提分小卷限时练01（选择、填空AB两组，综合训练）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

提分小卷：选择题+填空题 限时训练01（A组+B组） （考试时间：54分钟 试卷满分：60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．计算的结果是（    ） A．12 B．3 C． D． 2．如图，一个几何体是由6个相同的小正方体组成的，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 3．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．南京师范大学附属中学的校训是“嚼得菜根，做得大事”．下列四个黑体字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．2025年1月，中国人工智能企业深度求索宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，成为全球用户量最大的智能助手之一、数120000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 6．计算的值为（    ） A．4 B． C． D． 7．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走 100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）．设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．走路快的人要走200步才能追上 D．走路快的人要走300 步才能追上 9．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线交于点P，点D为延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在正方形中，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，，延长交的平分线于一点F，O为对角线的中点，连接．若，，则的长度为（   ） A．2 B． C． D．3 12．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．在一个不透明的袋中装有4个红球，3个黄球，它们除颜色不同外其它完全相同，现从中任意摸出一球，恰为红球的概率为 ． 14．化简：的结果为 ． 15．计算的结果等于 ． 16．将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式 ． 17．如图，点M，N分别是矩形ABCD的边AD和对角线BD上的点，连接BM，MN，，BC＝2 （1） ； （2）的最小值为 ． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，且顶点A，C均在格点上，顶点B在网格线上． ①线段 的长等于 ； ②请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以为边的矩形，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明) ． （考试时间：54分钟 试卷满分：60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．估计的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．无法判断 4．在下列四个标志图案中，轴对称图形是（  ） A． B． C． D． 5．中国互联网络信息中心《生成式人工智能应用发展报告（2024）》显示，我国已初步构建了较为全面的人工智能产业体系，核心产业规模已接近6000亿元．将数据“6000亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 7．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 12．如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，是线段的中点．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．一个不透明袋子中装有10个球，其中有3个红球、4个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 14．合并同类项： ． 15．计算： ． 16．一次函数的图象不经过第三象限，现将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 17．如图，矩形中，为边上一动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点． （1）当点为中点时， ； （2）线段的最小值是 ． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点均在格点上． （I）线段的长为 ； （II）若点在线段上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使为等边三角形且的周长最小，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：选择题+填空题 限时训练01（A组+B组） （考试时间：54分钟 试卷满分：60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．计算的结果是（    ） A．12 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法．根据有理数的除法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2．如图，一个几何体是由6个相同的小正方体组成的，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．理解简单组合体的三视图的定义以及从正面看得到的图形是主视图是解题的关键． 根据从正面看得到的图形是主视图即可解答． 【详解】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、2、1． 故选：C． 3．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数大小，先估算的大小，再估计的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴在3和4之间． 故选：C． 4．南京师范大学附属中学的校训是“嚼得菜根，做得大事”．下列四个黑体字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 5．2025年1月，中国人工智能企业深度求索宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，成为全球用户量最大的智能助手之一、数120000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：数120000000用科学记数法表示为． 故选：B． 6．计算的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先代入特殊角的函数值、化简即可． 【详解】解：， 故选C． 7．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值，将A，B，C的横坐标代入解析式，求出的值，即可比较大小． 【详解】解：由题意知，，，， ， 故选B． 8．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走 100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）．设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．走路快的人要走200步才能追上 D．走路快的人要走300 步才能追上 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走， 依题意，得：． 故选：B． 9．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的运算法则是解题的关键．根据法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 10．如图所示，以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线交于点P，点D为延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本作图，得，根据三角形外角性质，得，，代换解答即可． 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，三角形外角性质，等量代换的思想，熟练掌握基本作图，三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得，， 故A，B正确，不符合题意； 根据三角形外角性质，得， 故C错误，符合题意； 由，， 得， 故D正确，不符合题意． 故选：C． 11．如图，在正方形中，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，，延长交的平分线于一点F，O为对角线的中点，连接．若，，则的长度为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】连接，记的交点为，设，证明，求解，证明，，可得，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：连接，记的交点为， 设， ∵正方形， ∴，，， ∴， 由旋转可得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 12．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．在一个不透明的袋中装有4个红球，3个黄球，它们除颜色不同外其它完全相同，现从中任意摸出一球，恰为红球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，从红球的数量除以总的球的数量即可得出答案． 【详解】解：任意摸出一球，恰为红球的概率为， 故答案为： 14．化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则进行计算即可得到答案. 【详解】 = = = 【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则. 15．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可． 【详解】原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 16．将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，根据“左加右减”的法则解答即可． 【详解】解：将直线向右平移m个单位长度，平移后直线的解析式为，即， ∵平移后不过第三象限， ∴， 解得， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 17．如图，点M，N分别是矩形ABCD的边AD和对角线BD上的点，连接BM，MN，，BC＝2 （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用勾股定理求出BD的长度，然后即可求出的值； （2）作点B关于AD的对称点，连接，，，．过点作于点E．可知，可得的最小值即的长度，然后利用等面积法即可求出． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）作点B关于AD的对称点，连接，，，．过点作于点E． ∴， ∴的最小值为的长． ∵，， ∴得， 解得：， 即的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，三角函数的概念． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，且顶点A，C均在格点上，顶点B在网格线上． ①线段 的长等于 ； ②请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以为边的矩形，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明) ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、矩形的判定，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． ①利用勾股定理解题即可； ②先根据直角所对的弦是直径确定圆心，利用对角线相等且平分的四边形是矩形作图即可． 【详解】①， ②如图， 取格点 D， 连接与圆相交于点 P，连接； 取圆与网格线的交点E，F，连接，与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点Q； 连接， ， ， 则四边形 即为所求． （考试时间：54分钟 试卷满分：60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 各式计算得到结果，判断即可． 【详解】解：A、，不正确； B、，不正确； C、，不正确； D、，正确； 故选：D． 2．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的知识，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看易得上面第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层左边有1个正方形， 故选：C． 3．估计的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查估算无理数大小的知识；用“夹逼法”估算无理数的大小，进而可得出值的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B 4．在下列四个标志图案中，轴对称图形是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】沿着一条直线折叠后两侧能够完全重合的图形是轴对称图形，根据定义判断即可． 【详解】A不是轴对称图形，不符合题意； B是轴对称图形，符合题意； C不是轴对称图形，不符合题意； D不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟记定义是解题的关键． 5．中国互联网络信息中心《生成式人工智能应用发展报告（2024）》显示，我国已初步构建了较为全面的人工智能产业体系，核心产业规模已接近6000亿元．将数据“6000亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：6000亿用科学记数法表示为． 故选：B． 6．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，将特殊三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 7．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． ∴在第三象限， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故选：A． 8．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 9．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算．先把原式分母进行统一，然后分子合并化简，最后约分即可得到答案． 【详解】解： 故选：D 10．如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 12．如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，是线段的中点．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可判断①正确；如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可判断②③错误；设BE=x，则AE=a-x，AF=，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④正确；设AG=，利用前面所证EG=GH，在Rt△AEG中，利用勾股定理求得，即可判断⑤正确． 【详解】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH． ∵BE=BH，∠EBH=90°， ∴EH=BE， ∵AF=BE， ∴AF=EH， ∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°， ∴∠FAE=∠EHC=135°， ∵BA=BC，BE=BH， ∴AE=HC， ∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF=EC，∠AEF=∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB=90°， ∴∠AEF+∠CEB=90°， ∴∠FEC=90°， ∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确， 如图2中，延长AD到H，使得DH=BE， 则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB=∠DCH， ∴∠ECH=∠BCD=90°， ∴∠ECG=∠GCH=45°， ∵CG=CG，CE=CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS）， ∴EG=GH， ∵GH=DG+DH，DH=BE， ∴EG=BE+DG，故③错误， ∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故②错误， 设BE=，则AE=，AF=， ∴S△AEF=， ∵， ∴当时，，△AEF的面积的最大值为，故④正确； 如图3，延长AD到H，使得DH=BE， 同理：EG=GH， ∵，则， 设AG=，则DG=， ∴EG=GH =， 在Rt△AEG中，， 即， 解得：， ∴当时，是线段的中点，故⑤正确； 综上，①④⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．一个不透明袋子中装有10个球，其中有3个红球、4个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 【答案】/0.3 【分析】本题主要考查了简单的概率计算、概率公式等知识点，掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键． 根据概率公式求解，用红球的个数除以球的总个数即可解答． 【详解】解：∵一个不透明袋子中装有10个球，其中有3个红球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是， 故答案为：． 14．合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类项法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．计算： ． 【答案】 【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可． 【详解】解： = = =． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键． 16．一次函数的图象不经过第三象限，现将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数系数与图象的关系是解题关键．根据图象在坐标平面内的位置关系确定m的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴经过第一、二、四象限， ∴， 将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限， ， 解得： 故答案为：． 17．如图，矩形中，为边上一动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点． （1）当点为中点时， ； （2）线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由矩形的性质和线段中点的定义得到，由勾股定理得到，解直角三角形得到，由平行线的性质得到，则，即可得到， （2）取中点G，取中点H，连接，则，由三角形中位线定理得到，根据，得到当D、F、H三点共线时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，取中点G，取中点H，连接， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵F、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当D、F、H三点共线时，有最小值，最小值为的值， 在中，由矩形的性质可得， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点均在格点上． （I）线段的长为 ； （II）若点在线段上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使为等边三角形且的周长最小，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（I）结合网格特点，利用勾股定理计算即可得； （II）取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 【详解】解：（I）由图可知，， 故答案为：． （II）如图，取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 证明：如图，取格点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴对角线的交点为的中点，， ∵是等边三角形， ∴， ，的外接圆的圆心在上， 由网格可知，， 由圆周角定理得：是的外接圆的直径， ∴与的交点为的外接圆的圆心， ∴为的直径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为， 由垂线段最短可知，此时的值最小， ∴所作的为等边三角形且的周长最小． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出的外接圆的圆心是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $