列式，然后计算即可； （）根据题意进行列式计算，即可作答； （）先根据题意，列式计算，得出点运动的时间，结合点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，点表示的数为，列式计算得出点表示的数，最后列式计算得出点和点之间的距离，即可作答； （）根据绝对值的意义，分别判断出、、的最小值，然后相加即可得解． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，将点向右移动个单位长度至点， ∴点表示的数是， 故答案为：； （2）解：由题意得，点表示的数是， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （3）解：∵点表示的数是，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动， ∴当点运动到所在的点处时，运动的时间为 ， ∵点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，点表示的数为， ∴点表示的数为， ∴，两点间的距离是； （4）解：∵表示数轴上表示的点到和的距离之和， ∵当时，的最小值为； ∵表示数轴上表示的点到和的距离之和， ∵当时，的最小值为； ∵表示数轴上表示的点到表示的点的距离， ∴当，时，的最小值为， ∴当，时，的最小值为， 故答案为：． 5．已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______； (2)若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为秒．用含的式子分别表示P点到点A和点B的距离． (3)若，则x的取值范围是______； (4)若x表示一个有理数，求式子最大值． 【答案】(1)， (2)，当时，，当时， (3) (4) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，利用数轴上的点表示有理数，绝对值的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可得出数轴上点A到点B的距离，再利用数轴上两点的中点的求法计算得出数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数； （2）由题意可得，秒时，点表示的数为，再由数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （3）根据表示数轴上与两点之间的距离，表示数轴上与之间的距离，并结合题意即可得解； （4）根据几何意义分析可得，当时，有最小值为，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4， ∴数轴上点A到点B的距离为， ∴数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为； （2）解：由题意可得，秒时，点表示的数为， ∴，， 当时，，当时，， 综上所述，，当时，，当时，； （3）解：∵表示数轴上与两点之间的距离，表示数轴上与之间的距离，且， ∴； （4）解：∵表示数轴上与两点之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴根据几何意义分析可得，当时，有最小值为， ∴， ∴的最大值为． 6．如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)①3；②最大值17，最小值10． 【分析】（1）若以为原点，确定，计算即可； （2）若以为原点，确定，计算即可； （3）①分点在两点之间和点在两点之间两种情况讨论即可； ②分点P在不同的位置进行讨论即可； 【详解】（1）若以为原点，则 ， ； （2）若以为原点，则， ； （3）①当点在两点之间时，为定值，此时； 当点在两点之间时，两点之间的距离大于，即大于3，故的最小值是3； ②当点在点时，； 当点在点时，； 当点在点时，； 当点在两点之间时，； 当点在两点之间时； 故最大值17，最小值10． 【点睛】该题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是进行分类讨论． 7．我国著名数学家华罗庚曾经说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系．我们知道，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，那么点A与点B的距离表示为，利用此结论，回答以下问题： 【初步应用】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是______； （2）如图1，数轴上点A、B、P表示的数分别为、2、x，则的几何意义是线段_____与_____的长度之和，所以当点P在线段上时，_____；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是_____． 【深入探究】 （3）如图2，数轴上点M、N表示的数分别为、4，当有理数x在数轴上所对应的点P为点M、N之间（包括点M、N）的任意一点时，的值在数轴上所对应的点也在点M、N之间（包括点M、N），求a的最大值与最小值． 【答案】（1）4；（2），，；（3）a的最大值为，最小值为 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、数轴上两点间距离及代数式最值问题，解题的关键是将绝对值表达式转化为线段长度关系，利用数形结合思想分析点的位置与线段长度的联系． （1）根据数轴上两点间距离公式，代入数值计算； （2）将转化为，结合点的表示得出几何意义，根据点P在线段上时线段和为的长度，确定最小值； （3）先求出在介于和之间（包括和）时，有最小值，最大值，再根据介于和之间（包括和）进行求解a的最值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点距离为， 故答案为：． （2）解：表示的长度，表示的长度，的几何意义是线段与的长度之和； 线段的长度为，故点P在线段上时，， 当点P在线段的左侧或右侧时，， ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为， 故答案依次为：，，． （3）解：由（2）知， 当时，； 当时，， 故介于和之间（包括和）时，有最小值，最大值． ∵介于和之间（包括和）， ∴当时，a有最小值，即为；当时，a有最大值，即为； 故a的最大值为，最小值为． 8．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 【答案】（1）8   （2）8   （3） （4）7或9秒   （5） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离的定义求解； （2）根据绝对值的性质求解； （3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解； （4）设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，据此列方程求解即可； （5）根据绝对值几何意义分别求和的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：， 故答案为：8； （2）解：数轴上表示数的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：设经过秒时，，之间的距离为3， 此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 整理得， 解得或， 故当为7或9秒时，，之间的距离为3； （5）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， 的最小值为1，的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． 考点02 数轴动点存在性问题 9．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1；②不存在一个有理数m，使的值始终保持不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 10．已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．    (1)请直接写出和的值，_______，_______； (2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？ (3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；22 (2)经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点 (3)存在，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或 【分析】（1）根据非负数的性质，求出结果即可； （2）根据题意画出图形，分两种情况求出运动时间即可； （3）设运动的时间为秒，先求出点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，根据得出；分三种情况进行讨论，求出x的值，然后求出点P表示的数即可． 【详解】（1）解：， ，， ，． 故答案是：；22． （2）解：如图1所示：    图1， 的三等分点为，，所以点到达的三等分点是或， 情形①：， 则运动的时间； 情形②：， 则运动的时间． 因此经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点． （3）解：存在；    图2 理由：设运动的时间为秒， 点对应的数为， 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 则， ， 由得； ①当时，， 解得：， 此时点对应的数为； ②当时，， 解得且， 此时点对应的数为； ③当时，， 解得且，舍去； 综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，列出相应的算式或方程． 11．唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度已知点在，数轴上分别表示有理数，，和两点之间的距离表示为，例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；解决问题： 已知有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，． (1)填空：______，______，______． (2)若点在数轴上对应的数为，当，间距离是，间距离的倍时，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，去绝对值是解决本题的关键，代数式中不含某项或与某项无关，需要满足系数为． （1）根据绝对值与偶次幂具有非负性，代入即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离公式，列出方程，分类求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离公式，列出对应的式子，代数式的值与某字母无关，需要让字母前的系数为，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 即，． ， ． 故答案为：，，； （2）解：，，， ， 解得或； （3）解：存在，理由如下： 经过秒点表示的数是，点表示的数是， ，， ， 由题意得，解得． 答：时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变． 12．阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______，数轴上表示和2的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由． (4)请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由． 【答案】(1)4， (2)或 (3)5 (4)见解析，或 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是， 故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为6， ∴， ∴或， 故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和3两点之间的距离是， 数轴上表示和3两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到3距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和3之间时，它的最小值为5； （4）由（3）得， 在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到3距离之和， 如图所示， 当时，表示的点到及到3距离之和为； 当时，表示4点到及到3距离之和为． 13．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数___________表示的点重合． (2)若表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①7表示的点与数___________表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为12（在的左侧），且、两点经折叠重合，求两点表示的数各是多少？ ③在②的条件下，数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为14？若存在，请求点所对应的数值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)2 (2)①；②A表示，B表示8；③存在，，9 【分析】本题考查数轴上的点，两点之间的距离，数轴的折叠问题，掌握知识点是解题的关键． （1）先找到折叠点为，即数轴在原点进行对折，即可解答； （2）①数轴折叠后若表示的点与5表示的点重合，则折叠点为，即数轴在点2的位置进行对折，由，得到7表示的点与数表示的点重合即可； ②由折叠点为2，则点B到折叠点的距离等于点A到折叠点的距离，列式计算即可； ③设点P表示的数为x，分类讨论：当点P在线段之间（包括点A，B）时，当点P在点A的左边时，当点P在点B的右边时，分类求解即可． 【详解】（1）解：数轴折叠后1表示的点与表示的点重合，则折叠点为， 即数轴在原点进行对折， ∴折叠后表示的点与数2表示的点重合． 故答案为：2． （2）①数轴折叠后若表示的点与5表示的点重合，则折叠点为， 即数轴在点2的位置进行对折， ∵， ∴7表示的点与数表示的点重合； 故答案为：． ②∵数轴上、两点之间的距离为12，且在的左侧，、两点经折叠重合， ∴，， ∴A表示，B表示8； ③设点P表示的数为x，∵A表示，B表示8，数轴上、两点之间的距离为12， ∴当点P在线段之间（包括点A，B）时，如图 有，不符合题意， 当点P在点A的左边时，如图 ， 解得， 当点P在点B的右边时，如图 ， 解得， ∴当点所对应的数为或9． 14．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．    (1)两点之间的距离是 ； (2)设点在数轴上表示的数为，则与之间的距离表示为 ； (3)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为 ； (4)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)1 (4)或5 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用． （1）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解； （2）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解； （3）根据中点坐标公式即可求解； （4）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：两点之间的距离是， 故答案为：4； （2）x与之间的距离表示为， 故答案为：； （3）． 故点P对应的数是1， 故答案为：1； （4）点P在点A的左边， x的值是； 点P在点B的右边， x的值是． 故x的值是或5． 15．如图，已知、、是数轴上的三点，点表示的数是6，点与点之间的距离是4，点与点的距离是12，点为数轴上一动点． (1)数轴上点表示的数为_______，点表示的数为_______； (2)数轴上是否存在一点，使点到点、点的距离和为16，若存在，请求出此时点所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)存在，或4 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）由题意可知点和点都在点的左边，且点小于0， 则由题意可得数轴上点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：、2； （2）存在； ∵， ∴不可能在线段上， 所以分两种情况： ①如图1，当点在的延长线上时，， 　　　　　　　　　　　图1 ∴， ， ， 则点表示的数为； ②如图2，当点在的延长线上时，同理得， 　　　　　　　　　　　　图2 则点表示的数为4； 综上，点表示的数为或4． 【点睛】本题考查数轴和动点问题，解题的关键是掌握数轴上的有理数的性质，注意分类讨论． 16．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且|a+3|+（b-4）2=0，点C是OB的中点． (1)请根据题意将图形补充完整，直接写出线段AB是线段 OC的倍数； (2)动点M、P、Q在线段AB上，点M从原点O出发，以每秒4个单位的速度沿O-B-O运动，到达点O停止；点P从OB的中点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向左运动，到达A点停止．点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BO向左运动，到达点O停止．已知点M、P、Q同时出发，设运动的时间为t秒（t≥0）． ①是否存在t值，使得AP=PQ？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②在点P的整个运动过程中，求点M可能落在线段PQ上的总时长． 【答案】(1) (2)①；②点M可能落在线段PQ上的总时长为． 【分析】（1）|a+3|+（b-4）2=0，解得，a=-3，b=4，即可求解； （2）①分当和时两种情况讨论，求解即可； ②分、、时三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵|a+3|+（b-4）2=0， ∴a+3=0，且b-4=0， 解得，a=-3，b=4， ∵点C是OB的中点， ∴点C对应的数为2， ∴AB=|4-（-3）|=7，OC=2， ∴AB=OC； ； （2）解：①设运动t秒后，点P对应的数为2-t，点Q对应的数为4-t，点Q对应的数为0，． 当时，PQ=4-t-(2-t)=2， 因为，所以， 解得； 当时，PQ=0-(2-t)=t-2， 因为，所， 解得（舍） 综上，． ②设运动t秒后， 当时， 由，得， 由，得， 所以时长为； 当时： 由，得， 由，得， 所以时长为． 当时，由t＝2，M、P重合，， 所以， 所以，点M可能落在线段PQ上的总时长为． 【点睛】本题是数轴的一个综合题，涉及非负数性质，一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的难点与关键． 考点03 折线数轴问题 17．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)需要15秒 (2)相遇点所对应的数是 (3)的值为、或时 【分析】（1）由路程、速度、时间三者关系分两段求出各段时间，再相加求出总时间为即可； （2）根据相遇时、的时间相等列方程求解即可； （3）分、两点相遇前和相遇后两种情况求解即可． 【详解】（1）解：（1）点运动至点时，所需时间（秒）； （2）（2）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设， 则， 解得， 故相遇点所对应的数是； （3）（3）、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：， ②动点在上，动点在上，则：，解得：， ③动点在上，动点在上，则：，解得：， ④动点在上，动点在上，则：，解得：， ∵点运动到点时停止，此时点也随之停止， ∴舍去； 综上所述：的值为、或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 18．如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中分别为单项式的系数和次数，为的中点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图，若点分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为．若的值始终保持不变，求的值； (3)如图，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发，始终以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点．点出发的同时，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式的有关概念，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）根据单项式的系数和次数的定义、中点坐标公式解答即可求解； （）由题意可得，经过秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，即得，，即得到，进而可得，解方程即可求解； （）由题意可得点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒；点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒，即得到两点在段相遇，即点在线段上，设点表示的数，根据题意列出方程即可求解； 【详解】（1）解：∵分别为单项式的系数和次数， ∴，， ∴点对应的数是，点对应的数是， ∵为的中点， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由题意可得，经过秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， ∵的值始终保持不变， ∴， 解得； （3）解：∵点在数轴上对应的数分别是， ∴，，，， ∴点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒； 点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒， ∴两点在段相遇，即点在线段上， 设点表示的数， 由题意得，， 解得， ∴点表示的数为． 19．如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 【答案】(1)，， (2)①，② (3) 【分析】（1）由可得：，，从而可求出、，再根据点到原点距离是点到原点距离的倍，可求出； （2）①把，用含有的式子表达，根据列出关于的方程即可求解； ②先把、的长度分别用含有的式子表达，然后再用含有的式子表达出，由的值始终保持不变，可令，分别得出的值，最后列出关于的一元一次方程即可求解； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点到原点距离是点到原点距离的倍，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①由（1）可知，，，， ∴点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是， ，， ， ， ； ②已知点以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动， ，， ， 第一种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ， ； 第二种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ∴， 解得，； ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． （3）解：点表示的数为，以每秒个单位长度的速度沿正方向运动至点， ∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ∴， 根据题意可知、、， ∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则，， ∵， ∴不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ∵， ∴不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ∵，符合题意， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 20．已知，且a、b、c满足所对应的点分别为A、B、C． (1)则__________，__________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．设运动时间为秒，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以1个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度／秒的速度运动．当点到达点时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为10个单位．求出此时的值． 【答案】(1)10，18 (2)的值不会随着时间的变化而改变，为 (3)当时，、两点在“折线数轴”上的路程为 10个单位 【分析】（1）根据非负数的性质即可求得、； （2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：已知， ， ， 故答案为： 10，18 ； （2）解：由（1）可知，， 设运动时间为秒， 则， ， ∴的值不会随着时间的变化而改变，为； （3）解：由（1）可知，， ， 设点运动的路程为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵、两点在“折线数轴”上的路程为 10个单位， 即， 情况1：， ， ， 则或， 解得：，舍去； 情况， ， ， 则或， 解得：（符合），（舍去）； 情况3：， ， ， 即或， 解得（舍去），（舍去）， 情况4：， ， ， 即或， 解得（舍去），（符合）， 综上，当时，、两点在“折线数轴”上的路程为 10个单位． 【点睛】本题综合考查了两点之间的距离，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 21．数学活动课上，同学们将数轴进行折叠变换．请阅读下列素材，完成探究任务． 【素材1】机灵小组绘制了一条数轴（如图①），其中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．已知、、满足． 【素材2】笨笨小组把如图①中的数轴在点和点处各折一下，形成了如图②所示的“折线数轴”，其中点和点之间的部分（包括点和点）叫做“滑梯坡面”． 【任务1】在【素材1】中，________，________，________． 【任务2】折叠如图①的数轴，使点与点重合，求此时与点重合的点所表示的数． 【任务3】点落在“滑梯坡面”上，．现在动点、同时开始运动：点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向点运动，过点后以5个单位长度/秒的速度至点，再以2个单位长度/秒的速度至终点；点从点出发，以1个单位长度/秒的速度至终点．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点在“滑梯坡面”上运动时，满足，若此时点的运动时间为秒，请直接写出的值． 【答案】[任务1]；； [任务2]2 [任务3] 【分析】[任务1]利用非负数的性质解答即可； [任务2]利用对称性求得折叠处对应的数为，再根据点对应的数距离的长度解答即可； [任务3] 利用分类讨论的方法分两种情况讨论：当时，点、都在做下坡运动和当时，此时点在做上坡运动、点在做下坡运动，再分类讨论点在点上方和点在点下方时，和的表达式，根据，列方程求解即可． 【详解】[任务1] 解：根据题意得， 则， 那么 解得 故答案为：，，； [任务2] 解：点与点重合， 折叠处对应的数为， 与点重合的点所表示的数； [任务3] 解：点落在“滑梯坡面”上，， 点D表示的数为0， 点到达终点需要秒， 点到达终点需要秒， 当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动， 则， 点在“滑梯坡面”上运动， ， 当时，此时点、都在做下坡运动， ①点在点上方时， 由题意得：、、， ， ， 解得； ②点在点下方时， 由题意得：、、， ， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，此时点在做上坡运动、点在做下坡运动， 由题意得：、， ， ①点在点下方时， ， ， 解得（不合题意，舍去）； ②点在点上方时， ， ， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，当点在“滑梯坡面”上运动时，满足， 的值为． 【点睛】本题考查数轴、非负数的应用、折叠的性质、一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，根据已知条件列出方程是解题的关键． 22．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 【答案】(1)，，16 (2)当t为15或25时，A、B之间的距离为5 (3)1 【分析】（1）分别利用偶次方和绝对值的非负性质，求出a和b，再由与的数量关系求出c； （2）分别用含t的代数式表示出点A和B对应的数，再由A、B之间的距离列绝对值方程并求解即可； （3）分别求出点Q在、、、上的速度，并将对应的数用含t的代数式表示出来，并标明t的取值范围；根据P、Q两点相遇时，点P和Q表示的数相同，建立方程并求解，求出此时点M表示的数即可． 【详解】（1）解， ，， ，， ，即， ． 答：，，． （2）解：经过t秒后，点A对应的数为，点B对应的数为， ， 当时，得，即或， 解得或． 答：当t为15或25时，A、B之间的距离为5． （3）解：点P在数轴上对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒8个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒2个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； ①当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； ②当点M在上时，得，解（不符合题意，舍去）； ③当点M在上时，得，解得； ④当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； 当时，P、Q两点在点M处相遇，此时点M表示的数为． 答：点M表示的数为． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用及绝对值和偶次方的非负性质．利用绝对值和偶次方的非负性质求出a和b，用含t的代数式正确表示点A和B对应的数是本题的关键． 23．数轴上点表示，点表示，点表示，点表示如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度． 动点从点出发，以个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为______； (2)当点、都运动到折线段上时， 、两点间的和谐距离______用含有的代数式表示； C、两点间的和谐距离______用含有的代数式表示； ______时，、两点相遇； (3)当______时，、两点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度； 当______时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1) (2)，， (3)或；或 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． （1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即可得M、N两点在折线数轴上的和谐距离； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案． 【详解】（1）解：当秒时，表示的数是，表示的数是， 则、两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：； （2）解：当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：12； 由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C， ∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴， 解得， 故答案为：，，； （3）解：∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得或， 由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时， ，即， ∴或， 解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 故答案为：或；8或． 24．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离”为24个长度单位，动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，则： (1)动点P从点A运动至点C需要______秒，动点Q从点C运动至点A需要_______秒； (2)若P，Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数； (3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的“折线距离”相等． 【答案】(1)19，17； (2)；点M在折线数轴上所表示的数是 (3)当秒或秒或 秒或17秒时， 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用路程除以速度求解即可得到答案； （2）先判断相遇点M在上，再根据题意列方程求解即可； （3）分四种情况讨论：①当点P在上，点Q在上时；②当点P在上时，点Q在上时；③当点P在上时，点Q在上时；④当点P在上时，点Q在上时，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要秒， 从点O运动至点B需要秒， 从点B运动至点C需要秒， 则动点P从点A运动至点C需要秒； 动点Q从点C运动至点B需要秒， 从点B运动至点O需要秒， 从点O运动至点A需要秒， 则动点Q从点C运动至点A需要秒； 故答案为：19，17； （2）解：由（1）可得相遇点M在上， ∴由题意得， 解得， ∴，即点M在折线数轴上所表示的数是； （3）解：①当点P在上，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ②当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ③当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ④当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； 综上：当秒或秒或秒或17秒时． 考点04 数轴动点变速问题 25．已知，，三点在数轴上所对应的数分别为，，18，且，满足．，动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度向左运动．线段为“变速区”，规则为：从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)______，______，______； (2)动点从点运动至点时，求的值； (3)、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数． 【答案】(1)，10，28 (2)19 (3) 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键． （1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出的长度； （2）分别求出和的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案； （3）设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵．， ∴． ∵点C表示的数是18， ∴． 故答案为：，10，28； （2）解：∵ ∴ ∴动点从点运动至点时，； （3）解：设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． ∵N运动到B时需秒，此时M运动到， ∴点落在线段段，依题意有∶ 解得∶ ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． 26．如图，点，分别为数轴正半轴上两点，对应的数分别为，，，知，．若动点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____；（用含的式子表示） (2)若经过3秒时，，求的值； (3)若，现将，两点之间变为点的“变速区”，规定为：点从点运动到点期间速度变为原来的两倍，从点到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，动点从原点出发，仍以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动．请问，是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8， (2)或 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出方程是解题的关键： （1）求出的长，即可得出点表示的数，根据点的平移规则，求出点表示的数即可； （2）分两种情况，列出方程进行求解即可； （3）分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为8， 由题意，点表示的数为； （2）解：由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴或， 解得或； （3）解：存在； 点从点运动到点的速度为每秒个单位长度，点从点运动到点的速度为每秒个单位长度， 故从点运动到点的时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， 点从点运动到点所用时间为， 由题意，当时，，解得； 当时，，解得； 综上：或． 27．已知点在数轴上，它们表示的数分别为，且满足，点在点的右侧且到点的距离个单位长度，点表示的数是． (1)_________，_________，_________； (2)动点从点出发以个单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位秒速度向左运动． 当点到达点后停留秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当两点相距个单位时，求的值； 我们规定两点之间为“变速区”，规则为动点从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后也立刻恢复原速，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，当为何值时，两点的距离是？ 【答案】(1)，，； (2)的值为或或或；的值为或． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）根据非负数的性质可求出的值，再根据数轴上两点距离计算公式可得的值，进而可求出的长； （）分当点从点运动到点的过程中，且没有相遇时，点与点相距个单位；当点从点运动到点的过程中，且相遇后，点与点相距个单位；当点在点停留时，点与点相距个单位；当点从点向左运动，且没有相遇时，点与点相距个单位和当点从点向左运动，且相遇后，点与点相距个单位，种情况分别建立方程求解即可； 可求出点从点运动到点的时间需要秒，点从点运动到点的时间需要秒，再分当点从点向右运动，且没有经过点时和当点和点都运动出变速区时，两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点在点的右侧且到点的距离个单位长度， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：， ∴点从点运动到点需要秒， 当点从点运动到点的过程中，且没有相遇时，点与点相距个单位， 则，解得：； 当点从点运动到点的过程中，且相遇后，点与点相距个单位， 则，解得：（舍去）； 当点在点停留时，点与点相距个单位， 则，解得：； 当点从点向左运动，且没有相遇时，点与点相距个单位， 则，解得：； 当点从点向左运动，且相遇后，点与点相距个单位， 则，解得：； 综上可得：的值为或或或； ∵，， ∴点从点运动到点的时间需要秒，点从点运动到点的时间需要秒， ∴当点从点向右运动，且没有经过点时， ∵两点的距离是， ∴， 解得：； ∵点运动出变速区需要的时间为，点运动出变速区需要的时间为， ∴当点和点都运动出变速区时， ∵两点的距离是， 则， 解得：； 综上可得：的值为或． 28．已知数轴上，，三点，若点在点，之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点，，，表示的数分别为，1，0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． (1)如图2，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是______；若点是的和谐点，则点表示的数是______； (2)已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且、满足，点在点的右侧且到点的距离为12个单位长度，点表示的数是18；动点从点出发以6单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以3个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒． ①从运动到的过程中，点表示的数是______，从运动到的过程中，点表示的数是______；（用含的代数式表示） ②求使得点是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)①，；②存在，t的值为2或16秒 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，理解 “和谐点”的定义，熟练掌握解一元一次方程，准确地用代数式表示出数轴上的点，根据“和谐点”以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义求解即可； （2）先由非负数的性质得，，进而得点A所表示的数为，点B所表示的数为，点C所表示的数为6． ①依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数； ②根据点C是的和谐点，得，且点C在点P，Q之间，因此有以下情况：当点P在点A，B之间时，此时，当点P在点B，C之间时，此时，当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点，当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点． 【详解】（1）解：∵数轴上点M，N表示的数分别为，5，点P是的和谐点， ∴， 设点P所表示的数为p，则，， ∴，解得：， ∴点P所表示的数为3； ∵点Q是的和谐点， ∴， 设点Q所表示的数为q，则，， ∴，解得， ∴点Q所表示的数为． 故答案为：3，． （2）∵， ∴，，解得：， ∴点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为12个单位长度， ∴点C所表示的数为6， 又∵点D所表示的数为18， ∴点A，B，C，D在数轴上为位置如下图所示： ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为12个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ①∵动点P从点A出发以6单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：，其中； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：,其中． 故答案为：，． ②存在； ∵点C是的和谐点， ∴，且点C在点P，Q之间， ∴有以下情况： 当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：， ∴，， ∴，解得：； 当点P在点B，C之间时，此时，点P所表示的数为， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：， ∴，， ∴，解得：， 当时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； 当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴，， ∴，解得：， 当时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； 当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴，， ∴，解得：． 综上所述：t的值为2或16秒． 29．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22 (2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【分析】（1）可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可求得的长度； （2）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度； （3）设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （4）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度， 则，点P表示的有理数为， ； 故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴； 故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等， 则得：， 解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：， 解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为， 所以， 得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒， 故答案为：12或25． 【点睛】本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 30．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)①；②存在，2或16 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，理解 “和谐点”的定义，熟练掌握解一元一次方程，准确地用代数式表示出数轴上的点，根据“和谐点”以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义求解即可； （2）先由非负数的性质得，进而得点A所表示的数为，点B所表示的数为，点C所表示的数为4．①依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数；②根据点C是的和谐点，得，且点C在点P，Q之间，因此有以下三种情况：a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为，此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为，则，进而得，据此求出t即可；b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为,则，，进而得，据此求出t即可；c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为，则，进而得，据此求出t即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点M，N表示的数分别为，点P是的和谐点， ∴， 设点P所表示的数为p,则, ∴，解得：， ∴点P所表示的数为3； ∵点Q是的和谐点， ∴， 设点Q所表示的数为q,则， ∴，解得， ∴点Q所表示的数为． 故答案为：3；． （2）解：∵， ∴解得：， ∴点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12， ∴点A，B，C，D在数轴上为位置如下图所示： ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ①∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：，其中； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：,其中． 故答案为：． ②存在； ∵点C是的和谐点， ∴，且点C在点P，Q之间， ∴有以下三种情况： a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：， ∴, ∴，解得：； b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：， 当时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：． 综上所述：t的值为2或16秒． 31．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与取值无关，其中a、b分别为点、点在数轴上表示的数，如图，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒． (1)求a、b的值； (2)用表示点在数轴上对应的数为：__________，点在数轴上对应的数为：__________； (3)当E、F相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后继续向右运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为120个单位时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查数轴和一元一次方程的应用，整式的加减无关型问题，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． （1）首先根据整式的加减运算法则化简，然后根据题意得到，，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）首先求出当点E和点F相遇时，，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】（1） ∵关于x、y的多项式的值与字母x取值无关， ∴， 解得，； （2）由题意得：点E在数轴上对应的数为：，点F在数轴上对应的数为：， 故答案为：，； （3）当点E和点F相遇时， 解得， 根据题意得， 解得． 32．已知：数轴上点、对应的数分别为、，点对应的数为，是最小的正整数，，且， (1)求和的值； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为每秒3个单位长度；点的速度为每秒1个单位长度，求经过多长时间，两点相遇． (3)在（2）的条件下，另一点与点、同时出发，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t．当点运动到点立即停止运动，点仍以原速度、原方向继续运动，同时点速度变为每秒4个单位，运动方向不变，在整个运动过程中，当为何值时，点，之间的距离等于点、之间距离．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)经过，两点相遇； (3)当或或时，点之间的距离等于点之间的距离． 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，正确的建立方程求解是关键． （1）先求解，再利用，且，得到； （2）先表示：，对应的数分别为，，，再利用相遇建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，对应的数为，，对应的数分别为，，当时，为，，对应的数分别为，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点对应的数分别为，是最小的正整数，，且， ∴，， ∴； （2）由题意可得：，对应的数分别为，， 当两点相遇时，， 解得：； 即经过，两点相遇． （3）当时，由题意可得：，对应的数分别为，， 对应的数为， ∵点之间的距离等于点之间的距离， ∴，即， ∴或， 解得：或； 当时，为，，对应的数分别为，， ∴， 解得：； 综上：当或或时，点之间的距离等于点之间的距离． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $