精品解析：重庆市永川区北山中学、兴龙湖中学、凤凰湖中学教育集团2023-2024学年上学期半期联合质量监测八年级数学试题

北山中学、兴龙湖中学、凤凰湖中学教育集团 2023—2024学年度第一学期半期联合质量监测 初2025届数学试题 考试时间：120分钟 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列每组数分别是三根小棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A. 9cm，5cm，4cm B. 8cm，cm，8cm C. cm，cm，cm D. 5cm，5cm，cm 【答案】C 【解析】 【分析】据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行逐项检查即可． 【详解】解：A、 ，不能摆成三角形，故本选项不符合题意； B、 ，不能摆成三角形，故本选项不符合题意； C、 ，能摆成三角形，故本选项符合题意； D、 ，不能摆成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项的法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 4. 与点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的特征，熟练掌握关于轴对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于轴对称的点的特征，即可得出答案． 【详解】解：与点关于轴对称的点是， 故选：B． 5. 将两个分别含30°和45°角的直角三角板如图放置，则∠α的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】由三角形的外角性质得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质以及三角板的度数是解题的关键． 6. 如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉各判定的内容是关键；由题意知，两个三角形有一角对应相等，还有一公共边，若用边角边则需添加，若用边角边或角角边，可添加或，显然添加不能判定两个三角形全等． 【详解】解：∵，， 若添加， ∴； 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加，则不能判断； 故选：A． 7. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 8. 如图，，点E在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等的性质得到，，进而得到，再利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质作出相应图像，然后即可确定点的个数 【详解】解：以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点符合题意． 以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交于两点（O点除外）． 作线段OA的垂直平分线与x轴有一交点．如图所示： 共4个点符合， 故选C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 10. 如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，下列结论：（1）；（2）是等边三角形；（3）平分；（4）；（5），其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据证明，可判定（1）；证明，，可判定（2）；如图所示，过点作于点，作于点，证明，得，证明，得，可判定（3）；由三角形内角和定理可判定（4）；根据三角形对应点的关系可判定（5）；由此即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，，故（1）正确； ∵， ∴， ∴，且， ∴是等边三角形，故（2）正确； 如图所示，过点作于点，作于点， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴平分，故（3）正确； 在中，， ∴，即，故（4）正确； ∵， ∴， ∴，， ∴点对应点为点，点对应点为点， ∴无法证明与全等，故（5）错误； 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_________；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．对于，应用积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可；对于，利用积的乘方运算的逆用进行运算即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：；． 12. 已知一个正多边形的每个内角都等于，则它的边数是_______． 【答案】 9 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的内角和，外角和的性质，掌握正多边形的性质是关键． 通过内角求外角，再利用外角和定理计算边数． 【详解】解：∵多边形的每个内角都等于， ∴每个外角为， 又∵多边形的外角和为， ∴边数． 故答案为：9． 13. 如图，在中，，平分交于点D，若，，则的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握并能应用此定理是关键；过点D作于点E，由角平分线性质定理得，则可求得结果． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，平分 ∴， ∴， 故答案为：9． 14. 如图，在中，，点D在AC上，且，则的度数为______度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设，根据等边对等角的性质求出，再利用三角形的内角和定理列方程求得x，进而求得的度数． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据三角形的外角性质，， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：72． 15. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则三角形的面积是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，中线平分面积的计算，合理作出辅助线是关键． 如图所示，延长交于点，可证，得到是的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵垂直的平分线于点P， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 16. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，， ， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 17. 如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_____度． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得，，根据三角形内角和定理得到，根据平行线的性质得到，利用角的和差得出，则有，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 18. 如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，为顶点的三角形与全等时，t的值为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程与几何图形的关系，全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是关键． 根据题意，分别用含t的式子表示出，结合全等三角形的性质，分类讨论，正确列式求解即可． 【详解】解：，，点P以的速度沿向终点E运动， ∴点从的运动时间为，点从的运动时间为，共用时， 点以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动， ∴点从的运动时间为， 设运动时间为， 如图所示，当时，点在上，点在上，则， ∴， 根据题意，时，， ∴， 解得，； 当时，点在上，点从点第一次返回点，则， 根据题意，时，， ∴， 解得，； 当时，点在上，点从点第二次返回点，则， 根据题意，时，， ∴， 解得，； 综上所述，当以P，C，为顶点的三角形与全等时，t的值为或或， 故答案为：或或． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分） 19. 如图，点，在线段上，，，，求证：． 【答案】证明：， ， 在与中， （AAS）， ． 【解析】 【分析】由可得，，进而根据AAS证明，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 20. 如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交直线于点E．已知，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，外角性质，直角三角形两锐角互余的知识，理解图示，掌握以上知识是关键． （1）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形的外角性质得到，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵平分， ∴； 【小问2详解】 解：， 在中，， ∴， ∴． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点． 【答案】（1）见详解 （2） （3）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系与图形的变化，掌握平面直角坐标系的特点是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据格点，运用分割法计算即可； （3）根据轴对称-最短路径的计算，结合两点之间线段最短即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， ∴即为所求图形； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∵对称 ∴， ∴，由两点之间线段最短得到点P即为所求点的位置． 22. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，在边上求作一点P，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）连接，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据可知点P在线段的垂直平分线上，由此只需要作出线段的垂直平分线，其与线段的交点P即为所求； （2）根据等边对等角结合三角形外角的性质得到，则，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由此根据线段之间的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点P就是所求的点． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，推出是解题的关键． 23. 已知：如图，，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及垂直平分线的性质．通过证明两个三角形全等，进而利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质来证明线段相等，需要用到的概念有全等三角形的判定条件和垂直平分线的性质． 【详解】证明：如图，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 24. 如图，，，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得，根据三角形内角和定理得到，则有，再利用全等三角形判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，四边形中，平分，，交于F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定，解题的关键是恰当作辅助线，构建全等三角形． （1）作交延长线于点，根据角平分线的性质定理得到，进而证明，再根据全等三角形的性质即可证明； （2）由得到，再证明，得到，再利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，作交延长线于点， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 26. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　 　；线段BE与AD之间的数量关系是　 　； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）60°，BE＝AD； （3）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由： 同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°， ∴∠BEC＝∠ADC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， ∵∠DCE＝90°， ∴DM＝ME＝CM． ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 【解析】 【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵∠CDE＝60°， ∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∵∠CED＝60°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°， 故答案为：60°，BE＝AD； （3）略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北山中学、兴龙湖中学、凤凰湖中学教育集团 2023—2024学年度第一学期半期联合质量监测 初2025届数学试题 考试时间：120分钟 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别是三根小棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A. 9cm，5cm，4cm B. 8cm，cm，8cm C. cm，cm，cm D. 5cm，5cm，cm 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 与点关于轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 5. 将两个分别含30°和45°角的直角三角板如图放置，则∠α的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 8. 如图，，点E在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，下列结论：（1）；（2）是等边三角形；（3）平分；（4）；（5），其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_________；______． 12. 已知一个正多边形的每个内角都等于，则它的边数是_______． 13. 如图，在中，，平分交于点D，若，，则的面积为________． 14. 如图，在中，，点D在AC上，且，则的度数为______度． 15. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则三角形的面积是______． 16. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 17. 如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_____度． 18. 如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，为顶点的三角形与全等时，t的值为_______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分） 19. 如图，点，在线段上，，，，求证：． 20. 如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交直线于点E．已知，． （1）求的度数； （2）求的度数． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点． 22. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，在边上求作一点P，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）连接，若，，求的长度． 23. 已知：如图，，，，．求证：． 24. 如图，，，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 25. 如图，四边形中，平分，，交于F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　 　；线段BE与AD之间的数量关系是　 　； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $