（温故知新-寒假专供）专题01 小数除法（知识回顾+十七大重点难点题型讲练+拔尖训练 共49题）-北师大版数学五年级上册培优讲义

专题01 小数除法 （知识回顾+十七大重点难点题型讲练+拔尖训练 共49题） 【原卷版】 知识回顾 2 知识点01：小数除法 2 知识点02：循环小数及其分类 2 知识点03：小数除以整数 2 知识点04：小数除法的近似数 3 知识点05：除数是小数的除法 3 知识点06：小数四则混合运算 3 题型讲练 4 重点难点题型一：除数是整数的小数除法计算与应用 4 重点难点题型二：与小数点移动相关的和差倍问题 5 重点难点题型三：除数是小数的小数除法计算与应用 5 重点难点题型四：错中求解问题（小数除法) 6 重点难点题型五：用“四舍五入”法求积的近似数 6 重点难点题型六：用“四舍五入”法求商的近似数 7 重点难点题型七：判定被除数的最大值和最小值 7 重点难点题型八：被除数和商的大小关系（小数除法） 7 重点难点题型九：用“进一法”解决问题 7 重点难点题型十：用“去尾法”解决问题 8 重点难点题型十一：循环小数 8 重点难点题型十二：小数的连除运算 9 重点难点题型十三：小数的乘、除法混合运算 9 重点难点题型十四：小数的四则运算及法则 10 重点难点题型十五：小数除法相关的简便计算 10 重点难点题型十六：利用小数四则混合运算解决问题 11 重点难点题型十七：分段计费问题（小数除法) 11 拔尖训练 12 知识点01：小数除法 1、意义：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．小数除法的法则与整数除法的法则基本相同 2、注意事项： （1）当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商． （2）当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 知识点02：循环小数及其分类 1．循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．循环小数是无限小数． 2．循环小数可分为：纯循环小数和混循环小数． （1）纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666… （2）混循环小数指不是从小数第一位循环的小数． 知识点03：小数除以整数 1、整数除法和小数除法的方法是一样的，只是商中间多了一个小数点。而商的小数点与被除数的小数点对齐。这个和整数除法中数位对齐是一个道理。 2、方法总结： 除数是整数的小数除法，与整数除法一样。 （1）都是按照整数除法的法则去除，除到哪一位商就写在那一位的上面。简单地说，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 （2）遇到整数部分不够商“1”就商“0”。 （3）如果除到被除数的末尾仍有余数，添0继续除。 知识点04：小数除法的近似数 1、取商的近似值的一般方法：求商的近似数，要比需要保留的小数位数多除出一位，然后再“四舍五入”。 2、解决实际应用的问题时会出现四不舍、五不入的情况，应根据题目的特点去求出近似数。 3、方法总结： （1）相同点都是按“四舍五入法”取近似值。 （2）不同点是取商的近似值只要计算时比要保留的小数位数多除出一位就可以了；而取积的近似值时则要计算出整个积的值以后再取近似值。 知识点05：除数是小数的除法 1、小数除以小数 （1）除数是几位小数，被除数和除数的小数点就同时向右移动几位，使除数变成整数。 （2）如果被除数的位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足。 （3）按除数是整数的小数除法的方法进行计算。 （4）验算用乘法计算原来的算式。 2、方法总结： （1）、先移动除数的小数点，使它变成整数。 （2）、按除数是整数的小数除法进行计算。 （3）、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就向右移动几位。被除数位数不够的时候，在末尾用“0”补足。 3、注意事项：小数除法只要把除数转化为整数，被除数是不是整数无所谓，但是被除数和除数向右移动小数点的位数一定要相等。 知识点06：小数四则混合运算 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。 5、方法总结： a、小数乘法的计算方法： b、算：先按整数乘法的法则计算； c、看：看两个乘数中一共有几位小数； d、数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）； e、点：点上小数点； f、去：去掉小数末尾的“0”。 （2）、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。 小数除以整数计算方法： a、按整数除法的法则计算； b、商的小数点要和被除数的小数点对齐 c、如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。 （3）除数是小数的计算方法： a、看：看清除数有几位小数 b、移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足 c、算：按照除数是整数的除法计算。 重点难点题型一：除数是整数的小数除法计算与应用 【例1】（24-25五年级上·广东惠州·期中）毛笔书法作为中国传统文化中的一种艺术形式，具有深厚的文化内涵和历史底蕴，因此被誉为中国国粹之一。李老师来到书店购买毛笔练字，现有两种不同包装的毛笔（如图），哪一种单价更便宜？ 【变式】25-26五年级上·广东湛江·期中）下面是同学们在计算8.5÷5时不同的思考过程，其中正确的是（    ）。 A．只有①和② B．只有①和③ C．只有②和③ D．①、②和③ 重点难点题型二：与小数点移动相关的和差倍问题 【例2】（22-23五年级上·山西吕梁·期末）甲、乙两个数的和是3.85，甲数小数点向右移动一位就等于乙数，那么甲数是（    ）。 A．0.35 B．3.5 C．3 D．0.85 【变式】（23-24五年级上·陕西西安·期末）A、B两个数的和是16.5，将B的小数点向右移动一位后正好等于A。则A与B的积是( )。 重点难点题型三：除数是小数的小数除法计算与应用 【例3】（24-25五年级上·福建泉州·期末）下面计算2.8÷0.4的方法中，正确的有（    ）个。 ①    ② ③2.8＝2＋0.8，2÷0.4＝5，0.8÷0.4＝2，5＋2＝7 ④2.8÷0.4＝（2.8×5）÷（0.4×5）＝14÷2＝7 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（25-26五年级上·四川成都·期中）北京四合院是一种传统的合院式建筑，基本格局为一个院子四面建有房屋，从四面将庭院合围在中间，钱叔叔打算给庭院铺草皮，若一平方米草皮的价格是31.4元，则对于下面的竖式，说法正确的是（    ）。 A．1100元可以买35平方米的草皮，还剩余10元 B．1100元可以买35平方米的草皮，还剩余1元 C．11000元可以买35平方米的草皮，还剩余10元 D．11000元可以买35平方米的草皮，还剩余1元 重点难点题型四：错中求解问题（小数除法) 【例4】（23-24五年级上·陕西西安·期末）小莉计算除法时，把除数1.5看成了15，得到商是2.3，正确的商是23。( )（判断对错） 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）粗心的小李在计算一个小数除法算式时，错把除数2.6看成了26，结果得到的商是0.75，正确的商应该是（    ）。 A．7.5 B．75 C．19.5 D．1.95 重点难点题型五：用“四舍五入”法求积的近似数 【例5】（24-25五年级上·湖北宜昌·期中）列竖式计算（带★的要验算）。 10.8×12.5＝          2.34÷5.1≈（保留一位小数） 52.6×3.8＝           9.15×2.4＝ ★54.6÷0.21＝        7.8÷4.3≈（保留两位小数） 【变式】（24-25五年级上·甘肃张掖·期中）用竖式计算。（带※的得数保留一位小数） 0.84÷0.5＝    46×0.37＝    87.4÷3.8＝    ※7.4×0.29≈ 重点难点题型六：用“四舍五入”法求商的近似数 【例6】（25-26五年级上·四川成都·期中）用竖式计算，带☆的要验算，带≈的得数保留一位小数。 60.6÷15＝         35.48÷3.4≈         ☆6.21÷1.8＝ 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）列竖式计算。 （1）11.9÷0.14＝  （2）4.21÷1.3≈（商保留两位小数）  （3）7.64÷0.3≈ （商保留两位小数） 重点难点题型七：判定被除数的最大值和最小值 【例7】（20-21五年级上·广东深圳·期中）一个数除以3.8，商是两位小数，保留一位小数约是2.6，这个数最小是多少？ 【变式】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）a÷2.5＝b，b是一个两位小数，保留一位小数是2.0。a最大是（    ）。 A．5 B．5.1 C．4.975 D．5.125 重点难点题型八：被除数和商的大小关系（小数除法） 【例18（25-26五年级上·四川成都·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 45÷0.1( )4.5÷0.01                9÷0.876( )5 2.6÷1.02( )2.6×1.02            3.9÷10( )3.9×0.1 【变式】（24-25五年级上·安徽安庆·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 639×0.98( )639   3.6÷0.2( )3.6×5    360÷0.9( )360÷1.3 重点难点题型九：用“进一法”解决问题 【例9】．（25-26五年级上·陕西西安·期中）装修新房子。淘气家想在阳台的一面墙贴上如图所示的瓷砖，至少需要买多少块这种瓷砖？ 【变式】（24-25五年级上·福建泉州·期末）福建永春老醋是中国的四大名醋之一，是国家地理标志产品。王奶奶把2千克永春老醋装入容量是0.35千克的玻璃瓶中，至少需要准备几个这样的玻璃瓶？如图，解答这道题时，竖式中的余数“25”表示( )千克，至少要准备( )个这样的玻璃瓶。 重点难点题型十：用“去尾法”解决问题 【例10】．（25-26五年级上·陕西汉中·期中）包装一个礼品盒要用2.2m彩带，用30m彩带最多可以包装( )个这样的礼品盒。要将30kg油装入容量为2.2kg的桶中，最少需要( )个这样的桶。 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）在解决下面的问题时，计算结果要用“去尾法”的是（    ）。 A．每瓶饮料2.8元，买12瓶需要多少钱 B．一块布料2.5米，做一件上衣需要0.8米，这块布料能做几件上衣 C．一个书包58元，3个书包共多少钱 D．一辆车最多坐4人，15人至少要租几辆车才能坐完 重点难点题型十一：循环小数 【例11】（25-26五年级上·陕西西安·期中）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.199    14÷0.86( )14     4.5÷0.9( )4.5÷9 4.8÷0.24( )1    43.2÷3.6( )43.2   3.6×0.15( )3.6÷0.15 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）陕西皮影戏是珍贵的非遗文化，制作皮影需要专用刻刀。王师傅花了47.6元买材料制作刻刀，每把刻刀的材料费是8.5元，他最多能制作多少把刻刀？ 重点难点题型十二：小数的连除运算 【例12】（25-26五年级上·福建泉州·期中）用自己喜欢的方法计算。 42÷3.5÷0.4                4.25＋8.75÷7 0.25×64×0.125             7.2÷（0.8×3） 【变式】（24-25五年级上·湖北宜昌·期中）脱式计算（能简算的要简算）。 12.5×48×2.5          6.3÷0.7÷0.9 32.5×9.8＋3.25        4.6×0.85＋5.4×0.85 重点难点题型十三：小数的乘、除法混合运算 【例13】（25-26五年级上·陕西西安·期中）计算，能简算的要简算。 （1）          （2） （3）        （4） 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）爬山是一项有益身心的运动。牛牛周末去爬山，从山脚到山顶用了2.5小时，运动手表显示上山的平均速度是每小时1.14千米。原路返回下山时，手表显示平均速度是每小时1.9千米，请问牛牛下山用了多少时间？ 重点难点题型十四：小数的四则运算及法则 【例14】（25-26五年级上·陕西宝鸡·期中）脱式计算。（能简算的要简算） 73.5＋26.5÷2.5     6.3×1.25＋3.7×1.25     0.175÷0.25÷0.4 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）《电动自行车安全技术规范》规定：电动自行车最高设计车速不超过25千米/时。某骑手取餐后距离顾客家3.6km，外卖员中途遇到堵车需要绕行，多骑行了0.75km。外卖员取餐后共用时15分送达。他超速了吗？ 重点难点题型十五：小数除法相关的简便计算 【例15】（25-26五年级上·四川成都·期中）计算下面各题。 （3.2＋0.16）÷0.8     7.4×9.9＋0.74      7.5÷1.25÷0.8  0.25×[30×（9－1.5）] 【变式】（24-25五年级上·广东茂名·期末）用你喜欢的方法计算。 19÷（18.7－14.9）      2.2×3.1＋3.1×7.8       3.6÷0.125÷8 重点难点题型十六：利用小数四则混合运算解决问题 【例16】（25-26五年级上·福建泉州·期中）李阿姨上午10：10开车到商场购物，13：40离开停车场。该商场停车场收费标准如下： 时间 费用 1小时以内（含1小时） 收费6元 超过1小时的部分 每半小时收费3元（不足半小时按半小时计算） （1）李阿姨离开时应付多少元停车费？ （2）王先生在该停车场停车后支付了24元停车费，他的车在停车场最多停了多长时间？ 【变式】（25-26五年级上·安徽淮北·期中）制造一种机器，原来每台需要钢材吨，改进技术后，每台可节约钢材吨。原来制造300台机器的钢材，现在可以制造多少台？ 重点难点题型十七：分段计费问题（小数除法) 【例17】（25-26五年级上·四川成都·期中）下面是某市固定电话收费标准： 市内电话：前3分钟（含3分钟），每分钟收费0.2元； 超过3分钟以后，每分钟收费0.1元 （不足1分钟按1分钟计算）。 国际长途：每6秒收费0.48元（不足6秒按6秒计算）。 （1）奇奇与国外的表哥通话2分30秒，需支付话费多少元？ （2）妙妙与本市的外婆通话花了1.4元话费，她通话了多长时间（通话时间为整分钟数）？ 【变式】（25-26五年级上·陕西榆林·期中）今年中秋国庆假期期间，西安大唐不夜城接持游客数量众多，十分热闹。许多来自全国各地的游客开车到大唐不夜城游玩，由于大唐不夜城的停车场已满，他们将车停在附近的停车场（收费标准如下）。 停车标准 1小时内：6元 超过1小时：超过的部分每半小时加收1.8元，不足半小时按半小时算。 苗苗一家驾车离开停车场时共支付15元停车费，他们最多停了几个小时？ 1．（24-25五年级上·福建泉州·期末）如图，算式（    ）的结果最大。 A．M÷N B．M×N C．M＋N D．N÷M 2．（25-26五年级上·四川成都·期中）奶茶店打算将一盒奶茶粉用小包分装起来，每包最多装0.15千克，装完这盒奶茶粉至少需要（    ）个小包。 A．16 B．17 C．18 D．20 3．（25-26五年级上·广东深圳·期中）下列问题中，能用“3.2÷0.4”解决的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）一头小象的体重是2.4吨，是一头小牛的12倍，这头小象比这头小牛重( )吨。 5．（25-26五年级上·四川成都·期中）根据9072÷324＝28，直接写出下列各题的商。 9072÷3.24＝( )     9.072÷3.24＝( )     90.72÷32.4＝( )     907.2÷324＝( ) 6．（25-26五年级上·四川成都·期中）3÷7的商的小数部分第100位数字是( )、商的小数部分前100位数字的和是( )。 7．（25-26五年级上·广东茂名·期中）因为，所以，这种说法对吗？说说你的想法。 8．（25-26五年级上·陕西西安·期中）6.□8÷6，要使商为两位小数，且十分位商0，那么□只能填1。( )（判断对错） 9．（24-25五年级上·福建泉州·期末）用你喜欢的方法计算。 0.65×99＋0.65     17÷2.5÷0.04       9.45÷［6×（10－8.5）］ 10．（24-25五年级上·福建泉州·期末）列竖式计算，带☆的要验算。 2.3÷0.4＝     3÷17≈（保留两位小数）        ☆10.92÷2.8＝ 11．（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）某市出租车的收费标准如下：3千米以内（包含3千米）收费10元；超过3千米，每千米2.5元。 （1）王阿姨乘坐出租车行驶5.6千米，应付多少钱？ （2）李阿姨乘坐出租车从家到博物馆花了18元，她家到博物馆有多远？ 12．（25-26五年级上·四川成都·期中）下图为小华等外卖时看到的手机界面。现在距离超时还有15分，在不超时的情况下，骑手平均每分至少行驶( )千米，相当于平均行驶1千米最多需要( )分，骑手( )超速行驶（填“属于”或“不属于”）。 13．（25-26五年级上·四川成都·期中）某市出租车的起步价为8元（2千米及以内），超过2千米的部分每千米收费1.9元。（不足1千米的部分按1千米计费） （1）赵叔叔乘出租车去博物馆参观，行驶里程是7.9千米，需付多少钱？ （2）王阿姨从公司出发，乘出租车到高铁站接客户，共付车费36.5元。王阿姨的公司距离高铁站最远是多少千米？ 14．（24-25五年级上·福建泉州·期中）代驾，是指专业的司机或代驾公司提供的服务，代替车主驾驶车辆，确保车主及车辆安全抵达指定地点。某平台日常代驾计费标准如表： 行驶里程 时段 7千米以内（包含7千米） 超过7千米的部分 7：00～21：59 35元 每千米3.5元 22：00～次日6：59 50元 每千米4.5元 行驶里程不足1千米，按1千米计算 （1）张阿姨21：00在该平台预约了代驾服务，并准时上车。从公司到张阿姨家共行驶了12.8公里，她一共需要支付多少元代驾费？ （2）王叔叔在某饭店参加聚会，晚上11：30聚会结束。王叔叔在该平台预约了代驾服务，并准时上车。到家后他共支付代驾服务费90.5元，这次代驾服务最多行驶了多少千米？ 15．（25-26五年级上·陕西西安·月考）有一桶煤油，连桶重10千克，售出这桶煤油的一半后，剩下的油连桶重5.5千克，如果这桶煤油全部售出，收入57.15元，那么每千克煤油多少元？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 小数除法 （知识回顾+十七大重点难点题型讲练+拔尖训练 共49题） 【解析版】 知识回顾 2 知识点01：小数除法 2 知识点02：循环小数及其分类 2 知识点03：小数除以整数 2 知识点04：小数除法的近似数 3 知识点05：除数是小数的除法 3 知识点06：小数四则混合运算 3 题型讲练 4 重点难点题型一：除数是整数的小数除法计算与应用 4 重点难点题型二：与小数点移动相关的和差倍问题 5 重点难点题型三：除数是小数的小数除法计算与应用 6 重点难点题型四：错中求解问题（小数除法) 8 重点难点题型五：用“四舍五入”法求积的近似数 8 重点难点题型六：用“四舍五入”法求商的近似数 10 重点难点题型七：判定被除数的最大值和最小值 12 重点难点题型八：被除数和商的大小关系（小数除法） 13 重点难点题型九：用“进一法”解决问题 13 重点难点题型十：用“去尾法”解决问题 14 重点难点题型十一：循环小数 15 重点难点题型十二：小数的连除运算 16 重点难点题型十三：小数的乘、除法混合运算 18 重点难点题型十四：小数的四则运算及法则 20 重点难点题型十五：小数除法相关的简便计算 21 重点难点题型十六：利用小数四则混合运算解决问题 22 重点难点题型十七：分段计费问题（小数除法) 24 拔尖训练 25 知识点01：小数除法 1、意义：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．小数除法的法则与整数除法的法则基本相同 2、注意事项： （1）当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商． （2）当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 知识点02：循环小数及其分类 1．循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．循环小数是无限小数． 2．循环小数可分为：纯循环小数和混循环小数． （1）纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666… （2）混循环小数指不是从小数第一位循环的小数． 知识点03：小数除以整数 1、整数除法和小数除法的方法是一样的，只是商中间多了一个小数点。而商的小数点与被除数的小数点对齐。这个和整数除法中数位对齐是一个道理。 2、方法总结： 除数是整数的小数除法，与整数除法一样。 （1）都是按照整数除法的法则去除，除到哪一位商就写在那一位的上面。简单地说，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 （2）遇到整数部分不够商“1”就商“0”。 （3）如果除到被除数的末尾仍有余数，添0继续除。 知识点04：小数除法的近似数 1、取商的近似值的一般方法：求商的近似数，要比需要保留的小数位数多除出一位，然后再“四舍五入”。 2、解决实际应用的问题时会出现四不舍、五不入的情况，应根据题目的特点去求出近似数。 3、方法总结： （1）相同点都是按“四舍五入法”取近似值。 （2）不同点是取商的近似值只要计算时比要保留的小数位数多除出一位就可以了；而取积的近似值时则要计算出整个积的值以后再取近似值。 知识点05：除数是小数的除法 1、小数除以小数 （1）除数是几位小数，被除数和除数的小数点就同时向右移动几位，使除数变成整数。 （2）如果被除数的位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足。 （3）按除数是整数的小数除法的方法进行计算。 （4）验算用乘法计算原来的算式。 2、方法总结： （1）、先移动除数的小数点，使它变成整数。 （2）、按除数是整数的小数除法进行计算。 （3）、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就向右移动几位。被除数位数不够的时候，在末尾用“0”补足。 3、注意事项：小数除法只要把除数转化为整数，被除数是不是整数无所谓，但是被除数和除数向右移动小数点的位数一定要相等。 知识点06：小数四则混合运算 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。 5、方法总结： a、小数乘法的计算方法： b、算：先按整数乘法的法则计算； c、看：看两个乘数中一共有几位小数； d、数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）； e、点：点上小数点； f、去：去掉小数末尾的“0”。 （2）、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。 小数除以整数计算方法： a、按整数除法的法则计算； b、商的小数点要和被除数的小数点对齐 c、如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。 （3）除数是小数的计算方法： a、看：看清除数有几位小数 b、移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足 c、算：按照除数是整数的除法计算。 重点难点题型一：除数是整数的小数除法计算与应用 【例1】（24-25五年级上·广东惠州·期中）毛笔书法作为中国传统文化中的一种艺术形式，具有深厚的文化内涵和历史底蕴，因此被誉为中国国粹之一。李老师来到书店购买毛笔练字，现有两种不同包装的毛笔（如图），哪一种单价更便宜？ 【答案】3支装 【思路引导】根据“单价＝总价÷数量”分别计算。2支装毛笔总价85.6元，单价为85.6÷2＝42.8元/支；3支装毛笔总价106.8元，单价为106.8÷3＝35.6元/支。因为42.8＞35.6，所以3支装的毛笔单价更便宜。 【完整解答】2支装单价：85.6÷2＝42.8（元/支） 3支装单价：106.8÷3＝35.6（元/支） 42.8＞35.6 答：3支装的毛笔单价更便宜。 【变式】25-26五年级上·广东湛江·期中）下面是同学们在计算8.5÷5时不同的思考过程，其中正确的是（    ）。 A．只有①和② B．只有①和③ C．只有②和③ D．①、②和③ 【答案】B 【思路引导】①根据商不变的性质，在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。由此可知，①运用了商不变的性质； ②根据商的变化规律，在除法里，如果除数不变，被除数乘或除以几（0除外），商就乘或除以几（0除外），由此可知②运用了这一规律； ③根据元、角单位之间的进率，1元＝10角，那么8.5元＝85角，85÷5＝17（角），17角＝1.7元，所以说③的思考过程是正确的；据此解答。 【完整解答】①运用了商不变的性质，思路是正确的； ②除数不变，被除数8.5乘10，则商也会乘10得到17，再把17除以10得到正确的商1.7，后边的箭头错误； ③1元＝10角，那么8.5元＝85角，85÷5＝17（角），17角＝1.7元，所以说③的思考过程是正确的。 故答案为：B 重点难点题型二：与小数点移动相关的和差倍问题 【例2】（22-23五年级上·山西吕梁·期末）甲、乙两个数的和是3.85，甲数小数点向右移动一位就等于乙数，那么甲数是（    ）。 A．0.35 B．3.5 C．3 D．0.85 【答案】A 【思路引导】把甲数的小数点向右移动1位，就扩大了10倍，原数是1份数，现在的数就是10份数等于乙数，再根据甲乙两数的和是3.85，进一步求出原数，即可求出另一个数。 【完整解答】甲数是： 3.85÷（10＋1） ＝3.85÷11 ＝0.35 甲数是0.35。 故答案为：A 【考点再现】根据小数点移动的规律得出甲乙两数的倍数关系是解决本题的关键。 【变式】（23-24五年级上·陕西西安·期末）A、B两个数的和是16.5，将B的小数点向右移动一位后正好等于A。则A与B的积是( )。 【答案】22.5 【思路引导】把一个数的小数点向右移动一位即所得的数是原来的10倍，所以A是B的10倍，由题意知两数的和是16.5，也就是B的（10＋1）倍是16.5，用除法即可求出B，进而求出A，然后求出它们的乘积。 【完整解答】B：16.5÷（10＋1） ＝16.5÷11 ＝1.5 A：16.5－1.5＝15 1.5×15＝22.5 A、B两个数的和是16.5，将B的小数点向右移动一位后正好等于A。则A与B的积是22.5。 重点难点题型三：除数是小数的小数除法计算与应用 【例3】（24-25五年级上·福建泉州·期末）下面计算2.8÷0.4的方法中，正确的有（    ）个。 ①    ② ③2.8＝2＋0.8，2÷0.4＝5，0.8÷0.4＝2，5＋2＝7 ④2.8÷0.4＝（2.8×5）÷（0.4×5）＝14÷2＝7 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题给出了利用数线、分数与除法的关系和分数的基本性质、拆分被除数、商不变的性质四种方法来计算，需具体分析判断四种方法是否正确：方法①根据数线看看里面有几个；方法②根据分数和除法的关系，先把除法写成分数的形式，再根据分数的基本性质（分子、分母同时乘或除以同一个不为的数，分数大小不变）把分子、分母变成整数，计算出结果；方法③先把被除数拆分两个数，两个数分别除以除数，得到的商再相加；方法④根据商不变的性质（被除数和除数同时乘或除以一个不为的数，商不变）计算出结果。据此解答。 【完整解答】方法①：数线上，每个为一段，里面刚好包含段，即，所以，该方法正确； 方法②：根据分数与除法的关系，可以先将写成，再根据分数的基本性质，分子、分母同时乘，得到，最后，该方法正确； 方法③：先把拆分成和，然后分别计算，，再将结果相加，该方法正确； 方法④：根据商不变的性质，被除数和除数同时乘，即，该方法正确。 以上计算的方法均正确。 故答案为：D 【变式】（25-26五年级上·四川成都·期中）北京四合院是一种传统的合院式建筑，基本格局为一个院子四面建有房屋，从四面将庭院合围在中间，钱叔叔打算给庭院铺草皮，若一平方米草皮的价格是31.4元，则对于下面的竖式，说法正确的是（    ）。 A．1100元可以买35平方米的草皮，还剩余10元 B．1100元可以买35平方米的草皮，还剩余1元 C．11000元可以买35平方米的草皮，还剩余10元 D．11000元可以买35平方米的草皮，还剩余1元 【答案】B 【思路引导】在计算除数是小数的除法时。根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化成除数是整数的除法进行计算，因为31.4需要乘10变为314，则总钱数为11000÷10＝1100元，根据余数＝被除数－商×除数，据此可求出余数为几，然后进行选择即可。 【完整解答】11000÷10＝1100（元） 1100－35×31.4 ＝1100－1099 ＝1（元） 则用1100元可以买35平方米的草皮，还剩余1元。 故答案为：B 重点难点题型四：错中求解问题（小数除法) 【例4】（23-24五年级上·陕西西安·期末）小莉计算除法时，把除数1.5看成了15，得到商是2.3，正确的商是23。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据商的变化规律，被除数不变，除数缩小为原来的几分之一，商就扩大到原来的几倍；被除数不变，除数扩大到原来的几倍，商就缩小为原来的几分之一，据此解答。 【完整解答】根据题意，被除数不变，当除数是15时，商是2.3；当除数是1.5时，求商是多少。根据商的变化规律，被除数不变，除数缩小为原来的，商扩大为原来的10倍，所以正确的商为2.3×10＝23，所以原题说法正确； 故答案为：√ 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）粗心的小李在计算一个小数除法算式时，错把除数2.6看成了26，结果得到的商是0.75，正确的商应该是（    ）。 A．7.5 B．75 C．19.5 D．1.95 【答案】A 【思路引导】先根据错误的除数和商算出被除数（被除数＝除数×商），再用被除数除以正确的除数计算出正确的商。 【完整解答】26×0.75＝19.5 19.5÷2.6＝7.5 因此，粗心的小李在计算一个小数除法算式时，错把除数2.6看成了26，结果得到的商是0.75，正确的商应该是7.5。 故答案为：A 重点难点题型五：用“四舍五入”法求积的近似数 【例5】（24-25五年级上·湖北宜昌·期中）列竖式计算（带★的要验算）。 10.8×12.5＝          2.34÷5.1≈（保留一位小数） 52.6×3.8＝           9.15×2.4＝ ★54.6÷0.21＝        7.8÷4.3≈（保留两位小数） 【答案】135；0.5 199.88；21.96 260；1.81 【思路引导】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答； 除法的验算用乘法，被除数÷除数＝商。被除数＝商×除数，据此解答。 【完整解答】10.8×12.5＝135      2.34÷5.1≈0.5                  52.6×3.8＝199.88             9.15×2.4＝21.96                54.6÷0.21＝260     7.8÷4.3≈1.81 验算： 【变式】（24-25五年级上·甘肃张掖·期中）用竖式计算。（带※的得数保留一位小数） 0.84÷0.5＝    46×0.37＝    87.4÷3.8＝    ※7.4×0.29≈ 【答案】1.68；17.02；23；2.1 【思路引导】小数乘法法则：（1）按整数乘法法则先算出积。（2）看因数中一共有几位小数，就从积的右边起，数出几位点上小数点。要求得数保留一位小数，就要看百分位上的数用四舍五入的方法保留一位小数即可。 计算小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾添0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，据此解答即可。 【完整解答】0.84÷0.5＝1.68          46×0.37＝17.02       87.4÷3.8＝23           7.4×0.29≈2.1       重点难点题型六：用“四舍五入”法求商的近似数 【例6】（25-26五年级上·四川成都·期中）用竖式计算，带☆的要验算，带≈的得数保留一位小数。 60.6÷15＝         35.48÷3.4≈         ☆6.21÷1.8＝ 【答案】4.04；10.4；3.45 【思路引导】计算除数是整数的小数除法时，按照整数除法的方法计算，被除数的整数部分不够除时，要在被除数的个位数字上面商0，对齐被除数的小数点点上商的小数点，再继续往下除； 计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，得数保留一位小数时，要除到小数点后面第二位，再根据四舍五入取近似值，最后根据“被除数＝商×除数”进行验算，据此解答。 【完整解答】60.6÷15＝4.04     35.48÷3.4≈10.4    ☆6.21÷1.8＝3.45     验算： 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）列竖式计算。 （1）11.9÷0.14＝  （2）4.21÷1.3≈（商保留两位小数）  （3）7.64÷0.3≈ （商保留两位小数） 【答案】（1）85；（2）3.24；（3）25.47； 【思路引导】（1）除数是小数的小数除法，要利用商不变的规律，把除数变成整数计算，除数扩大到原来的几倍，同时被除数也要扩大到原来的几倍，接着按照整数除法的方法去计算，商的小数点和被除数的小数点对齐，被除数不够除补0继续除； （2）方法同（1），结果保留两位小数，就要看小数点后第三位小数（千分位上的数），根据“四舍五入”法处理，千分位上是8，8＞5，向百分位进，百分位变成4； （3）方法同（1），结果保留两位小数，就要看小数点后第三位小数（千分位上的数），根据“四舍五入”法处理，千分位上是6，6＞5，向百分位进，百分位变成7； 【完整解答】（1）11.9÷0.14＝85（2）4.21÷1.3≈3.24（商保留两位小数）（3）7.64÷0.3≈25.47 （商保留两位小数）     重点难点题型七：判定被除数的最大值和最小值 【例7】（20-21五年级上·广东深圳·期中）一个数除以3.8，商是两位小数，保留一位小数约是2.6，这个数最小是多少？ 【答案】9.69 【思路引导】由于商保留一位小数后约是2.6，五入法求出的商是最小的，即2.55，所以被除数也是最小的，根据公式：被除数＝除数×商。把数代入公式即可求出这个数最小是多少。 【完整解答】“五入”得到的2.6最小是2.55。 2.55×3.8＝9.69 答：这个数最小是9.69。 【变式】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）a÷2.5＝b，b是一个两位小数，保留一位小数是2.0。a最大是（    ）。 A．5 B．5.1 C．4.975 D．5.125 【答案】B 【思路引导】根据题意，商b是一个两位小数，保留一位小数是2.0，那么b可能是1.95～2.04，最大是2.04； 然后根据“被除数＝商×除数”得出a＝2.5b，把b的值代入式子中，求出a最大的值。 【完整解答】由a÷2.5＝b，可得a＝2.5b； b最大是2.04； 当b＝2.04时，a＝2.5b＝2.5×2.04＝5.1； a最大是5.1。 故答案为：B 【考点再现】先利用“四舍”法得到最大的b，再根据除法中各部分的关系，求出a的值。 重点难点题型八：被除数和商的大小关系（小数除法） 【例18（25-26五年级上·四川成都·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 45÷0.1( )4.5÷0.01                9÷0.876( )5 2.6÷1.02( )2.6×1.02            3.9÷10( )3.9×0.1 【答案】 ＝ ＞ ＜ ＝ 【思路引导】（1）根据商的变化规律，被除数和除数同时缩小到原来的，商不变；也可直接计算两者结果，再对比。 （2）一个数（0除外）除以小于1（0除外）的数，商大于原数；先估算9÷0.876的结果，再和5比较。 （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商小于原数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于原数。 （4）除以10等同于乘0.1；也可直接计算两者结果，再对比。 【完整解答】（1）45÷0.1＝450，4.5÷0.01＝450，所以45÷0.1＝4.5÷0.01。 （2）因为0.876＜1，所以9÷0.876＞9，9＞5，因此9÷0.876＞5。 （3）因为1.02＞1，所以2.6÷1.02＜2.6，2.6×1.02＞2.6，因此2.6÷1.02＜2.6×1.02。 （4）3.9÷10＝0.39，3.9×0.1＝0.39，所以3.9÷10＝3.9×0.1。 【变式】（24-25五年级上·安徽安庆·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 639×0.98( )639   3.6÷0.2( )3.6×5    360÷0.9( )360÷1.3 【答案】 ＜ ＝ ＞ 【思路引导】一个数（0除外），乘小于1（0除外）的数，积比原数小；被除数一定，除数越大商越小；不能直接分析出大小关系的，计算出结果再比较。 【完整解答】0.98＜1，639×0.98＜639。 3.6÷0.2＝18，3.6×5＝18，3.6÷0.2＝3.6×5。 0.9＜1.3，360÷0.9＞360÷1.3。 重点难点题型九：用“进一法”解决问题 【例9】．（25-26五年级上·陕西西安·期中）装修新房子。淘气家想在阳台的一面墙贴上如图所示的瓷砖，至少需要买多少块这种瓷砖？ 【答案】142块 【思路引导】由图可知，长方形的长是3米，宽是2.6米，根据长方形的面积＝长×宽，求出这面墙的面积，根据1平方米＝100平方分米进行单位换算。再根据除法的意义，用这面墙的面积除以5.5，即可求出需要瓷砖的块数，结果用进一法取整。 【完整解答】2.6×3＝7.8（平方米） 7.8平方米＝780平方分米 780÷5.5≈142（块） 答：至少需要142块这种瓷砖。 【变式】（24-25五年级上·福建泉州·期末）福建永春老醋是中国的四大名醋之一，是国家地理标志产品。王奶奶把2千克永春老醋装入容量是0.35千克的玻璃瓶中，至少需要准备几个这样的玻璃瓶？如图，解答这道题时，竖式中的余数“25”表示( )千克，至少要准备( )个这样的玻璃瓶。 【答案】 0.25 6 【思路引导】在小数除法竖式计算中，被除数和除数同时扩大到原来的100倍，转化为200÷35计算，此时余数25是扩大到原来的100倍后的数，应缩小到原来的对应原数。余下的老醋也需要1个玻璃瓶，由此计算。 【完整解答】2÷0.35＝5（瓶）……0.25（千克） 5＋1＝6（个） 竖式中的余数25表示0.25千克，至少要准备6个这样的玻璃瓶。 重点难点题型十：用“去尾法”解决问题 【例10】．（25-26五年级上·陕西汉中·期中）包装一个礼品盒要用2.2m彩带，用30m彩带最多可以包装( )个这样的礼品盒。要将30kg油装入容量为2.2kg的桶中，最少需要( )个这样的桶。 【答案】 13 14 【思路引导】求30m里面有几个2.2m，用除法计算，结果用去尾法取整数。 求30kg里面有几个2.2kg，用除法计算，结果用进一法取整数。 【完整解答】30÷2.2≈13（个） 30÷2.2≈14（个） 所以，最多可以包装13个这样的礼品盒；最少需要14个这样的桶。 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）在解决下面的问题时，计算结果要用“去尾法”的是（    ）。 A．每瓶饮料2.8元，买12瓶需要多少钱 B．一块布料2.5米，做一件上衣需要0.8米，这块布料能做几件上衣 C．一个书包58元，3个书包共多少钱 D．一辆车最多坐4人，15人至少要租几辆车才能坐完 【答案】B 【思路引导】“进一法”是指在取近似数时，不管省略部分最高位上的数字是几，都要向前一位进一；“去尾法”是指在取近似数时，不管省略部分最高位上的数字是几，都要直接舍去；选择用“进一法”或者“去尾法”需要联系生活实际，据此逐项分析。 【完整解答】A．2.8×12＝33.6（元） 所以，买12瓶饮料需要33.6元，此时需要用准确值，不能用“去尾法”取近似数。 B．2.5÷0.8≈3（件） 所以，这块布料能做3件上衣，余下的布料不够做一件上衣时需要直接舍去，结果要用“去尾法”取整数。 C．58×3＝174（元） 所以，3个书包共174元，此时需要用准确值，不能用“去尾法”取近似数。 D．15÷4≈4（辆） 所以，15人至少要租4辆车才能坐完，余下的人坐不满一辆车时需要多租一辆车，结果用“进一法”取整数。 综上所述，计算结果要用“去尾法”的是“一块布料2.5米，做一件上衣需要0.8米，这块布料能做几件上衣”。 故答案为：B 重点难点题型十一：循环小数 【例11】（25-26五年级上·陕西西安·期中）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.199    14÷0.86( )14     4.5÷0.9( )4.5÷9 4.8÷0.24( )1    43.2÷3.6( )43.2   3.6×0.15( )3.6÷0.15 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ 【思路引导】第1题，先把循环小数改写成省略号的形式，再比较大小。 第2题，一个数（0除外）除以小于1的数，商比被除数大。 第3题，一个数（0除外）除以小于1的数，商比被除数大。一个数（0除外）除以大于1的数，商比被除数小。 第4题，被除数比除数大，商大于1。 第5题，一个数（0除外）除以大于1的数，商比被除数小。 第6题，一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。一个数（0除外）除以小于1的数，商比被除数大。 【完整解答】第1题，两个小数的整数部分、十分位和百分位上的数相同，0.199的千分位上的9大于的千分位上的1。所以，（＜）0.199 第2题，因为0.86＜1，所以，14÷0.86（＞）14 第3题，因为0.9＜1，那么4.5÷0.9的商比4.5大；因为9＞1，那么4.5÷9的商比4.5小。所以，4.5÷0.9（＞）4.5÷9 第4题，因为4.8＞0.24，所以，4.8÷0.24（＞）1 第5题，因为3.6＞1，所以，43.2÷3.6（＜）43.2   第6题，因为0.15＜1，那么3.6×0.15的积小于3.6；3.6÷0.15的商大于3.6。所以，3.6×0.15（＜）3.6÷0.15 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）陕西皮影戏是珍贵的非遗文化，制作皮影需要专用刻刀。王师傅花了47.6元买材料制作刻刀，每把刻刀的材料费是8.5元，他最多能制作多少把刻刀？ 【答案】5把 【思路引导】这道题的关键是明确：求一个数里面有几个另一个数，用除法。也可以根据题意理解为已知总价与单价，求数量，用“数量＝总价÷单价”计算。最后的结果是小数，要用“去尾法”保留整数，即，不管十分位上是几，都要舍去。据此解答。 【完整解答】（把） 答：他最多能制作5把刻刀。 重点难点题型十二：小数的连除运算 【例12】（25-26五年级上·福建泉州·期中）用自己喜欢的方法计算。 42÷3.5÷0.4                4.25＋8.75÷7 0.25×64×0.125             7.2÷（0.8×3） 【答案】30；5.5 2；3 【思路引导】42÷3.5÷0.4，从左到右依次计算。 4.25＋8.75÷7，先算除法，再算加法。 0.25×64×0.125，把64拆分成（8×8），然后利用乘法结合律进行计算。 7.2÷（0.8×3），利用除法的性质去括号计算。 【完整解答】42÷3.5÷0.4 ＝12÷0.4 ＝30 4.25＋8.75÷7 ＝4.25＋1.25 ＝5.5 0.25×64×0.125 ＝0.25×8×8×0.125 ＝（0.25×8）×（8×0.125） ＝2×1 ＝2 7.2÷（0.8×3） ＝7.2÷0.8÷3 ＝9÷3 ＝3 【变式】（24-25五年级上·湖北宜昌·期中）脱式计算（能简算的要简算）。 12.5×48×2.5          6.3÷0.7÷0.9 32.5×9.8＋3.25        4.6×0.85＋5.4×0.85 【答案】1500；10 321.75；8.5 【思路引导】12.5×48×2.5，把48化为8×6，原式化为：12.5×（8×6）×2.5，再去掉括号，原式化为：12.5×8×6×2.5，再根据乘法结合律，原式化为：（12.5×8）×（6×2.5），再进行计算。 6.3÷0.7÷0.9，根据除法性质，原式化为：6.3÷（0.7×0.9），再进行计算。 32.5×9.8＋3.25，把32.5×9.8化为3.25×98，原式化为：3.25×98＋3.25，再根据乘法分配律，原式化为：3.25×（98＋1），再化为：3.25×99，再把99化为100－1，原式化为：3.25×（100－1），再根据乘法分配律，原式化为：3.25×100－3.25×1，再进行计算。 4.6×0.85＋5.4×0.85，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：（4.6＋5.4）×0.85，再进行计算。 【完整解答】12.5×48×2.5 ＝12.5×（8×6）×2.5 ＝12.5×8×6×2.5 ＝（12.5×8）×（6×2.5） ＝100×15 ＝1500 6.3÷0.7÷0.9 ＝6.3÷（0.7×0.9） ＝6.3÷0.63 ＝10 32.5×9.8＋3.25 ＝3.25×98＋3.25 ＝3.25×（98＋1） ＝3.25×99 ＝3.25×（100－1） ＝3.25×100－3.25×1 ＝325－3.25 ＝321.75 4.6×0.85＋5.4×0.85 ＝（4.6＋5.4）×0.85 ＝10×0.85 ＝8.5 重点难点题型十三：小数的乘、除法混合运算 【例13】（25-26五年级上·陕西西安·期中）计算，能简算的要简算。 （1）          （2） （3）        （4） 【答案】（1）11.62；（2）0.81 （3）3.78；（4）32 【思路引导】（1）先算括号里的除法，再算括号外的乘法； （2）交换“”和“”的位置，然后根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把变成进行简算； （3）先算乘法、除法，再算加法； （4）先算括号里的除法，再算括号里的加法，最后算括号外的乘法。 【完整解答】（1） （2） （3） （4） 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）爬山是一项有益身心的运动。牛牛周末去爬山，从山脚到山顶用了2.5小时，运动手表显示上山的平均速度是每小时1.14千米。原路返回下山时，手表显示平均速度是每小时1.9千米，请问牛牛下山用了多少时间？ 【答案】1.5小时 【思路引导】上山的速度是1.14千米/小时，时间是2.5小时，根据“路程＝速度×时间”，用1.14乘2.5得出总路程；下山是原路返回，路程不变，下山速度是1.9千米/小时，根据“时间＝路程÷速度”，用总路程除以1.9计算即可。 【完整解答】1.14×2.5÷1.9 ＝2.85÷1.9 ＝1.5（小时） 答：牛牛下山用了1.5小时。 重点难点题型十四：小数的四则运算及法则 【例14】（25-26五年级上·陕西宝鸡·期中）脱式计算。（能简算的要简算） 73.5＋26.5÷2.5     6.3×1.25＋3.7×1.25     0.175÷0.25÷0.4 【答案】84.1；12.5；1.75 【思路引导】（1）先算除法，再算加法； （2）直接利用乘法分配律逆运算进行计算； （3）根据除法的性质，连续除以两个数等于除以这两个数的积，以此计算。 【完整解答】73.5＋26.5÷2.5 ＝73.5＋10.6 ＝84.1 6.3×1.25＋3.7×1.25 ＝（6.3＋3.7）×1.25 ＝10×1.25 ＝12.5 0.175÷0.25÷0.4 ＝0.175÷（0.25×0.4） ＝0.175÷0.1 ＝1.75 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）《电动自行车安全技术规范》规定：电动自行车最高设计车速不超过25千米/时。某骑手取餐后距离顾客家3.6km，外卖员中途遇到堵车需要绕行，多骑行了0.75km。外卖员取餐后共用时15分送达。他超速了吗？ 【答案】没有超速 【思路引导】用骑手距离顾客家的距离加上多骑行的0.75千米，即为总路程，1小时＝60分，15分钟＝0.25小时，根据路程÷时间＝速度，可得骑手的速度，与25千米/时比较，可知骑手是否超速。 【完整解答】15分＝0.25时 （3.6＋0.75）÷0.25 ＝4.35÷0.25 ＝17.4（千米/时） 17.4＜25 ，他没有超速。 答：他没有超速。 重点难点题型十五：小数除法相关的简便计算 【例15】（25-26五年级上·四川成都·期中）计算下面各题。 （3.2＋0.16）÷0.8     7.4×9.9＋0.74      7.5÷1.25÷0.8  0.25×[30×（9－1.5）] 【答案】4.2；74；7.5 ；56.25 【思路引导】①先算括号内的加法，再计算除法。 ②先通过积的变化规律（一个因数除以10，另一个因数乘10，积不变）统一因数，再用乘法分配律简算。 ③利用除法的运算性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），先算后两个数的积，再算除法。 ④遵循四则运算顺序：先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的乘法。 【完整解答】 【变式】（24-25五年级上·广东茂名·期末）用你喜欢的方法计算。 19÷（18.7－14.9）      2.2×3.1＋3.1×7.8       3.6÷0.125÷8 【答案】5；31；3.6 【思路引导】第1题，根据四则混合运算的顺序，先算减法，再算除法。 第2题，利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 第3题，利用除法的性质进行简便计算。 【完整解答】19÷（18.7－14.9） ＝19÷3.8 ＝5 2.2×3.1＋3.1×7.8 ＝（2.2＋7.8）×3.1 ＝10×3.1 ＝31 3.6÷0.125÷8 ＝3.6÷（0.125×8） ＝3.6÷1 ＝3.6 重点难点题型十六：利用小数四则混合运算解决问题 【例16】（25-26五年级上·福建泉州·期中）李阿姨上午10：10开车到商场购物，13：40离开停车场。该商场停车场收费标准如下： 时间 费用 1小时以内（含1小时） 收费6元 超过1小时的部分 每半小时收费3元（不足半小时按半小时计算） （1）李阿姨离开时应付多少元停车费？ （2）王先生在该停车场停车后支付了24元停车费，他的车在停车场最多停了多长时间？ 【答案】（1）21元； （2）4小时 【思路引导】（1）先根据“经过时间＝结束时间－开始时间”求出李阿姨的停车时长，计算可知，李阿姨的停车时长是3小时30分钟，即3.5小时，其中的1小时按6元收费，超过的（3.5－1）小时按每0.5小时3元收费，根据“总价＝单价×数量”求出超过部分应付的钱数，最后加上6元； （2）由题意可知，王先生停车时长超过1小时的部分付了24－6＝18元，用除法求出18元里面有几个3元，有几个3元超过部分的停车时长就有几个0.5小时，由此求出超过1小时部分的停车时长，最后加上1小时，据此解答。 【完整解答】（1）半小时＝30分钟＝0.5小时 13：40－10：10＝3小时30分钟 3小时30分钟＝3.5小时 （3.5－1）÷0.5×3＋6 ＝2.5÷0.5×3＋6 ＝5×3＋6 ＝15＋6 ＝21（元） 答：李阿姨离开时应付21元停车费。 （2）（24－6）÷3×0.5＋1 ＝18÷3×0.5＋1 ＝6×0.5＋1 ＝3＋1 ＝4（小时） 答：他的车在停车场最多停了4小时。 【变式】（25-26五年级上·安徽淮北·期中）制造一种机器，原来每台需要钢材吨，改进技术后，每台可节约钢材吨。原来制造300台机器的钢材，现在可以制造多少台？ 【答案】 375台 【思路引导】先用原来每台的钢材用量2.25吨乘300台求出原来制造300台机器需要的钢材总量；然后用原来每台的用量减去节约的0.45吨算出改进技术后每台机器的钢材用量；最后用钢材总量除以改进后每台的用量，即可得到现在可以制造的台数。据此解答。 【完整解答】（2.25×300）÷（2.25－0.45） ＝675÷1.8 ＝375（台） 答：现在可以制造375台。 重点难点题型十七：分段计费问题（小数除法) 【例17】（25-26五年级上·四川成都·期中）下面是某市固定电话收费标准： 市内电话：前3分钟（含3分钟），每分钟收费0.2元； 超过3分钟以后，每分钟收费0.1元 （不足1分钟按1分钟计算）。 国际长途：每6秒收费0.48元（不足6秒按6秒计算）。 （1）奇奇与国外的表哥通话2分30秒，需支付话费多少元？ （2）妙妙与本市的外婆通话花了1.4元话费，她通话了多长时间（通话时间为整分钟数）？ 【答案】（1）12元； （2）11分钟 【思路引导】（1）国际长途按6秒为计费单位，根据“1分＝60秒”，先将“2分30秒”转化为秒，统一时间单位。根据“不足6秒按6秒计算”的规则，用总秒数除以6，得到计费单位的数量。用计费单位数乘每个单位的收费标准（每6秒收费0.48元），得出总话费。 （2）市内电话前3分钟每分钟0.2元，先算出前3分钟的总费用。用总话费减去基础时段费用，得到超出3分钟部分的话费。超出部分每分钟收费0.1元，用超出费用除以单价，得到超出的时长。将基础时段时长和超出时长相加，得到总通话时长。据此解答。 【完整解答】（1）2分30秒＝150秒 150÷6×0.48 ＝25×0.48 ＝12（元） 答：需支付话费12元。 （2）前3分钟的话费：3×0.2＝0.6（元） 超过3分钟部分的话费：1.4－0.6＝0.8（元） 超过3分钟的时长：0.8÷0.1＝8（分钟） 总通话时长：3＋8＝11（分钟） 答：她通话了11分钟。 【变式】（25-26五年级上·陕西榆林·期中）今年中秋国庆假期期间，西安大唐不夜城接持游客数量众多，十分热闹。许多来自全国各地的游客开车到大唐不夜城游玩，由于大唐不夜城的停车场已满，他们将车停在附近的停车场（收费标准如下）。 停车标准 1小时内：6元 超过1小时：超过的部分每半小时加收1.8元，不足半小时按半小时算。 苗苗一家驾车离开停车场时共支付15元停车费，他们最多停了几个小时？ 【答案】3.5小时 【思路引导】已知总停车费为15元，1小时内收费6元，所以超出1小时部分的费用为15－6＝9（元）。因为超过1小时后，每半小时加收1.8元，所以超出部分包含的半小时个数为9÷1.8＝5（个）。因此超出1小时的时间为5÷2＝2.5（小时）。总停车时间为最初的1小时加上超出的2.5小时，即1＋2.5＝3.5（小时）。 【完整解答】（15－6）÷1.8÷2＋1 ＝9÷1.8÷2＋1 ＝2.5＋1 ＝3.5（小时） 答：他们最多停了3.5小时。 1．（24-25五年级上·福建泉州·期末）如图，算式（    ）的结果最大。 A．M÷N B．M×N C．M＋N D．N÷M 【答案】D 【思路引导】根据数轴可知，M在0和1之间；N在1和2之间，可以设M＝0.55，N＝1.1，把M和N的值代入各选项中的式子中，计算出结果，并比较大小，找出得数最大的算式即可。 【完整解答】设M＝0.55；N＝1.1 A．M÷N；0.55÷1.1＝0.5 B．M×N；0.55×1.1＝0.605 C．M＋N；0.55＋1.1＝1.65 D．N÷M；1.1÷0.55＝2 0.5＜0.605＜1.65＜2，N÷M的结果最大。 算式N÷M的结果最大。 故答案为：D 2．（25-26五年级上·四川成都·期中）奶茶店打算将一盒奶茶粉用小包分装起来，每包最多装0.15千克，装完这盒奶茶粉至少需要（    ）个小包。 A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】B 【思路引导】求装完2.5千克的奶茶粉至少需要多少个每包最多装0.15千克的小包，也就是求2.5千克里面有几个0.15千克，用除法计算，如果有余数，无论结果剩多少千克，都需要增加1个小包，所以得数采用“进一法”取整数。 【完整解答】2.5÷0.15≈17（个） 装完这盒奶茶粉至少需要17个小包。 3．（25-26五年级上·广东深圳·期中）下列问题中，能用“3.2÷0.4”解决的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】①已知路程3.2km，速度0.4km/分钟，根据“时间＝路程÷速度”，列式3.2÷0.4，符合。 ②已知总重量3.2kg，每袋0.4kg，求袋数即求3.2里有几个0.4，列式3.2÷0.4，符合。 ③已知路程3.2km，时间0.4小时，根据“速度＝路程÷时间”，列式3.2÷0.4，符合。 ④已知长方形面积3.2dm²，宽0.4dm，长方形面积公式是“面积＝长×宽”，求长应为3.2÷0.4，符合。 【完整解答】①已知路程3.2km，速度0.4km/分钟，时间为3.2÷0.4，符合。 ②已知总重量3.2kg，每袋0.4kg，袋数为3.2÷0.4，符合。 ③已知路程3.2km，时间0.4小时，速度为3.2÷0.4，符合。 ④已知长方形面积3.2dm²，宽0.4dm，求长应为3.2÷0.4，符合。 故答案为：D 【考点再现】从多个实际场景（行程问题的时间/速度计算、装袋的数量统计、长方形的长的求解）出发，本质都是运用除法的核心意义——“求一个数里包含几个另一个数”或“已知积和一个因数求另一个因数”。 4．（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）一头小象的体重是2.4吨，是一头小牛的12倍，这头小象比这头小牛重( )吨。 【答案】2.2 【思路引导】一头小象的体重是2.4吨，是一头小牛的12倍，已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法计算，求出一头小牛的体重为2.4÷12＝0.2吨；最后用小象的体重减去小牛的体重即可。 【完整解答】2.4÷12＝0.2（吨） 2.4－0.2＝2.2（吨） 所以这头小象比这头小牛重2.2吨。 5．（25-26五年级上·四川成都·期中）根据9072÷324＝28，直接写出下列各题的商。 9072÷3.24＝( )     9.072÷3.24＝( )     90.72÷32.4＝( )     907.2÷324＝( ) 【答案】 2800 2.8 2.8 2.8 【思路引导】被除数不变，除数除以一个数（0除外），商就会乘相同的数；被除数9072不变，除数324变为3.24相当于除以100，则商会乘100。 被除数除以a，除数除以b，（a、b均不为0），则商先除以a，再乘b；被除数9072变为9.072相当于除以1000，除数324变为3.24相当于除以100，所以商先除以1000，再乘100。 被除数除以a，除数除以b，（a、b均不为0），则商先除以a，再乘b；被除数9072变为90.72相当于除以100，除数324变为32.4相当于除以10，所以商先除以100，再乘10。 除数不变，被除数除以一个数（0除外），商也除以相同的数；除数不变，被除数9072变为907.2相当于除以10，所以商也除以10。 【完整解答】28×100＝2800，所以9072÷3.24＝2800； 28÷1000×100 ＝0.028×100 ＝2.8 所以9.072÷3.24＝2.8； 28÷100×10 ＝0.28×10 ＝2.8 所以90.72÷32.4＝2.8； 28÷10＝2.8，所以907.2÷324＝2.8。 6．（25-26五年级上·四川成都·期中）3÷7的商的小数部分第100位数字是( )、商的小数部分前100位数字的和是( )。 【答案】 5 451 【思路引导】计算3÷7的商是循环小数，循环节为“428571”，共6位数字。求小数部分第100位数字时，通过计算100除以6的余数来确定其在循环节中的位置；求前100位数字的和时，先计算一个循环节的和，再根据循环节个数计算完整部分的和，最后加上剩余数字的和；据此解答。 【完整解答】3÷7＝0.428571428571⋯＝，商的小数部分以“428571”为循环节，循环节有6位数字。 （1）100÷6＝16（组）⋯⋯4（位） 余数为4，表示第100位数字是循环节中的第4位数字，即5。 （2）一个循环节的和为： 4＋2＋8＋5＋7＋1 ＝6＋8＋5＋7＋1 ＝14＋5＋7＋1 ＝19＋7＋1 ＝26＋1 ＝27 前100位中有16个完整循环节，和为27×16＝432 剩余4位数字是循环节的前4位数字，和为4＋2＋8＋5＝6＋8＋5＝14＋5＝19 因此，商的小数部分前100位数字的和为432＋19＝451 综上，3÷7的商的小数部分第100位数字是5，商的小数部分前100位数字的和是451。 【考点再现】本题主要考查循环节的周期性，利用余数定位具体数字，并根据循环节求和公式快速计算总和，关键在于准确判断循环节长度及余数对应的位数。 7．（25-26五年级上·广东茂名·期中）因为，所以，这种说法对吗？说说你的想法。 【答案】× 【思路引导】在除法运算中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但余数会相应地扩大或缩小相同的倍数。本题中，43÷6＝7……1，当被除数和除数都缩小到原来的十分之一时，变为4.3÷0.6，商应不变为7，但余数也应缩小到原来的十分之一，即0.1，而不是1。同时，余数必须小于除数，而1＞0.6，不符合余数定义。因此，原说法错误。 【完整解答】根据分析，由43÷6＝7……1，4.3÷0.6商不变，余数为0.1，所以4.3÷0.6＝7……0.1。 故答案为：× 8．（25-26五年级上·陕西西安·期中）6.□8÷6，要使商为两位小数，且十分位商0，那么□只能填1。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据小数除法知识，计算6.□8÷6，要求商为两位小数且十分位为0。通过验证□从0到9的值，发现当□＝1时，6.18÷6＝1.03，满足条件；当□＝4时，6.48÷6＝1.08，也满足条件。因此，□可以填1或4，并非只能填1。 【完整解答】计算6.□8÷6： 当□＝1时，6.18÷6＝1.03，商为两位小数，十分位是0。 当□＝4时，6.48÷6＝1.08，商为两位小数，十分位是0。 因此，□可以填1或4，题干中“□只能填1”的说法错误。 故答案为：× 9．（24-25五年级上·福建泉州·期末）用你喜欢的方法计算。 0.65×99＋0.65     17÷2.5÷0.04       9.45÷［6×（10－8.5）］ 【答案】65；170；1.05 【思路引导】0.65×99＋0.65，逆用乘法分配律，先算（99＋1），再与0.65相乘； 17÷2.5÷0.04，根据除法的性质，将后两个数先乘起来再计算； 9.45÷［6×（10－8.5）］，先算减法，再算乘法，最后算除法。 【完整解答】0.65×99＋0.65 ＝0.65×（99＋1） ＝0.65×100 ＝65 17÷2.5÷0.04 ＝17÷（2.5×0.04） ＝17÷0.1 ＝170 9.45÷［6×（10－8.5）］ ＝9.45÷［6×1.5］ ＝9.45÷9 ＝1.05 10．（24-25五年级上·福建泉州·期末）列竖式计算，带☆的要验算。 2.3÷0.4＝     3÷17≈（保留两位小数）        ☆10.92÷2.8＝ 【答案】5.75；0.18；3.9 【思路引导】除数是整数的小数除法：按照整数的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如果被除数比除数小，商的个位上写“0”；如果被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答； 除法的验算用乘法；被除数÷除数＝商，被除数＝商×除数，据此解答。 【完整解答】2.3÷0.4＝5.75                       3÷17≈0.18                            10.92÷2.8＝3.9   验算： 11．（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）某市出租车的收费标准如下：3千米以内（包含3千米）收费10元；超过3千米，每千米2.5元。 （1）王阿姨乘坐出租车行驶5.6千米，应付多少钱？ （2）李阿姨乘坐出租车从家到博物馆花了18元，她家到博物馆有多远？ 【答案】（1）16.5元 （2）6.2千米 【思路引导】（1）5.6千米分成两部分：前3千米按照10元收取，后（5.6－3）千米按照每千米2.5元收取，先求出后（5.6－3）千米的费用，再加上10元即可； （2）把18元分成两部分，其中10元是前3千米的路费，其余的路费除以2.5元，就可以求出第二部分的路程，然后加上3千米即可求出李阿姨到博物馆有多远。 【完整解答】（1）5.6－3＝2.6（千米） 10＋2.6×2.5 ＝10＋6.5 ＝16.5（元） 答：应付16.5元。 （2）（18－10）÷2.5＋3 ＝8÷2.5＋3 ＝3.2＋3 ＝6.2（千米） 答：她家到博物馆有6.2千米。 12．（25-26五年级上·四川成都·期中）下图为小华等外卖时看到的手机界面。现在距离超时还有15分，在不超时的情况下，骑手平均每分至少行驶( )千米，相当于平均行驶1千米最多需要( )分，骑手( )超速行驶（填“属于”或“不属于”）。 【答案】 0.16 6.25 不属于 【思路引导】①已知剩余路程2.4千米，剩余时间15分钟（不超时的情况下，需在15分内走完2.4千米）。 根据“速度＝路程÷时间”，可得： 每分钟至少行驶距离：（千米/分） ②根据“时间＝路程÷速度”，已知速度是0.16千米/分，行驶1千米需要的时间： （分钟） ③先将“每分钟行驶速度”换算为“时速”： 1小时＝60分钟，因此时速为（千米/时）。 已知电动自行车最高时速不能超过15千米/时，而9.6＜15，因此不属于超速行驶。 【完整解答】2.4÷15＝0.16（千米/分） 1÷0.16＝6.25（分） 0.16×60＝9.6（千米/时） 9.6千米/时＜15千米/时，不属于超速。 因此，骑手平均每分至少行驶0.16千米，相当于平均行驶1千米最多需要6.25分，骑手不属于超速行驶。 13．（25-26五年级上·四川成都·期中）某市出租车的起步价为8元（2千米及以内），超过2千米的部分每千米收费1.9元。（不足1千米的部分按1千米计费） （1）赵叔叔乘出租车去博物馆参观，行驶里程是7.9千米，需付多少钱？ （2）王阿姨从公司出发，乘出租车到高铁站接客户，共付车费36.5元。王阿姨的公司距离高铁站最远是多少千米？ 【答案】（1）19.4元 （2）17千米 【思路引导】（1）7.9千米不足8千米按8千米计算，其中2千米按8元收费，超过的（8－2）千米按每千米1.9元收费，根据“总价＝单价×数量”求出超过部分应付的钱数，最后加上8元； （2）由题意可知，超过2千米所付的车费是（36.5－8）元，根据“数量＝总价÷单价”求出超过2千米的路程，最后加上2千米就是王阿姨的公司与高铁站的最远距离，据此解答。 【完整解答】（1）7.9千米≈8千米 （8－2）×1.9＋8 ＝6×1.9＋8 ＝11.4＋8 ＝19.4（元） 答：需付19.4元。 （2）（36.5－8）÷1.9＋2 ＝28.5÷1.9＋2 ＝15＋2 ＝17（千米） 答：王阿姨的公司距离高铁站最远是17千米。 14．（24-25五年级上·福建泉州·期中）代驾，是指专业的司机或代驾公司提供的服务，代替车主驾驶车辆，确保车主及车辆安全抵达指定地点。某平台日常代驾计费标准如表： 行驶里程 时段 7千米以内（包含7千米） 超过7千米的部分 7：00～21：59 35元 每千米3.5元 22：00～次日6：59 50元 每千米4.5元 行驶里程不足1千米，按1千米计算 （1）张阿姨21：00在该平台预约了代驾服务，并准时上车。从公司到张阿姨家共行驶了12.8公里，她一共需要支付多少元代驾费？ （2）王叔叔在某饭店参加聚会，晚上11：30聚会结束。王叔叔在该平台预约了代驾服务，并准时上车。到家后他共支付代驾服务费90.5元，这次代驾服务最多行驶了多少千米？ 【答案】（1）56元；（2）16千米 【思路引导】（1）21：00在第一个时段，代驾费为7千米以内的费用35元和超出7千米的部分的费用之和，不足1千米，按1千米计算，列出式子为35＋（13－7）×3.5，求出结果即可； （2）晚上11：30为第二个时段，最多行驶的路程＝基础路程7千米＋超出7千米的路程，先求出超出7千米的费用是90.5－50＝40.5（元），超出7千米的路程是40.5÷4.5＝9（千米），因为不足1千米，按1千米计算，所以最远行驶路程是9＋7＝16（千米），据此解答。 【完整解答】（1）12.8千米按13千米计算。 35＋（13－7）×3.5 ＝35＋6×3.5 ＝35＋21 ＝56（元） 答：她一共需要支付56元代驾费。 （2）（90.5－50）÷4.5＋7 ＝40.5÷4.5＋7 ＝9＋7 ＝16（千米） 答：这次代驾服务最多行驶了16千米。 【考点再现】解题关键是准确判断代驾时段，明确分段计费的规则，注意行驶里程不足1千米按1千米计算的规定。 15．（25-26五年级上·陕西西安·月考）有一桶煤油，连桶重10千克，售出这桶煤油的一半后，剩下的油连桶重5.5千克，如果这桶煤油全部售出，收入57.15元，那么每千克煤油多少元？ 【答案】6.35元 【思路引导】一桶煤油和一个桶的质量－半桶煤油和一个桶的质量＝半桶煤油的质量，半桶煤油的质量×2＝一桶煤油的质量，收入÷一桶煤油的质量＝每千克煤油的钱数，据此列式解答。 【完整解答】57.15÷[（10－5.5）×2] ＝57.15÷[4.5×2] ＝57.15÷9 ＝6.35（元） 答：每千克煤油6.35元。 【考点再现】关键是通过减法将一个桶的质量抵消，求出半桶油的质量，进而求出一桶煤油的质量。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $