专题01 相似三角形（9知识7题型5几何模型解题方法）（期末复习知识清单）九年级数学上学期沪教版五四制

该初中数学相似三角形专题知识清单全面覆盖相似形概念、比例性质、判定定理、性质应用及向量运算等核心内容，搭建从基础定义到几何模型的系统化学习支架。 清单通过易错点标注（如黄金分割两解）、速记口诀（平行线分线段口诀）和7大题型分类呈现知识，5大几何模型（A字、一线三等角）培养几何直观与推理意识，助力教师精准教学，学生自主复习高效。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01相似三角形(9知识&7题型&5几何模型解题方法) 知识图谱 相似形 相似形定义 性质 0定义 若号=日 则线段a、b、c、d是成比例线段 基本性质 若分=行，则d=c ②性质 合比性质 若号片则告= b 、d 比例线段 等比性质 ⊙黄金分割 性质定理推论 ④三角形一边的平行线 易错 〈判定定理 推论 ⑥平行线分线段成比例定理特例 相似三角形 两角分别相等的两个三角形相似 ①判定 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形 相似三角形对应边成比例，对应角相等 重难点 相似三角形对应中线、对应角平分线、对应高之比等于相似 @性质 比 相似三角形周长之比等于相似比 面积比等于相似比的平立 0加法、减法 运算法则 平行向量定理 实数与向量相乘 向量的运算 运算律 向量的线性组合 ©线性运算 向量的分解 知识清单 【清单01】相似形的概念及性质 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形. 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当两个相似的多边 形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1. 1/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【清单02】比例的性质 1、比和比例 0 一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作a:b(或表示为b); a c 如果a:b=c:d(或bd),那么就说a、b、c、d成比例. 2、比例的性质 (1)基本性质： 如果bd,那么ad=bc: a c b d ab cd 如果bd,那么ac,cd,ab, (2)合比性质： a=c a+bc+d 如果bd,那么bd: a c a-b c-d 如果bd,那么bd. (3)等比性质： a c =k 如果bd 8后-8大 【清单03】比例线段 1、比例线段的概念 a c 对于四条线段a、b、c、d,如果a:b=c:d(或表示为bd),那么a、b、c、d叫做成比例线 段，简称比例线段 2、黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段（如下图），其中AP是AB和PB的比例中项， 4P_5-1≈0.618 那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点.其中，AB2 ,称为黄金分 割数，简称黄金数 2/73 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A p B 易错点： 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注AP>PB或AP <BP,否则在已知AB的长度求AP(或BP)的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 【清单04】三角形一边的平行线性质定理及其推论 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. ADAE ·示例：如图，已知△MBC,直线I1IBC,且与AB、AC所在直线交于点D和点E,那么DBEC D 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. DE AD AE ·示例：如图，点D、E分别在△MBC的边AB、AC上，DE/IBC,那么BC AB AC. 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心. 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍. 4、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边： 5、三角形一边的平行线判定定理推论 3/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边， AD AE ·示例：如图，在△MBC中，直线I与AB、AC所在直线交于点D和点E,如果DBEC那么I/BC. 【清单05】平行线分线段成比例定理 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例， DF EG ·示例：如图，直线/乃1/人，直线m与直线n被直线4、、所截，那么FBGC G 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也 相等。 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 ·易错点： |易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 易错点3解题时漏掉一个黄金分割点 易错点4判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线 4/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【清单06】三角形相似的判定定理 1.判定三角形相似的预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型和“X型，如图所示在应用时要 善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形. D D B B 2.三角形相似的判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似. 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似 示例：如图，在△ABC与△MBC中，如果∠A=∠A、∠B=∠B,那么△MBC∽A4BC. A C 示例：常见模型如下： 3.三角形相似的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似， 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似. 5/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABAC 示例：如图，在△4BC与△4B,C中，∠A=∠4,4BAC,那么△MBC∽△4B,C. A A C B 4.三角形相似的判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似. AB BC CA 示例：如图，在△ABC与△MB,C中，如果4 B BC CA,那么△MBC∽△4BC. A A B 5判定两个直角三角形相似定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两 个直角三角形相似， 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似. AB BC 示例：如图，在RIMBC和R△4B,G中，如果∠C=∠C=90°，4B,B,C,那么△MBC∽△4B,C. 6/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【清单07】三相似三角形性质定理 1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比. 3.相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 【清单08】实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量： 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0： 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量： 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则： 向量减法的三角形法则： 向量加法的平行四边形法则。 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个向量，记作ka. 如果k0,且a≠0，那么如的长度k同-卧， ka的方向：当k>0时ka与a同方向：当k<0时ka与a反方向. 如果k=0或a=0,那么ka=0. 4.实数与向量相乘的运算律 7/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设m、n为实数，则 mna =(mn)a (m+n)a=ma+na ma+b =ma+mb 平行向量定理 如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m,使b=ma 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.设e为单位向量， 则月=1 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同. 对于任意非零向量Q,与它同方向的单位向量记作ao, 1→ a0= 由实数与向量的乘积可知： a=a ao 【清单09】向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. n的.级-调、争6-剂，g有起数 3- 一般来说，如果a、b是两个不平行的向量，c是平面内的一个向量，那么c可以用a、b表示，并且通常 将其表达式整理成c=a+b的形式，其中x、y是实数. 2.向量的合成与分解 如果a、万是两个不平行的向量，c=ma+nb(m、n是实数)，那么向量c就是向量ma与nb的合成：也 可以说向量c分解为ma、nb两个向量，这时，向量ma与b是向量c分别在a、b方向上的分向量， ma+nb是向量c关于a、b的分解式. 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 8/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期未常考题型清单 【题型一】比例性质与成比例线段 【例1-1】(23-24九年级上·上海宝山期末)下列各组中的四条线段成比例的是() A.2cm,3cm,4cm,5cm B.2cm,3cm,4cm,6cm 1cm,2cm,3cm,2cm 3cm.2cm,6cm.3cm C. D 【答案】B 【详解】解：A.由于2：3≠4：5，则2cm,3cm,4cm,5cm不成比例，所以A选项不符合题意： B.由于2：3=4：6，则2cm,3cm,4cm,6cm成比例，所以B选项符合题意： C.由于 :2≠2：3，则 m,2cm,3cm,2cm “不成比例，所以C选项不符合题意： D.由于2：3≠3：6 3cm,2cm,6cm,3cm 则 不成比例，所以D选项不符合题意. 故选：B 0-4 a-b 【例1-2】(23-24九年级上上海青浦期末)已知方=3，那么b 【答案】3 a 4 【详解】解：“方3， :0-b&b4 431 1= bbb 3333' 1 故答案为3 【变式1-1】(23-24九年级上·上海宝山期末)比例尺为1：100000的地图上，A、B两地的距离为2cm,那 么A、B两地的实际距离为一km. 【答案】2 【详解】解：设A、B两地间的实际距离是xCm,根据题意得： 2:x=1:100000, 解得x=200000, 200000cm=2km 9/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2. a b c 2a+b 【变式1-2】(2025上海宝山一模)已知345，那么c的值是一· 【答案】2 【】解：设号-子号水， .a=3k,b=4k,c=5k, 2a+b_2×3k)+4_10k=2 ..c 5k 5k 故答案为：2. 【变式1-3】(23-24九年级上·上海宝山期末)已知线段a=2,b=4,如果线段c是a和b的比例中项， 那么c=一· 【答案】2V5 【详解】，线段c是a和b的比例中项， :c2=h=2x4=8 :c=2V2 故答案为： 2v2 a b c 【变式1-4】(2025上海徐汇一模)已知：235· 2a+3b-5c ()求代数式a-2b+30的值： 2a+b+3c=44 a,b,c (2)当 时，求 的值 a b c 【详解】(1)解：设235k,则a=2k,6=3k:c=5: 4k+9k-25k-12k。12 所以原式=2k-6k+15k1k19 (2)解：把a=2k,b=3k,c=5k代入2a+b+3c=44得4k+3k+15k=44, 解得k=2, 10/73 专题01 相似三角形（9知识&7题型&5几何模型解题方法） 【清单01】相似形的概念及性质 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 【清单02】比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、、、成比例． 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 【清单03】比例线段 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． ·易错点： 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 【清单04】三角形一边的平行线性质定理及其推论 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． ·示例：如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． ·示例：如图，点、分别在的边、上，，那么． 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． ·示例：如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//． 【清单05】平行线分线段成比例定理 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． ·示例：如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 ·易错点： 易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 易错点3解题时漏掉一个黄金分割点 易错点4判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线 【清单06】 三角形相似的判定定理 1.判定三角形相似的预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 2.三角形相似的判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． ·示例：如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 ·示例：常见模型如下： 3.三角形相似的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． ·示例：如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 4.三角形相似的判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． ·示例：如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 5.判定两个直角三角形相似定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． ·示例：如图，在和中，如果，，那么∽． 【清单07】 三相似三角形性质定理 1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2.相似三角形周长的比等于相似比． 3.相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【清单08】 实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则； 向量减法的三角形法则； 向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． 如果k = 0或，那么． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 ；；． 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：，． 【清单09】 向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如、、、等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 2.向量的合成与分解 如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【题型一】比例性质与成比例线段 【例1-1】（23-24九年级上·上海宝山·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24九年级上·上海青浦·期末）已知，那么 ． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海宝山·期末）比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为 ． 【变式1-2】（2025·上海宝山·一模）已知，那么的值是 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ． 【变式1-4】（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【题型二】黄金分割 【例2】（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·上海徐汇·一模）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【变式2-2】（23-24九年级上·上海静安·期末）已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·上海松江·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ． 【题型三】三角形一边的平行线 【例3-1】（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3-3】（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C． D． 【变式3-1】（2025·上海虹口·一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 【变式3-3】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    【变式3-3】（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ． 【题型四】相似三角形的性质应用 【例4-1】（23-24九年级上·上海静安·期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 【例4-2】（2025·上海虹口·一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【例4-3】（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，联结，交对角线于点F，如果，，那么 ． 【变式4-1】（2025·上海徐汇·一模）已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【变式4-2】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ． 【题型五】相似三角形的判定与性质综合 【例5】（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）在平行四边形中，对角线、交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作、的平行线，交于点E，交、于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 【变式5-2】（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【题型六】平面向量的线性运算 【例6-1】（2025·上海宝山·一模）如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·上海奉贤·三模）如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么 ．（用、的线性组合表示） 【例6-3】（2025·上海徐汇·一模）如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 【变式6-1】（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知在中，，点D在边上，，． (1)求的长； (2)连接，设，，试用表示． 【变式6-2】（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，对角线、相交于点，，．    (1)求的长； (2)如果，试用表示向量． 【题型七】新定义、翻折与旋转压轴题 【例7-1】（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接、，若，则 ． 【例7-2】（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，将矩形沿折叠，点A、D分别与对应，B、C两点对应点落在AD 上的点G处，且，如果，那么的长为 ． 【例7-3】（23-24九年级上·上海崇明·期末）定义：P为内一点，连接，在和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称P为的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，是边上的中线，如果的重心P恰好是该三角形的自相似点，那么的余切值为 ． 【变式7-1】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为 ． 【变式7-2】（23-24九年级上·上海长宁·期末）我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在中，，点都在边上，，如果与是友好三角形，那么的长为 ． 【变式7-3】（2023·上海杨浦·一模）如图，已知在矩形中，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，那么线段的长为 ． 【变式7-4】（2025·上海普陀·一模）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 【题型一】A 字模型 如图一 如图二 1．(23-24九上·上海金山区·期末)如图，已知D、E、F分别是的边上的点，，的面积分别为1、4，四边形的面积为 ． 2．(24-25九上·上海·期末)如图，在中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且，. （1）求证：； （2）如果AF＝2，EF＝4，，求的值． 3．(23-24九上·上海松江区·期末)如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，连接、．已知，，，． (1)求的值； (2)若的面积为16，求四边形的面积． 4．(23-24九上·上海松江区·期末)已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 【题型二】8 字模型 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 1．(23-24九上·上海崇明区·期末)如图，在平行四边形中，点E在边上，联结，交对角线于点F，如果，，那么 ． 2．(23-24九上·上海松江区·期末)如图，在梯形中，，点E是的中点，、的延长线交于点F，如果，那么 ． 3．(24-25九上·上海浦东新区·期末)如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么 ． 4．(23-24九上·上海浦东新区·期末)如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求的正弦值． 5．(23-24九上·上海黄浦区·期末)如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【题型三】三角形内接矩形模型 模型展示： 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a，则， 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na，则 1．(23-24九上·上海松江区·期末)如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（    ） A．4 B．1 C． D． 2.（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，已知正方形的边在的边上，顶点分别在边上，如果，的面积为12，那么的长为 ．    3．(23-24九上·上海浦东新区·期末)如图，正方形的边在的直角边上，顶点E、F分别在边、上．已知两条直角边、的长分别为5和12，那么正方形的边长为 ． 【题型四】“一线三等角” 模型 模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称为“一线三等角”型相似． 1．(23-24九上·上海浦东新区·期末)如图，是边长为3的等边三角形，分别是边上的点，，如果，那么 2．(24-25九上·上海静安区·期末)如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ． 3.（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 4．（2024-2025上海市徐汇区期末）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【题型五】“母子相似” 模型 如图三 1.（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，连接，过点B作，垂足为点E． (1)求证：； (2)如果，连接并延长，与边相交于点F．当点F是的中点时，求证：． 2.（24-25九年级上·上海·期末）已知正方形和正方形，点E在边上，点G在边的延长线上，连接，并延长交于点K． (1)求证：； (2)如果与交于点H，求证：． 3.（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 4．(23-24九上·上海静安区·期末)已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 5．(24-25九上·上海·期末)如图，在四边形中，联结．点在边上，且与交于点． 求证：； 当时，求证：． 6．(25-26九上·上海静安区北初级中学·期末)RtABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD=CA，DE⊥AB． （1）求证：． （2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H．求证：CH⊥AB． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $