阶段检测验收卷 方程（组）与不等式（组）（综合训练）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第二章 方程（组）与不等式（组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知二元一次方程组的解是．则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 4．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知关于的分式方程无解，则的值为 （　 　） A． B． C． D． 6．A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（   ） A． B． C． D． 8．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．方程的根是 ． 10．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 ． 11．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 12．一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 13．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为 ． 14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由个较小的三角形和个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为，图是这种特殊的三角形幻方． （1）若，则处的数值为 ； （2）的值为 ． 15．已知等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则该三角形的周长是 ． 16．某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为（且均为正整数）．三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，下表是三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下： 一轮 二轮 三轮 四轮 五轮 总分 甲 9 乙 22 丙 9 则的值为 ，三名同学在五轮比赛中 获得的第二名最多． 三、解答题（本题共12小题第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程：． 18．解分式方程： 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程有一个根大于4，求m的取值范围． 20．某校七年级525名师生一起去参观历史博物馆．已知客运公司有A，B两种型号客车可供租用，A型客车载客量为40人，B型客车载客量为56人，一辆A型客车的租金比一辆B型客车的租金少200元，2辆A型客车和5辆B型客车的租金共8000元． (1)每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用10辆客车，怎样租车最省钱？ 21．藤球是一项球类运动，亚运会正式比赛项目之一．早在11世纪，东南亚国家文化中就有关于藤球运动的记录．藤球比赛中，选手只能用脚、腿、肩和头触球．选手常常在比赛中会使用高难度、带杂耍意味的动作来控制球的运动． 在学校第十三届科技节中，同学们动手实践，参与到藤球的制作活动中，进行了单层藤球和双层藤球的制作．已知制作同尺寸藤球，制作2个单层藤球和1个双层藤球需14米原材料，制作1个单层藤球和3个双层藤球需27米原材料． (1)制作1个单层藤球和1个双层藤球各需多少米原材料？ (2)初一某班级共42人，现有原材料200米，若每人制作1个单层藤球或1个双层藤球（只做一个），则该班级最多可以制作多少个双层藤球？ 22．阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 23．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 24．如图，在中，，，，点从点出发沿边向点运动，同时点从点出发沿边向点运动，两动点均以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则几秒后，的面积为面积的一半？ 25．新定义：若是关于的一元一次方程（）的解，是关于的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号 ； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”，请求出的值； (3)如关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”．请求出的值． 26．2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 27．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个三阶幻方． (1)①若，，，，，，，，是三阶幻方中的9个数，且斜对角线上三个数的和为27，直接写出m的值______． ②如图2是一个未完成的三阶幻方，直接写出x的值______． (2)如图3是一个四阶幻方，每行、每列以及两条斜对角线上的四个数字之和都相等，请说明下面等式成立的理由：． 28．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI (1)当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； (2)已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； (3)已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第二章 方程（组）与不等式（组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的知识点是一元一次方程的解法，具体涉及到利用等式的基本性质求解．等式的基本性质是：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立． 【详解】解： 等式两边同时加， 解得， 故选：C． 2．下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，选项说法正确，符合题意； B、若，则，选项说法错误，不符合题意； C、若，则，选项说法错误，不符合题意； D、若，则，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 3．已知二元一次方程组的解是．则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用方程组得解求解方程组中未知数系数以及平方根的知识．将方程组得解代入原方程解出a，b的值，再求出的值，即可得解． 【详解】解：根据题意，将代入， 得， 解得， 则有， 4的平方根为， 故选：D． 4．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，求得k的取值范围，再结合各选项中的值即可判断． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 即； ∵选项A中的值，而选项B、C、D中的值均大于2.25， ∴ k的值可能是2． 故选：A． 5．已知关于的分式方程无解，则的值为 （　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程可得答案． 【详解】解： ， 方程的增根是 把代入得： 故选A． 【点睛】本题考查分式方程的增根问题，掌握把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值是解题的关键． 6．A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，先把逆流速度和顺流速度表达出来，再根据共用去9小时，列出方程解答即可． 【详解】根据题意，得， 故选A． 7．已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 根据题意得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：①+②得，， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴，解得：， 所以这个公共解为， 故选：C． 8．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，故①错误； ②一元二次方程的倒方程为，则联立得：， 两式相减得到， 则， 由于，那么， 解得：，故有公共解，故②正确； ③若一元二次方程无解，则， 而倒方程为，那么根的判别式也为， 故它的倒方程也无解，故③正确； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得，， 故答案为：，． 10．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的解， ， ， 故答案为：6． 11．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 所以， 即， 因为分式方程的解是正整数，而， 则x的最小值为2， 所以， 解得， 故答案为：4． 12．一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 【答案】18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲做了天，则乙做了天，根据题意可求出甲和乙的工作效率，再把工作总量看作单位“1”，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率建立方程求解即可． 【详解】解：设甲做了天，则乙做了天． 由题意得， 答：甲做了18天． 13．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天．慢马所需时间比规定时间多一天，快马所需时间比规定时间少3天，通过规定时间相等列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 由题意，得； 故答案为：． 14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由个较小的三角形和个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为，图是这种特殊的三角形幻方． （1）若，则处的数值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减运算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形三个顶点处的数之和为，得到，，将代入计算即可； （）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出，即可得到答案． 【详解】解：（）根据三角形三个顶点处的数之和为，得到，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．已知等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则该三角形的周长是 ． 【答案】或 【详解】解：解方程， ∴， 得，， 当底边为3，腰为时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是； 当底边为，腰为时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是； 综上，该三角形的周长是或． 故答案为：或． 16．某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为（且均为正整数）．三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，下表是三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下： 一轮 二轮 三轮 四轮 五轮 总分 甲 9 乙 22 丙 9 则的值为 ，三名同学在五轮比赛中 获得的第二名最多． 【答案】 5 甲 【详解】解： 每轮分别决出第一二三名（不并列）， ， ， 乙的得分最高为， ，均为正整数， ， ，均为正整数， 的最小值分别为， ， ，，， ， 乙4轮得第一，1轮得第二， 设甲有一轮得第一，则甲的得分至少， 与甲的实际得分不符合 故甲没有一轮得第一，丙有一轮得第一， ，即丙剩下的三轮总分为3分， 剩下的三轮丙只能是3轮都是第三， 丙1轮得第一，4轮得第三， 又 乙4轮得第一，1轮得第二，三人第一、第二和第三的总数都是5， 甲4轮得第二，1轮得第三，即甲获得的第二名最多． 故答案为：5，甲． 三、解答题（本题共12小题第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 先通过去分母，然后检验即可解答即可． 【详解】解：， 去分母得:， 去括号得:， 移项得:， 合并同类项，得． 18．解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，通过找最简公分母去分母化为整式方程求解，并检验根． 【详解】解：方程 两边同乘（其中）得： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程有一个根大于4，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴ 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， 解得，， ∵方程有一个根大于4， ， ． 20．某校七年级525名师生一起去参观历史博物馆．已知客运公司有A，B两种型号客车可供租用，A型客车载客量为40人，B型客车载客量为56人，一辆A型客车的租金比一辆B型客车的租金少200元，2辆A型客车和5辆B型客车的租金共8000元． (1)每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用10辆客车，怎样租车最省钱？ 【答案】(1)每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是1000元和1200元； (2)租用型客车2辆，型客车8辆，最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是明确题意，根据题目中的数量关系列出方程组或者不等式组． （1）每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是x元和y元，根据题意可以列出相应的方程组，解出即可求出答案； （2）设租用型客车辆，租用型客车辆，根据题意列出不等式然后求解，即可得出相应方案，然后计算费用即可． 【详解】（1）解：每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是x元和y元， ， 解得，， 答：每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是1000元和1200元； （2）设租用型客车辆，租用型客车辆， 根据题意列出不等式： 解得： 共有两种租车方案， 方案一：租用型客车2辆，型客车8辆，费用为元， 方案二：租用型客车1辆，型客车9辆，费用为元， 方案三：租用型客车0辆，型客车10辆，费用为元， 由上可得，方案一：租用型客车2辆，型客车8辆，最省钱． 21．藤球是一项球类运动，亚运会正式比赛项目之一．早在11世纪，东南亚国家文化中就有关于藤球运动的记录．藤球比赛中，选手只能用脚、腿、肩和头触球．选手常常在比赛中会使用高难度、带杂耍意味的动作来控制球的运动． 在学校第十三届科技节中，同学们动手实践，参与到藤球的制作活动中，进行了单层藤球和双层藤球的制作．已知制作同尺寸藤球，制作2个单层藤球和1个双层藤球需14米原材料，制作1个单层藤球和3个双层藤球需27米原材料． (1)制作1个单层藤球和1个双层藤球各需多少米原材料？ (2)初一某班级共42人，现有原材料200米，若每人制作1个单层藤球或1个双层藤球（只做一个），则该班级最多可以制作多少个双层藤球？ 【答案】(1)制作1个单层藤球需3米原材料，1个双层藤球需8米原材料 (2)该班级最多可以制作14个双层藤球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设制作1个单层藤球需米原材料，1个双层藤球需米原材料，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该班级可以制作个双层藤球，则可以制作个单层藤球，根据现有原材料200米建立不等式，求出不等式的最大正整数解即可得． 【详解】（1）解：设制作1个单层藤球需米原材料，1个双层藤球需米原材料， 由题意得：， 解得， 答：制作1个单层藤球需3米原材料，1个双层藤球需8米原材料． （2）解：设该班级可以制作个双层藤球，则可以制作个单层藤球， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大正整数解为14， 答：该班级最多可以制作14个双层藤球． 22．阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，， 故答案为：，． 23．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 24．如图，在中，，，，点从点出发沿边向点运动，同时点从点出发沿边向点运动，两动点均以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则几秒后，的面积为面积的一半？ 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，通过分析动点的运动规律和所求三角形的关系列方程求解是解题的关键． 设秒后，的面积为面积的一半，根据题意表示出和，再分别表示出和的面积，根据它们之间的等量关系列方程求解即可． 【详解】设秒后，的面积为面积的一半， 由题意可得：，，，， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 经过1秒后，的面积为面积的一半． 25．新定义：若是关于的一元一次方程（）的解，是关于的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号 ； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”，请求出的值； (3)如关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”．请求出的值． 【答案】(1)② (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，新概念等知识，掌握新概念，理解一元一次方程的解，正确解一元一次方程是解题的关键； （1）分别求出各方程的解，根据“景元方程”的定义进行判断即可； （2）求出与的解，再根据题意即可求解； （3）求出的解，再根据求得，代入中，化简求得m与n的关系，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：； 方程的解为，方程的解为或； 当时，，则方程①不是的“景元方程”； 当时，，则方程②是的“景元方程”； 故答案为：②； （2）解：， 整理得：， 解得：或； 方程整理得：， 解得：； 由于关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，或； （3）解：解得：， ∵， ∴， 代入中，得， 整理得：， ∴， 解得：或， ∵， ∴当时，； 当时，； 综上，的值为或． 26．2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)230 (2)当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，根据题意知单价增加5元，则销量减少50件可得结果； （2）设销售单价为x元，则每件的销售利润为（x-30）元，每天可销售件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （3）根据题意设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该吉祥物的当天利润不能达到3700元． 【详解】（1）解：（件）． 故答案为：230． （2）解：设该吉祥物公仔的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得： ，    整理，得， 解得（不合题意，舍去），．    答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）解：不能，理由如下： 设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件， 依题意，得，   整理，得． 因为， 所以该方程无实数根，即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元． 27．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个三阶幻方． (1)①若，，，，，，，，是三阶幻方中的9个数，且斜对角线上三个数的和为27，直接写出m的值______． ②如图2是一个未完成的三阶幻方，直接写出x的值______． (2)如图3是一个四阶幻方，每行、每列以及两条斜对角线上的四个数字之和都相等，请说明下面等式成立的理由：． 【答案】(1)①4；②3 (2)见解析 【分析】本题涉及幻方综合，考查一元一次方程解实际应用题、等式证明等，读懂题意，理解幻方规则是解问题的关键． （1）①根据幻方定义，结合题意将，，，，，，，，填入幻方，再由斜对角线上三个数的和为27，得到方程，解得； ②根据幻方定义，列出方程求解即可得到答案； （2）根据幻方规则，设，，求和，同理令，，求和，①和②作差变形即可解答． 【详解】（1）解：①根据幻方规则，将，，，，，，，，填入幻方， 如图，                                              斜对角线上三个数的和为27， ， 解得， 故答案为：4； ②由幻方定义可知， 解得， 故答案为：3； （2）根据四阶幻方规则，设，， ， 同理令，， ， ①和②作差变形可得： 28．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI (1)当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； (2)已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； (3)已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，② 【详解】（1）解：由题意知，，则， ∵， ∴，，； 故关于点A的距离系数为1的是：和； （2）∵，， ∴线段：， ，即：， ∴或， ∴或， ∴当两个点的横坐标间的距离越远，越小， ∴当点离点横坐标最远时：， 当离点横坐标最远时：， 综上：或； （3）①由可知，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点关于点A的距离系数的最小：此时：； ②如图，当，点E在上，点D在上(D和E可以互换位置)，且点E、D和A共线时，满足条件， 延长交x轴于点J，由题意可得，，解得， 则， ∵， ∴， 则，解得， 那么， 故答案为∶． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $