专题04 圆周运动、万有引力（培优讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习高效培优系列

该高中物理高考复习讲义聚焦圆周运动与万有引力专题，涵盖匀速/变速圆周运动、重力与万有引力关系、天体运动、卫星发射、双星多星系统及变轨运行等核心考点，按运动学规律、动力学分析、天体应用逻辑递进架构知识体系，通过考情精析锁定靶心，考点深解扫清盲区，题型精析提炼方法，真题变式强化实战，助力学生系统构建知识网络。 讲义突出科学思维与模型建构，如变速圆周运动中通过受力分析对比绳杆模型临界条件，天体运动中用黄金代换推导重力加速度与轨道半径关系，配合典例精讲与分层变式练习，培养学生科学推理与问题转化能力，可帮助教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

专题04 圆周运动、万有引力 目录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】匀速圆周运动 【考点02】变速圆周运动 【考点03】重力与万有引力的关系 【考点04】发射卫星、天体运动 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】匀速圆周运动 【题型02】变速圆周运动 【题型03】重力与万有引力的关系 【题型04】有中心天体的匀速圆周运动 【题型05】双星、多星系统 【题型06】变轨运行 核心考向聚焦 主战场转移：匀速圆周运动的运动特点、受力特点；变速圆周运动中的绳模型、杆模型；重力与万有引力的关系；天体运动估算、对比，宇宙航行。 核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决复杂平衡及临界极值问题的科学推理与实践能力。 关键能力与思维瓶颈 关键能力：受力分析、寻找向心力的能力。准确识别变速圆周运动中的绳模型、杆模型。熟悉天体运动的各种模型：有中心天体的匀速圆周运动模型，双星、多星系统，变轨运行规律。临界极值判断力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准分析极值条件 培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于： 面对新情境时，无法快速、准确地将实际问题进行转化。不画受力体，向心力找不准。天体运动模型不明，搞不清用什么规律。临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析不清 。 命题前瞻与备考策略 预测：2026年高考中，圆周运动、天体运动情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化高端思维训练，提升创新题型解答能力，规范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。 ◇考点 01 匀速圆周运动 一、圆周运动的运动学问题 1．描述圆周运动的物理量 2．匀速圆周运动 (1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动． (2)特点：加速度大小 ，方向始终指向 ，是 速运动． 3．常见的传动方式及特点 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： ＝ 向心加速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比： ＝ 向心加速度与半径成反比： ＝ 角速度与半径成反比： ＝ 向心加速度与半径成反比：＝ 二、匀速圆周运动的动力学问题 1．匀速圆周运动的向心力 (1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的 ，不改变速度的大小． (2)大小：Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv. (3)方向：始终沿半径方向指向 ，时刻在改变，即向心力是一个 力． 2．离心运动和近心运动 ①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动． ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做 运动． ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动． 3．匀速圆周运动中合力、向心力的特点 匀速圆周运动的合力：提供向心力． 三、探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 1．实验思路 本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了 法． 在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形： (1)在质量、半径一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系． (2)在质量、角速度一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系． (3)在半径、角速度一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系． 2．实验器材 向心力演示器、小球． 3．注意事项 摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数．达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数． ◇考点 02 变速圆周运动 一、变速圆周运动的动力学问题 1．变速圆周运动的向心力 (1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小． (2)大小：Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv. (3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力． 2．变速圆周运动中合力、向心力的特点 变速圆周运动的合力(如图) (1)与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动． (2)指向圆心的分力Fn提供 力，产生 加速度an，改变线速度的 ． 二、竖直面内圆周运动的临界问题 轻绳模型 (最高点无支撑) 轻杆模型 (最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力 示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学 方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界 特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论 分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 ◇考点 03 重力与万有引力的关系 一、万有引力定律 1．表达式 F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定． 2．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是 的一个分力． (2)星体内部万有引力的两个推论 ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0. ②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G. 二、星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) 1.考虑地球自转的影响 (1)在赤道上： G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. 2.不考虑地球自转时 （1）地球表面附近的重力加速度大小g，有mg＝G，得g＝. （2）地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝.所以＝. 三、利用天体表面重力加速度估算天体质量和密度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. 1．由G＝mg，得天体质量M＝. 2．天体密度ρ＝＝＝. ◇考点 04 发射卫星、天体运动 一、利用运行天体估算天体质量和密度 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. 1．由G＝mr，得M＝. 2．若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. 3．若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝ ，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 二、卫星运行参量的分析 1．基本公式 (1)线速度：由G＝m得v＝ . (2)角速度：由G＝mω2r得ω＝. (3)周期：由G＝m()2r得T＝ . (4)向心加速度：由G＝man得an＝ . 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢． 2．“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM. 3．人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道． (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)同步卫星 ①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同． ②周期与地球自转周期相等，T＝ h. ③高度固定不变，h＝ m. ④运行速率约为v＝3.1 km/s. (3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝ min(人造地球卫星的最小周期)． 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星． 三、同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3. 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、 v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、 v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 四、天体“追及”问题的处理方法 1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近．从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或－＝1. 2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远．从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或－＝. 五、开普勒行星运动定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在 的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用 在 中心天体的两星体之间． 六、宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝ km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝ km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期． 七、卫星的变轨和对接问题 变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3. 八、双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两星的周期、角速度 ，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成 ，即＝. ⑤双星的运动周期T＝ . ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 九、星球“瓦解”问题　黑洞 1．星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行． 2．黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞． ◇题型 01 匀速圆周运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025年山东卷第10题）（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A. B C. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 典例2（2025·北京市海淀区·三模）转动被淋湿的雨伞，雨水会被甩落到地面。某同学观察到，在雨伞加速转动过程中水滴被甩落，他猜想雨伞转速增加的快慢不同，水滴落点的远近也会不同。为了验证猜想，他设计了一个实验。 如图所示，半径为R的水平圆盘在电机带动下可绕中心轴转动，且通过控制电机调整圆盘转速，转速可以缓慢增大，也可以迅速增大。圆盘静止时，在其边缘处放一质量为m的小物体。已知小物体与圆盘间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）圆盘初始静止，控制电机，让圆盘的转速缓慢增大。当转速增大到某一值时，小物体被甩出。求： a．小物体被甩出时圆盘角速度的大小ω0； b．小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功W。 （2）通过研究小物体被甩出后落到水平地面的情况，可以模拟水滴从雨伞边缘甩落的情况。设在圆盘转速缓慢增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L1；在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L2。 a．在图中，画出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体所受摩擦力f的示意图； b．写出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出瞬间所受摩擦力f与瞬时速度v的关系式，并由此比较L1和L2的大小关系。（注意：解答中需要用到、但题目中没有给出的物理量，要在解题过程中做必要的说明） 方｜法｜提｜练 碰到传动装置，要搞清楚是哪一种模型，角速度相同，还是线速度大小相等。 匀速圆周运动的周期性会导致多解。 画受力图时，不要考虑向心力；处理受力图时，才思考哪些力提供向心力？ 匀速圆周运动中二力不共线时，可以直接合成二力，也可以正交分解。 匀速圆周运动中二力以上不共线时，一般采用正交分解的方法。 正交分解时，必须沿半径和垂直于半径选轴，匀速圆周运动垂直于半径方向上受力平衡，沿半径方向上，合力提供向心力。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·陕西省渭南市·二模）（多选）如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则下列说法正确的是（　　） A. 子弹在圆筒中的水平速度为 B. 子弹在圆筒中的水平速度为 C. 圆筒转动的角速度可能为 D. 圆筒转动的角速度可能为 变式2（2025·安徽省“皖南八校”·三模）奥运会女子艺术体操的球操比赛中，运动员手持橡胶球翩翩起舞的过程中，有时会手持球在竖直平面内做圆周运动，这一过程可近似看做半径为L的匀速圆周运动，运动过程中球所受的空气阻力大小恒为f，且f小于球的重力，方向与运动方向相反，当地重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　） A. 转到圆心正上方时的最小速度一定是 B. 转动过程中经过最高点和最低点时，手对球的作用力大小相等 C. 转动一周的过程中两次经过圆心等高点时，手对球的作用力大小相等 D. 转动一周的过程中人对球做功为2πLf 变式3（2023年福建卷第15题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 ◇题型 02 变速圆周运动 典｜例｜精｜析 典例1（2023年湖北卷第14题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 典例2（2024年山东卷第17题）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R=0.4m，重力加速度大小g=10m/s2. （1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v； （2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示。 （i）求μ和m； （ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F=8N，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。 方｜法｜提｜练 画受力图时，不要考虑向心力；处理受力图时，才思考哪些力提供向心力？ 变速圆周运动的一般位置处，合力不等于向心力。正交分解时，必须沿半径和垂直于半径选轴，垂直于半径方向上受力不平衡，合力用来改变速度的大小。沿半径方向上，合力提供向心力，用来改变速度的方向。 注意区分绳模型与杆模型。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西、陕西、宁夏、青海四省区·二模）如图所示，内壁光滑、半径为的半圆轨道固定在竖直面内，是竖直直径，光滑的斜面与半圆轨道在点平滑连接。现让质量为的小球（视为质点）从斜面上的点由静止释放，小球经过点进入半圆轨道，到达点时轨道对小球的压力等于小球重力的一半，离开点后小球落到斜面上的点时速度正好与斜面垂直，点是斜面上与点等高的点，重力加速度大小为，不计小球经过转折点时的机械能损失，求： （1）、两点的高度差； （2）斜面倾角的正切值以及小球从点运动到点的时间； （3）小球在点时重力的瞬时功率。 变式2（2025·甘肃省白银市第一中学·二模）（多选）如图所示，在倾角的光滑固定斜面上固定有一可绕转轴在斜面内自由转动的轻杆，杆的两端分别连接着质量为的小球P和质量为的小球Q，OP的长度，OQ的长度，重力加速度取。现给小球P一个垂直于且与斜面平行的初速度，规定转轴点为零势能点，则此后（ ） A. 系统机械能不变恒为 B. 当轻杆转至水平位置时，轻杆对球P弹力的大小为 C. 当球Q转至最低点时，轻杆对转轴的弹力为零 D. 当球Q转至最低点时，轻杆对转轴的弹力大小为 变式3（2023年6月浙江卷第18题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为的滑块b与质量为的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小和所受支持力大小； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 ◇题型 03 重力与万有引力的关系 典｜例｜精｜析 典例1（2025年河北卷第7题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为，表面重力加速度为。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为。要使飞行器在距星球表面高度为的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（　　） A. B. C. D. 典例2（2025·福建省泉州市·一模）月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（　　） A. B. C. D. 方｜法｜提｜练 碰到重力与万有引力的关系问题，首先看是否考虑星球自转的影响。 若考虑星球自转的影响，则只考查两极与赤道处。 大部分题目不考虑星球自转的影响。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·吉林省长春市·二模）中国空间站在距地面高度约的轨道上做匀速圆周运动，该轨道远在距地面的卡门线（外太空与地球大气层的分界线）之上，但轨道处依然存在相对地心静止的稀薄气体，气体与空间站前端碰后瞬间可视为二者共速。空间站安装有发动机，能够实时修正轨道。已知中国空间站离地面高度为，地球半径为，地球表面的重力加速度为，将空间站视为如图所示的圆柱体，其运行方向上的横截面积为，稀薄气体密度为，不考虑其他因素对空间站的影响，则（　　） A. 考虑到气体阻力，若空间站没有进行轨道修正，其高度降低，动能减小 B. 空间站的速度大小为 C. 气体对空间站前端作用力大小 D. 空间站发动机的功率为 变式2（2025·湖北省·一模）2024年9月19日，我国成功发射第59颗、第60颗北斗导航卫星，为下一代定位、导航、授时体系的新技术探路。北斗系统在工作时必须考虑大气层、电离层、对流层对信号的折射和延迟引起的误差。若有一个半径为R的星球，其大气层的厚度为，一颗卫星围绕星球做半径为的匀速圆周运动，如图所示。已知该星球表面重力加速度为g（忽略星球自转以及大气质量的影响）。 （1）求该卫星运行的速率； （2）若从星球表面某点（与卫星轨道平面共面）向空中各个方向发出光信号，已知星球表面大气对该光信号的折射率为，求光信号能到达的卫星轨道弧长。 变式3（2025·湖南省永州市·二模）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离r的关系，图线B表示航天员相对地面静止时而产生的向心加速度大小与r的关系。图乙中R=6400km（地球半径），r0为地球同步轨道高度约36000km，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的有（　　） A. 太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为mg B. 随着r的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小 C. 太空电梯在地球同步轨道高度处的向心加速度约为 D. 地球的质量为 ◇题型 04 有中心天体的匀速圆周运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025·云南省怒江州民族中学·二模）a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A. b卫星的发射速度小于 B. a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 C. a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为 D. 在a、b、c中，b的线速度最大 典例2（2025·辽宁省朝阳市建平县实验中学·三模） 2024年3月20日8时31分，鹊桥二号中继星在我国文昌航天发射场成功发射升空，经过112小时的奔月飞行，鹊桥二号中继星经过近月制动，顺利进入近月200km，远月16000km的环月大椭圆轨道飞行。如图所示，轨道Ⅱ为环月大椭圆轨道，已知近月点到月球中心的距离为r1，远月点到月球中心的距离为r2，中继星在轨道Ⅱ上的环绕周期为T，轨道Ⅰ为近月轨道，月球半径为R，引力常量为G，由以上信息可求出（　　） A. 月球的质量为 B. 月球表面的重力加速度为 C. 月球的第一宇宙速度为 D. 月球密度为 方｜法｜提｜练 此类问题也遵循开普勒第三定律。 对于估算问题，可以记住一些有用的结论。 碰到对比问题，要区分地面上的物体与卫星。 可以适当画示意图，以帮助理解。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·广东省揭阳市·一模）（多选）极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极轨道可视为圆轨道若某极地卫星从南极的正上方开始到第二次运行至北极正上方，所用时间为，已知地球半径为地球可看做球体，地球表面的重力加速度为，引力常量为，由以上可知下列选项错误的是（　　） A. 卫星运行的角速度为 B. 卫星运行的线速度为 C. 地球的质量为 D. 卫星距地面的高度 变式2（2025·湖南省长沙市周南中学·二模）如图所示，平行的太阳光直射地球的赤道，地球自西向东的自转周期T=24h，某日，天刚黑时，位于地球赤道上N点的人用天文望远镜恰好能看到一地球静止轨道卫星M。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R。下列说法正确的是（　　） A. 卫星M离地面的高度为 B. 卫星M和N点的人的向心加速度之比为 C. 天黑之后，N点的人一整晚都能看到卫星M D. 天黑之后，N点的人将有一段时间观测不到卫星M 变式3（2025·山东省烟台市·三模）2025年2月27日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭再一次发射一箭双星，成功将四维高景一号星发射升空．设卫星进入预定轨道后在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示，不考虑“03星”、“04星”之间的万有引力，已知“03星”的线速度小于“04星”的线速度，下列说法正确的是（　　） A. “04星”的周期等于 B. “03星”的周期等于T C. “04星”的线速度大小为 D. “03星”、“04星”的轨道半径之比为 ◇题型 05 双星、多星系统 典｜例｜精｜析 典例1（2023年福建卷第8题）（多选）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似] A. B. C. D. 典例2（2026·江西省景德镇市·上学期第一次质量检测）（多选）如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是和（），P有一颗卫星M，以轨道半径绕P顺时针以周期做匀速圆周运动，已知，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A. 由已知条件可以求出Q的质量 B. 恒星P、Q之间的万有引力为 C. 若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D. P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 方｜法｜提｜练 对于双星，列方程时要注意，万有引力中的距离不同于轨道的半径；轨道半径比为质量的反比；记住共同周期的表达式。 对于三星、四星，要画出受力图；找共同圆心的方法是：想成地面上的好几个小球找总重心。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·湖北省武汉二中·一模）宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m，另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是（　　） A. A的质量为m B. 该双星系统的运动周期为T C. A、B相距的距离为 D. 在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为 变式2（2025·内蒙古包头市·二模）在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为，星体A的质量是星体B的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比为（　　） A. B. C. D. 变式3（2025·北京市海淀区·三模）如图所示，太空中有A、B双星系统绕O点逆时针做匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，。C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为。忽略A、C间引力，已知引力常量为G，，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。则（　　） A. A的线速度大于B的线速度 B. B的质量为 C. 若A也有一颗运动周期为的卫星，则其轨道半径一定大于C的轨道半径 D. 若知道C绕B运动轨道半径，则可求出C的质量 ◇题型 06 变轨运行 典｜例｜精｜析 典例1（2025年安徽卷第9题）（多选）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A. B. C. D. 典例2（2025·甘肃省白银市第一中学·二模） 2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船发射成功，并于次日5时16分成功与中国天宫空间站对接，为航天员送去所需的服装、食物、水、实验设备等物资。现将其发射对接过程作适当简化：如图所示，圆轨道1为中国天宫空间站的运行轨道，天舟六号在运载火箭的托举下沿轨道运动至点“船箭分离”，飞船进入与圆轨道1相切于点的椭圆轨道2运行，最后择机与空间站对接。下列相关说法中正确的是（ ） A. 天舟六号飞船由点运动至点的过程中机械能持续增大 B. 天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期 C. 天舟六号飞船由点运动至点的过程中，飞船内的物资始终处于超重状态 D. 天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行速度始终小于与空间站对接后在轨道1上的运行速度 方｜法｜提｜练 要借助于近心运动、离心运动的规律。 要借助于开普勒行星运动定律。 加速度看离中心天体的球心的距离。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·湖南省常德市·二模）2024年6月2日上午6时23分，“嫦娥六号”成功着陆月球背面。若“嫦娥六号”被月球俘获后进入椭圆轨道上运行，周期为；当经过近月点点时启动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道上运行，周期为。已知月球半径为，圆形轨道距月球表面的距离为，椭圆轨道远月点距月球表面的距离为，如图所示，引力常量为，忽略其他天体对“嫦娥六号”的影响，则下列说法正确的是（　　） A. B. 月球的质量为 C. 月球第一宇宙速度等于轨道II上的运行速度 D. 嫦娥六号由轨道I进入轨道II需要在点点火使其加速才能完成 变式2（2025·北京市北京大学附属中学·三模）第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即，其中为中心天体的质量，为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体越大，越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图）。若S2在近星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为，在远星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为。S2的椭圆轨道面积为，运动周期为，引力常量为。不计其他天体的影响，以下说法错误的是（　　） A. 在近星点和远星点的速度满足 B. S2在近星点的线速度大小也可以表示为 C. S2在点和点的加速度大小之比为 D. 中心天体黑洞的半径至多为 变式3（2025·辽宁省辽西重点高中·二模）（多选）2024年8月22日，中星4A卫星顺利进入预定轨道，如图所示为质量为的中星4A卫星发射变轨过程的简化示意图，其中轨道Ⅰ为近地圆形轨道，轨道Ⅲ为距离地面高度为6R的圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅱ与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ分别相切于P点和Q点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响。若取无穷远处引力势能为零，质量为m的物体在距离地球球心为r时的引力势能（M为地球的质量），下列说法正确的是（　　） A. 中星4A卫星在轨道Ⅱ上经过P点的速度大于经过Q点的速度 B. 中星4A卫星在轨道Ⅲ上的动能为 C. 中星4A卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了 D. 中星4A卫星在轨道Ⅱ上运行的周期是在轨道Ⅲ上运行的周期的 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆周运动、万有引力 目录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】匀速圆周运动 【考点02】变速圆周运动 【考点03】重力与万有引力的关系 【考点04】发射卫星、天体运动 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】匀速圆周运动 【题型02】变速圆周运动 【题型03】重力与万有引力的关系 【题型04】有中心天体的匀速圆周运动 【题型05】双星、多星系统 【题型06】变轨运行 核心考向聚焦 主战场转移：匀速圆周运动的运动特点、受力特点；变速圆周运动中的绳模型、杆模型；重力与万有引力的关系；天体运动估算、对比，宇宙航行。 核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决复杂平衡及临界极值问题的科学推理与实践能力。 关键能力与思维瓶颈 关键能力：受力分析、寻找向心力的能力。准确识别变速圆周运动中的绳模型、杆模型。熟悉天体运动的各种模型：有中心天体的匀速圆周运动模型，双星、多星系统，变轨运行规律。临界极值判断力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准分析极值条件 培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于： 面对新情境时，无法快速、准确地将实际问题进行转化。不画受力体，向心力找不准。天体运动模型不明，搞不清用什么规律。临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析不清 。 命题前瞻与备考策略 预测：2026年高考中，圆周运动、天体运动情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化高端思维训练，提升创新题型解答能力，规范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。 ◇考点 01 匀速圆周运动 一、圆周运动的运动学问题 1．描述圆周运动的物理量 2．匀速圆周运动 (1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动． (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变速运动． 3．常见的传动方式及特点 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： ＝ 向心加速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比： ＝ 向心加速度与半径成反比： ＝ 角速度与半径成反比： ＝ 向心加速度与半径成反比：＝ 二、匀速圆周运动的动力学问题 1．匀速圆周运动的向心力 (1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小． (2)大小：Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv. (3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力． 2．离心运动和近心运动 ①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动． ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动． ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动． 3．匀速圆周运动中合力、向心力的特点 匀速圆周运动的合力：提供向心力． 三、探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 1．实验思路 本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了控制变量法． 在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形： (1)在质量、半径一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系． (2)在质量、角速度一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系． (3)在半径、角速度一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系． 2．实验器材 向心力演示器、小球． 3．注意事项 摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数．达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数． ◇考点 02 变速圆周运动 一、变速圆周运动的动力学问题 1．变速圆周运动的向心力 (1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小． (2)大小：Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv. (3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力． 2．变速圆周运动中合力、向心力的特点 变速圆周运动的合力(如图) (1)与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动． (2)指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向． 二、竖直面内圆周运动的临界问题 轻绳模型 (最高点无支撑) 轻杆模型 (最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力 示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学 方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界 特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论 分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 ◇考点 03 重力与万有引力的关系 一、万有引力定律 1．表达式 F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定． 2．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)星体内部万有引力的两个推论 ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0. ②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G. 二、星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) 1.考虑地球自转的影响 (1)在赤道上： G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. 2.不考虑地球自转时 （1）地球表面附近的重力加速度大小g，有mg＝G，得g＝. （2）地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝.所以＝. 三、利用天体表面重力加速度估算天体质量和密度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. 1．由G＝mg，得天体质量M＝. 2．天体密度ρ＝＝＝. ◇考点 04 发射卫星、天体运动 一、利用运行天体估算天体质量和密度 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. 1．由G＝mr，得M＝. 2．若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. 3．若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 二、卫星运行参量的分析 1．基本公式 (1)线速度：由G＝m得v＝. (2)角速度：由G＝mω2r得ω＝. (3)周期：由G＝m()2r得T＝2π. (4)向心加速度：由G＝man得an＝. 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢． 2．“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM. 3．人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道． (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)同步卫星 ①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同． ②周期与地球自转周期相等，T＝24 h. ③高度固定不变，h＝3.6×107 m. ④运行速率约为v＝3.1 km/s. (3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)． 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星． 三、同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3. 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、 v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、 v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 四、天体“追及”问题的处理方法 1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近．从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或－＝1. 2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远．从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或－＝. 五、开普勒行星运动定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间． 六、宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期． 七、卫星的变轨和对接问题 变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3. 八、双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期T＝2π. ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 九、星球“瓦解”问题　黑洞 1．星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行． 2．黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞． ◇题型 01 匀速圆周运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025年山东卷第10题）（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A. B C. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】BC 【解析】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确； CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。 故选BC。 典例2（2025·北京市海淀区·三模）转动被淋湿的雨伞，雨水会被甩落到地面。某同学观察到，在雨伞加速转动过程中水滴被甩落，他猜想雨伞转速增加的快慢不同，水滴落点的远近也会不同。为了验证猜想，他设计了一个实验。 如图所示，半径为R的水平圆盘在电机带动下可绕中心轴转动，且通过控制电机调整圆盘转速，转速可以缓慢增大，也可以迅速增大。圆盘静止时，在其边缘处放一质量为m的小物体。已知小物体与圆盘间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）圆盘初始静止，控制电机，让圆盘的转速缓慢增大。当转速增大到某一值时，小物体被甩出。求： a．小物体被甩出时圆盘角速度的大小ω0； b．小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功W。 （2）通过研究小物体被甩出后落到水平地面的情况，可以模拟水滴从雨伞边缘甩落的情况。设在圆盘转速缓慢增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L1；在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出后的落点到中心轴的距离为L2。 a．在图中，画出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体所受摩擦力f的示意图； b．写出在圆盘转速迅速增大的情况下，小物体被甩出瞬间所受摩擦力f与瞬时速度v的关系式，并由此比较L1和L2的大小关系。（注意：解答中需要用到、但题目中没有给出的物理量，要在解题过程中做必要的说明） 【答案】（1）a.，b. （2）a.见解析，b.见解析 【解析】 【小问1详解】 a.当转速增大到某一值时，小物体被甩出，此时，最大静摩擦力提供向心力，则 解得 b.小物体被甩出前，加速过程中摩擦力对小物体做的功为 所以 【小问2详解】 a.小物体所受摩擦力如图所示 b.物体被甩出瞬间，静摩擦力达到最大值 即 设与半径夹角为，在沿半径方向，由牛顿第二定律得 物体被甩落后做平抛运动，两种情况下平抛的飞行时间 相等，由几何关系可知 转速缓慢增大 转速迅速增大 由于 可得 方｜法｜提｜练 碰到传动装置，要搞清楚是哪一种模型，角速度相同，还是线速度大小相等。 匀速圆周运动的周期性会导致多解。 画受力图时，不要考虑向心力；处理受力图时，才思考哪些力提供向心力？ 匀速圆周运动中二力不共线时，可以直接合成二力，也可以正交分解。 匀速圆周运动中二力以上不共线时，一般采用正交分解的方法。 正交分解时，必须沿半径和垂直于半径选轴，匀速圆周运动垂直于半径方向上受力平衡，沿半径方向上，合力提供向心力。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·陕西省渭南市·二模）（多选）如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则下列说法正确的是（　　） A. 子弹在圆筒中的水平速度为 B. 子弹在圆筒中的水平速度为 C. 圆筒转动的角速度可能为 D. 圆筒转动的角速度可能为 【答案】AC 【解析】AB．子弹做平抛运动，在竖直方向上 可得子弹在圆筒中运动的时间 水平方向子弹做匀速运动，因此水平速度 A正确，B错误； CD．因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为 （n取1、2、3……） 则角速度为 故角速度可能为，不可能为，C正确，D错误。 故选AC。 变式2（2025·安徽省“皖南八校”·三模）奥运会女子艺术体操的球操比赛中，运动员手持橡胶球翩翩起舞的过程中，有时会手持球在竖直平面内做圆周运动，这一过程可近似看做半径为L的匀速圆周运动，运动过程中球所受的空气阻力大小恒为f，且f小于球的重力，方向与运动方向相反，当地重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　） A. 转到圆心正上方时的最小速度一定是 B. 转动过程中经过最高点和最低点时，手对球的作用力大小相等 C. 转动一周的过程中两次经过圆心等高点时，手对球的作用力大小相等 D. 转动一周的过程中人对球做功为2πLf 【答案】D 【解析】A．球在竖直平面内做匀速圆周运动时，速率恒定，因此各点速度大小相同。最高点的最小速度通常由重力提供向心力（即），但题目中球受手的力和空气阻力作用，向心力由手的作用力、空气阻力和重力的合力提供，故最高点速度不一定是，故A错误； B．球在竖直平面内做匀速圆周运动时，向心力大小保持不变，转动过程中经过最高点和最低点时，手对球的作用力切向分力平衡空气阻力，而法向分力和重力的合力提供向心力，最高点法向分力为，最低点为，根据力的合成可知在最高点和最低点手对球的作用力大小不等，故B错误； C．转动过程中两次经过圆心等高处（圆心左右两侧），手对球的作用力法向分力提供向心力，但切向分力需要平衡重力和空气阻力的合力，假设球做逆时针方向的匀速圆周运动，右侧切向分力为，左侧为，根据力的合成可知在圆心等高点手对球的作用力大小不等，故C错误； D．根据动能定理，转动一周动能不变，合外力做功为，则人对球做功与空气阻力做功之和为 有 而空气阻力做功为 所以人对球做功为 故D正确。 故选D。 变式3（2023年福建卷第15题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 【答案】（1）0.05m；（2）；（3） 【解析】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得 根据胡克定律得 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离 （2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得 由几何关系得圆环此时转动的半径为 联立解得 （3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得 对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有 ， 由几何关系得 联立解得 ◇题型 02 变速圆周运动 典｜例｜精｜析 典例1（2023年湖北卷第14题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 【答案】（1）；（2）0；（3） 【解析】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有 解得 （2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，则在C点有 小物块从C到D的过程中，根据动能定理有 则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有 联立解得 ，HBD = 0 （3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有 S = π∙2R 解得 典例2（2024年山东卷第17题）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R=0.4m，重力加速度大小g=10m/s2. （1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v； （2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示。 （i）求μ和m； （ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F=8N，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。 【答案】（1）；（2）（i），；（3） 【解析】（1）根据题意可知小物块在Q点由合力提供向心力有 代入数据解得 （2）（i）根据题意可知当F≤4N时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可知 根据图乙有 当外力时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有 结合题图乙有 可知 截距 联立以上各式可得 ，， （ii）由图乙可知，当F=8N时，轨道的加速度为6m/s2，小物块的加速度为 当小物块运动到P点时，经过t0时间，则轨道有 小物块有 在这个过程中系统机械能守恒有 水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有 联立解得 根据运动学公式有 代入数据解得 方｜法｜提｜练 画受力图时，不要考虑向心力；处理受力图时，才思考哪些力提供向心力？ 变速圆周运动的一般位置处，合力不等于向心力。正交分解时，必须沿半径和垂直于半径选轴，垂直于半径方向上受力不平衡，合力用来改变速度的大小。沿半径方向上，合力提供向心力，用来改变速度的方向。 注意区分绳模型与杆模型。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山西、陕西、宁夏、青海四省区·二模）如图所示，内壁光滑、半径为的半圆轨道固定在竖直面内，是竖直直径，光滑的斜面与半圆轨道在点平滑连接。现让质量为的小球（视为质点）从斜面上的点由静止释放，小球经过点进入半圆轨道，到达点时轨道对小球的压力等于小球重力的一半，离开点后小球落到斜面上的点时速度正好与斜面垂直，点是斜面上与点等高的点，重力加速度大小为，不计小球经过转折点时的机械能损失，求： （1）、两点的高度差； （2）斜面倾角的正切值以及小球从点运动到点的时间； （3）小球在点时重力的瞬时功率。 【答案】（1）h = （2）， （3） 【解析】 【小问1详解】 小球到达A点时，轨道对小球的压力等于小球重力的一半，由牛顿第二定律有1.5mg = m 小球从C点到A点，由机械能守恒定律有mg（h - 2R）= 解得vA = ；h = 【小问2详解】 设小球从A点到D点的运动时间为t，由平抛运动的规律有x = vAt ，y = 由几何关系有 小球在D点时的速度正好与斜面垂直，有 解得 ， 【小问3详解】 由机械能守恒定律得小球在 E、A 两点的速度大小相等，则有 小球在 E 点时重力的瞬时功率 由数学知识可得 解得 变式2（2025·甘肃省白银市第一中学·二模）（多选）如图所示，在倾角的光滑固定斜面上固定有一可绕转轴在斜面内自由转动的轻杆，杆的两端分别连接着质量为的小球P和质量为的小球Q，OP的长度，OQ的长度，重力加速度取。现给小球P一个垂直于且与斜面平行的初速度，规定转轴点为零势能点，则此后（ ） A. 系统机械能不变恒为 B. 当轻杆转至水平位置时，轻杆对球P弹力的大小为 C. 当球Q转至最低点时，轻杆对转轴的弹力为零 D. 当球Q转至最低点时，轻杆对转轴的弹力大小为 【答案】AD 【解析】A．两球运动过程中，只有重力做功系统机械能守恒。依题意，两球角速度相同，根据 可知二者线速度关系为 小球P刚获得速度时，系统的机械能为 联立，解得 系统机械能不变恒为。故A正确； B．当轻杆转至水平位置时，由机械能守恒，可得 又 此时轻杆对球P的弹力与重力下滑分力的合力提供向心力，有 且 联立，解得 故B错误； CD．当球Q转至最低点时，有 又 由牛顿第二定律，可得 ， 联立，解得 所以轻杆对转轴的弹力大小为 故C错误；D正确。 故选AD。 变式3（2023年6月浙江卷第18题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为的滑块b与质量为的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小和所受支持力大小； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 答案：(1)31.0 N (2)0 (3)0.2 m 解析：(1)滑块a以初速度从D处进入竖直圆弧轨道DEF运动，由动能定理有 解得 在最低点F，由牛顿第二定律有 解得 (2)碰撞后滑块a返回到B点的过程，由动能定理有 解得 滑块碰撞过程，由动量守恒定律有 解得 碰撞过程中损失的机械能 (3)滑块a碰撞b后立即被粘住，由动量守恒定律有 解得 滑块ab一起向右运动，压缩弹簧，ab减速运动，c加速运动，当abc三者速度相等时，弹簧长度最小，由动量守恒定律有 解得 由机械能守恒定律有 解得 由解得最大压缩量 滑块ab一起继续向右运动，弹簧弹力使c继续加速，使ab继续减速，当弹簧弹力减小到零时，c速度最大，ab速度最小；滑块ab一起再继续向右运动，弹簧弹力使c减速，ab加速，当abc三者速度相等时，弹簧长度最大，其对应的弹性势能与弹簧长度最小时弹性势能相等，由弹簧的弹性势能公式可知最大伸长量 所以碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 ◇题型 03 重力与万有引力的关系 典｜例｜精｜析 典例1（2025年河北卷第7题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为，表面重力加速度为。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为。要使飞行器在距星球表面高度为的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】飞行器在轨道半径处的总机械能包括动能和势能。 引力势能为 根据万有引力提供向心力，在地球表面有，解得轨道速度满足，对应动能，总机械能 根据机械能守恒，初始动能，解得。 故选B。 典例2（2025·福建省泉州市·一模）月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在地球极地处，万有引力等于重力 地球对月球的万有引力提供向心力 在月球极地处 在月球赤道处 联立，解得 故选A。 方｜法｜提｜练 碰到重力与万有引力的关系问题，首先看是否考虑星球自转的影响。 若考虑星球自转的影响，则只考查两极与赤道处。 大部分题目不考虑星球自转的影响。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·吉林省长春市·二模）中国空间站在距地面高度约的轨道上做匀速圆周运动，该轨道远在距地面的卡门线（外太空与地球大气层的分界线）之上，但轨道处依然存在相对地心静止的稀薄气体，气体与空间站前端碰后瞬间可视为二者共速。空间站安装有发动机，能够实时修正轨道。已知中国空间站离地面高度为，地球半径为，地球表面的重力加速度为，将空间站视为如图所示的圆柱体，其运行方向上的横截面积为，稀薄气体密度为，不考虑其他因素对空间站的影响，则（　　） A. 考虑到气体阻力，若空间站没有进行轨道修正，其高度降低，动能减小 B. 空间站的速度大小为 C. 气体对空间站前端作用力大小 D. 空间站发动机的功率为 【答案】C 【解析】A．考虑到气体阻力，若空间站没有进行轨道修正，气体与空间站前端碰后瞬间可视为二者共速，可看作完全非弹性碰撞，故会损失的机械能，其高度降低，又根据牛顿第二定律 故减小时，增大，动能增大，故A错误； B．根据牛顿第二定律 又地球表面 联立解得 故B错误； C．设极短的时间内与空间站前端碰撞的稀薄气体质量为 碰撞瞬间，根据动量守恒 由于 故 对稀薄气体，根据动量定理 联立解得空间站前端对稀薄气体的作用力大小 根据牛顿第三定律知气体对空间站前端作用力大小为，故C正确； D．空间站发动机的功率为 故D错误。 故选C。 变式2（2025·湖北省·一模）2024年9月19日，我国成功发射第59颗、第60颗北斗导航卫星，为下一代定位、导航、授时体系的新技术探路。北斗系统在工作时必须考虑大气层、电离层、对流层对信号的折射和延迟引起的误差。若有一个半径为R的星球，其大气层的厚度为，一颗卫星围绕星球做半径为的匀速圆周运动，如图所示。已知该星球表面重力加速度为g（忽略星球自转以及大气质量的影响）。 （1）求该卫星运行的速率； （2）若从星球表面某点（与卫星轨道平面共面）向空中各个方向发出光信号，已知星球表面大气对该光信号的折射率为，求光信号能到达的卫星轨道弧长。 【答案】（1） （2） 【解析】【小问1详解】 对星球表面物体有 对卫星有 联立解得该卫星运行的速率为 【小问2详解】 设在A点恰好发生全反射，光路图如图所示 则 可得 在三角形OAB中，由正弦定理得 可得 （舍去） 所以 又因为 可得 故光信号能到达的卫星轨道弧长为 变式3（2025·湖南省永州市·二模）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离r的关系，图线B表示航天员相对地面静止时而产生的向心加速度大小与r的关系。图乙中R=6400km（地球半径），r0为地球同步轨道高度约36000km，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的有（　　） A. 太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为mg B. 随着r的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小 C. 太空电梯在地球同步轨道高度处的向心加速度约为 D. 地球的质量为 【答案】D 【解析】A．由图乙，太空电梯在r0时，航天员所受地球的引力完全提供其随地球自转所需的向心力，此时，航天员与电梯舱间的弹力为0，故A错误； B．航天员所需的向心力 随着r的增加，航天员所需的向心力逐渐增加，在r=r0时，引力完全提供向心力，此时航天员与电梯舱的弹力为0；当r<r0时，电梯舱对航天员的弹力表现为支持力，则 解得 FN随着r的增大而减小；当r>r0时，电梯舱对航天员的弹力表现为指向地心的压力，此时 FN随着r的增大而增大，物体不一定处于完全失重状态，故B错误； C．由，，解得，故C错误； D．太空电梯在r0时，由于航天员的引力完全提供其所需的向心力，设地球的质量为M，航天员的质量为m，则 解得，故D正确。 故选D。 ◇题型 04 有中心天体的匀速圆周运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025·云南省怒江州民族中学·二模）a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A. b卫星的发射速度小于 B. a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 C. a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为 D. 在a、b、c中，b的线速度最大 【答案】D 【解析】A．第一宇宙速度7.9km/s是最小的发射速度，可知b卫星的发射速度大于，选项A错误； B．a、c的角速度相等，根据 可知 对b、c两颗卫星，根据 可知 可知a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 选项B错误； C．a、c的角速度相等，周期相等 根据开普勒第三定律 可知 即a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为 选项C错误； D．a、c的角速度相等，根据 可知 对b、c两颗卫星，根据 可知 可知a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 选项D正确。 故选D。 典例2（2025·辽宁省朝阳市建平县实验中学·三模） 2024年3月20日8时31分，鹊桥二号中继星在我国文昌航天发射场成功发射升空，经过112小时的奔月飞行，鹊桥二号中继星经过近月制动，顺利进入近月200km，远月16000km的环月大椭圆轨道飞行。如图所示，轨道Ⅱ为环月大椭圆轨道，已知近月点到月球中心的距离为r1，远月点到月球中心的距离为r2，中继星在轨道Ⅱ上的环绕周期为T，轨道Ⅰ为近月轨道，月球半径为R，引力常量为G，由以上信息可求出（　　） A. 月球的质量为 B. 月球表面的重力加速度为 C. 月球的第一宇宙速度为 D. 月球密度为 【答案】B 【解析】A．设近月轨道的周期为T1，由开普勒第三定律得 航天器在轨道Ⅰ上运行时，由万有引力提供向心力有 解得 故A错误； B．根据万有引力与重力的关系 可得 故B正确； C．根据万有引力提供向心力有 可得第一宇宙速度为 故C错误； D．月球密度为 故D错误。 故选B。 方｜法｜提｜练 此类问题也遵循开普勒第三定律。 对于估算问题，可以记住一些有用的结论。 碰到对比问题，要区分地面上的物体与卫星。 可以适当画示意图，以帮助理解。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·广东省揭阳市·一模）（多选）极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极轨道可视为圆轨道若某极地卫星从南极的正上方开始到第二次运行至北极正上方，所用时间为，已知地球半径为地球可看做球体，地球表面的重力加速度为，引力常量为，由以上可知下列选项错误的是（　　） A. 卫星运行的角速度为 B. 卫星运行的线速度为 C. 地球的质量为 D. 卫星距地面的高度 【答案】BCD 【解析】卫星做匀速圆周运动，根据题意求出周期，由求得角速度；根据地球表面重力等于万有引力求解地球的质量；根据卫星运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供求解卫星的半径，根据线速度和角速度的关系求解线速度。 【详解】A．某极地卫星从南极的正上方开始第二次运行至北极正上方，所用时间为 即，所以卫星运行的周期为 卫星运行的角速度为，故A正确； B．根据卫星运动的向心力由万有引力提供 地球表面的重力和万有引力相等 联立两式求解得 所以线速度，故B错误； C．由 得地球的质量为，故C错误； D．卫星距地面的高度，故D错误。 本题选错误的，故选BCD。 【点睛】解决天体卫星运动问题的基本思路：（1）在地面附近万有引力近似等于物体的重力，即 整理得；（2）天体运动可近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供 即，根据相应的向心力表达式进行分析。 变式2（2025·湖南省长沙市周南中学·二模）如图所示，平行的太阳光直射地球的赤道，地球自西向东的自转周期T=24h，某日，天刚黑时，位于地球赤道上N点的人用天文望远镜恰好能看到一地球静止轨道卫星M。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R。下列说法正确的是（　　） A. 卫星M离地面的高度为 B. 卫星M和N点的人的向心加速度之比为 C. 天黑之后，N点的人一整晚都能看到卫星M D. 天黑之后，N点的人将有一段时间观测不到卫星M 【答案】D 【解析】A．如图所示 对卫星M有 解得轨道半径 故A错误； B．位于N点的人随地球自转的向心加速度大小为 g为地球表面的重力加速度，故B错误； CD．天黑之后阳光无法照射到卫星，反射光无法到达N点的人，因此将有一段时间观测不到卫星M，故C错误，D正确。 故选D。 变式3（2025·山东省烟台市·三模）2025年2月27日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭再一次发射一箭双星，成功将四维高景一号星发射升空．设卫星进入预定轨道后在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示，不考虑“03星”、“04星”之间的万有引力，已知“03星”的线速度小于“04星”的线速度，下列说法正确的是（　　） A. “04星”的周期等于 B. “03星”的周期等于T C. “04星”的线速度大小为 D. “03星”、“04星”的轨道半径之比为 【答案】C 【解析】D．根据万有引力提供向心力有 得 故轨道半径越大，线速度越小，因“03星”的线速度小于“04星”的线速度，故 由图可知，， 解得， 故“03星”、“04星”的轨道半径之比为，故D错误； AB．根据开普勒第三定律有 得 由图可知，“03星”与“04星”相邻两次距离最远的时间间隔为T，则有 联立解得，，故AB错误； C．“04星”的线速度大小为，故C正确。 故选C。 ◇题型 05 双星、多星系统 典｜例｜精｜析 典例1（2023年福建卷第8题）（多选）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似] A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有 r1＋r2 = R 联立解得 故A错误、故B正确； CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有 再根据选项AB分析可知 Mr1 = mr2，r1＋r2 = R， 联立解得 故C错误、故D正确。 故选BD。 典例2（2026·江西省景德镇市·上学期第一次质量检测）（多选）如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是和（），P有一颗卫星M，以轨道半径绕P顺时针以周期做匀速圆周运动，已知，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A. 由已知条件可以求出Q的质量 B. 恒星P、Q之间的万有引力为 C. 若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D. P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 【答案】ABC 【解析】A．在P、Q组成的双星系统中，对P根据牛顿第二定律有 解得Q的质量为，故A正确； B．对于卫星M，由万有引力提供向心力得 解得P的质量为 则恒星P、Q之间的万有引力为，故B正确； C．若Q也有一颗质量很小的周期也为的卫星，设卫星的质量为m，轨道半径为r，根据牛顿第二定律可得 解得 同理可得M的轨道半径为 对P、Q组成的双星系统有 因为，则有，，故C正确； D．如图所示 P、Q、M三星由图示位置到再次共线时，P、Q转过的圆心角与M转过的圆心角互补，则有 解得，故D错误。 故选ABC。 方｜法｜提｜练 对于双星，列方程时要注意，万有引力中的距离不同于轨道的半径；轨道半径比为质量的反比；记住共同周期的表达式。 对于三星、四星，要画出受力图；找共同圆心的方法是：想成地面上的好几个小球找总重心。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·湖北省武汉二中·一模）宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m，另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是（　　） A. A的质量为m B. 该双星系统的运动周期为T C. A、B相距的距离为 D. 在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为 【答案】C 【解析】B．观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，该双星系统的运动周期为2T，故B错误； AC．根据万有引力提供向心力有 解得 ， 因此质量大的恒星半径较小，可知，A的质量为3m，又有 解得 故A错误，C正确； D．单位时间内恒星与O点连线扫过的面积 则相等时间内，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为 故D错误。 故选C。 变式2（2025·内蒙古包头市·二模）在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为，星体A的质量是星体B的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由儿何关系知 设B、A间的距离为，则 A所受的合力 联立可得 由几何对称性可知星体B、C受力大小相等，根据牛顿第三定律 又 设星体B所受的合力为，正交分解，有， 则 则 故选A。 变式3（2025·北京市海淀区·三模）如图所示，太空中有A、B双星系统绕O点逆时针做匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，。C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为。忽略A、C间引力，已知引力常量为G，，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。则（　　） A. A的线速度大于B的线速度 B. B的质量为 C. 若A也有一颗运动周期为的卫星，则其轨道半径一定大于C的轨道半径 D. 若知道C绕B运动轨道半径，则可求出C的质量 【答案】C 【解析】A．由于A、B星的角速度相等，根据 可知，角速度相等时，半径越大，线速度越大，因此A的线速度大于B的线速度，A错误； B．根据万有引力定律和牛顿第二定律可知，对于A星而言 解得 B错误； C．设A星的卫星的轨道半径为，B星的卫星的轨道半径为，根据万有引力定律及牛顿第二定律可得 解得 同理可得 根据上述求解可知 由于，可知，故，C正确； D．即使知道C绕B运动的轨道半径，也只能求得中心天体B星的质量，而无法求得C星的质量，D错误。 故选C。 ◇题型 06 变轨运行 典｜例｜精｜析 典例1（2025年安徽卷第9题）（多选）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得 故C正确，D错误。 故选BC。 典例2（2025·甘肃省白银市第一中学·二模） 2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船发射成功，并于次日5时16分成功与中国天宫空间站对接，为航天员送去所需的服装、食物、水、实验设备等物资。现将其发射对接过程作适当简化：如图所示，圆轨道1为中国天宫空间站的运行轨道，天舟六号在运载火箭的托举下沿轨道运动至点“船箭分离”，飞船进入与圆轨道1相切于点的椭圆轨道2运行，最后择机与空间站对接。下列相关说法中正确的是（ ） A. 天舟六号飞船由点运动至点的过程中机械能持续增大 B. 天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期 C. 天舟六号飞船由点运动至点的过程中，飞船内的物资始终处于超重状态 D. 天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行速度始终小于与空间站对接后在轨道1上的运行速度 【答案】B 【解析】A．飞船由P点到B点过程中的A点到B点段，飞船只受万有引力，只有引力做功，机械能守恒，故A错误； B．由开普勒第三定律 可知轨道半长轴越小，周期越小，飞船在轨道2的半长轴比轨道1的小，所以飞船在轨道2运动的周期比在空间站的运动周期小，故B正确； C．飞船由P点到A点，飞船获得外界提供的动力，加速上升，处于超重状态，到飞船从A点到B点，只受地球对其的万有引力，处于完全失重状态，故C错误； D．飞船在轨道2运动到B点要经历点火加速才能进入轨道1运动，则飞船在轨道2的B点运动速度比与空间站对接后在轨道1上的运行速度要小。飞船从近地圆轨道变轨到椭圆轨道，在近地点要加速，所以要椭圆上近地点速度大于近地轨道上的速度。根据 可知，飞船在轨道1上运动的速度小于在近地轨道上运动的速度，所以飞船在椭圆上近地点的速度大于在轨道1上的运行速度，可见飞船在椭圆轨道上运动的速度可以大于对接后在轨道1上的运行速度，故D错误。 方｜法｜提｜练 要借助于近心运动、离心运动的规律。 要借助于开普勒行星运动定律。 加速度看离中心天体的球心的距离。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·湖南省常德市·二模）2024年6月2日上午6时23分，“嫦娥六号”成功着陆月球背面。若“嫦娥六号”被月球俘获后进入椭圆轨道上运行，周期为；当经过近月点点时启动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道上运行，周期为。已知月球半径为，圆形轨道距月球表面的距离为，椭圆轨道远月点距月球表面的距离为，如图所示，引力常量为，忽略其他天体对“嫦娥六号”的影响，则下列说法正确的是（　　） A. B. 月球的质量为 C. 月球第一宇宙速度等于轨道II上的运行速度 D. 嫦娥六号由轨道I进入轨道II需要在点点火使其加速才能完成 【答案】A 【解析】A．根据开普勒第三定律有 解得 故A正确； B．“嫦娥六号”轨道上运行时，有 解得月球的质量为 故B错误； C．月球第一宇宙速度是探测器近月飞行的速度，即绕月的最大速度，所以月球第一宇宙速度大于轨道II上的运行速度，故C错误； D．嫦娥六号由轨道I进入轨道II需要点点火使其减速才能完成，故D错误。 故选A。 变式2（2025·北京市北京大学附属中学·三模）第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即，其中为中心天体的质量，为其半径。这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，中心天体越大，越小，其逃逸速度也就越大。宇宙中存在这种天体，以的速度传播的光都不能逃逸。即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它，这种天体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为的黑洞，它附近有一颗恒星S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图）。若S2在近星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为，在远星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为。S2的椭圆轨道面积为，运动周期为，引力常量为。不计其他天体的影响，以下说法错误的是（　　） A. 在近星点和远星点的速度满足 B. S2在近星点的线速度大小也可以表示为 C. S2在点和点的加速度大小之比为 D. 中心天体黑洞的半径至多为 【答案】B 【解析】A．根据开普勒第二定律可知在近星点的速度大于远星点的速度，即，故A正确； B．根据开普勒第二定律 可得，故B错误； C．根据牛顿第二定律 可得 则S2在点和点的加速度大小之比为，故C正确； D．因为光都不能逃逸，根据逃逸速度公式 当时，可得 解得 所以中心天体黑洞的半径至多为，故D正确。 本题选说法错误项，故选B。 变式3（2025·辽宁省辽西重点高中·二模）（多选）2024年8月22日，中星4A卫星顺利进入预定轨道，如图所示为质量为的中星4A卫星发射变轨过程的简化示意图，其中轨道Ⅰ为近地圆形轨道，轨道Ⅲ为距离地面高度为6R的圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅱ与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ分别相切于P点和Q点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响。若取无穷远处引力势能为零，质量为m的物体在距离地球球心为r时的引力势能（M为地球的质量），下列说法正确的是（　　） A. 中星4A卫星在轨道Ⅱ上经过P点的速度大于经过Q点的速度 B. 中星4A卫星在轨道Ⅲ上的动能为 C. 中星4A卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了 D. 中星4A卫星在轨道Ⅱ上运行的周期是在轨道Ⅲ上运行的周期的 【答案】ABC 【解析】A．根据开普勒第二定律可知，卫星在近地点（P点）的速度大于在远地点（Q点）的速度，故A正确； B．在地球表面放一质量为m的物体，有 卫星在轨道Ⅲ上，有 故动能 故B正确； C．卫星在轨道Ⅲ上机械能 同理，在轨道Ⅰ上，有 动能 机械能 卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了 故C正确； D．轨道Ⅱ的半长轴 由开普勒第三定律有 解得 故D错误。 故选ABC。 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $