专题15 随机变量及其分布列和概率综合10大考向（重难专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

重难点15：随机变量及其分布列和概率综合 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：近三年天津高考基本不等式均为5分填空题，核心考最值，常与向量、函数、方程等综合；2026年大概率延续5分填空，聚焦配凑/1的代换/消元求最值，强调一正二定三相等，可能与恒成立、解析几何结合提升综合度。 预测2026年： 题型与分值：5分填空题（13或14题），分值与题型不变。仍以条件最值为主，侧重配凑法、1的代换、消元法，强化等号条件验证。可能与解析几何（如直线与圆、椭圆）、函数恒成立、向量数量积结合；或考多元变量（三元）的均值不等式，提升思维量但不超纲。中档为主，少数题目因综合度提升略偏难，区分度在条件转化与等号严谨性。 考向1：古典概型的计算 古典概型中基本事件的探求方法 1、列举法：适合于基本事件个数较少且易一一列举出来的试验； 2、列表法（坐标法）：适合于从多个元素中选定两个元素的试验； 3、树形图法：适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探究； 4、排列组合法：求较复杂试验中基本时间的个数时，可利用排列或组合的知识. 1．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率 ；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率 . 2．（2025·天津南开·模拟预测）2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为 ；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为 ． 3．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 4．（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为 ；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为 . 5．（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为 ；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为 . 考向2：随机抽样与计算 1、明确简单随机抽样与分层抽样的定义。 2、分层随机抽样的相关计算关系： （1）＝； （2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． （3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：＝＋＝＋. 1．（2025·天津红桥·模拟预测）采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生 人. 2．（2025·天津河北·模拟预测）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取 人． 3．（2025·天津·二模）某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了400人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．估计到达该地旅游的女性占比约为55％ B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为0.175 C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取8人 D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.6 4．（2025·天津南开·二模）某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（   ）． A． B． C． D． 5．（2024·天津和平·一模）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（    ）    ①估计居民月均用水量低于的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取4人. A．1 B．2 C．3 D．4 考向3：用样本估计总体 样本估计总体的常用结论： 1、如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； 2、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 3、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 4、如果一组数的方差为，则一组数的方差为； 5、如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 1．（2025·天津和平·二模）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数约为75分 C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第25百分位数约为70分 2．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17 B．若事件M，N相互独立，，，则 C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份 D．已知随机变量X服从二项分布，若，则 3．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的分位数约为90 4．（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 5．（2025·天津·一模）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第60百分位数为4 B．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 C．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断变量X与Y独立，此推断犯错误的概率不大于0.01 考向4：百分位数的计算 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 1．（2025·天津·一模）下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 2．（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（   ） A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 3．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 4．（2024·天津河西·二模）某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（    ） A．85 B．86 C．86.5 D．87 5．（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（    ） A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位数为6 B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则甲组数据的线性相关程度更强 D．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大 考向5：事件关系的判断 判断互斥、对立事件的两种方法 （1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． （2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 1．有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 2．（2025·天津·模拟预测）分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·调研）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津和平·联考）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A 不互斥且B与A 相互独立 B．B与C不互斥且B与C相互独立 C．C与A互斥且C与A 不相互独立 D．D与A不互斥且D与A相互独立 5．投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（   ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 考向6：线性回归分析 线性回归分析问题的类型及解题方法 1、求线性回归方程：（1）利用公式求出回归系数，；（2）利用回归直线过样本中心点求系数； 2、利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值； 3、利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是； 4、回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当越接近1时，两变量的线性相关性越强。 1．（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点： ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·天津北辰·三模）下列命题中 ①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ②若随机变量满足，则 ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 ④设且，则 其中错误命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30 D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点 4．（2025·天津·二模）小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） A．与正相关 B．经验回归直线经过点 C．当时，残差为1.8 D． 5．（2025·天津河东·二模）2024年12月26日，Deep Seek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（    ） A．甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B．乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次 C．丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 D．丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异 考向7：独立性检验 独立性检验的一般方法 （1）根据题目信息，完善列联表； （2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。 （3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值； （4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。 1．（2025·天津河东·一模）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，若，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·天津·模拟预测）下列说法正确的序号是（    ） ①在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位； ②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理； ③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小； ④已知随机变量服从正态分布，且，则. A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 3．（2025·天津·一模）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第80百分位数为17； B．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； D．若随机变量满足，则． 4．（2025·天津北辰·模拟预测）下列结论中，错误的是（    ） A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B．若随机变量，则 C．已知经验回归方程为，且，则 D．根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 5．下列说法正确的是（    ） A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等. B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等. C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强. D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系. 的部分临界值如表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 考向8：二项分布 独立重复试验与二项分布 1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． 4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 1．（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为 ；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 ． 3．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是 . 4．（2025·天津河北·二模）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ． 5．（2025·天津河西·二模）已知甲袋中装有个红球，个白球；乙袋中装有个红球，个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若两个球同色，则将取出的两个球全部放入甲袋中；若两个球不同色，则将取出的两个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有个小球的条件下，当时从甲袋中取出的是红球的概率是 ；按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有个小球的概率是 . 考向9：超几何分布 超几何分布的适用范围及本质 （1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布； （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。 2、超几何分布与二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。 1．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 ． 2．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ． 3．（2025·天津河西·一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 4．（2025·天津·模拟预测）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为 . 5．（2025·天津和平·二模）已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为 ；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为 . 考向10：正态分布 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 （1）熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)． 1．（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·天津·一模）已知随机变量，若，则 . 3．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 4．（2025·天津北辰·模拟预测）下列命题中，不正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为 D．两个随机变量的相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 5．（2025·天津和平·三模）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （建议用时：60分钟） 1．（2025·天津·一模）某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为 ；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为 ． 2．（2025·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 ． 3．（2025·天津红桥·二模）由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为 . x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 4．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为 . 5．（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 . 6．（2025·天津·二模）将5个颜色互不相同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（   ） A．3种 B．4种 C．10种 D．25种 7．（2025·天津·二模）将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则 ；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则 . 8．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 9．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 10．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 11．（2025·天津河东·二模）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率 ；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为 . 12．（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 13．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 14．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 15．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点15：随机变量及其分布列和概率综合 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：近三年天津高考基本不等式均为5分填空题，核心考最值，常与向量、函数、方程等综合；2026年大概率延续5分填空，聚焦配凑/1的代换/消元求最值，强调一正二定三相等，可能与恒成立、解析几何结合提升综合度。 预测2026年： 题型与分值：5分填空题（13或14题），分值与题型不变。仍以条件最值为主，侧重配凑法、1的代换、消元法，强化等号条件验证。可能与解析几何（如直线与圆、椭圆）、函数恒成立、向量数量积结合；或考多元变量（三元）的均值不等式，提升思维量但不超纲。中档为主，少数题目因综合度提升略偏难，区分度在条件转化与等号严谨性。 考向1：古典概型的计算 古典概型中基本事件的探求方法 1、列举法：适合于基本事件个数较少且易一一列举出来的试验； 2、列表法（坐标法）：适合于从多个元素中选定两个元素的试验； 3、树形图法：适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探究； 4、排列组合法：求较复杂试验中基本时间的个数时，可利用排列或组合的知识. 1．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率 ；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率 . 【答案】 【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求解①；求出事件A与事件AB包含的样本点个数，根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可知，单次摸到不超过3的概率为，超过3的概率为， 记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3” 三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，故； 事件A的总情况数为 ， 记事件B=“三次中有一次摸出编号为2的卡片”， 则事件AB为：有一次摸出编号为2，另外一次为1或3，第三次超过3， 可由如下步骤实线事件AB， 第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3种情况， 第二步：从剩下的两次摸出卡片中选出一次摸出编号1或3，共种情况， 第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3的编号，共2种情况， 由分步乘法计数原理可知，事件AB总情况数为， 所以 故答案为：， 2．（2025·天津南开·模拟预测）2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为 ；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为 ． 【答案】 / / 【分析】利用组合数，结合古典概型，并结合条件概率的定义计算即可. 【详解】总共有6款饮品，甲选购3款不同饮品，总的选购方案数为组合数, 甲选购的饮品中包含“林林清风”的方案：固定“林林清风”被选中， 则甲需从剩余5款饮品中选购2款，方案数为，因此，概率为 ； 条件：甲已选购包含“林林清风”的3款饮品（记作集合，其中必含“林林清风”）， 乙独立选购3款不同饮品，总的选购方案数为. 要求甲、乙所选饮品集合的交集大小恰好为1（即恰有1款相同）； 设饮品全集为，其中为“林林清风”， 不失一般性，设甲选购，则剩余饮品为. 乙选购时，恰有1款与甲相同，即乙从中选1款， 并从中选2款.从选1款的方案数：， 从选 2 款的方案数：. 因此，满足条件的乙选购方案数为，概率为. 故答案为：；. 3．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案. 【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ， 的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性. 设 ，，有 ； 考虑递推关系： 代入 ，， ， 当时， ，为奇数的概率为 ，故 . 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 当时，， 当时，. 故选：A 4．（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为 ；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为 . 【答案】 /0.25 /0.125 【分析】利用古典概率公式求得丢失物理书的概率；利用全概率公式求得答案. 【详解】依题意，丢失的一箱恰巧是物理书的概率为； 记事件“丢失数学书”，事件“任取两箱都是数学”， 则，， 所以所求概率. 故答案为：； 5．（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为 ；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为 . 【答案】 【分析】①利用条件概率公式计算即可；②利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】①记第一次取到红求为事件，第二次取到白球为事件， 则，，所以； ②记小强恰好抽到1个一等奖奖品券为事件， 则. 故答案为：①；②. 考向2：随机抽样与计算 1、明确简单随机抽样与分层抽样的定义。 2、分层随机抽样的相关计算关系： （1）＝； （2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． （3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：＝＋＝＋. 1．（2025·天津红桥·模拟预测）采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生 人. 【答案】 【分析】首先求出高三年级抽取的人数，再根据抽样比即可求出总人数. 【详解】依题意高三年级共抽取人. 又高三年级共有600人，所以抽样比为，所以学校共有高中生人. 故答案为：. 2．（2025·天津河北·模拟预测）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取 人． 【答案】7 【分析】应用分层抽样等比例性质求从高三抽取的人数. 【详解】根据分层抽样等比例性质，从高三抽取人. 故答案为：7 3．（2025·天津·二模）某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了400人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．估计到达该地旅游的女性占比约为55％ B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为0.175 C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取8人 D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.6 【答案】B 【分析】根据题意，由三个年龄段的占比饼状图以及性别占比条形图，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，估计到达该地旅游的女性占比约为 ，故A错误； 对于B，从调查的400人中，随机抽取一位进行深入调研， 则抽到中年男性的概率为，故B正确； 对于C，若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品， 则中年人中应抽取（人），故C错误； 对于D，从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下， 其是女性的概率为0.7，故D错误． 故选：B． 4．（2025·天津南开·二模）某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出三个不同选课组合的学生的人数的比列，总体平均分需用各组合的平均分乘以对应比列后相加即可. 【详解】因为三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60， 所以三个不同选课组合的学生的人数的比列分别为：， 所以估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为. 故选：C. 5．（2024·天津和平·一模）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（    ）    ①估计居民月均用水量低于的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取4人. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断②；用频率估计总体即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④. 【详解】由频率分布直方图可知，居民月均用水量低于的概率为，故①正确； 前三组的频率之和为，而前四组频率之和为，故中位数位于，由，可以估计居民月均用水量的中位数约为，②正确； 估计万居民中月均用水量不低于的人数为，③正确； 根据用水量对这位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取人，则在用水量中应抽取人，④正确. 故选：D 考向3：用样本估计总体 样本估计总体的常用结论： 1、如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； 2、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 3、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 4、如果一组数的方差为，则一组数的方差为； 5、如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 1．（2025·天津和平·二模）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数约为75分 C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第25百分位数约为70分 【答案】C 【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，又， 解得，，故A正确； 对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误； 对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确. 故选：C. 2．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17 B．若事件M，N相互独立，，，则 C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份 D．已知随机变量X服从二项分布，若，则 【答案】B 【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、独立事件概率的概念逐项判断； 【详解】对于A，数据从小到大排列 的共有10个数据，，所以第 80 百分位数为正确； 若事件M，N相互独立，，，则，B选项错误； 某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布， 已知，则， 若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取份，C选项正确； 随机变量X服从二项分布，若，则，D选项正确； 故选：B. 3．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的分位数约为90 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD. 【详解】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误； B.由图可知，，得，故B错误； C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组， 所以，得，故C正确； D. 样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误. 故选：C 4．（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 【答案】B 【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据样本中心点求得，进而求得预测值判断即可；对于C，根据正态分布的对称性求解判断即可；对于D，根据期望和方差的性质判断即可. 【详解】对于A，因为，所以这组数据的第60百分位数为， 故A错误； 对于B，，， 所以，即，则， 当时，亿元，故B正确； 对于C，由于随机变量服从正态分布，则， 因为，所以， 则，故C错误； 对于D，由，则，，故D错误. 故选：B. 5．（2025·天津·一模）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第60百分位数为4 B．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 C．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断变量X与Y独立，此推断犯错误的概率不大于0.01 【答案】B 【分析】利用百分位数的定义计算可判断A；利用决定系数的意义可判断B；利用相关系数的意义可判断C；利用独立性检验的意义可判断D. 【详解】对于A，由，所以这组数据的第60百分位数为5，故A错误； 对于B，决定系数，残差平方和为，根据决定系数公式可得越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.故B正确； 对于C，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1，故C错误； 对于D，根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不大于0.01，故D错误. 故选：B. 考向4：百分位数的计算 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 1．（2025·天津·一模）下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 【答案】D 【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. 2．（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（   ） A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 【答案】D 【分析】求数据的第50百分位数，判断A的真假；根据的意义，判断B的真假；根据线性回归方程必过求判断C的真假；根据残差平方和的意义判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确； 对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确； 对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确； 对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误. 故选：D 3．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 【答案】D 【分析】利用线性回归方程中的基本量即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C， 利用百分位数的定义即可判断选项D. 【详解】对A：样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确. 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则，则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，因为，所以第百分位数为，D错误； 故选：D. 4．（2024·天津河西·二模）某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（    ） A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】由频率分布直方图性质求，根据百分位数定义，结合数据求解即可. 【详解】由，解得：，所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得：， 故选：B 5．（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（    ） A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位数为6 B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则甲组数据的线性相关程度更强 D．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大 【答案】C 【分析】根据百分位数计算规则判断A，根据方差的性质判断B，根据相关系数的概念判断C，根据卡方的意义判断D. 【详解】对于A：将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，8，8，9，9， 又，所以第百分位数为，故A错误； 对于B：将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故B错误； 对于C：具有线性相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近与，则和的线性相关程度越强， 因为，所以甲组数据的线性相关程度更强，故C正确； 对于D：在列联表中，由计算得的值，的值越大，则两个变量有关的把握越大，故D错误； 故选：C 考向5：事件关系的判断 判断互斥、对立事件的两种方法 （1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． （2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 1．有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 【答案】C 【分析】对于A，由古典概型概率计算公式求解即可；对于BD，由互斥、对立的概念判断BD；对于C，由独立事件的定义判断即可. 【详解】样本空间， ，， 对于A，，故A错误； 对于BD，，故BD错误； 对于C，，故C正确. 故选：C. 2．（2025·天津·模拟预测）分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合概率的计算公式，即可求解. 【详解】若采用有放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率； 若采用不放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率. 故选：A. 3．（2025·天津·调研）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可分别求出事件所包含的点数，即可得出结果. 【详解】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 4．（2025·天津和平·联考）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A 不互斥且B与A 相互独立 B．B与C不互斥且B与C相互独立 C．C与A互斥且C与A 不相互独立 D．D与A不互斥且D与A相互独立 【答案】B 【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可. 【详解】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件， 依题意，，， 又，即A与B相互独立，故A正确； 第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件， ，即B与不相互独立，故B错误； ，即与不相互独立，C与A互斥，故C正确； ，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点， 此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确； 故选：B. 5．投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（   ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 【答案】D 【分析】利用是否同时发生来判断互斥事件和对立事件，即可判断AB，利用古典概型来求相应事件的概率，然后利用独立事件概率乘法公式来判断是否独立，即可判断CD． 【详解】由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 由题意得 由于所以A与C不是独立事件，故C错误； 由于，所以B与C是独立事件，故D正确； 故选：D 考向6：线性回归分析 线性回归分析问题的类型及解题方法 1、求线性回归方程：（1）利用公式求出回归系数，；（2）利用回归直线过样本中心点求系数； 2、利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值； 3、利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是； 4、回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当越接近1时，两变量的线性相关性越强。 1．（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点： ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立型检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布可判断④.即可得出合适的选项. 【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，①错； 对于②，根据列列联表中的数据计算得出，而， 则有的把握认为两个分类变量有关系， 即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，②对； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果， 若越大，则说明模型拟合的效果越好，③对； 对于④，某项测量结果服从正态分布，若， 则，④对. 故选：C. 2．（2025·天津北辰·三模）下列命题中 ①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ②若随机变量满足，则 ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 ④设且，则 其中错误命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】依次分析每个命题的正确性，根据经验回归方程、随机变量的方差性质、相关系数的意义以及正态分布的性质来判断. 【详解】经验回归方程所得到的预报值是响应变量的估计值，而不是精确值，所以命题①错误. 若随机变量满足，根据方差的性质（其中、为常数）， 可得，而不是，所以命题②错误. 根据相关系数的意义，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于， 所以命题③正确. 已知，则正态曲线关于对称. 因为，所以. 那么，所以， 所以命题④错误. 综上，错误的命题有①②④，共个. 故选：B. 3．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30 D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点 【答案】D 【分析】由二项分布的期望与方差公式即可判断A；由决定系数的概念即可直接判断B；由分布乘法计数原理及间接法即可判断C；由经验回归方程有关性质即可直接判断D. 【详解】对于A，由二项分布的方差公式可知， 所以，所以， 所以二项分布的期望为，故A正确； 对于B，用来刻画回归效果，的值越接近于1，说明模型的拟合效果越好，的值越接近于0，说明模型的拟合效果越差，故B正确； 对于C，百位数字不能为0，有3种选择，个位和十位各有4种选择，利用分布乘法计数原理可得组成三位数的个数有种方法，其中没有重复数字的三位数的个数有种方法，所以组成有重复数字的三位数的个数为，故C正确； 对于D，在回归分析中，回归直线一定经过样本中心点，但不一定会经过样本数据点中的任何一个，故D错误； 故选：D. 4．（2025·天津·二模）小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） A．与正相关 B．经验回归直线经过点 C．当时，残差为1.8 D． 【答案】C 【分析】观察数据或者求得，可知正相关，从而判定A；利用样本中心点在回归直线上，可以判定B；求出的估计值，进而计算残差，从而判定CD. 【详解】选项A：观察数据，增大时也增大，说明正相关，故A正确； 选项B： 易得，，样本中心点为，回归直线方程经过样本中心点，故B正确； 对于CD：将样本中心点坐标代入回归直线方程得 ，故D正确. 计算预测值，实际值， 残差. 题目中残差为1.8（未考虑符号），故C错误， 故选：C 5．（2025·天津河东·二模）2024年12月26日，Deep Seek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（    ） A．甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B．乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次 C．丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 D．丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异 【答案】C 【分析】由相关系数，回归方程，决定系数，卡方的检验逐项判断即可. 【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误； 对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B错误； 对于C，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故C正确； 对于D，，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次有差异，故D错误. 故选：C 考向7：独立性检验 独立性检验的一般方法 （1）根据题目信息，完善列联表； （2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。 （3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值； （4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。 1．（2025·天津河东·一模）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，若，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据回归直线的特征即可判断①，理解独立性检验的基本思想即可判断②，正确把握卡方值的含义即可判断③，利用正态曲线的对称性可判断④. 【详解】回归直线的性质是恒过样本点的中心，但不一定会经过任何一个具体的样本点.所以说法①错误. 在独立性检验中，我们先提出一个假设.当根据列联表中的数据计算得出，且时，这意味着在假设成立的条件下，出现这样的值是一个小概率事件.小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但现在却发生了，所以我们有理由拒绝假设，从而有的把握认为两个分类变量有关系，同时也就意味着有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，所以说法②正确. 是用于判断两个分类变量是否相关的随机变量.当的值很小时，只能说明我们有较小的把握认为两类变量相关，但不能就此推断两类变量不相关.因为即使值小，也有可能是由于样本量等因素的影响，不能绝对地得出两类变量无关的结论，所以说法③错误. 已知某项测量结果服从正态分布，正态分布具有对称性，其对称轴为.又因为，这表明与关于对称轴对称.根据正态分布的对称性可知，与之和为，已知，那么，所以说法④正确. 故选：B. 2．（2025·天津·模拟预测）下列说法正确的序号是（    ） ①在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位； ②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理； ③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小； ④已知随机变量服从正态分布，且，则. A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据回归方程的定义和性质即可判断①②；随机变量的观测值越小，则“与有关系”的把握程度越小，即可判断③；根据正态曲线的对称性即可判断④ 【详解】对于①，在回归直线方程中， 当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位，故①正确； 对于②，用随机误差的平方和，即， 并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条， 由于平方又叫二乘，所以这种使 “随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法， 所以利用最小二乘法求回归直线方程， 就是使得最小的原理，故②正确； 对于③，对分类变量与，对它们的随机变量的观测值越小， 则“与有关系”的把握程度越小，故③错误； 对于④，随机变量服从正态分布，且， 则，故④正确. 故选：D. 3．（2025·天津·一模）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第80百分位数为17； B．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； D．若随机变量满足，则． 【答案】B 【分析】A选项，由百分位数的定义得到答案；B选项，，得到结论；C选项，由相关系数的性质得到C错误；D选项，由方差的性质得到D错误. 【详解】A选项，，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数， 即，A错误； B选项，由于，得到与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确； C选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C错误； D选项，若随机变量满足，则，D错误. 故选：B 4．（2025·天津北辰·模拟预测）下列结论中，错误的是（    ） A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B．若随机变量，则 C．已知经验回归方程为，且，则 D．根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】D 【分析】A选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案；C选项，将样本中心点代入回归方程，求出；D选项，由得到D错误. 【详解】A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9， ，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确； B选项，因为，根据对称性可知， 故，B正确； C选项，已知经验回归方程为，且，则， 解得，C正确； D选项，，故不能得到此结论，D错误 故选：D 5．下列说法正确的是（    ） A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等. B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等. C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强. D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系. 的部分临界值如表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】A 【分析】根据标准差定义可判断A项；通过取反例可排除B项；利用相关系数的概念易排除C项；利用独立性检验的规定，可判断D结论不成立. 【详解】对于A，根据标准差定义，一组数据的标准差时，显然有故A正确； 对于B，两组数据的标准差相等，这两组数据的平均数未必相等，如都为1和都为2的两组数据，它们的标准差均为0，但它们的平均数分别为1和，故B错误； 对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，故C错误； 对于D，，根据独立性检验原理，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量有关系，故D错误. 故选：A 考向8：二项分布 独立重复试验与二项分布 1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． 4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 1．（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设，甲乙都不能破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A 2．（2025·天津南开·二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为 ；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得出都取到红球的概率；根据条件概率公式计算可得两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率. 【详解】设事件表示“从甲袋中取到红球”，事件表示“从乙袋中取到红球”， 甲袋中有个红球，个球，所以 ； 乙袋中有个红球，个球，所以 . 因为从甲、乙两袋中取球相互独立，所以“都取到红球”即与同时发生， 根据相互独立事件的概率乘法公式可得 . 设事件表示“两球颜色不同”，事件表示“乙袋中取出黄球”. 先求： 两球颜色不同有“甲红乙黄”和“甲黄乙红”两种情况. “甲红乙黄”的概率 ； “甲黄乙红”的概率 . 根据互斥事件概率加法公式， . “两球颜色不同且乙袋中取出黄球”即“甲红乙黄”， . 根据条件概率公式 ，可得 . 故答案为：； . 3．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是 . 【答案】 . 【分析】（1）利用独立事件概率公式，即可求解 （2）根据题意求出的可能取值，分别求出每种取值的概率，列出分布列，进而求解. 【详解】（1）设事件表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局”，则. （2）由题意知，的可能值为 ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. 4．（2025·天津河北·二模）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ． 【答案】 / 【分析】应用独立事件乘法公式求甲以的比分获胜的概率，先确定甲获胜的概率，再求其中甲第一局获胜的概率，最后由条件概率公式求甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率. 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 事件表示“甲获胜”，则前两局甲获胜，或前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲获胜的概率， 事件表示“甲第一局获胜”，则， 所以. 故答案为：， 5．（2025·天津河西·二模）已知甲袋中装有个红球，个白球；乙袋中装有个红球，个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若两个球同色，则将取出的两个球全部放入甲袋中；若两个球不同色，则将取出的两个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有个小球的条件下，当时从甲袋中取出的是红球的概率是 ；按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有个小球的概率是 . 【答案】 【分析】记住事件甲袋中恰有个小球，事件从甲袋中取出的是红球，利用条件概率公式可求得的值；对前两次模的球的颜色进行分类讨论，结合独立事件的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】记住事件甲袋中恰有个小球，事件从甲袋中取出的是红球， 则，， 由条件概率公式可得； 根据题意，若乙袋中恰有个小球，则两次操作后，取出的两球是同色的，有种情况： （i）第一次都取出红球，第二次都取出红球，其概率为； （ii）第一次都取出红球，第二次都取出白球，其概率为； （iii）第一次都取出白球，第二次都取出红球，其概率为； （iv）第一次都取出白球，第二次都取出白球，其概率为. 因此，重复操作两次后，乙袋中恰好有个小球的概率为. 故答案为：；. 考向9：超几何分布 超几何分布的适用范围及本质 （1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布； （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。 2、超几何分布与二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。 1．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 ． 【答案】 ； 58 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为； 至少抽到1张“获奖卡”的概率为， 设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则， 所以． 故答案为：； 2．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ． 【答案】 /0.8 【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望. 【详解】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件， 则，， 所以； 由题意可得的取值为， ， 所以， 故答案为：；. 3．（2025·天津河西·一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 【答案】 【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）. 【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率， 至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率， 所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率. 故答案为：， 4．（2025·天津·模拟预测）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为 . 【答案】 【分析】首先设有白球个，根据题意得到，再解方程即可. 【详解】设有白球个，因为从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：5 5．（2025·天津和平·二模）已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为 ；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为 . 【答案】 【分析】利用古典概型公式得解 【详解】从､两个袋内各任取2个球，有种，恰好有1个红球有 从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为 取出的4个球中红球的个数为随机变量，则可能取值为 ;;; ; 故答案为：， 考向10：正态分布 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 （1）熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)． 1．（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得. 【详解】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C 2．（2025·天津·一模）已知随机变量，若，则 . 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，结合概率的性质，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：. 3．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【答案】C 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于2的概率为，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确； 对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率， 所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误； 对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确； 故选：C. 4．（2025·天津北辰·模拟预测）下列命题中，不正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为 D．两个随机变量的相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 【答案】D 【分析】对于A，由二项分布方差公式计算即可；对于B，由正态分布的对称性计算即可；对于C，由基本不等式计算即可；对于D，根据相关系数的意义即可判断. 【详解】对于A，随机变量，由二项分布方差公式得，故A正确； 对于B，随机变量，由正态分布的对称性得，故B正确； 对于C，由，则， 所以 当且仅当，则或取等号，故C正确； 对于D，线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，故D错误. 故选：D. 5．（2025·天津和平·三模）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质，二项分布的性质，拟合效果的衡量以及正态分布的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据之间线性相关的程度越强，故①正确； 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确； 已知随机变量服从正态分布，若，则，故③正确； 若随机变量服从二项分布，则方差，所以， 所以，所以或，故④错误. 故选：C. （建议用时：60分钟） 1．（2025·天津·一模）某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为 ；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为 ． 【答案】 【分析】两位同学选择相互独立，每位同学选择软笔书法社团的概率相等，按照分步乘法公式求出结果，第二小空为条件概率，根据条件概率公式求解. 【详解】一个人选择软笔书法社团的概率为，所以两人都选择软笔书法社团的概率为. 设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件,两人选择不同社团为事件, 事件分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况， 所以， 根据条件概率计算公式, 故答案为：；. 2．（2025·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】15 【分析】写出展开式通项公式，得到，得到答案. 【详解】展开式通项公式为， 令，解得， ，故的系数为15. 故答案为：15 3．（2025·天津红桥·二模）由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为 . x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 【答案】 【分析】计算出样本的中心点坐标，将其代入可求得m的值. 【详解】，， 线性回归方程恒过， 所以，解得：. 故答案为：. 4．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为 . 【答案】 【分析】首先根据二项式系数的性质求，再根据通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 二项展开式的通项公式， 令，得， 所以常数项为. 故答案为： 5．（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 . 【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各自独立地做对同一道题分别为事件， 则， 因为， ， 解得，或， 设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件， 当时，，， ， 当时， 则， 综上，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 故答案为：. 6．（2025·天津·二模）将5个颜色互不相同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（   ） A．3种 B．4种 C．10种 D．25种 【答案】D 【分析】根据1号盒子中放入小球的个数，分类讨论，即可求得所有放球的种数. 【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号， 分析可得，可得1号盒子至少放1个，最多放3个小球，分情况讨论： ①1号盒子中放1个球，其余4个放入2号盒子，有种方法； ②1号盒子中放2个球，其余3个放入2号盒子，有种方法； ③1号盒子中放3个球，其余2个放入2号盒子，有种方法； 则不同的放球方法有种. 故选：. 7．（2025·天津·二模）将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则 ；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则 . 【答案】 /0.25 【分析】（1）根据题给条件可判断随机变量服从二项分布，即，再根据即可得解. （2）写出事件包含的事件个数，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意知，正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的概率，且在桌面上连续独立地抛掷次， 为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则随机变量服从二项分布， 即，则； 正四面体与桌面接触面上的数字分别为，的包含的事件总个数为， 事件为“为偶数”包含的事件个数为，事件为“，中有偶数，且”包含的事件个数为. 则，，则. 故答案为：；. 8．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】40 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式， 令，得， 所以的系数为. 故答案为：40 9．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 【答案】D 【分析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：D． 10．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 11．（2025·天津河东·二模）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率 ；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为 . 【答案】 【分析】利用组合，求出从个人物手办中，随机购买个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式，即可求解；利用条件概率公式，即可求解. 【详解】从个人物手办中，随机购买个盲盒，共有种买法， 又个盲盒中，包含哪吒和至少一位龙王有种买法， 所以小明随机购买个盲盒，其中包含哪吒和至少一位龙王的概率为， 记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位， 则，，所以， 故答案为：；. 12．（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 【答案】 【分析】设出事件，利用条件概率公式计算出概率，再利用全概率公式计算出从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，取到一张红色卡片的概率. 【详解】设从甲盒中取出2张卡片中有一张是红色卡片为事件A， 从甲盒中取出2张卡片中有一张是白色卡片为事件B， 则，， 所以， 若从甲盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 若从乙盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 故从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 故答案为：， 13．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 【答案】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则. 表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 . 根据条件概率公式 ，可得 . 随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 根据期望公式 可得 . 故答案为：；. 14．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】应用古典概率求法求从第1个盒子中取到白球的概率，再应用独立乘法公式和互斥事件加法求从第3个盒子中取到白球的概率. 【详解】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是， 当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 综上，从第3个盒子中取到白球的概率是. 故答案为：； 15．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 【答案】 0.82 0.398 【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可. 【详解】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $