数学一模突破卷04（天津专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题9分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题9分，共45分） 1[A]B][C][D] 5[AJ[B][C][D] 9[A][B][C]D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] A 弼 4[A]B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共30分） 10 11. 2 13 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步聚。 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共45分) 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 3 4 5 7 8 9 A A D C C D B D 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.2-3i 11.10 12.② 23 1 14.-2a+ 3 4-3 15.{x0<x<3} 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(14分) 【解析】(1)由b+c=√a2+bc两边平方，得b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理得0sAeh+ca=C=-又40，，所以A=C4分) ②)0h5.c-cin4=brsn 2π5，5 由s8:25如C及1正张定理。C,得6=2，所以c=2g-2 所以c=1,b=2,又a2=b2+c2+bc=7,所以a=√7 所以ABC的周长为a+b+c=3+√万.(9分) 3sin4=3 ②根据上述分析可知，A=2红 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由正弦定理sinB=bsin4 2x3 ,因为4B+C=骨所以B是锐角， > 3 所以cosB=V1-sinB 21 2万，可得 7 7 i28=2nm=2I<25-4y5s28=2ms0-12 7 7 7 2- 17.(15分) 【解析】(1)连接0C, 因为4018C,0为线段4D的中点，BC=号4D=1, ·AOIIBC,且AO=BC, 所以四边形OABC为平行四边形，所以OC⊥AD, 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 3 则P0,0,3,A0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), 因为E是m的点，所以好受) 》 pa=0,-1,-5,P8=,-l-5), 设平面PAB的一个法向量为乃=(x,片，)， 则PA=0,即y-5=0 ·PB=0'x-y-5z=0' 取-05，-小，则CE后=55=0 22 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又因为CE4平面PAB,所以CE∥平面PAB;(6分) W3 (2)由(1)知， 0 2’2 A(0,-1,0,所以EA= -9. 且平面PAB的一个法向量为元=(0,5，-， 所以点E到平面PAB的距离d= EA·n 9}可 3,(10分) V02+(5+-1月 (3)由题意知，底面ABCD的法向量为n=(0,0,1), 因为BM=BC+CM=BC+1CP,元∈[0，， 且BC=(0,10),CP=-1,0,5,所以BM=（-元，1，V52, 所以由题意知： cos(BM.n)- V-a)2+P+3月 4 解得：入= 所以BM 因为AB=(1,0,0),设平面MAB的一个法向量为n2=(x2,y2,22), 则 n2·AB=0 x3=0 即 n2·BM=0 5++3,取？=(0,3,2力 1 232-0 所以cos(n,i)= 0×0+0×-5)+1×22_2W7 1×0+(-3+2277, 又平面MAB与平面ABD夹角为锐角， 所以平面MHB与平面4BD夹角的余弦值为27.(15分) 7 18.(15分) 【解析】D因为椭圆。+b=a>b>0)的离心索为V3 2 所以C= ,所以c= 2a. 当点P位于椭圆的上顶点和下顶点时，△PA,A面积取最大值为8， 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即)2ab=8,所以b=8 根据a2二b±c2,将ca和b=。代入化简存22-6 a 4 解符a=4,6=2,所以椭圆方程为二+上=1.(4分) 164 (2)椭圆的右焦点F2V3,0,若直线1的斜率不存在时，其方程为x=2√5 将该直线与椭圆方程联立得2y =1,解得y=1, 164 此时SMov=号×2×2W3=2W3; 若直线I的斜率存在时，设为k,则其方程为y=k(x-2V3 联立该直线与椭圆方程得（4k2+1x2-16V3k2x+48k2-16=0, 判别式△=(163k2-44k2+1)(48k2-16)=64k2+64>0, 设M(k(s-2W3月N(x2,k(s-25） 16V5k2 根据韦达定理得x+x,= 48k2-16 4k2+13= 4k2+1 所以5.m25x.-=5[g-2-6k-25]-k-1(8分) 因为x-x=Vx+x)2-4xx2= 16V3k2 -448k2-16 4k2+1 4k2+1 8 k2+1 (4k2+12 k4+k2 -23 16k+8k2+1+8k'-1=251+ 2 所以SMov=8V5 3 (42+1 16k4+8k2+1 k2+1(4k2+1 根据二次函酸的性质可知，当=3时，即太=士宁时，一〔+号取能大值为兮， 2 此时S.Mow最大为4，大于2V3 此直线的方程为y空-2列或=--2， 即x-V2y-2V3=0或x+V2y-2V3=0.(10分) 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P\M (3)设P(x。,y),切线方程为y=c,由切线条件： -四=r,化简得（云-r2）k2-2,%k+后-r产=0 Vk2+1 设两条切线4和飞的斜率分别为，，则根据韦达定理，斜率乘积为k=片-一 2 将椭圆方程变形得三4，代入得奶-广4 为定值t, 164 -2-2 即、1 x-r2 =化5=-产+4，所以= 即5，比时斜率菜积为-日15分) 解得2=16 5 19.(15分) 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{b,}的公比为9，q≠1， 由a2=6,a4+a5=22,则a2+2d+a2+3d=22,故d=2, 所以an=a2+(n-2)d=6+2(n-2)=2n+2, 则4=4，由3a,=4b,则b=3, 又由2弘，是3站与么的等差中项，所以4h,=3弘+h,则4色=3+。，即4g=3+g2, b b 解得9=3或q=1(舍去)， 故b,=b,g-=3×3"-=3”;(4分) (n+1(-3)”,n为奇数 (2)由(1)可得，dn=(4n-1)3 4n(n+2 ,为偶数’ =d+d++d+d,=+4+…+4a+4,+d,+…+ 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 令Pn=d,+d,+…+d2n1=2×(-3)+4x(-3)3+…+2n-(-3)2m-1, 9P.=2x-3)3+4×-3)°+…+2nx-3)2， 两式相减得，-8P.=2×(-3)+2×(-3)+…+2×(-3)2m1-2n-(-3)2m1, xg2-m 1-9 则R-是任动1- 32 因-3”-323） 4nn+2)8n+2n 则2n=d2+d4+…+d2n= 13432,3634 32m+232n） 132m+2 32 84-2+6-4 +…十 2n+22n 82n+22 32m+29 16n+1616 则2d=R+0.=-+3+3-249 ;(10分) 3216n+1632 (3)根据题意可得，a1,2,2,2,a2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,a,…,ak,…,ak1, 4之前其有3+3+…+3=3-3”=1092个2， 1-3 4,与4之间共有37=2187个2， 所以{an}共有7项，共有2026-7=2019个2， 则T226=4+6+8+…+16+2019×2=4108.(15分) 20.(16分) 【解析】1)解：由题知f(x)=+2x-3=2x-3x+1, 所以f'1=0,f1=-2, 所以曲线y=(x)在点(1，f1)处的切线方程为：y=-2.(4分) (2)解：由(1)知fx=2-3x+1,定义域为0，+w, 令=2-3x+1=0得x=16=方 所以，当xe0》时，八>0，八单调端端， 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当x行时，f到<0,1单调递减： 当x∈(1，+o)时，f'(x>0,f(x单调递增， 所以当-，1四有大付引-片-2- 当x=1时，函数f(x)有极小值f1)=ln1+1-3=-2 综上，函数到的极大崔为f(付)-血2-，极小筐为f刊=-2(9分) (3)解：函数g(x=xe2+x2-5x-1,f(x≥gx在定义域内有解， 故1nr+x2-3x≥xe2r+x2-5x-1在(0，+oo）内有解， 即lnx+2x+1≥e2r在(0，+o内有解， 所以k≤血x+2x+在(0，切内有解， re 2r Inx+2x+1 所以k≤ re2r (12分) /max y-Inx+2x+1 Inx+Ie+1 Inxe+1 令t=xe2r,xe(0,+o）,则t=e2+2xe2r=(2x+1e2r>0在(0，+o)上恒成立， 所以t=xe2x在(0，+oo）上单调递增，所以t=xe2r在(0，+o)）上的值域为(0，+o）, 令-h,则-加，14分 显然当1e(0,1时，)>0，h=+1单调递增： 当1∈1，+0时，)<0，h=血+l单调递减， 所以hd=+≤hL=1, t 所以y=血x+2x+1_nc+1有最大值1， xezx 所以k≤1，即k的取值范围为(-0，(16分) 7/7 ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 2．（热点）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（    ）． A． B． C． D． 4．已知直线与平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（新情景）下列说法正确的有（   ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（改编题）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（   ） A．2 B． C．4 D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．设是虚数单位，则复数的共轭复数 . 11．已知多项式，则 ． 12．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是 . ①点和点关于直线对称； ②圆和圆的公共弦长为； ③的取值范围为； 13．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ． 14．如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表示 ；若，，，则 . 15．已知时，与在同一点取得相同的最小值；若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 17．（15分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（15分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上的动点，且面积的最大值为8. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于，两点，求（O为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)是否存在常数使得过原点作以为圆心，以为半径的圆的两条切线和，当，的斜率存在时总有斜率的乘积为定值，若存在求出的值，并求出斜率乘积；若不存在说明理由. 19．（15分）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 20．（16分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 2．（热点）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（    ）． A． B． C． D． 4．已知直线与平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（新情景）下列说法正确的有（   ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（改编题）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（   ） A．2 B． C．4 D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．设是虚数单位，则复数的共轭复数 . 11．已知多项式，则 ． 12．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是 . ①点和点关于直线对称； ②圆和圆的公共弦长为； ③的取值范围为； 13．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ． 14．如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表示 ；若，，，则 . 15．已知时，与在同一点取得相同的最小值；若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 17．（15分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（15分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上的动点，且面积的最大值为8. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于，两点，求（O为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)是否存在常数使得过原点作以为圆心，以为半径的圆的两条切线和，当，的斜率存在时总有斜率的乘积为定值，若存在求出的值，并求出斜率乘积；若不存在说明理由. 19．（15分）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 20．（16分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，解得. 故选：A. 2．（热点）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 3．函数的图象大致为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 结合图象只有D符合， 故选：D 4．已知直线与平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】因为 ，所以直线 的方向向量与平面 的法向量平行， 因为 ，所以直线 的方向向量与平面 的法向量垂直， 因此， 的方向向量与 的方向向量的数量积为零，即 ，故A正确； 因为 且 ，所以 ， 又因为 ，平行平面具有相同的法向量方向，因此 ，故B正确； 若 ，则或，故C错误； 因为 且 ，所以， 又 ，因此 同时垂直于 和 ， 两个平面有相同的法向量方向，故 ，故D正确. 故选：C 5．（新情景）下列说法正确的有（   ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①：由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故①正确． ②：根据标准差定义，一组数据的标准差 时， 显然有，故②正确． ③：若随机变量，满足，则， ，故③错误； ④：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队， 男医生人，女医生人， 现将这5人分配去三个医院指导工作， 每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院， 三个医院人数可以为，共有种分配方式； 三个医院人数可以为，共有种分配方式； 综上，共有种分配方式，故④正确； 故选：C 6．已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 7．（改编题）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 令，关于的方程至少有两个不同的实数解， 等价于至少有两个不同的实数解， 即函数的图象与直线至少有两个交点， 作出函数的图象如图所示，直线过定点， 故可以寻找出临界状态，如图虚线所示.        联立，故， 即，令，解得， 当时，与有唯一交点，与没有交点. 当时，与轴交于点在定点右边， 所以与有两个交点，符合题意， 当时，与轴交于点在定点左边， 且，故与没有交点， 由图象可知，与至多一个交点，故不符合题意， 当时，与有两个交点，符合题意， 当时，的最高点为，此时，    若，与有唯一交点，与没有交点，不符合题意； 若，与有唯一交点，与至少有一个交点，符合题意； 综上所述，实数的取值范围为， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8．已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由图象可知：，， 由，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由，，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误． 故选：B． 9．已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，故， 而，，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积，可得， 设，由的倾斜角为，得，， 于是由，得， 又，则，解得， 故的虚轴长为． 故选：D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．设是虚数单位，则复数的共轭复数 . 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 11．已知多项式，则 ． 【答案】 【详解】展开式的通项， 展开式的通项， 所以，，， 所以. 故答案为：10. 12．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是 . ①点和点关于直线对称； ②圆和圆的公共弦长为； ③的取值范围为； 【答案】② 【详解】对于①，圆的圆心是，半径是， 圆即的圆心是，半径是， 则两圆心连线的中点为，若点和点关于直线对称， 则点在直线上，但点不在直线上，故①错误； 对于②，因为圆的一般方程为， 所以两圆相减可得，两圆公共弦所在直线的方程为， 点到直线的距离， 故公共弦长为，②正确； 对于③，圆心距为，当点和重合时，的值最小为0； 当四点共线且在，之间时，的值最大为，故的取值范围为，③错误. 故答案为：② 13．一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率 ，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则 ． 【答案】 【详解】因为质点次运动过程中仅次经过顶点的情况有：， ，， ，，共种， 第四次回到顶点有种，所以质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率. 记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为， 质点4次运动，共有种情况， 当X=0时，，共有1种情况，则， 当X=1时，， ， ， ， ，，，共有7种情况， 所以，又， 所以X的分布列为： ， 故答案为：，. 14．如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表示 ；若，，，则 . 【答案】 【详解】由题意知，. . 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：①②. 15．已知时，与在同一点取得相同的最小值；若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 【答案】 【详解】，， ， ， ，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 在时，取得最小值3， 与在同一点取得相同的最小值， 在时，取得最小值3， ，， 将代入得到， 的不等式在上恒成立， 在上恒成立， 设，则在上恒成立， 则有，解得，即， 故有，则的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】(1)(2)①② 【详解】（1）由两边平方，得， 由余弦定理得，又，所以. （2）①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以，可得 ， 计算可得. 17．（15分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）连接， 因为，为线段的中点，， ，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，, 因为是的中点，所以， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面； （2）由（1）知，，，所以， 且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离； （3）由题意知，底面的法向量为， 因为，， 且，，所以， 所以由题意知：， 解得：，所以， 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以， 又平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．（15分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上的动点，且面积的最大值为8. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于，两点，求（O为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)是否存在常数使得过原点作以为圆心，以为半径的圆的两条切线和，当，的斜率存在时总有斜率的乘积为定值，若存在求出的值，并求出斜率乘积；若不存在说明理由. 【答案】(1)(2)面积最大值为4，此时直线方程为或. (3)存在，，斜率乘积为. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 所以，所以. 当点位于椭圆的上顶点和下顶点时，面积取最大值为8， 即，所以. 根据，将和代入化简得， 解得，，所以椭圆方程为. （2）椭圆的右焦点，若直线的斜率不存在时，其方程为. 将该直线与椭圆方程联立得，解得， 此时； 若直线的斜率存在时，设为，则其方程为. 联立该直线与椭圆方程得. 判别式. 设， 根据韦达定理得. 所以. 因为. 所以. 令，所以， 根据二次函数的性质可知，当时，即时，取最大值为， 此时最大为，大于. 此时直线的方程为或， 即或. （3）设，切线方程为，由切线条件： ，化简得. 设两条切线和的斜率分别为，则根据韦达定理，斜率乘积为. 将椭圆方程变形得，代入得为定值， 即，化简得，所以. 解得，即，此时斜率乘积为. 19．（15分）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去）， 故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，， ， 则， 因， 则 则； （3）根据题意可得，， 之前共有个， 与之间共有个， 所以共有7项，共有个2， 则. 20．（16分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 【答案】(1)(2)函数的极大值为，极小值为(3) 【详解】（1）解：由题知， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为：. （2）解：由（1）知，定义域为， 令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值. 综上，函数的极大值为，极小值为 （3）解：函数，在定义域内有解， 故在内有解， 即在内有解， 所以在内有解， 所以 令 令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以在上的值域为， 令，则， 显然当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以有最大值， 所以，即的取值范围为 / 学科网（北京）股份有限公司 $