阶段检测验收卷 函数及其图象（综合训练）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第三章 函数及其图象 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点P在第二象限， 故选：B． 2．如图，已知棋子“车”、“马”的坐标分别为、，则棋子“炮”的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系． 根据棋子“车”、“马”的坐标，建立平面直角坐标系，即可得棋子“炮”的坐标． 【详解】解：∵棋子“车”、“马”的坐标分别为、， ∴建立平面直角坐标系如图所示， ∴棋子“炮”的坐标为， 故选：． 3．若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据图象得出一次函数与坐标轴的交点是解题关键．根据一次函数与轴的交点为，即可得到不等式解集． 【详解】解：由图象可知，一次函数与轴的交点为， 则时，一次函数图象在轴上方， 关于x的不等式的解集为， 故选：B． 4．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，判断点坐标所在象限，根据反比例函数的图象分布确定的符号，进而判断点的象限． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限， ， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限， 故选：B． 5．已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，通过直接计算点A和点B的纵坐标，比较大小． 【详解】∵ 点在二次函数上， ∴， ∵ 点在二次函数上， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行．已知两车相遇时轿车比货车多行驶了，设行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，下列说法不正确的是（   ）    A．甲、乙两地的距离为 B．轿车的速度为 C．货车的速度为 D．点的实际意义是轿车出发后到达乙地，此时两车间的距离为 【答案】C 【详解】解：当时，设， 将点和代入得：，解得， 则， 当时，， ∴甲、乙两地的距离为，则选项A正确； ∵两车相遇时轿车比货车多行驶了， ∴设相遇时轿车行驶的距离为，则相遇时货车行驶的距离为， ∴， 解得， ∴， ∴轿车的速度为，则选项B正确； 货车的速度为，则选项C错误； ∴轿车从甲地到达乙地所需时间为， ∴当轿车到达乙地时，货车行驶的距离为， ∴点的实际意义是轿车出发后到达乙地，此时两车间的距离为，选项D正确； 故选：C． 7．在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，轴于点，连接，双曲线经过中点，交于点，连接，若的面积为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过作，交轴于，利用反比例函数的几何意义得到，根据为的中点，，从而得出，代入可得结论． 【详解】解：如图所示，过作，交轴于， ，、都在双曲线上， ， 为的中点， ， ， ， ． 故选：D． 8．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：①函数开口向下， ， 函数图象与y轴交于正半轴， ， ，故①正确； ②顶点为， 函数对称轴为直线， 函数经过点， 函数经过点， 当时， ， 故②不正确； ③函数对称轴为直线， ， 由②可知：， 故， 当时，， 函数经过点， ，即， 故③正确； ④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根， 由抛物线对称性可知，方程另一根为， 故④不正确； 综上所述：正确的有①③． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．在直角坐标系中，把抛物线只向左平移 个单位就可以经过点． 【答案】1 【详解】解：设二次函数只向左平移个单位就可以经过点， 则经过点， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 即二次函数只向左平移个单位就可以经过点， 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：． 11．将直线向上平移4个单位长度后，得到的直线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将直线向上平移4个单位长度后，得到的直线的解析式是， 故答案为：． 12．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 13．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．当两种收费相差元时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是从图象中获取信息，求出相关直线的函数解析式．利用待定系数法求解各对应函数解析式，又根据题意和图象可知：两种收费相差元时分两种情况，列出相应的方程求解即可． 【详解】解：设品牌的函数关系式为 ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴品牌的函数关系式为． 故答案为：； 由图可知，两种收费相差元时，可能在内或以后 ①在内时， ， 解得； ②在以后时， 设品牌的函数关系式为 ∵点，在该函数图象上， ∴，解得：， ∴品牌的函数关系式为， ∴， 解得 因此的值为或， 故答案为：或． 14．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵平行四边形的面积是24， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C的坐标为，点B的纵坐标为，， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴点B的坐标为． 故答案为： 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D． （1）线段的长为 ． （2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）直线交轴于点，交轴于点， ，， ， ， 由等面积可知，， ； 故答案为：； （2）在中，， ， 如图，过作于点， 根据等面积可得， 把代入可得， ， ，平分， ①如图，当时，则， 过作轴，过作于点，于点，则， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ②如图，当时，则， 过作轴，过作于点，过作于点， 同理可得， 设，， 则， 解得， ， ，； 综上，点坐标为或． 故答案为：或． 16．某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满． 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 20 30 40 每辆客车的租金/元 500 600 900 （1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为 元； （2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是 （写出一组即可） 【答案】 6100 3，6，1（或6，4，1或9，2，1，写出一种即可） 【详解】解：（1）租车的总费用为（元）； （2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，租车的总费用为y， 则，即， 整理得， ∵a，b，c都是正整数， ∴必须是3的倍数， ∵是偶数， ∴是偶数， 又∵每种型号的客车至少租1辆， ∴①，或②，，或③，， 分类讨论： ①当，时，， 当时，，，此方案费用较高，非最低费用； 当时， ， ∵， ∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700，此时， 即甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是9，2，1； ②当，时，， 当时，，不合题意； 当时，，，此方案费用较高，非最低费用； 当时， ， ∵， ∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700，此时， 即甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是6，4，1； ③当，时，，，或，， 当，，时，，此方案费用较高，非最低费用； 当，，时，； 即甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是3，6，1； 综上可知，甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是3，6，1或6，4，1或9，2，1． 故答案为：3，6，1（或6，4，1或9，2，1，写出一种即可）． 3、 解答题（本题共12小题第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，求：一次函数的表达式． 【答案】 【分析】利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】解：设一次函数的表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 18．如图所示的是一辆摩托车从家里出发，离家的距离（千米）随行驶时间（分钟）变化而变化的图像． (1)摩托车从出发到最后停止共经过了多长时间？离家最远的跑离是多少？ (2)摩托车在哪一段时间内速度最快？最快速度是多少？ 【答案】(1)分钟；千米 (2)分钟这一时段内速度最快，最快速度为千米/分钟 【分析】（1）观察平面直角坐标系中横轴、纵轴表示的意思，根据时间与路程关系即可求解； （2）根据路程问题中，速度的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据距离（千米）随行驶时间（分钟）变化而变化的图像可知， 摩托车从出发到最后停止共经过了分钟，离家最远的距离是千米． （2）解：当时，，速度为； 当时，，速度为； 当时，，速度为； ∴分钟这一时段内速度最快，最快速度为千米/分钟． 【点睛】本题主要考查图形与路程问题的综合，理解图像的意思，掌握路程问题的数量关系是解题的关键． 19．某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： (1)请写出这一反比例函数的解析式； (2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）根据图形，设与之间的函数关系式为，从图形中取一组数据代入计算即可求解； （2）将牛代入反比例函数表达式计算，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：把牛，代入（米/秒）， ∴汽车的速度为米/秒． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握反比例函数表达式的意义及计算方法是解题的关键． 20．为了更好地开展农家生态文化旅游区规划工作，某旅游村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地等5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景点的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景点A，B的位置分别表示；并直接写出景点C的坐标； (2)在坐标系中标出的位置，连接，请直接判断与的位置关系． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际问题中的应用，正确的建立坐标系是解题关键． （1）根据平面直角坐标系即可求解；根据，即可求解； （2）连接，即可判断； 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知：景观C的坐标为 （2）解：由图可知：． 21．春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． (1)写出表中的值_________； (2)在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； (3)如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数表达式、由函数图象解不等式等知识，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，列式计算可得的值； （2）由超出流量每收费3元，可得出，化简即可得到每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式； （3）先求出套餐每月使用的流量不少于，每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式，再求出当套餐的收费等于套餐收费时的值，结合图象可得答案． 【详解】（1）解：由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，则超出流量每收费， ∴， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， ∴每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式为， 故答案为：； （3）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， 当套餐的收费等于套餐收费时，， 解得， ∴结合函数图象知，当且时，每月使用的流量的取值范围是， 故答案为：． 22．某商家销售一种成本为元/件的商品，当售价定为元/件时，每天可销售件，根据市场调研，销售单价每上涨元，每天的销量将减少件，且每件商品的利润不能超过元． (1)求每天的销量（件）与当天的售价（元/件）满足的函数关系式； (2)当售价定为多少时，商家销售该商品每天获得的利润最大？求出最大利润． 【答案】(1) (2) 当售价定为元/件时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用和不等式的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型和利用二次函数的增减性得出最值是解题关键． （1）根据售价与销量的变化关系，列出销量与售价的函数关系式； （2）先根据利润限制确定售价的取值范围，再根据利润公式列出二次函数，结合二次函数的性质和取值范围求最大利润． 【详解】（1）解：根据题意得 ； （2）解：设每天获得的利润为元，则： ． 每件商品的利润不能超过元， ，即， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为（元）． 答：当售价定为元/件时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为元． 23．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： (1)①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 【答案】(1)（1）①3；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）①根据表中数据即可得到结论；②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论； （2）根据题意得到接球位置的坐标范围是，把这两点代入函数解析式分别得到和，于是得到结论． 【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为， ∴抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 故与满足的函数解析式． （2）∵小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包， ∴此时，接球位置的坐标范围是， 当经过点，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴b的取值范围是． 故答案为：． 24．数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时，， 此时， 即总电阻的值为； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； （3）解：， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为：， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 25．如图，已知双曲线，经过点，点是双曲线第三象限上的动点，过作轴，过作轴，垂足分别为，，连接，． (1)求的值； (2)若的面积为，求直线的解析式； (3)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)直线的解析式为； (3)，理由见解析. 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合，主要利用待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积的求解，理解反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质解答关键． （1）把点的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解． （2）先根据点的坐标求出的长度，再根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后求出点的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答． （3）根据题意求出点、的坐标，然后利用待定系数法求出直线和的解析式，可知直线、的解析式值相等，所以、平行． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点， ∴， 解得． （2）解：设点到的距离为， ∵点的坐标为，轴， ∴， ∴， 解得． ∵点是双曲线第三象限上的动点，点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． （3）解：． 理由如下： ∵轴，轴，点在反比例函数图象上， 设点的坐标为． 点的坐标为， ∴点、的坐标分别为，． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为． 直线、的解析式都等于， ∴与的位置关系是． 26．已知抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的解析式； (2)将抛物线上两点之间的部分（包括端点）记作图象，过点作轴的垂线，若图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并分类讨论是关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出抛物线的对称轴为直线，顶点为分、、和四种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为 ①当时，如图，图象的最高点为点，最低点为点， ∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为， ∴， 解得， ∴； ②当时，如图，图象的最高点为点，最低点为点， ∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为， ∴， 解得， ∴； ③当时，如图，图象的最高点为最低点为抛物线的顶点 ∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为， ∴， ∴， ∴； ④当时，，如图，图象的最高点为最低点为抛物线的顶点 ∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为， ∴ 该不等式组无解， 综上可知，的取值范围为或． 27．【问题背景】探究二次函数的性质与图像的变化规律． 【初步探究】如1图，我们将二次函数的图象向下平移得到图象，过图像上的动点作轴，交的图像于点． 问题（1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如2图，线段分别交轴、轴于点．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过图像上的点作轴，交的图像于点． 问题（2）若的顶点在线段的中点，且，求点的横坐标． 问题（3）若点的横坐标为的顶点横坐标为的长为，求的最大值． 【答案】（1）的长度不变， （2）点的横坐标为或 （3）的最大值为26 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，平移的性质是关键． （1）根据图形平移的性质求解即可； （2）根据直线与坐标轴交点得到的顶点坐标为，的函数解析式为，设，当点在点上方时，当点在点上方时，代入计算即可求解； （3）根据题意得到顶点为，的函数解析式为，，当点重合时，，解得，分别代入，结合图形分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）的长度不变，，理由如下： 是由向下平移2个单位长度得到， 对应的函数值相差2， ． （2）将代入，得， 将代入，得， 顶点在中点， 的顶点坐标为， 的函数解析式为， 设， 当点在点上方时，，则； 当点在点上方时，，则； 点的横坐标为或． （3）的顶点横坐标为， 顶点为， 的函数解析式为， 将代入，得， ， ， 当点重合时，， 解得， ∴当时，， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增少， 当时，的最大值， 当时，， ，对称轴为直线， 当时，的最大值， ， 的最大值为26． 28．在平面直角坐标系中，对于图形M，图形N和点P给出如下定义：若图形M绕点P逆时针旋转后，图形M上有且只有k（k为正整数）个点在旋转后落在图形N上，则称图形N是图形M关于点P的“k关联图形”，点P为图形M到图形N的“k关联中心”．已知点，． (1)在点，，中，点 为线段到直线的“1关联中心”． (2)点，点，点，若对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”，直接写出e的取值范围． (3)直线与x轴、y轴分别交于点M、N，将线段向上平移个单位，得到线段，若线段上存在点P，使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，直接写出h的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查坐标系中点的旋转，新定义的理解； （1）根据“1关联中心”的定义，分别以，，为中心将线段逆时针旋转，旋转以后的线段与直线有且只有一个交点，即符合题意； （2）分类讨论：①当点E在左侧，时，以点E为中心，点D逆时针旋转后对应点是C点，此时旋转后的图形与四边形有且一个交点，此时点E为，当时，旋转后的四边形与自身没有公共点；②当点E在右侧，时，以点E为中心，点C逆时针旋转后对应点是D点，此时旋转后的图形与四边形有且一个交点，当时，旋转后的四边形与自身没有公共点； （3）利用点P在直线上设，再利用旋转和全等三角形的性质，求出点，点，使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，向上平移的距离达到点E的下界，不能超过点F的上界，即可求解. 【详解】（1）解：分别以，，为中心将线段逆时针旋转，如图所示： 旋转以后的线段与直线有且只有一个交点，即符合题意， ∵，都在x轴上， ∴线段在x轴上， ∴将线段逆时针旋转后，线段所在的直线会垂直于x轴 ①以为中心将线段逆时针旋转后，的对应点为，的对应点为，旋转后的线段在y轴上，当时，， ∴旋转后的线段与直线没有公共点， ∴不是线段到直线的“1关联中心”； ②以为中心将线段逆时针旋转后，的对应点为，的对应点为，当时，， ∴点在直线上，旋转后的线段与直线有且只有1个公共点， ∴是线段到直线的“1关联中心”； ③以为中心将线段逆时针旋转后，的对应点为，的对应点为，当时，， ∴点在直线上，旋转后的线段与直线有且只有1个公共点， ∴是线段到直线的“1关联中心”； 综上：、为线段到直线的“1关联中心”. （2）解：∵点，点，点，点， ∴四边形为菱形，点在x轴上， ∵点，点关于x轴对称， ∴，， ①当点E在左侧，时，以点E为中心，点D逆时针旋转后对应点是C点， 此时旋转后的图形与四边形有且只有一个交点， ∴， ∴此时点E为， ∴当时，旋转后的四边形与自身没有公共点，对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”； ②当点E在右侧，时，以点E为中心，点C逆时针旋转后对应点是D点， 此时旋转后的图形与四边形有只有一个交点， ∴， ∴此时点E为， ∴当时，旋转后的四边形与自身没有公共点，对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”； 综上：∴当或时，对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”. （3）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点M、N， 令，即，解得：， ∴， 令，即， ∴， 过点P作轴，过点E作，如图所示， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点，点， ∴点，点， ∴， 解得： ∴，， ∴使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，向上平移的距离达到点E的下界，不能超过点F的上界，即或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第三章 函数及其图象 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，已知棋子“车”、“马”的坐标分别为、，则棋子“炮”的坐标为（  ） A． B． C． D． 3．若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行．已知两车相遇时轿车比货车多行驶了，设行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，下列说法不正确的是（   ）    A．甲、乙两地的距离为 B．轿车的速度为 C．货车的速度为 D．点的实际意义是轿车出发后到达乙地，此时两车间的距离为 7．在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，轴于点，连接，双曲线经过中点，交于点，连接，若的面积为，则等于（ ） A． B． C． D． 8．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．在直角坐标系中，把抛物线只向左平移 个单位就可以经过点． 10．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则的值为 ． 11．将直线向上平移4个单位长度后，得到的直线的解析式是 ． 12．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 13．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．当两种收费相差元时，的值为 ． 14．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D． （1）线段的长为 ． （2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为 ． 16．某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满． 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 20 30 40 每辆客车的租金/元 500 600 900 （1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为 元； （2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是 （写出一组即可） 3、 解答题（本题共12小题第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，求：一次函数的表达式． 18．如图所示的是一辆摩托车从家里出发，离家的距离（千米）随行驶时间（分钟）变化而变化的图像． (1)摩托车从出发到最后停止共经过了多长时间？离家最远的跑离是多少？ (2)摩托车在哪一段时间内速度最快？最快速度是多少？ 19．某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： (1)请写出这一反比例函数的解析式； (2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 20．为了更好地开展农家生态文化旅游区规划工作，某旅游村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地等5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景点的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景点A，B的位置分别表示；并直接写出景点C的坐标； (2)在坐标系中标出的位置，连接，请直接判断与的位置关系． 21．春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． (1)写出表中的值_________； (2)在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； (3)如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 22．某商家销售一种成本为元/件的商品，当售价定为元/件时，每天可销售件，根据市场调研，销售单价每上涨元，每天的销量将减少件，且每件商品的利润不能超过元． (1)求每天的销量（件）与当天的售价（元/件）满足的函数关系式； (2)当售价定为多少时，商家销售该商品每天获得的利润最大？求出最大利润． 23．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： (1)①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 24．数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 25．如图，已知双曲线，经过点，点是双曲线第三象限上的动点，过作轴，过作轴，垂足分别为，，连接，． (1)求的值； (2)若的面积为，求直线的解析式； (3)判断与的位置关系，并说明理由． 26．已知抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的解析式； (2)将抛物线上两点之间的部分（包括端点）记作图象，过点作轴的垂线，若图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，求的取值范围． 27．【问题背景】探究二次函数的性质与图像的变化规律． 【初步探究】如1图，我们将二次函数的图象向下平移得到图象，过图像上的动点作轴，交的图像于点． 问题（1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如2图，线段分别交轴、轴于点．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过图像上的点作轴，交的图像于点． 问题（2）若的顶点在线段的中点，且，求点的横坐标． 问题（3）若点的横坐标为的顶点横坐标为的长为，求的最大值． 28．在平面直角坐标系中，对于图形M，图形N和点P给出如下定义：若图形M绕点P逆时针旋转后，图形M上有且只有k（k为正整数）个点在旋转后落在图形N上，则称图形N是图形M关于点P的“k关联图形”，点P为图形M到图形N的“k关联中心”．已知点，． (1)在点，，中，点 为线段到直线的“1关联中心”． (2)点，点，点，若对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”，直接写出e的取值范围． (3)直线与x轴、y轴分别交于点M、N，将线段向上平移个单位，得到线段，若线段上存在点P，使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，直接写出h的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $