专题09 带电粒子在磁场及复合场中的运动（培优讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习高效培优系列

专题09 带电粒子在磁场及复合场中的运动 目录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动 【考点02】带电粒子在连续场中的运动 【考点03】带电粒子在叠加场中的运动 【考点04】洛伦兹力与高科技 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动 【题型02】先电场后磁场 【题型03】先磁场后电场 【题型04】高科技问题 【题型05】叠加场中的运动 【题型06】不共面的运动 核心考向聚焦 主战场转移：带电粒子仅在洛伦兹力作用下的残缺圆问题；连续场问题；叠加场问题问题。 核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决复杂运动及临界极值问题的科学推理与实践能力。 关键能力与思维瓶颈 关键能力：圆周运动分析能力：找圆心，构建三角形，找角度。类平抛、类斜抛运动分析能力：利用运动的合成与分解。临界极值判断力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准分析极值条件。 培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于： 面对新情境时，无法快速、准确地将实际问题进行转化。不能构建合适的三角形。不能及时应用运动的合成与分解解决问题。临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析不清 。 命题前瞻与备考策略 预测：2026年高考中，带电粒子的运动情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化高端思维训练，提升创新题型解答能力，规范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。 ◇考点 01 带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动 一、对洛伦兹力的理解和应用 1．洛伦兹力的大小 (1)v∥B时，F＝0； (2)v⊥B时，F＝qvB； (3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ. 2．洛伦兹力的方向 (1)判定方法：左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v不一定垂直) 3．洛伦兹力与静电力的比较 洛伦兹力 静电力 产生条件 v≠0且v不与B平行 (说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用) 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 力方向与场方向的关系 F⊥B(且F⊥v) F∥E 做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功 二、洛伦兹力作用下带电体的运动 带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随着变化(若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化)，最后若弹力减小到0，带电体离开接触面． 三、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动． 2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动． (1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝. (2)轨迹半径：r＝. (3)周期：T＝＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关． (4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T. (5)动能：Ek＝mv2＝＝. 3．当带电粒子的速度v与B的夹角为锐角时，带电粒子的运动轨迹为螺旋线． 四、动态圆 题型一　“平移圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 题型二　“旋转圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 题型三　“放缩圆”模型 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 题型四　“磁聚焦”与“磁发散”模型 1．带电粒子的会聚 如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点． 2．带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)． ◇考点 02 带电粒子在连续场中的运动 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现． 2．分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图． (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理． 3．常见粒子的运动及解题方法 4．解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的速度大小及方向 选规律 联立不同阶段的方程求解 ◇考点 03 带电粒子在叠加场中的运动 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存． 2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆 周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 ◇考点 04 洛伦兹力与高科技 一、质谱仪 1．作用 测量带电粒子质量和分离同位素． 2．原理(如图所示) (1)加速电场：qU＝mv2； (2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r； 由以上式子可得r＝，m＝，＝. 二、回旋加速器 1．构造 如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源． 2．原理 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙就被加速一次． 3．最大动能 由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关． 4．总时间 粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.(忽略粒子在狭缝中运动的时间) 三、速度选择器 1.平行板间电场强度E和磁感应强度B互相垂直．(如图) 2.带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是洛伦兹力与静电力平衡 qvB＝qE，即v＝. 3.速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量． 4.速度选择器具有单向性． 四、磁流体发电机 1.原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能． 2.电源正、负极判断：根据左手定则可判断出正离子偏向B板，图中的B板是发电机的正极． 3.发电机的电动势：当发电机外电路断路时，正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U，则q＝qvB，得U＝Bdv，则E＝U＝Bdv. 当发电机接入电路时，遵从闭合电路欧姆定律． 五、电磁流量计 1.流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积． 2.导电液体的流速(v)的计算： 如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．导电液体中的正、负离子在洛伦兹力作用下发生偏转，a处积累正电荷，b处积累负电荷，使a、b间出现电势差，φa>φb.当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝. 3.流量的表达式：Q＝Sv＝·＝. 4.电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb. 六、霍尔效应的原理和分析 1.定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压． 2.电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低． 3.霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U＝＝k，k＝称为霍尔系数． ◇题型 01 带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025·四川省成都市·二诊）（多选）如图所示，等腰直角三角形内有一垂直纸面向里的匀强磁场（边界无磁场），边长为，磁场磁感应强度大小为B。ab边中点的粒子源垂直以不同速率向磁场内发射带负电的粒子，粒子质量为，电荷量为，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A. 粒子可能从点飞出磁场 B. 粒子可能从点飞出磁场 C. 能从边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 D. 能从边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为 【答案】AC 【解析】粒子可能的轨迹如图所示 A．如图所示，若粒子沿轨迹1运动，由几何关系可知，此时的半径为 故A正确； B．与边相切的粒子，轨迹如2，由几何关系可知，半径为 由几何关系可知，切点到的距离也为 所以切点在点上侧，故粒子不可能过点，故B错误； CD．当粒子与边相切出磁场时，粒子的速度最小，运动时间最长，轨迹如2，由几何关系可知，此时的圆心角为 根据牛顿第二定律可知 解得 周期为 运动的时间为 故C正确，D错误。 故选AC。 典例2（2025·湖南省长沙市南雅中学·三模）（多选）如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N为圆形区域水平直径的两个端点。大量质量均为m、电荷量为q的带正电粒子，以相同的速率从P点向纸面内的各个方向射入磁场区域。粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是（　　） A. 若粒子射入磁场的速率为，则粒子均沿竖直方向射出磁场 B. 若粒子射入磁场的速率为，则粒子最远可以从M点射出磁场 C. 若粒子射入磁场的速率为，则粒子在磁场中运动的时间可能为 D. 若粒子射入磁场的速率为，则可能有粒子从N点射出磁场 【答案】BD 【解析】A．根据洛伦兹力提供向心力 若粒子射入磁场的速率为，则带电粒子在磁场中的轨迹半径，根据磁扩散模型可知带电子均沿水平方向射出磁场，故A错误； B．若粒子射入磁场的速率为，则带电粒子在磁场中的轨迹半径，当粒子在磁场中运动半个周期时，刚好可以从M点射出磁场，故B正确； C．若粒子射入磁场的速率为，则粒子在磁场中运动的轨迹半径，当粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场圆直径为弦，则粒子的运动轨迹如图所示 此轨迹在磁场中的偏转角为θ，根据几何关系可知 所以 粒子在磁场中运动的最长时间 故粒子在磁场中的时间不可能为，故C错误； D．当入射速度的方向合适时，是可以确定从N点射出的粒子圆周运动的圆心，如图所示 作的中垂线，以P或N点为圆心以为半径画圆弧交中垂线于O，O点即为能通过N点轨迹的圆心，故D正确。 故选BD。 方｜法｜提｜练 1、 找圆心，构建三角形，找圆心角或者弦切角。 2、关注各种动态圆模型。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·云南省怒江州民族中学·三模）如图所示，空间存在三个完全相同的长方体通道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，三个通道的正视图为边长为a的正方形，通道的长度足够长，通道Ⅰ存在竖直向上的磁感应强度大小为B的匀强磁场，通道Ⅱ为无场区，通道Ⅲ中存在竖直向下的匀强磁场.第一次，比荷为k的正粒子由左侧面1上的О点以与侧面1成α=60°的夹角沿水平方向以速度（未知）射入区域I，该粒子刚好没有通过竖直面2；第二次，仅改变粒子的速度大小，粒子在通道Ⅰ中的运动时间为第一次的，最终粒子刚好不从竖直面4射出，忽略粒子的重力.求： （1）第一次，粒子的速度； （2）第二次，粒子射入通道的速度； （3）通道Ⅲ中磁感应强度的大小B′以及第二次粒子在通道中运动的总时间。 【答案】（1） （2） （3）2B， 【解析】 【小问1详解】 作出粒子第一次在通道I中的运动轨迹，如图甲所示 设粒子的轨道半径为R，由几何关系得 解得 带电粒子在通道Ⅰ中运动时，洛伦兹力提供问心力，则 解得 【小问2详解】 由几何关系可知，粒子第一次在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为 由题意第二次粒子在通道Ⅰ中的运动时间为第一次的，则第二次粒子的轨迹所对应的圆心角为=30°，作出粒子第二次射入磁场的运动轨迹，如图乙所示 显然粒子垂直竖直面2进入通道Ⅱ，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得 由牛顿第二定律得 则有 解得 【小问3详解】 粒子在通道Ⅰ中运动时，粒子的运动周期为 整理得 则粒子在通道Ⅰ中的运动时间为 解得 粒子在通道Ⅱ中，由竖直面2到竖直面3的运动时间为 解得 粒子在通道Ⅲ中运动时刚好不从竖直面4射出，则粒子的轨迹与竖直面4相切，由几何关系可知，粒子在通道Ⅲ中的轨道半径为 由牛顿第二定律得 解得 B′=2B 粒子在通道Ⅲ中的运动周期为 粒子在通道Ⅲ中的运动时间为 解得 由对称性可知，粒子由竖直面3回到竖直面2的时间仍为 粒子由竖直面2再次通过通道Ⅰ的时间仍为 则粒子在通道中运动的总时间为 解得 变式2（2025·河南省洛阳市·三模）如图甲所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于xOy平面的磁场（图中未画出），规定垂直于xOy平面向外为磁感应强度正方向，该区域内磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；第二象限内（含x轴负半轴）存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子由A点（−L，0）沿x轴正方向以大小为v0的速度射入电场，在t=0时刻，粒子经y轴上的P点与y轴正方向成θ=30°角射入第一象限，忽略粒子重力。求： （1）电场强度的大小； （2）在至时间内，粒子运动轨迹的半径； （3）在时刻，粒子位置坐标。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 粒子在第二象限做类平抛运动，设粒子由A至P历时t0，则 粒子在P点沿y轴正方向的分速度大小 沿y轴正方向上，由动量定理有 解得 【小问2详解】 设粒子在P点的速度大小为v，则 设粒子在此阶段运动轨迹的半径为r2，由洛伦兹力提供向心力有 解得 【小问3详解】 粒子运动轨迹如图所示，设粒子刚进入第一象限时运动轨迹的半径为r1，由洛伦兹力提供向心力有， 解得， 由轨迹的对称性可知四边形PQMN为矩形，设PN的长度为s，则 设P点的纵坐标为yP，则 则N点的纵坐标为 则N点的横坐标为 设时刻粒子位于K点，则K点的纵坐标 K点的横坐标 故在时刻，粒子的位置坐标为 变式3（2025·湖北省黄石市第二中学·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy内，过原点的直线l与+x轴的夹角为φ=37°，将y轴右侧分成上下两个区域Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ区（含+y轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。Ⅱ区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为m、电量为+q的带电粒子P从O点沿+y方向以初速度v0射出，带电粒子重力不计。（sin37º=0.6，cos37º=0.8） （1）若Ⅱ区磁场方向垂直纸面向里，欲使粒子P不能到达x轴，求Ⅱ区磁场的磁感应强度B′应满足的条件； （2）将Ⅱ区磁场调成与Ⅰ区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P仍从O点沿+y方向以初速度v0射出，运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数k，未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P速度第一次沿－y方向的位置在直线l上。求比例系数k的大小及粒子最终停止的位置坐标。 【答案】（1） （2）； 【解析】 【小问1详解】 若Ⅱ区磁场方向垂直纸面向里，设粒子在Ⅰ区、Ⅱ区中的半径分别为R1，R2 在Ⅰ区 在Ⅱ区 当粒子进入Ⅱ区后恰能达x轴，临届轨迹与x轴相切，轨迹如图所示 由几何关系得 联立得 结合φ=37°可求得 Ⅱ区磁场的磁感应强度B′应满足的条件； 【小问2详解】 设某时刻粒子沿两轴的速度分量分别为vx和vy，如图所示 设P速度第一次沿－y方向的位置在直线l上的M（x0，y0），最终停止在N（x1，y1） 粒子从O到M，由x方向的动量定理得 即 M（x0，y0）在直线l上，则有 故有 粒子达N（x1，y1），，粒子从O到N，由x方向的动量定理得 即 由y方向的动量定理得 即 联立解得 则粒子P最终停止的位置坐标 ◇题型 02 先电场后磁场 典｜例｜精｜析 典例1（2025·云南省怒江州民族中学·二模）如图所示，水平面内存在一坐标系，在y轴左侧存在一水平向左的匀强电场，电场强度大小为E，在y轴右侧、x轴上方和下方分别存在方向垂直于纸面向里和向外的匀强磁场。磁感应强度大小分别为和。在坐标（处有一粒子源S能释放初速度为零。质量为m、电荷量大小为q带负电的粒子，经过电场和磁场作用后第一次从x轴上点进入x轴下方的磁场，在x轴下方运动过程中轨迹恰好与y轴的负半轴相切。（不计粒子所受重力）求： （1）粒子在电场中的运动时间； （2） 。 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 作出粒子运动的轨迹如图所示 设粒子在电场中运动的时间为，由运动学规律得 由牛顿第二定律得 联立解得 【小问2详解】 在直角三角形中，由几何关系可得 解得 在Ⅰ象限中，由磁场力提供向心力，由牛顿第二定律可得 解得 在直角三角形中，由几何关系可得 解得 在象限中，由几何关系可知， 解得 由磁场力提供向心力，由牛顿第二定律可得 解得 联立解得 典例2（2025年湖南卷第14题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 （1）求粒子所带电荷量q； （2）求磁感应强度B的大小； （3）若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有 竖直方向做匀变速直线运动， 由闭合回路欧姆定律可得 联立可得 【小问2详解】 粒子进入磁场与竖直方向的夹角为， 粒子在磁场中做匀速圆周运动 由几何关系易得 联立可得 【小问3详解】 取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有 解得 粒子以速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为 此时合速度与竖直方向的夹角为 合速度为 粒子做圆周运动的半径 最远距离为 方｜法｜提｜练 1、般为匀强电场，故在静电场中一般做直线运动或者类平抛、类斜抛运动。 2、匀强磁场中一般为残缺圆。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·甘肃省白银市第八中学·三模）如图所示，在一半径为的圆形区域内存在以该圆圆心为中心、辐射向外的电场，该电场的场强满足（其中为已知常量、为圆形区域内某点到圆心的距离）。在的环形区域内有一垂直于纸面的磁场，磁感应强度满足（其中为未知常量、为环形区域内某点到圆心的距离）。圆心处有一粒子源不断地射出质量为、电荷量为（）的带电粒子，粒子的初速度可视为零。不计粒子间的相互作用及粒子的重力。 （1）求圆心与电场与磁场的交界处的电势差； （2）求粒子运动到电场与磁场的交界处的速度大小； （3）为使所有粒子在第一次经过磁场的过程中均不能从环形区域的外边界射出，求至少为多大。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解法一：粒子从至很小处的电势差为 由于很小， 圆心与电场与磁场的交界处的电势差为 解法二：如图所示，作出场强随粒子向外运动的位移的变化图像，图像与横轴围成的面积可表示电势差 故电势差 小问2详解】 带电粒子在电场中加速，根据动能定理，有 解得 【小问3详解】 为使所有粒子在第一次经过磁场的过程中均不能从环形区域的外边界射出，而洛伦兹力不做功，故临界状态为粒子的轨迹与外边界相切，垂直半径方向，对粒子根据动量定理，有 而 垂直半径方向洛伦兹力的冲量累加为 动量变化为 解得 变式2（2024年广东卷第15题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为、周期为的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在时刻从左侧电场某处由静止释放，在时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在时刻的速度大小v； （3）求从时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 【答案】（1）正电；；（2）；；（3） 【解析】（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为 根据 则粒子所带的电荷量 （2）若金属板的板间距离为D，则板长粒子在板间运动时 出电场时竖直速度为零，则竖直方向 在磁场中时 其中的 联立解得 （3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离 则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4 t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6 t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5 t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则 变式3（2025·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学·三模）如图甲所示，长为a的平行板M、N分别位于第一、第二象限内，与坐标平面垂直并与y轴平行，两板到y轴的距离相等，两板的下端均在x轴上，两板上所加的电压随时间变化的规律如图乙所示（图乙中均已知），在第三、四象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。在y轴上的P点沿y轴负方向均匀地射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，每个粒子均能进入磁场且从P点射出到进入磁场所用的时间均为，从时刻射出的粒子刚好从N板下边缘进入磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，磁场的磁感应强度大小为，求： （1）M、N板间的距离为多少； （2）能再次进入两板间的粒子数占总粒子数的比例为多少； （3）若将M、N极板上段截去一部分，使所有粒子从P点射出后经电场、磁场偏转后均不能再进入电场，则截去部分的长度至少为多少。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设两板间的距离为，从时刻射出的粒子刚好从板的边缘飞出，则 解得 （2）由于所有粒子穿过电场的时间均为，所以所有粒子在电场中运动时沿平行轴方向的速度变化量为零，即所有粒子进磁场时，速度大小均为 方向垂直于轴向下；粒子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律 解得 所有粒子在磁场中均做半径为的半圆周运动，则 在第一个周期内，设在时刻射入的粒子在离板处进入磁场并恰好从板处进入磁场。则 解得 根据对称性得，能再次进入两板间的粒子数占总粒子数的比例为 （3）截去一段后，设粒子进磁场时的速度为，速度与轴负方向的夹角为，则 粒子在磁场中做圆周运动的半径 粒子进磁场和出磁场位置间的距离 截去一段后，若从时刻进入电场的粒子发生的侧移为，则所有粒子均不能再进入电场。则 解得 则截去的板长 ◇题型 03 先磁场后电场 典｜例｜精｜析 典例1（2025·湖南省长沙麓山国际实验学校·二模）（多选）如图所示，平面直角坐标系内有过原点和轴上点的圆形虚线边界，其直径为，边界内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为．第四象限存在沿轴负方向的匀强电场，虚线半圆弧的半径为，直径与圆心在轴上，两点之间的距离也为，一质量为的带正电粒子（不计重力），从点以沿着轴负方向的速度射入磁场，其圆弧轨迹的圆心在点，粒子从点射出磁场后立即进入电场，最后运动到半圆弧上的点，已知，下列说法正确的是（　　） A. 粒子在磁场中圆周运动的轨迹半径为 B. 粒子的带电荷量为 C. 匀强电场的电场强度为 D. 若粒子离开点运动到虚线半圆弧的顶点，则粒子从到的运动时间为 【答案】BD 【解析】AB．画粒子由点到点的运动轨迹如图甲所示，依题意有，是圆弧轨迹的半径，粒子在点的速度与轴平行，与半径垂直，则与轴垂直，则有是等腰直角三角形，由圆的几何知识可知是圆形边界的直径，设粒子的轨迹半径为，则有 又 综合解得 选项A错误，B正确； C．分析可知，粒子在磁场中偏转了，粒子在点的速度沿轴的正方向，与匀强电场垂直，则粒子从到做类平抛运动，沿轴方向的分位移为 沿轴方向的分位移为 设匀强电场的电场强度为，由类平抛运动的规律可得 综合解得 选项C错误； D．画粒子由点到点的运动轨迹如图乙所示，由题意知，粒子从到做类平抛运动，由几何关系可得沿轴方向的分位移为 沿轴方向的分位移为 设此时匀强电场的电场强度为，由类平抛运动的规律可得 综合解得 粒子从到的运动时间为 粒子从到的运动时间为 综合可得 选项D正确。 故选BD。 典例2（2025年河北卷第10题）（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A. 粒子一定带正电 B. 若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C. 粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D. 粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【答案】BCD 【解析】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A错误； B．随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足， 解得 即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B正确； C．因粒子发射方向与OP夹角为60°时恰能垂直穿过M板Q点的小孔，则由几何关系 解得r=2L 可得 可得粒子从磁场上方，直接打在打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 当N极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q点射入极板，会返回再从在Q点射出，后继续做圆周运动，这时打M板在板上表面的位置 则粒子打在M板上表面的位置的最大距离为，选项C正确； D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为α=30°，则在两板间运动时间 其中 打到M板下表面距离Q点的最小距离 解得 选项D正确。 故选BCD。 方｜法｜提｜练 1、般为匀强电场，故在静电场中一般做直线运动或者类平抛、类斜抛运动。 2、匀强磁场中一般为残缺圆。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·福建省福州第一中学·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，在半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场Ⅰ，圆与x轴相切于P点。在抛物线与y轴之间有沿轴负方向的匀强电场。在第一、四象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度也为B的范围足够大的匀强磁场Ⅱ。在第一象限内y=R处有一平行于x轴的足够大的荧光屏。在P点持续发射出大量同种带正电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与x轴正方向夹角分布在0~180°范围内。其中沿与x轴负方向成角方向射出的粒子在磁场Ⅰ中偏转后沿x轴正方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点O射入磁场Ⅱ中，经磁场Ⅱ偏转后打在荧光屏上。已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 （1）求粒子从P点射出的初速度大小； （2）求匀强电场的电场强度大小； （3）求粒子打在荧光屏上形成亮线的长度。 【答案】（1）） （2） （3）（1+）R 【解析】 【小问1详解】 因粒子磁场Ⅰ中偏转后沿轴正方向射出，则在磁场中做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律有 解得 【小问2详解】 粒子在电场中做类平抛运动，对于能过坐标原点O的粒子，，， 解得 【小问3详解】 改变粒子从点射入磁场Ⅰ的方向，粒子仍能以沿轴正方向射入电场，且由（2）分析可知粒子仍能通过点，设粒子进入磁场Ⅱ时速度与轴正方向的夹角为，则 设粒子在磁场Ⅱ的半径为，根据牛顿第二定律有 粒子轨迹的圆心离轴的距离为 得R 则所有在磁场Ⅱ中的粒子都恰好能垂直打在荧光屏上； 在P点沿x轴正方向入射的粒子打在荧光屏上时离y轴最近=R 在P点沿x轴负方向入射的粒子打在荧光屏上时离y轴最远，设该粒子磁场Ⅱ时速度与轴正方向的夹角为，由类平抛的规律可得tan=2，R， + 得=(2+）R 则光屏上亮线的长度d==(1+）R 变式2（2025·安徽省江南十校·一模）如图所示，在xOy直角坐标系内，与x轴相切的半径为的圆形区域内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，圆形区域外的第一象限内分布有沿 x轴正方向的匀强电场，电场强度。在坐标原点O处有一离子源，可向 x轴上方各个方向发射速度大小的负离子，离子比荷，不计离子重力。求： （1）沿y轴正方向发射的离子第一次在磁场中的运动时间； （2）沿与x轴正方向成45°角发射的离子，第三次经过y轴的位置坐标； （3）若将电场区和磁场区重叠，且电场和磁场的范围均扩大到足够大，沿y轴正方向发射的离子在运动过程中，运动轨迹的x坐标与其运动时间t的关系式。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 解得 周期为 沿y轴正方向发射的离子在磁场中的运动轨迹如下 可知离子偏转90°，在磁场中的运动时间为 （2）沿与x轴正方向成45°角发射的离子从O点进入磁场，偏转45°后从A点射出磁场，在电场中做往复的直线运动，回到射出点A时速度大小相等，方向相反，进入磁场后偏转135°后从磁场射出，进入电场后做类斜抛运动。运动轨迹如下 离子在电场中运动的加速度为 离子第二次从y轴上处离开磁场时，速度方向与y轴正方向夹角45°，第二次在电场中运动的时间为 离子第二次在电场中沿y轴正方向运动的位移为 故离子第三次经过y轴的位置为 离子第三次经过y轴的位置坐标为。 （3）将速度v分解为沿y轴正向的速度和沿y轴正向的速度 由于，所以方向做匀速直线运动；方向受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，则有 解得 角速度 运动轨迹的x坐标与其运动时间t的关系式为 变式3（2025年黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古卷第15题）如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 （1）求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 （2）若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小。 （3）在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间速度方向首次与N点速度方向相反，求（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势）。 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 作出正电荷在磁场中运动的轨迹，如图所示 由几何关系可知，正电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力 解得正电荷的入射速度大小为 正电荷在磁场中运动的周期为 所以正电荷从M运动到N的时间为 【小问2详解】 由题意可知，在平面内的负电荷在圆心O处，由牛顿第二定律可知，其中 解得或（舍去） 【小问3详解】 在（2）的条件下，正电荷从N点离开磁场后绕负电荷做椭圆运动，如图所示 由能量守恒定律得 由开普勒第二定律可知 其中 联立解得 由牛顿第二定律 解得 故正电荷从点离开磁场后到首次速度变为与点的射出速度相反的时间为 ◇题型 04 高科技问题 典｜例｜精｜析 典例1（2025·云南省丽江市第一高级中学·一模）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。 （2）求O点到P点的距离。 （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场电场强度大小变为（略大于），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的点上。求粒子打在点的速度大小。 【答案】（1）带正电，；（2）；（3） 【解析】（1）由于粒子向上偏转，根据左手定则可知粒子带正电；设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入速度选择器时的速度为，在速度选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件 在加速电场中，由动能定理 联立解得，粒子的比荷为 （2）由洛伦兹力提供向心力 可得O点到P点的距离为 （3）粒子进入Ⅱ瞬间，粒子受到向上洛伦兹力 向下的电场力 由于，且 所以通过配速法，如图所示 在O点将粒子的速度v分解为大小为v1、v2的两个分速度，则有 令v1对应的洛伦兹力等于电场力，即 可得 则粒子的运动可分解为线速度大小为v2的匀速圆周运动和速度大小为v1的匀速直线运动，设粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的点时的速度大小为，则有 典例2（2024·北京市北京师范大学第二附属中学·第二次统练）回旋加速器由两个铝制的D形盒组成，两个D形盒中间开有一条狭缝。D形盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压。下图为俯视图，在D形盒上半面中心S处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D形盒中。在磁场力的作用下运动半周，再经狭缝电压加速。如此周而复始，最后到达D形盒的边缘，获得最大速度，由导出装置导出。现欲使该离子加速后获得的最大动能变成原来的2倍，理论上可采用的办法有（不考虑相对论效应）（　　） A. 只将交变电源的最大电压变为原来的2倍 B. 只将交变电源的频率变为原来的2倍 C. 只将磁感应强度变为原来的倍 D. 只将D形盒的半径变为原来的倍 【答案】D 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，则 解得 当 时，速度有最大值，此时动能最大，最大动能的决定式为 B．又交变电源的频率与粒子做匀速圆周运动的频率相同，为 故 故要使该离子加速后获得的最大动能变成原来的2倍，只将交变电源的频率变为原来的2倍不能实现，故B错误； CD．故要使该离子加速后获得的最大动能变成原来的2倍，理论上可采用的办法有将D形盒的半径变为原来的倍，因为交变电源的频率与磁场强度大小同比例变化，故只将磁感应强度变为原来的倍不能实现，故C错误，D正确； A．根据动能定理 若只将交变电源的最大电压变为原来的2倍，则加速次数减半 不变，故A错误。 故选D 方｜法｜提｜练 有连续场，也有叠加场。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·北京市第一零一中学·三模）在霍尔效应中，霍尔电压与通过导体的电流之比被定义为霍尔电阻，可用符号表示，通常情况下，霍尔电阻与外加磁场的磁感应强度成正比。但在超低温、强磁场的极端条件下，某些材料的霍尔电阻却随着强磁场的增加出现量子化现象：h是普朗克常数，e是电子的电量， v既可以取1、2、3…等整数，也可以取某些小于1的分数，这就是量子霍尔效应现象。实验发现，当霍尔电阻处于量子态时，材料中的电子将沿边缘带做定向运动，几乎不受阻力作用。2013年，清华大学薛其坤团队发现，在超低温（0.03K）环境条件下，具备特殊结构的拓补绝缘体材料可以自发地发生磁化，此时不需要外加磁场也会发生量子霍尔效应，这种现象被称为量子反常霍尔效应。结合以上资料，可以判断下列说法正确的是（　　） A. 同欧姆电阻类似，霍尔电阻越大，表明材料对通过它的电流的阻碍越强 B. 要发生量子霍尔效应现象，外部环境条件有两个，一是要具备超低温环境，二是要具备超强的磁场 C. 具备量子反常霍尔效应的磁性拓补绝缘材料已成为新一代低能耗芯片的制造材料 D. 霍尔电阻的量子态表达式中的常数组合 与欧姆电阻具有相同的单位 【答案】D 【解析】A．设半导体的与电流垂直方向长为a，宽为b，处于磁感应强度为B的磁场中，电子定向运动的速率为v，则半导体两端的霍尔电压为 根据霍尔电阻定义有 则霍尔电阻不能反映对电流的阻碍作用，故A错误； B．由题意可知，在超低温、强磁场的极端条件下，某些材料的霍尔电阻却随着强磁场的增加出现量子化现象，并不是所有的材料都会发生，故B错误； C．具备量子反常霍尔效应的磁性拓补绝缘材料，有望成为新一代低能耗芯片的制造材料，故C错误； D．根据功率的表达式，，结合牛顿第二定律，整理得 则欧姆电阻的基本单位表示为； 根据能量子表达式，功的表达式，牛顿第二定律，结合电流的定义式，整理得 则常数组合的基本单位表示为，故D正确。 故选D。 变式2（2025·四川省成都市新津中学·一模）（多选）如图所示为一种质谱仪的示意图，该质谱仪由速度选择器、静电分析器和磁分析器组成。若速度选择器中电场强度大小为E1，磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向里。静电分析器通道中心线为圆弧，圆弧的半径（OP）为R，通道内有均匀辐射的电场，在中心线处的电场强度大小为E．磁分析器中有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带电粒子以速度v沿直线经过速度选择器后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A. 粒子一定带负电 B. 极板P1的电势比极板P2的电势高 C. 粒子的速度 D. 粒子的比荷为 【答案】BD 【解析】AB．粒子在静电分析器内沿中心线方向运动，说明粒子带正电荷，在速度选择器中由左手定则可判断出粒子受到的洛伦兹力向上，粒子受到的电场力向下，故速度选择器的极板的电势比极板的高，故A错误，B正确； C．粒子在速度选择器中满足 可知粒子的速度 故C错误； D．由上述分析以及 可得粒子的比荷为 故D正确。 故选BD。 变式3（2025·北京市大兴精华学校·三模）电磁流量计广泛应用于测量可导电液体（如污水）在管中的流量（单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的、、，流量计的两端与输送流体的管道相连接（图中虚线）。图中流量计的上、下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串联了电阻的电流表的电路连接，表示测得的电流值，已知流体的电阻率为，不计电流表的内阻，则（　　） A. 流量为 B. 流量为 C. 若污水浓度变大，则流体的电阻率变大 D. 若流体的电阻率变小，则上下两板间电势差将变大 【答案】D 【解析】AB．当洛伦兹力与电场力平衡时，则处于稳定状态，则有 解得 根据电阻定律 则总电阻R总=r+R 所以解得 所以流量，故AB错误； CD．若污水浓度变大，液体导电性能增加，流体的电阻率变小，因上下极板的电动势U=cBv一定，则此时回路电流变大，上下极板的电势差，则上下两板间电势差将变大，故C错误，D正确。 故选D。 ◇题型 05 叠加场中的运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025·广东省深圳市龙岗区华中师范大学附属中学·三模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴负方向的匀强电场（大小未知）和方向垂直坐标平面向里的匀强磁场（图中未画出），第四象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从P点以大小的速度沿PO方向做直线运动，通过O点第一次通过x轴后在第四象限内做匀速圆周运动，恰好通过Q点（第二次通过x轴）。已知P、Q的坐标分别为和，重力加速度大小为g，求： （1）第二象限内，匀强电场的电场强度大小； （2）小球从P点运动到Q点的时间t； （3）小球第五次通过x轴时的横坐标。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题知，P点坐标为，设PO与x轴负方向夹角为，则有 解得 小球沿PO方向做直线运动，则必为匀速直线运动，故受力平衡，小球受向下的重力，水平向左的电场力和垂直于PO斜向右上方的洛伦兹力，如图 根据受力分析，可得 解得 【小问2详解】 小球进入第四象限后运动轨迹如图 根据几何关系可得小球从P到O的时间 小球进入第四象限后做匀速圆周运动，根据几何关系可得 周期 则在磁场中运动的时间为 所以小球从P点运动到Q点的时间 【小问3详解】 小球射入第一象限时速度与x轴正向成30°，做斜抛运动，第三次通过x轴时间为 水平方向运动位移为 则小球第五次通过x轴时的横坐标 典例2（2025·宁夏回族自治区吴忠市盐池县·一模）如图甲所示，一个倾角为θ=30°斜面体固定于水平面上，该斜面体的上表面abcd采用了一种全新的复合型材料，使其呈现出平行于ab方向光滑、平行于ad方向粗糙且动摩擦因数恒定的物理特性。沿ad方向存在着变化的磁场，B-t图像如图乙所示。t=0时有一带电小物块从a点以v0沿ab方向冲上斜面，若t=8s时物块通过点且速度恰好仍为v0。已知物块质量m=0.3kg，电荷量q=+1C，速度，t=8s时的磁感应强度Bm=0.5T，重力加速度g=10m/s2，小物块可当做质点，则（　　） A. 小物块做类平抛运动 B. 斜面平行于ad方向的动摩擦因数 C. t=8s时的加速度大小为5m/s2 D. 整个过程中小物块的速度最大值为 【答案】B 【解析】A．受力分析可得沿ad方向合力为 由于B随时间均匀增大，且 可知物块沿ad方向的加速度先减小后增大，沿ad方向的a-t图像如图 物块做的不是类平抛运动，故A错误； B．由对称性可知，t=4s时加速度为零，对该时刻受力分析，有 代入数据可得，故B正确； C．t=0时刻与t=8s时刻物块加速度大小相等、方向相反，上述两时刻的加速度大小为，故C错误； D．分析可知物块沿ad方向先做加速度减小的加速，后做加速度增大的减速，加速度均匀变化，在t4=4s时刻ad方向有最大速度 此时小物块的最大速度为 联立解得速度的最大值为，故D错误。 故选B。 方｜法｜提｜练 匀速圆周运动，恒力必须抵消。 无约束的圆周运动必为匀速圆周运动。 有约束的圆周运动可能是匀速圆周运动，也可能是变速圆周运动。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·湖北省武汉二中·一模）如图所示，水平虚线MN的下方存在竖直向上、电场强度为（大小未知）的匀强电场，上方有一圆心为O、半径为R的半圆形区域，该区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场和水平方向、电场强度为（大小未知）的匀强电场，O点正下方的S处有一粒子源，能向外释放初速度为零的带正电粒子，粒子经过O点进入半圆形区域，并沿竖直半径方向做直线运动。已知粒子在半圆形区域内运动的时间为，粒子的重力忽略不计。 （1）求电场强度的大小和方向； （2）若仅将半圆形区域内的磁场撤去，粒子仍从S处静止释放，结果粒子在半圆形区域内运动的时间变为，求粒子的比荷以及S、O之间的电势差； （3）若将半圆形区域内的匀强电场撤去，且将虚线下方的电场强度增大到原来的16倍，粒子仍从S处静止释放，求粒子在半圆形区域内运动的时间． 【答案】（1）；方向水平向右；（2）；；（3） 【解析】（1）设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入半圆形区域时的速度大小为v。根据左手定则可知，粒子所受的洛伦兹力水平向左，沿竖直半径方向做匀速直线运动，说明粒子在该区域内受力平衡，因此电场力方向水平向右，即电场强度的方向水平向右。电场力与洛伦兹力平衡，有 又 解得 （2）若仅将半圆形区域内的磁场撤去，粒子在匀强电场中做类平抛运动，粒子的轨迹如下图所示。粒子在半圆形区域内竖直方向做匀速直线运动，当运动的时间变为时，在竖直方向上的位移大小为 粒子在水平方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 粒子合位移大小为R，由几何关系可得在水平方向上的位移大小为 解得粒子的比荷为 粒子由S点到O点的过程中，由动能定理可得 联立解得 （3）若将半圆形区域内的匀强电场撤去，且将虚线下侧的电场强度增大到原来的16倍，由电场强度与电势差的关系公式可得 可知，SO两点之间的电势差增大到原来的16倍，由动能定理得 粒子在半圆形区域内的匀强磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，根据牛顿第二定律有 联立解得 作出粒子在该区域的运动轨迹，如下图所示，粒子从半圆弧上的Q点离开磁场区域。由几何关系可得 解得 粒子在磁场中的运动时间为 联立解得 变式2（2025·四川省成都市新津中学·一模）如图所示，一倾角为37°的固定斜面中间区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的边界（图中虚线）与斜面垂直，磁感应强度。斜面上静止放置一质量为的绝缘长木板B，其最右端P带负电（可视为将一点电荷固定于P点），电荷量，P距磁场左边界的距离为L，一质量为可视为质点的物块A从长木板最左端以沿斜面向下的初速度滑上长木板，物块与长木板之间的摩擦因数为。长木板最右端P进入磁场后立即开始匀速运动，当其最右端P离开磁场时，物块正好进入磁场，一段时间后物块离开磁场时恰好与长木板第一次共速，此后两物体一起以3m/s的速度匀速运动。重力加速度g取。求： （1）长木板与斜面间的摩擦因数； （2）长木板最右端P刚进入磁场时的速度以及初始时长木板最右端离磁场左边界的距离L； （3）物块A的初速度。 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【小问1详解】 最终整体一起匀速，整体受力平衡 解得 【小问2详解】 设B的右端刚进入磁场时匀速运动速度为，斜面对B的摩擦力为，则， 解得 设B进入磁场之前的加速度为，设此时斜面对B的摩擦力为，则， 解得 由 解得 【小问3详解】 长木板P端在磁场中时匀速运动，P端出磁场后匀加速运动至共速速度，设加速时间，则 物块A一直作匀减速运动，设加速度为，由牛顿第二定律得 解得 由题意得，物块A减速穿越磁场过程所用时间与长木板加速至共速所用时间相等，均为，设小物块刚进入磁场速度为，则 ， 解得 设长木板在磁场中匀速时间，则 解得 长木板由静止加速至进入磁场时间为，则 分析可知长木板由静止加速至进入磁场时间为，长木板再次加速至共速时间为，小物块从开始运动经一直匀减速至共速速度，则 解得 变式3（2025·云南省丽江市第一高级中学·二模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，y轴沿竖直方向。在到之间存在竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，一个带电微粒从坐标原点以一定的初速度沿x轴正方向抛出，进入电场和磁场后恰好在竖直平面内做匀速圆周运动，离开电场和磁场后，带电微粒恰好沿x轴正方向通过x轴上的位置。已知匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g。求： （1）带电微粒比荷k的大小； （2）带电微粒离开电场和磁场后，通过x轴上的位置时的速度的大小。 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 微粒的运动轨迹如图所示 由题意可知微粒在电磁组合场中做匀速圆周运动时竖直方向上受力平衡，即 解得 【小问2详解】 设微粒在电磁复合场中运动的半径为R，速度大小为v，v与竖直方向夹角为，由几何关系知 根据牛顿第二定律得 微粒进入电磁复合场时的竖直分速度大小为 设微粒从原点抛出后经时间t进入电磁复合场，根据平抛运动规律有 ， 联立，解得 根据运动的对称性可得 ◇题型 06 不共面的运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025年陕晋宁青卷第14题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、、均为已知量） （1）电子的比荷; （2）当磁感应强度大小调至时，筒壁上落有电子的区域面积S。 【答案】（1） （2） 【解析】 小问1详解】 当磁场的磁感应强度为时，电子刚好不会落到筒壁上。 则电子以速度垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 【小问2详解】 磁感应强度调整为后，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 由射出到相切，经过半个周期，用时 根据速度的合成与分解可知 平行轴线方向运动距离 结合对称性，被电子击中面积 典例2（2024年湖南卷第14题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为，由电子在x轴方向做匀速直线运动得 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知 可得 且 由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有 联立得 当时，B有最小值，可得 （2）将电子的速度分解，如图所示 有 当有最大值时，最大，R最大，此时，又 ， 联立可得 ， （3）当最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移，根据匀变速直线运动规律有 由牛顿第二定律知 又 联立得 方｜法｜提｜练 要及时利用运动的合成与分解。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·云南省丽江市第一高级中学·三模）如图，M、Q、N为相互平行的竖直平面，间距均为L，在N上建立xOy直角坐标系，x轴水平。处有一粒子源，连线垂直于竖直平面。MQ间区域有沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，QN间区域有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。粒子源发出速率为v的正电粒子，粒子沿方向运动，经磁场偏转通过Q平面时，其速度方向与夹角为，再经电场偏转通过N平面上的P点（图中未标出）。忽略粒子间相互作用及粒子重力，求： （1）粒子电荷量与质量之比； （2）粒子从Q运动到N的时间； （3）P点的坐标（x，y）。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 根据题意可知，粒子在匀强磁场区域做匀速圆周运动，则 根据几何关系可知 联立可得 【小问2详解】 粒子进入匀强电场后，做类平抛运动，则 解得 【小问3详解】 粒子的横坐标为 所以 粒子的纵坐标为 所以 所以P点的坐标为（，）。 变式2（2025·黑龙江省齐齐哈尔市·三模）如图所示，三维坐标系Oxyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与的两个底面平行，其中A点的坐标为，C点的坐标为，正四棱柱空间处于沿y轴方向的匀强电场中，空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为的粒子以速度从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求匀强电场的电场强度； （2）若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小； （3）若粒子最终从JH连线上的一点射出磁场区域，此点到J点的距离为，求I点的y轴坐标。 【答案】（1），沿y轴负方向；（2）；（3） 【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿AD方向有 沿y轴方向有 沿y轴方向的加速度 解得匀强电场的电场强度大小为 方向沿y轴负方向。 （2）粒子到达OPMN的中心，如图甲所示，平行于正四棱柱底面的分速度大小始终为，带电粒子在平行于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好不从四棱柱的侧面飞出，做出圆轨迹如图乙所示 由几何关系可得粒子做圆周运动的半径 由洛伦兹力提供圆周运动的向心力，可得 解得 （3）若带电粒子最终从JH连线上的一点射出，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为 时间对应半个周期的奇数倍，即 如图甲所示，到达截面OPMN中心的带电粒子沿y轴负方向的速度大小 I点的y轴坐标 代入数据可得 变式3（2025·广西南宁市·三模）如图所示，在空间直角坐标系中，无限大平面MNPQ（与y轴垂直且交于C点）左侧区域Ⅰ存在沿x轴正方向的匀强磁场，，右侧区域Ⅱ存在沿z轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；现从坐标为的A点沿yOz平面发射一质量为m，电荷量为的粒子，粒子的初速度大小为、方向与y轴负方向的夹角为60°，经一段时间后粒子恰好垂直于平面MNPQ进入区域Ⅱ，不计粒子的重力，求： （1）磁感应强度B的大小； （2）粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的时间； （3）若在区域Ⅱ加一电场强度为E、方向沿z轴负方向的匀强电场，求粒子从A点出发后第n次经过平面MNPQ时的速度大小。 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 由题意可知， 粒子的轨迹如图所示， 由 可得： 【小问2详解】 粒子以水平速度进入区域Ⅱ，粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的轨迹如图所示，在区域Ⅰ中，轨迹的圆心角为120°，对应的时间为： 在区域中，轨迹为半圆，对应的时间为： 得 故： 【小问3详解】 粒子第一次以水平速度进入在区域Ⅱ后，在平行于xoy平面的平面内做匀速圆周运动，在电场力作用下，沿z轴方向做加速度为a的匀加速直线运动，运动时间为，粒子第1次经过平面MNPQ时的速度为，第2次经过平面MNPQ时获得了沿z轴负方向的速度，由牛顿第二定律： 在区域Ⅰ以速度做匀速圆周运动，轨迹如图所示 显然，第3次经过平面MNPQ时沿z轴负方向的速度 再在区域Ⅱ中，在平行于xoy平面的平面内做匀速圆周运动，运动时间仍为 在电场力作用下，沿轴方向做加速度为a的匀加速直线运动 第4次经过平面MMPQ时，沿z轴负方向的速度 第5次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度 第6次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度 粒子的速度为： 依次类推可知：①当n为偶数时 粒子第n次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度 解得： ②当n为奇数时 粒子第n次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度 粒子的速度为： 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 带电粒子在磁场及复合场中的运动 目录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动 【考点02】带电粒子在连续场中的运动 【考点03】带电粒子在叠加场中的运动 【考点04】洛伦兹力与高科技 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动 【题型02】先电场后磁场 【题型03】先磁场后电场 【题型04】高科技问题 【题型05】叠加场中的运动 【题型06】不共面的运动 核心考向聚焦 主战场转移：带电粒子仅在洛伦兹力作用下的残缺圆问题；连续场问题；叠加场问题问题。 核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决复杂运动及临界极值问题的科学推理与实践能力。 关键能力与思维瓶颈 关键能力：圆周运动分析能力：找圆心，构建三角形，找角度。类平抛、类斜抛运动分析能力：利用运动的合成与分解。临界极值判断力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准分析极值条件。 培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于： 面对新情境时，无法快速、准确地将实际问题进行转化。不能构建合适的三角形。不能及时应用运动的合成与分解解决问题。临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析不清 。 命题前瞻与备考策略 预测：2026年高考中，带电粒子的运动情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 策略：深挖高考压轴题命题逻辑，强化高端思维训练，提升创新题型解答能力，规范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。 ◇考点 01 带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动 一、对洛伦兹力的理解和应用 1．洛伦兹力的大小 (1)v∥B时，F＝0； (2)v⊥B时，F＝qvB； (3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ. 2．洛伦兹力的方向 (1)判定方法：左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v不一定垂直) 3．洛伦兹力与静电力的比较 洛伦兹力 静电力 产生条件 v≠0且v不与B平行 (说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用) 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 力方向与场方向的关系 F⊥B(且F⊥v) F∥E 做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功 二、洛伦兹力作用下带电体的运动 带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随着变化(若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化)，最后若弹力减小到0，带电体离开接触面． 三、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动． 2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动． (1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝. (2)轨迹半径：r＝. (3)周期：T＝＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关． (4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T. (5)动能：Ek＝mv2＝＝. 3．当带电粒子的速度v与B的夹角为锐角时，带电粒子的运动轨迹为螺旋线． 四、动态圆 题型一　“平移圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 题型二　“旋转圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 题型三　“放缩圆”模型 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 题型四　“磁聚焦”与“磁发散”模型 1．带电粒子的会聚 如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点． 2．带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)． ◇考点 02 带电粒子在连续场中的运动 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现． 2．分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图． (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理． 3．常见粒子的运动及解题方法 4．解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的速度大小及方向 选规律 联立不同阶段的方程求解 ◇考点 03 带电粒子在叠加场中的运动 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存． 2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆 周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 ◇考点 04 洛伦兹力与高科技 一、质谱仪 1．作用 测量带电粒子质量和分离同位素． 2．原理(如图所示) (1)加速电场：qU＝mv2； (2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r； 由以上式子可得r＝，m＝，＝. 二、回旋加速器 1．构造 如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源． 2．原理 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙就被加速一次． 3．最大动能 由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关． 4．总时间 粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.(忽略粒子在狭缝中运动的时间) 三、速度选择器 1.平行板间电场强度E和磁感应强度B互相垂直．(如图) 2.带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是洛伦兹力与静电力平衡 qvB＝qE，即v＝. 3.速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量． 4.速度选择器具有单向性． 四、磁流体发电机 1.原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能． 2.电源正、负极判断：根据左手定则可判断出正离子偏向B板，图中的B板是发电机的正极． 3.发电机的电动势：当发电机外电路断路时，正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U，则q＝qvB，得U＝Bdv，则E＝U＝Bdv. 当发电机接入电路时，遵从闭合电路欧姆定律． 五、电磁流量计 1.流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积． 2.导电液体的流速(v)的计算： 如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．导电液体中的正、负离子在洛伦兹力作用下发生偏转，a处积累正电荷，b处积累负电荷，使a、b间出现电势差，φa>φb.当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝. 3.流量的表达式：Q＝Sv＝·＝. 4.电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb. 六、霍尔效应的原理和分析 1.定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压． 2.电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低． 3.霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U＝＝k，k＝称为霍尔系数． ◇题型 01 带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025·四川省成都市·二诊）（多选）如图所示，等腰直角三角形内有一垂直纸面向里的匀强磁场（边界无磁场），边长为，磁场磁感应强度大小为B。ab边中点的粒子源垂直以不同速率向磁场内发射带负电的粒子，粒子质量为，电荷量为，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A. 粒子可能从点飞出磁场 B. 粒子可能从点飞出磁场 C. 能从边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 D. 能从边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为 典例2（2025·湖南省长沙市南雅中学·三模）（多选）如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N为圆形区域水平直径的两个端点。大量质量均为m、电荷量为q的带正电粒子，以相同的速率从P点向纸面内的各个方向射入磁场区域。粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是（　　） A. 若粒子射入磁场的速率为，则粒子均沿竖直方向射出磁场 B. 若粒子射入磁场的速率为，则粒子最远可以从M点射出磁场 C. 若粒子射入磁场的速率为，则粒子在磁场中运动的时间可能为 D. 若粒子射入磁场的速率为，则可能有粒子从N点射出磁场 方｜法｜提｜练 1、 找圆心，构建三角形，找圆心角或者弦切角。 2、关注各种动态圆模型。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·云南省怒江州民族中学·三模）如图所示，空间存在三个完全相同的长方体通道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，三个通道的正视图为边长为a的正方形，通道的长度足够长，通道Ⅰ存在竖直向上的磁感应强度大小为B的匀强磁场，通道Ⅱ为无场区，通道Ⅲ中存在竖直向下的匀强磁场.第一次，比荷为k的正粒子由左侧面1上的О点以与侧面1成α=60°的夹角沿水平方向以速度（未知）射入区域I，该粒子刚好没有通过竖直面2；第二次，仅改变粒子的速度大小，粒子在通道Ⅰ中的运动时间为第一次的，最终粒子刚好不从竖直面4射出，忽略粒子的重力.求： （1）第一次，粒子的速度； （2）第二次，粒子射入通道的速度； （3）通道Ⅲ中磁感应强度的大小B′以及第二次粒子在通道中运动的总时间。 变式2（2025·河南省洛阳市·三模）如图甲所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于xOy平面的磁场（图中未画出），规定垂直于xOy平面向外为磁感应强度正方向，该区域内磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；第二象限内（含x轴负半轴）存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子由A点（−L，0）沿x轴正方向以大小为v0的速度射入电场，在t=0时刻，粒子经y轴上的P点与y轴正方向成θ=30°角射入第一象限，忽略粒子重力。求： （1）电场强度的大小； （2）在至时间内，粒子运动轨迹的半径； （3）在时刻，粒子位置坐标。 变式3（2025·湖北省黄石市第二中学·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy内，过原点的直线l与+x轴的夹角为φ=37°，将y轴右侧分成上下两个区域Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ区（含+y轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。Ⅱ区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为m、电量为+q的带电粒子P从O点沿+y方向以初速度v0射出，带电粒子重力不计。（sin37º=0.6，cos37º=0.8） （1）若Ⅱ区磁场方向垂直纸面向里，欲使粒子P不能到达x轴，求Ⅱ区磁场的磁感应强度B′应满足的条件； （2）将Ⅱ区磁场调成与Ⅰ区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P仍从O点沿+y方向以初速度v0射出，运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数k，未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P速度第一次沿－y方向的位置在直线l上。求比例系数k的大小及粒子最终停止的位置坐标。 ◇题型 02 先电场后磁场 典｜例｜精｜析 典例1（2025·云南省怒江州民族中学·二模）如图所示，水平面内存在一坐标系，在y轴左侧存在一水平向左的匀强电场，电场强度大小为E，在y轴右侧、x轴上方和下方分别存在方向垂直于纸面向里和向外的匀强磁场。磁感应强度大小分别为和。在坐标（处有一粒子源S能释放初速度为零。质量为m、电荷量大小为q带负电的粒子，经过电场和磁场作用后第一次从x轴上点进入x轴下方的磁场，在x轴下方运动过程中轨迹恰好与y轴的负半轴相切。（不计粒子所受重力）求： （1）粒子在电场中的运动时间； （2） 。 典例2（2025年湖南卷第14题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 （1）求粒子所带电荷量q； （2）求磁感应强度B的大小； （3）若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 方｜法｜提｜练 1、般为匀强电场，故在静电场中一般做直线运动或者类平抛、类斜抛运动。 2、匀强磁场中一般为残缺圆。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·甘肃省白银市第八中学·三模）如图所示，在一半径为的圆形区域内存在以该圆圆心为中心、辐射向外的电场，该电场的场强满足（其中为已知常量、为圆形区域内某点到圆心的距离）。在的环形区域内有一垂直于纸面的磁场，磁感应强度满足（其中为未知常量、为环形区域内某点到圆心的距离）。圆心处有一粒子源不断地射出质量为、电荷量为（）的带电粒子，粒子的初速度可视为零。不计粒子间的相互作用及粒子的重力。 （1）求圆心与电场与磁场的交界处的电势差； （2）求粒子运动到电场与磁场的交界处的速度大小； （3）为使所有粒子在第一次经过磁场的过程中均不能从环形区域的外边界射出，求至少为多大。 变式2（2024年广东卷第15题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为、周期为的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在时刻从左侧电场某处由静止释放，在时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在时刻的速度大小v； （3）求从时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 变式3（2025·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学·三模）如图甲所示，长为a的平行板M、N分别位于第一、第二象限内，与坐标平面垂直并与y轴平行，两板到y轴的距离相等，两板的下端均在x轴上，两板上所加的电压随时间变化的规律如图乙所示（图乙中均已知），在第三、四象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。在y轴上的P点沿y轴负方向均匀地射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，每个粒子均能进入磁场且从P点射出到进入磁场所用的时间均为，从时刻射出的粒子刚好从N板下边缘进入磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，磁场的磁感应强度大小为，求： （1）M、N板间的距离为多少； （2）能再次进入两板间的粒子数占总粒子数的比例为多少； （3）若将M、N极板上段截去一部分，使所有粒子从P点射出后经电场、磁场偏转后均不能再进入电场，则截去部分的长度至少为多少。 ◇题型 03 先磁场后电场 典｜例｜精｜析 典例1（2025·湖南省长沙麓山国际实验学校·二模）（多选）如图所示，平面直角坐标系内有过原点和轴上点的圆形虚线边界，其直径为，边界内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为．第四象限存在沿轴负方向的匀强电场，虚线半圆弧的半径为，直径与圆心在轴上，两点之间的距离也为，一质量为的带正电粒子（不计重力），从点以沿着轴负方向的速度射入磁场，其圆弧轨迹的圆心在点，粒子从点射出磁场后立即进入电场，最后运动到半圆弧上的点，已知，下列说法正确的是（　　） A. 粒子在磁场中圆周运动的轨迹半径为 B. 粒子的带电荷量为 C. 匀强电场的电场强度为 D. 若粒子离开点运动到虚线半圆弧的顶点，则粒子从到的运动时间为 典例2（2025年河北卷第10题）（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A. 粒子一定带正电 B. 若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C. 粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D. 粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 方｜法｜提｜练 1、般为匀强电场，故在静电场中一般做直线运动或者类平抛、类斜抛运动。 2、匀强磁场中一般为残缺圆。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·福建省福州第一中学·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，在半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场Ⅰ，圆与x轴相切于P点。在抛物线与y轴之间有沿轴负方向的匀强电场。在第一、四象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度也为B的范围足够大的匀强磁场Ⅱ。在第一象限内y=R处有一平行于x轴的足够大的荧光屏。在P点持续发射出大量同种带正电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与x轴正方向夹角分布在0~180°范围内。其中沿与x轴负方向成角方向射出的粒子在磁场Ⅰ中偏转后沿x轴正方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点O射入磁场Ⅱ中，经磁场Ⅱ偏转后打在荧光屏上。已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 （1）求粒子从P点射出的初速度大小； （2）求匀强电场的电场强度大小； （3）求粒子打在荧光屏上形成亮线的长度。 变式2（2025·安徽省江南十校·一模）如图所示，在xOy直角坐标系内，与x轴相切的半径为的圆形区域内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，圆形区域外的第一象限内分布有沿 x轴正方向的匀强电场，电场强度。在坐标原点O处有一离子源，可向 x轴上方各个方向发射速度大小的负离子，离子比荷，不计离子重力。求： （1）沿y轴正方向发射的离子第一次在磁场中的运动时间； （2）沿与x轴正方向成45°角发射的离子，第三次经过y轴的位置坐标； （3）若将电场区和磁场区重叠，且电场和磁场的范围均扩大到足够大，沿y轴正方向发射的离子在运动过程中，运动轨迹的x坐标与其运动时间t的关系式。 变式3（2025年黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古卷第15题）如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 （1）求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 （2）若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小。 （3）在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间速度方向首次与N点速度方向相反，求（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势）。 ◇题型 04 高科技问题 典｜例｜精｜析 典例1（2025·云南省丽江市第一高级中学·一模）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。 （2）求O点到P点的距离。 （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场电场强度大小变为（略大于），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的点上。求粒子打在点的速度大小。 典例2（2024·北京市北京师范大学第二附属中学·第二次统练）回旋加速器由两个铝制的D形盒组成，两个D形盒中间开有一条狭缝。D形盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压。下图为俯视图，在D形盒上半面中心S处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D形盒中。在磁场力的作用下运动半周，再经狭缝电压加速。如此周而复始，最后到达D形盒的边缘，获得最大速度，由导出装置导出。现欲使该离子加速后获得的最大动能变成原来的2倍，理论上可采用的办法有（不考虑相对论效应）（　　） A. 只将交变电源的最大电压变为原来的2倍 B. 只将交变电源的频率变为原来的2倍 C. 只将磁感应强度变为原来的倍 D. 只将D形盒的半径变为原来的倍 方｜法｜提｜练 有连续场，也有叠加场。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·北京市第一零一中学·三模）在霍尔效应中，霍尔电压与通过导体的电流之比被定义为霍尔电阻，可用符号表示，通常情况下，霍尔电阻与外加磁场的磁感应强度成正比。但在超低温、强磁场的极端条件下，某些材料的霍尔电阻却随着强磁场的增加出现量子化现象：h是普朗克常数，e是电子的电量， v既可以取1、2、3…等整数，也可以取某些小于1的分数，这就是量子霍尔效应现象。实验发现，当霍尔电阻处于量子态时，材料中的电子将沿边缘带做定向运动，几乎不受阻力作用。2013年，清华大学薛其坤团队发现，在超低温（0.03K）环境条件下，具备特殊结构的拓补绝缘体材料可以自发地发生磁化，此时不需要外加磁场也会发生量子霍尔效应，这种现象被称为量子反常霍尔效应。结合以上资料，可以判断下列说法正确的是（　　） A. 同欧姆电阻类似，霍尔电阻越大，表明材料对通过它的电流的阻碍越强 B. 要发生量子霍尔效应现象，外部环境条件有两个，一是要具备超低温环境，二是要具备超强的磁场 C. 具备量子反常霍尔效应的磁性拓补绝缘材料已成为新一代低能耗芯片的制造材料 D. 霍尔电阻的量子态表达式中的常数组合 与欧姆电阻具有相同的单位 变式2（2025·四川省成都市新津中学·一模）（多选）如图所示为一种质谱仪的示意图，该质谱仪由速度选择器、静电分析器和磁分析器组成。若速度选择器中电场强度大小为E1，磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向里。静电分析器通道中心线为圆弧，圆弧的半径（OP）为R，通道内有均匀辐射的电场，在中心线处的电场强度大小为E．磁分析器中有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带电粒子以速度v沿直线经过速度选择器后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A. 粒子一定带负电 B. 极板P1的电势比极板P2的电势高 C. 粒子的速度 D. 粒子的比荷为 变式3（2025·北京市大兴精华学校·三模）电磁流量计广泛应用于测量可导电液体（如污水）在管中的流量（单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的、、，流量计的两端与输送流体的管道相连接（图中虚线）。图中流量计的上、下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串联了电阻的电流表的电路连接，表示测得的电流值，已知流体的电阻率为，不计电流表的内阻，则（　　） A. 流量为 B. 流量为 C. 若污水浓度变大，则流体的电阻率变大 D. 若流体的电阻率变小，则上下两板间电势差将变大 ◇题型 05 叠加场中的运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025·广东省深圳市龙岗区华中师范大学附属中学·三模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴负方向的匀强电场（大小未知）和方向垂直坐标平面向里的匀强磁场（图中未画出），第四象限内有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从P点以大小的速度沿PO方向做直线运动，通过O点第一次通过x轴后在第四象限内做匀速圆周运动，恰好通过Q点（第二次通过x轴）。已知P、Q的坐标分别为和，重力加速度大小为g，求： （1）第二象限内，匀强电场的电场强度大小； （2）小球从P点运动到Q点的时间t； （3）小球第五次通过x轴时的横坐标。 典例2（2025·宁夏回族自治区吴忠市盐池县·一模）如图甲所示，一个倾角为θ=30°斜面体固定于水平面上，该斜面体的上表面abcd采用了一种全新的复合型材料，使其呈现出平行于ab方向光滑、平行于ad方向粗糙且动摩擦因数恒定的物理特性。沿ad方向存在着变化的磁场，B-t图像如图乙所示。t=0时有一带电小物块从a点以v0沿ab方向冲上斜面，若t=8s时物块通过点且速度恰好仍为v0。已知物块质量m=0.3kg，电荷量q=+1C，速度，t=8s时的磁感应强度Bm=0.5T，重力加速度g=10m/s2，小物块可当做质点，则（　　） A. 小物块做类平抛运动 B. 斜面平行于ad方向的动摩擦因数 C. t=8s时的加速度大小为5m/s2 D. 整个过程中小物块的速度最大值为 方｜法｜提｜练 匀速圆周运动，恒力必须抵消。 无约束的圆周运动必为匀速圆周运动。 有约束的圆周运动可能是匀速圆周运动，也可能是变速圆周运动。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·湖北省武汉二中·一模）如图所示，水平虚线MN的下方存在竖直向上、电场强度为（大小未知）的匀强电场，上方有一圆心为O、半径为R的半圆形区域，该区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场和水平方向、电场强度为（大小未知）的匀强电场，O点正下方的S处有一粒子源，能向外释放初速度为零的带正电粒子，粒子经过O点进入半圆形区域，并沿竖直半径方向做直线运动。已知粒子在半圆形区域内运动的时间为，粒子的重力忽略不计。 （1）求电场强度的大小和方向； （2）若仅将半圆形区域内的磁场撤去，粒子仍从S处静止释放，结果粒子在半圆形区域内运动的时间变为，求粒子的比荷以及S、O之间的电势差； （3）若将半圆形区域内的匀强电场撤去，且将虚线下方的电场强度增大到原来的16倍，粒子仍从S处静止释放，求粒子在半圆形区域内运动的时间． 变式2（2025·四川省成都市新津中学·一模）如图所示，一倾角为37°的固定斜面中间区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的边界（图中虚线）与斜面垂直，磁感应强度。斜面上静止放置一质量为的绝缘长木板B，其最右端P带负电（可视为将一点电荷固定于P点），电荷量，P距磁场左边界的距离为L，一质量为可视为质点的物块A从长木板最左端以沿斜面向下的初速度滑上长木板，物块与长木板之间的摩擦因数为。长木板最右端P进入磁场后立即开始匀速运动，当其最右端P离开磁场时，物块正好进入磁场，一段时间后物块离开磁场时恰好与长木板第一次共速，此后两物体一起以3m/s的速度匀速运动。重力加速度g取。求： （1）长木板与斜面间的摩擦因数； （2）长木板最右端P刚进入磁场时的速度以及初始时长木板最右端离磁场左边界的距离L； （3）物块A的初速度。 变式3（2025·云南省丽江市第一高级中学·二模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，y轴沿竖直方向。在到之间存在竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，一个带电微粒从坐标原点以一定的初速度沿x轴正方向抛出，进入电场和磁场后恰好在竖直平面内做匀速圆周运动，离开电场和磁场后，带电微粒恰好沿x轴正方向通过x轴上的位置。已知匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g。求： （1）带电微粒比荷k的大小； （2）带电微粒离开电场和磁场后，通过x轴上的位置时的速度的大小。 ◇题型 06 不共面的运动 典｜例｜精｜析 典例1（2025年陕晋宁青卷第14题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、、均为已知量） （1）电子的比荷; （2）当磁感应强度大小调至时，筒壁上落有电子的区域面积S。 典例2（2024年湖南卷第14题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 方｜法｜提｜练 要及时利用运动的合成与分解。 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·云南省丽江市第一高级中学·三模）如图，M、Q、N为相互平行的竖直平面，间距均为L，在N上建立xOy直角坐标系，x轴水平。处有一粒子源，连线垂直于竖直平面。MQ间区域有沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，QN间区域有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。粒子源发出速率为v的正电粒子，粒子沿方向运动，经磁场偏转通过Q平面时，其速度方向与夹角为，再经电场偏转通过N平面上的P点（图中未标出）。忽略粒子间相互作用及粒子重力，求： （1）粒子电荷量与质量之比； （2）粒子从Q运动到N的时间； （3）P点的坐标（x，y）。 变式2（2025·黑龙江省齐齐哈尔市·三模）如图所示，三维坐标系Oxyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与的两个底面平行，其中A点的坐标为，C点的坐标为，正四棱柱空间处于沿y轴方向的匀强电场中，空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为的粒子以速度从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求匀强电场的电场强度； （2）若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小； （3）若粒子最终从JH连线上的一点射出磁场区域，此点到J点的距离为，求I点的y轴坐标。 变式3（2025·广西南宁市·三模）如图所示，在空间直角坐标系中，无限大平面MNPQ（与y轴垂直且交于C点）左侧区域Ⅰ存在沿x轴正方向的匀强磁场，，右侧区域Ⅱ存在沿z轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；现从坐标为的A点沿yOz平面发射一质量为m，电荷量为的粒子，粒子的初速度大小为、方向与y轴负方向的夹角为60°，经一段时间后粒子恰好垂直于平面MNPQ进入区域Ⅱ，不计粒子的重力，求： （1）磁感应强度B的大小； （2）粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的时间； （3）若在区域Ⅱ加一电场强度为E、方向沿z轴负方向的匀强电场，求粒子从A点出发后第n次经过平面MNPQ时的速度大小。 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $