专题01 有理数计算相关压轴题分类训练（7种类型56道）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期湘教版2024

专题01 有理数计算相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 考点01 裂项相消法 考点02 拆项法 考点03 错位相减法 考点04 通过探究规律计算 考点05 进制转换 考点06 定义新运算 考点07 幻方 考点01 裂项相消法 1．观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 2．阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 3．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减． 例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：_________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 4．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 5．请你观察： ，；；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： （1）______； （2）______． （3）计算：的值． 6．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 7．请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 8．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 考点02 拆项法 9．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 10．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 ． 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 11．阅读（1）中的方法，计算第（2）小题． （1）． 解：原式 ． （2）上述这种方法叫做拆项法，依照上述方法计算：用上面的方法完成下列计算： ①； ②． 12．（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 13．先阅读解答过程，再回答问题： 计算：． 解： ． 上面的方法叫作拆项法．依照拆项法计算：． 14．阅读计算：的方法． 【解析】 原式        ， 上图这种解题方法叫做拆项法，再用这种方法计算下面的小题． 计算：； 15．阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： 16．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 考点03 错位相减法 17．阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 18．阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 19．阅读材料：求 首先设① 则② 得 即 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” ． 20．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 21．【拓广探究】下面是小明为了计算的值，采用错位相减法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】请仿照小明的方法求的值． 22．阅读材料：求． 首先设①， 则②， 得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)； (3)求的值． 23．阅读材料：求的值． 解：设① 则② ②①得，，即， ． 以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题： (1)计算：（仿照材料写出求解过程）； (2)化简：． 24．阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 考点04 通过探究规律计算 25．解答下列问题：（老师在黑板上的讲解如下） 利用运算规律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)请你参考黑板中老师的讲解，用运算规律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． (2)计算：．方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 26．已知一些两位数相乘的算式： 62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11． （1）观察上述算式，选出具有共同特征的3个算式，并说出它们的共同特征； （2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、 直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律； （3）在已知算式中，其他算式可以用上面的规律进行简便运算吗？如何能，写出你的变形过程并直接写出最后结果． 27．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ① ；② ；③ ；④ ； 【拓广应用】 （2）合适的方法计算： ； （3）简便的方法计算：． 28．小亮在做有理数的运算练习时，发现了如下一组有规律的算式： ；； 请根据小亮发现的结论，解决下列问题： (1)仿照上述规律写出：______；______； (2)若n为正整数，猜想______； (3)计算：． 29．观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 30．观察下列各式：，，，…. (1)猜想：_______； (2)根据上面的规律计算：． 31．如图是“分数三角形”数表，记第i行从左往右数第j个数为（其中i、j均为正整数且），如，；请认真观察此数表的规律并完成下列作答． (1)第10行的第一个数为______，第10行的第二个数为______； (2)我发现了此数表有以下规律： ①第i行的第一个数与最后一个数均为______；（用字母i来表示） ②请仔细观察每行相邻两个数与它们头顶上的那个数的关系，并完成下面填空：=______；（其中i为正整数且） (3)请利用第（2）问②的规律计算：．（请给出运算过程） 32．观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出第（取正整数）个等式：________（用含的等式表示）； (3)利用以上规律计算的值． 考点05 进制转换 33．【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数3721表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数10000转化为十进制数为：． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数10111转换为十进制数为______；其他进制也有类似的算法． (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满4进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？ 34．综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的进制数，只需将十进制数除以取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)在二进制中计算； (3)规定：若一个三位的九进制数和另一个三位的八进制数的百位、十位、个位数字都相同，则称和是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为，个位数字为的“同位数”和满足，若存在，求出和的值，若不存在，说明理由． 35．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 我们熟知的十进制，各数位上的数字为0~9；一般地，二进制各数位上的数字为0，1．同时，为与十进制区分，k进制数a常记为，如二进制数a记为．任何k进制数都可以表示为各个数位上的数与它所在的计数单位（k的幂）之积的和（采用从左到右的降幂排列，最后一位直接用该位数加），即．例如：十进制中的数2025就可写成，又如二进制中的数101就可以写成，由此可将二进制数转换为十进制数，即．反之，若要将十进制数变为二进制数，也可逆用该式，如将十进制数75改写为六进制数，因为，所以．同一种进制数可以相加，其加法法则：按位相加，逢k进一（k是基数），如二进制数相加就是逐位相加，逢二进一， ．不同进制数相加先转换为同一进制数，然后再计算它们的和． (1)填空：①________________________________； ②（________） (2)将十进制数66转换成五进制数，求a的值； (3)以下是部分二进制数转换成十进制数： ，，， ，，… 请观察以上转换结果的规律，试猜想转换成十进制数的结果（用含n的代数式表示），并验证你的猜想． 36．阅读材料：进位制是一种记数方式，对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数．（十进制数不用标角标，其他要标角标）其中， 十进制数记作：234． 各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数， 七进制数记作：． 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： (1)类比十进制的加法运算，计算： ①= ．②= ； (2)根据以上信息进行进制转化： ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数22转化成2进制数的值为多少？ 37．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．十进制数3512可以表示成式子：．规定：．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制数其各数位上的数字为0或1，类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数．例如：．根据上述材料，解答下列问题： (1)补充二进制的加法运算法则： ，，______． (2)二进制的加法计算：_____．（结果用二进制数表示） (3)将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (4)将十进制数转换为二进制数和八进制数，写出转换的结果即可． 38．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 39．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 40．我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制；X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，十六进制是逢十六进一，以此类作．X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成． X进制的数转化为十进制数的方法；X进制表示的数中，从右边数起，第一位上第三位上的1表示，第二位上的1的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示表示，故转化为十进制为：（规定当X≠0时，） 例如：，． 根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：_____，_____； (2)一个四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除（，．且a，b均为整数），求a的值． 考点06 定义新运算 41．小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 42．定义一种新运算：对于任意有理数都满足，例如：， (1)求的值： (2)计算：．（有括号先算括号） 43．研究新定义的运算“⊕”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；； 【归纳法则】 （1）归纳“⊕”运算的运算法则； 【应用法则】 （2）计算：； 【拓展延伸】 （3）探究交换律（为有理数）是否成立，并说明理由． 44．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)求的值． 45．我们定义一种新运算：． (1)___________； (2)求的值． 46．用“*”定义新运算，对于任意有理数，都有，例如：． (1)求的值； (2)当为有理数时，求的值． 47．对于有理数，定义一种新运算：.例如. (1)计算：的值； (2)运算“”_________交换律（填“满足”或“不满足”）； (3)若，求的值． 48．在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算，规定，例如：． (1)计算的值． (2)计算的值． 考点07 幻方 49．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 50．材料阅读，传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案．这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和． (1)图是一个“幻方”，则 ； ； ； (2)小明要将，，，，，，，，这个数填入如图所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的倍，并且图中的中心数是上述个数的平均数．  ①中心数 ；  ②请你帮小明将图所示的“幻方”的空白方格填满． 51．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，利用有理数运算，观察每行每列每条对角线上的数字关系． 应用：把绝对值小于5的整数分别填入图3的各个方格中（每数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等． 52．在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，正方形中每一横行、一竖列及对角线的几个数之和都相等，称为“幻方”． 图1幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都是15． (1)图1中9个数之和是15的 倍，15是9格的中心数5的 倍； (2)请在图2的幻方中将， ， ， ， 0， 1， 2， 3， 4这9个数分别填入； (3)在图3的幻方中，请填上合适的数． 53．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 54．【妙填幻方】如图①，是一个的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等． (1)将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等． 第一组：6，5，4，3，2，1，0，，； 第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1； 第三组：，，，，0，2，4，6，8． (2)如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为_____________． 55．填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是_____； (2)请把，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方； 拓展延伸： (3)如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和都相等．请填出使的值最大时的一种情形，并直接写出的最大值和最小值． 56．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数计算相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 考点01 裂项相消法 考点02 拆项法 考点03 错位相减法 考点04 通过探究规律计算 考点05 进制转换 考点06 定义新运算 考点07 幻方 考点01 裂项相消法 1．观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 2．阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），将原式整理为，再计算即可； 对于（2），仿照上述做法，应用裂项公式，提取公因数后消项即可； 对于（3），先提出负号，再将分母写成乘积的形式，然后裂项，消项即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 3．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减． 例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：_________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中裂项方法是解答的关键． （1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，猜想， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 4．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 5．请你观察： ，；；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： （1）______； （2）______． （3）计算：的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题目中的等式，通过裂项求和法可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的式子，通过裂项求和法可以求得所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 6．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 7．请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据裂项相消可得结果； （2）仿照解析（1）采用裂项的方法进行解答即可； （3）根据裂项相消可得结果； 解题的关键是熟练掌握裂项的方法，准确计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 考点02 拆项法 9．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 10．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 ． 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 11．阅读（1）中的方法，计算第（2）小题． （1）． 解：原式 ． （2）上述这种方法叫做拆项法，依照上述方法计算：用上面的方法完成下列计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】本题考查了有理数的加法运算，仿照题目提供的解题方法计算即可．熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 【详解】解：① ； ② 12．（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 13．先阅读解答过程，再回答问题： 计算：． 解： ． 上面的方法叫作拆项法．依照拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，读懂题意，理解拆项法是解决问题的关键．按照拆项法先将带分数拆成整数部分与分数部分，然后分别把整数部分、分数部分相加，最后由异分母分数加法运算求解即可得到答案， 【详解】解： ． 14．阅读计算：的方法． 【解析】 原式        ， 上图这种解题方法叫做拆项法，再用这种方法计算下面的小题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据提供的方法，拆项计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 15．阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： 【答案】 【分析】根据题目所提供的方法求解即可． 【详解】解：原式= = = =． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练运用有理数加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 16．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 根据题意，将带分数拆成成整数部分和分数部分的和，然后整数部分相加减，分数部分相加减，分别计算即可． 【详解】解：原式 ． 考点03 错位相减法 17．阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 18．阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握错位相减法，是解题的关键： （1）利用错位相减法进行计算即可； （2）利用错位相减法进行计算即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② ②①得，则． （2）设，① 则，② ①②得，则． 19．阅读材料：求 首先设① 则② 得 即 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，读懂材料，运用题目中的解题方法，掌握类比思想求解是解题的关键． 设，根据材料中的解法求解即可． 【详解】解：设①， 则②， ，得， ∴， 即． 故答案为：． 20．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ∴． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． 21．【拓广探究】下面是小明为了计算的值，采用错位相减法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】请仿照小明的方法求的值． 【答案】 【分析】设，则，然后求解即可． 【详解】设，则， 得， ∴ ∴． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子看作整体进行扩大或缩小，要熟悉本题的解题思路． 22．阅读材料：求． 首先设①， 则②， 得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以，再错位相减求解； （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）解：设， 则， 得：， 所以； 即； （3）设， 则3S=3+32+33+34+35+…+32023②， 得：， 所以， 即． 【点睛】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． 23．阅读材料：求的值． 解：设① 则② ②①得，，即， ． 以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题： (1)计算：（仿照材料写出求解过程）； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“错位相减法”求解即可； （2）利用“错位相减法”求解即可． 【详解】（1）解：设①， 则②， 则②①，得：； （2）解：①， ②， ②①，得： ， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ， ． 【点睛】此题考查了有理数的乘方运算，数字类规律问题，“错位相减法”的运用，解题的关键是熟练掌握“错位相减法”的运用． 24．阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 考点04 通过探究规律计算 25．解答下列问题：（老师在黑板上的讲解如下） 利用运算规律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)请你参考黑板中老师的讲解，用运算规律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． (2)计算：．方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)①；②99900 (2) 【分析】（1）①变形为，再根据乘法分配律简便计算即可解答；②先变形，然后根据乘法分配律简便计算即可； （2）先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法即可解答． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的解法为： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、有理数的运算律等知识点，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 26．已知一些两位数相乘的算式： 62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11． （1）观察上述算式，选出具有共同特征的3个算式，并说出它们的共同特征； （2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、 直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律； （3）在已知算式中，其他算式可以用上面的规律进行简便运算吗？如何能，写出你的变形过程并直接写出最后结果． 【答案】（1）一个两位数与11相乘；（2）两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积；（3）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825． 【分析】（1）确定因数为11的算式； （2）计算并发现规律； （3）根据发现的规律找算式即可． 【详解】（1）解：62×11，34×11，54×11， 这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘． （2）解：62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594， 规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积． 或表述成：某个两位数与11相乘，得数的百位上的数是这个两位数的十位数，得数的十位上的数是这个两位数各位数的和，个位上的数是这个两位数个位上的数． （3）解：18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825， 【点睛】本题是计算类的规律题，观察所给的算式，找出算式之间数与数的关系，还有与结果的关系，得出结论，在根据规律解决问题． 27．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ① ；② ；③ ；④ ； 【拓广应用】 （2）合适的方法计算： ； （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）． 【分析】本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）根据一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可； （2）先根据绝对值的意义化简，再算加减； （3）先根据绝对值的意义化简，再算加减． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； 故答案为：①；②；③；④ （2）原式=； （3）原式= ． 28．小亮在做有理数的运算练习时，发现了如下一组有规律的算式： ；； 请根据小亮发现的结论，解决下列问题： (1)仿照上述规律写出：______；______； (2)若n为正整数，猜想______； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的运算． （1）仿照题干规律作答即可； （2）根据题干找出规律即可； （3）利用规律计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：若n为正整数，猜想， 故答案为：； （3）解： ． 29．观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）计算每个括号，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， … ∴； 故答案为：． （2）解： ． 30．观察下列各式：，，，…. (1)猜想：_______； (2)根据上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法法则可得原式等于，再计算乘法即可得； （2）先计算括号内的减法，再根据有理数的乘法法则计算即可得． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： ． 31．如图是“分数三角形”数表，记第i行从左往右数第j个数为（其中i、j均为正整数且），如，；请认真观察此数表的规律并完成下列作答． (1)第10行的第一个数为______，第10行的第二个数为______； (2)我发现了此数表有以下规律： ①第i行的第一个数与最后一个数均为______；（用字母i来表示） ②请仔细观察每行相邻两个数与它们头顶上的那个数的关系，并完成下面填空：=______；（其中i为正整数且） (3)请利用第（2）问②的规律计算：．（请给出运算过程） 【答案】(1)， (2)①，② (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）根据已知数表写出答案即可； （2）①根据已知数表可知第i行的第一个数与最后一个数均为，②根据已知数表可知； （3）根据（2）中规律可得，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，第10行的第一个数为，第10行的第二个数为； 故答案为：， （2）解：①第i行的第一个数与最后一个数均为， ②由题意可得，， 故答案为：， （3）由题意可得， 32．观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出第（取正整数）个等式：________（用含的等式表示）； (3)利用以上规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第6个等式； （2）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式； （3）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 第6个等式：， 故答案为：． （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式：， 故答案为：． （3）解：由（1）的规律化解原式： ． 考点05 进制转换 33．【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数3721表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数10000转化为十进制数为：． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数10111转换为十进制数为______；其他进制也有类似的算法． (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满4进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？ 【答案】(1)23 (2)30只 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据二进制转换为十进制的方法计算即可； （2）仿照二进制转换为十进制的方法计算即可； 【详解】（1）解：将二进制数10111转换为十进制数为； （2）解：∵满4进1，图示表示的四进制数为132， ∴转化为十进制数为， 他所放牧的羊的只数是30只． 34．综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的进制数，只需将十进制数除以取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)在二进制中计算； (3)规定：若一个三位的九进制数和另一个三位的八进制数的百位、十位、个位数字都相同，则称和是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为，个位数字为的“同位数”和满足，若存在，求出和的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)6， (2) (3)存在，即且或且或且． 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握有理数乘方运算的法则是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法计算即可； （2）n进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满n进一，由此计算即可； （3）由题意，，即，m被3整除，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 则． （2）解：． （3）解：若存在m和n满足， 由题意可得：，，且m、n为不超过7的非负整数， ∵，，，，， ∴，整理得：， ∴，即m能被3整除， ∵m、n为不超过7的非负整数， ∴当时，；当时，；当时，． ∴存在这样的m、n．即且或且或且． 35．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 我们熟知的十进制，各数位上的数字为0~9；一般地，二进制各数位上的数字为0，1．同时，为与十进制区分，k进制数a常记为，如二进制数a记为．任何k进制数都可以表示为各个数位上的数与它所在的计数单位（k的幂）之积的和（采用从左到右的降幂排列，最后一位直接用该位数加），即．例如：十进制中的数2025就可写成，又如二进制中的数101就可以写成，由此可将二进制数转换为十进制数，即．反之，若要将十进制数变为二进制数，也可逆用该式，如将十进制数75改写为六进制数，因为，所以．同一种进制数可以相加，其加法法则：按位相加，逢k进一（k是基数），如二进制数相加就是逐位相加，逢二进一， ．不同进制数相加先转换为同一进制数，然后再计算它们的和． (1)填空：①________________________________； ②（________） (2)将十进制数66转换成五进制数，求a的值； (3)以下是部分二进制数转换成十进制数： ，，， ，，… 请观察以上转换结果的规律，试猜想转换成十进制数的结果（用含n的代数式表示），并验证你的猜想． 【答案】(1)①，2，1，34；② (2) (3)，验证见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，列代数式，以及单位进制的转化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据进制数的表示方法，计算三进制数转换为十进制数的结果；②利用二进制加法法则（逢二进一）计算二进制数的和； （2）通过展开法将十进制数转换为五进制数，确定的值； （3）观察二进制数转换为十进制数的规律，猜想个 1 的二进制数对应的十进制数表达式，并验证。 【详解】（1）解：①由题知， 故答案为：； ②由题知， 第1位：，记0进1， 第2位：，记1进1， 第3位：，记1进1， 第 4 位：，记 0 进 1 ， 所以 ． 故答案为：10110； （2）解：由题知， 因为， 所以， 所以； （3）因为，，…， 所以猜想． 验证如下： 因为猜想， 则令 所以， 两式相减得， 所以． 36．阅读材料：进位制是一种记数方式，对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数．（十进制数不用标角标，其他要标角标）其中， 十进制数记作：234． 各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数， 七进制数记作：． 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： (1)类比十进制的加法运算，计算： ①= ．②= ； (2)根据以上信息进行进制转化： ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数22转化成2进制数的值为多少？ 【答案】(1)①6；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了二进制数，十进制数，七进制数之间的互相转换，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意可得，据此计算求解即可；②根据逢二进一的计算法则求解即可； （2）①根据题意可得，据此计算求解即可；②仿照题意分别求出22除以2的商和余数，再把所得的商继续除以2直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：①； ②，，，， ∴． 37．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．十进制数3512可以表示成式子：．规定：．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制数其各数位上的数字为0或1，类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数．例如：．根据上述材料，解答下列问题： (1)补充二进制的加法运算法则： ，，______． (2)二进制的加法计算：_____．（结果用二进制数表示） (3)将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (4)将十进制数转换为二进制数和八进制数，写出转换的结果即可． 【答案】(1) (2) (3) (4)二进制：，八进制： 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解进制转换是解决问题的关键． （1）由题中二进制的加法运算法则直接计算即可得到答案； （2）由题中二进制的加法运算法则直接计算即可得到答案； （3）由阅读材料中把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数即可得到答案； （4）由辗转相除法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中二进制的加法运算法则可知，， 故答案为：； （2）解：由题中二进制的加法运算法则可知，， 故答案为：； （3）解：； （4）解：将转化为二进制数，过程如下： 2 72 2 36 ……0 2 18 ……0 2 9 ……0 2 4 ……1 2 2 ……0 2 1 ……0 2 0 ……1 从下到上排列可得； 将转化为八进制数，过程如下： 8 72 8 9 ……0 8 1 ……1 8 0 ……1 从下到上排列可得． 38．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 【答案】（1）  （2）见解析 【分析】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键. （1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得，第四行代表二进制的数字是， 二进制的数字，转化成进制为： ， ∴转化成进制后可得他的考场号是， 故答案为：； （2）准考证号， 分别将， ， ， ， 转化为二进制， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为：， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， 如图所示： 39．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 【答案】[理解]（1）2，1，11；（2）D；[迁移] ；[创新] 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、八进制、十进制数的定义以及核算方法是正确解答的关键． [理解]（1）根据二进制与十进制的核算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的核算方法进行计算即可； [迁移]将25写成即可得出答案； [创新]先将二进制数转化为十进制数为89，再将十进制数89写出即可． 【详解】[理解]（1）解：， 故答案为：2，1，11； （2）解：一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数最小为，最大为， ∴一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是， 故选：D； [迁移]解：， ∴十进制数25转化为二进制数为； [创新]解：二进制数转化为十进制数为， 而， ∴十进制89写成8进制为， 即二进制数转化为八进制数为． 40．我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制；X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，十六进制是逢十六进一，以此类作．X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成． X进制的数转化为十进制数的方法；X进制表示的数中，从右边数起，第一位上第三位上的1表示，第二位上的1的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示表示，故转化为十进制为：（规定当X≠0时，） 例如：，． 根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：_____，_____； (2)一个四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除（，．且a，b均为整数），求a的值． 【答案】(1)91，175 (2)1 【分析】（1）根据进制的定义以及转化方法计算即可； （2）先转化为十进制数，再根据之和能被8整除求解． 【详解】（1）， ； （2）∵， ， ∴， ∵能被8整除， ∴能被8整除， 当时，，能被8整除； 当时，，不能被8整除； 当时，，不能被8整除； 综上可知，能被8整除时，a的值是1． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、列代数式以及求值、整式的加减，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 考点06 定义新运算 41．小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 解得：； （2）解：，， ． 42．定义一种新运算：对于任意有理数都满足，例如：， (1)求的值： (2)计算：．（有括号先算括号） 【答案】(1)5 (2)2 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1） ； （2） ． 43．研究新定义的运算“⊕”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；； 【归纳法则】 （1）归纳“⊕”运算的运算法则； 【应用法则】 （2）计算：； 【拓展延伸】 （3）探究交换律（为有理数）是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）交换律（为有理数）成立，理由见解析 【分析】（1）依据给出的算式归纳即可； （2）利用（1）中归纳的法则解答即可； （3）利用（1）中归纳的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，熟练掌握新定义逼格熟练应用是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得， “⊕”运算的运算法则如下：同号两数进行“⊕”运算，结果为两数的差的绝对值；异号两数进行“⊕”运算，结果为两数差的绝对值的相反数；一个数与0进行运算“⊕”运算和0与一个数进行运算“⊕”运算，结果为原数． （2） ； （3）交换律（为有理数）成立，理由如下： 若a，b同号，，， ； 若a，b异号，，， ； 若，，，， ； 若，，，， ； 若，，，， 综上，交换律交换律（为有理数）成立， 44．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）利用已知的新定义计算即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解： ； 45．我们定义一种新运算：． (1)___________； (2)求的值． 【答案】(1)7 (2)1 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，新定义的运算，理解新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算即可； （2）先计算，则，根据新定义的运算计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：7； （2）解： ， ． 46．用“*”定义新运算，对于任意有理数，都有，例如：． (1)求的值； (2)当为有理数时，求的值． 【答案】(1)11 (2)38 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ． （2）解：∵， ， ． 47．对于有理数，定义一种新运算：.例如. (1)计算：的值； (2)运算“”_________交换律（填“满足”或“不满足”）； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)满足，详见解析 (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，理清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义计算，与结果一致，满足交换律； （3）根据新定义列式，得到关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：． （2）满足； 由题意可知， ，故运算“”满足交换律． （3）∵ ∴ ∴ ∴. 48．在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算，规定，例如：． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据有理数的新定义运算计算即可求解； （2）根据有理数的新定义运算进行两次计算即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 考点07 幻方 49．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】（1）解：任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 50．材料阅读，传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案．这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和． (1)图是一个“幻方”，则 ； ； ； (2)小明要将，，，，，，，，这个数填入如图所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的倍，并且图中的中心数是上述个数的平均数．  ①中心数 ；  ②请你帮小明将图所示的“幻方”的空白方格填满． 【答案】(1)1，，5 (2)①2；②见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． （1）根据“幻和”的定义可一次求出，，；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系； （2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可； ②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数． 【详解】（1）解：斜对角线上的三个数字之和为， 该方格的“幻和”为9， ，，， 故答案为：1，，5； （2）解：①， 中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6， 填方格如图： ． 51．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，利用有理数运算，观察每行每列每条对角线上的数字关系． 应用：把绝对值小于5的整数分别填入图3的各个方格中（每数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等． 【答案】见解析 【分析】本题主要查了有理数的混合运算．求出幻方中间的数，然后调整其余8个方格中的数字即可． 【详解】解：绝对值小于5的整数为， 幻方中间的数为， 如图， 52．在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，正方形中每一横行、一竖列及对角线的几个数之和都相等，称为“幻方”． 图1幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都是15． (1)图1中9个数之和是15的 倍，15是9格的中心数5的 倍； (2)请在图2的幻方中将， ， ， ， 0， 1， 2， 3， 4这9个数分别填入； (3)在图3的幻方中，请填上合适的数． 【答案】(1)3，3 (2)填表见解析 (3)填表见解析 【分析】本题考查了有理数加减法，数字规律，观察数据的规律并正确应用是解答关键． （1）利用有理数加法法则进行求解． （2）图1幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等，且等于中间数据的3倍的规律来求解． （3）利用（2）的方法来填表． 【详解】（1）解：图1中每一横行的和都是15， 所以9个数之和是15的3倍数． 所以15是9格的中心数5的3倍． 故答案为：3，3． （2）解：在图2的幻方中将， ， ， ， 0， 1， 2， 3， 4这9个数分别填入得到下图： （3）解：根据题意如下图 ． 53．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或11 【分析】本题考查了有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）由题意求出每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （2）由题意求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （3）根据题意求出每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知：每行、列和对角线上的数字之和都相等， 和对角线上的数字之和， 第三行第三列上的数字为， 第一行第二列上的数字为， 第一行第一列上的数字为， 第二行第一列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 补充完整的三阶幻方如图所示： （2）解：根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列上的数字为， 第二行第二列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 第三行第一列上的数字为， 第三行第三列上的数字为 补充完整的新的三阶幻方如图所示： （3）解：根据题意得：每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为： ， ，，， 解得：，，或， 或11． 54．【妙填幻方】如图①，是一个的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等． (1)将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等． 第一组：6，5，4，3，2，1，0，，； 第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1； 第三组：，，，，0，2，4，6，8． (2)如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)90 【分析】本题主要考查了的幻方．熟练掌握幻方的和的性质，是解决本题的关键． （１）根据幻方的和的性质，一一解答．先确定中央的数，再把第二个数与第四个数（或第六个数与第八个数）填在同侧的角里，而后根据幻方和的性质计算填写； （2）根据幻方性质先确定相对角上的数，再确定剩下的数． 【详解】（1）第一组：6，5，4，3，2，1，0，，； 幻和：， 每行、列、对角的数的和：， 中央数： 中央数两侧相对的数的和：； 1 6 0 2 4 5 3 第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1； 幻和：， 每行、列、对角的数的和：， 中央数： 中央数两侧相对的数的和：； 2 9 4 7 5 3 6 1 8 第三组：，，，，0，2，4，6，8． 幻和：， 每行、列、对角的数的和：， 中央数：， 中央数两侧相对的数的和：； 8 4 0 2 6 （2）∵中央的数是10， ∴左上角是：，右上角是：， 中列上面是：，下面是：， 中行左面是：，右面是：， ∴这九个数为：5，7，8，9，10，11，12，13，15， ∴幻和为：， 故答案为：90． 7 11 12 15 10 5 8 9 13 55．填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是_____； (2)请把，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方； 拓展延伸： (3)如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和都相等．请填出使的值最大时的一种情形，并直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)图见解析，， 【分析】本体考查有理数的运算，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出第一行三个数的和即可； （2）所有数据的和除以3，求出每一行，每一列和对角线上的点数和，将9个数排序，中间的数字填写在幻方的中央位置，再根据和的情况进行填写即可； （3）当3个顶点的数是13，16，19时，和最大，当3个顶点的数为，，1时，和最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：15； （2）解：∵， ∴每一行，每一列和对角线上的点数和均为21， ∵，，1，4，7，10，13，16，19位于中间的数据为7， ∴幻方最中间的数为7， 填表如图： （3）当3个顶点处的数字为3个最大的数时，和最大， ∴当3个顶点的数是13，16，19时，和最大， ∴， 填表如下： 当3个顶点处的数字为3个最小的数字时，和最小， ∴当3个顶点的数为，，1时，和最小， ∴． 56．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $