数学一模提分卷04（上海专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知集合，，则 ． 2．已知实数满足，则的最小值为 ． 3．空间向量在上的投影向量为 ． 4．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 5．的展开式中的系数是240，则实数的值为 . 6．设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为 . 7．如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为 ． 8．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 9．如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为 . 10．某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时， ．（结果精确到） 11．已知为复数，若关于的方程有解，则实数的取值范围为 . 12．函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（   ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差 B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 C．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4 D．若，则事件A，B相互独立 14．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点:集合中的任意三个不同点均满足：存在不全为的实数，使得．已知，，则属于集合的点可以是（   ）． A． B． C． D． 16．牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数（其中）的最小正周期为． (1)求ω的值及函数图象的对称轴方程； (2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，，且角C满足，若，求的周长． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E是PC的中点． (1)求证：平面PBC； (2)设点F是棱PB上的动点（不含端点），且使平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．求三棱锥的体积． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分） 将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”. (1)在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数； (2)现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率； (3)求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题14分） 已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 2. 24 3. 4. 5. 6. 3（或5、7、9、11其中之一） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 14 15 16 D A D C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（14分） 【详解】（1），（4分） 因为，所以，故， 令，得对称轴方程为：，．（6分） （2）由，得，因为，所以， 所以，可得，（10分） 又，由正弦定理得，① 由余弦定理，得，可得：，② 由①②：，解得，， 所以周长．（14分） 18．（14分） 【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，且，PA，平面PAC，所以平面PAC， 因为平面PAC，所以， 又因为，且E为PC的中点，所以， 因为，且PC，平面PBC，所以平面PBC．（4分） （2）过点A作， 以A为原点，以AD，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 如图所示，因为E为PC的中点，可得，，，，，（6分） 又因为点F在棱PB上，设， 可得， 设平面AEF的法向量为， 则，故可取， 又由平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为，（8分） 设平面AEF与平面ABC所成角为θ， 则，（10分） 则，即或，∴或（舍去）， 此时，则， 故三棱锥的体积为．（14分） 19．（14分） 【详解】（1）表示染红色，列举满足条件的“点亮”：，，，，，，，共7种；（2分） （2）对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或染蓝色，每个顶点有4种方法， 四边形共有种方法， 其中能“点亮”的有84种，故；（6分） （3）对于边形，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上； 若颜色不同，则标上；若数字和颜色都相同，则标上. 于是，对于给定的点上的设置（共有4种）， 按照边上的字母可以依次确定点，，…，上的设置. 为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有和的边都是偶数条. 所以，“点亮”的方法数等于在边上标记、、使得标有和的边都是偶数条的方法数的4倍. 设标有的边有（）条，标有的边有（）条. 选取条边标记的有种方法，在余下的边中取出条边标记的有第种方法，其余的边标记. 由乘法原理知共有种标记方法. （8分） 对、求和，“点亮”的方法数为.① 这里，约定. 当为奇数时，，此时，.② 代入式①中得. 当为偶数时，若，则式②仍然成立；若，则边形的所有边都标记， 此时，只有一种标记方法. 于是，能“点亮”的方法数为. 综上，“点亮”的方法数是：当为奇数时，有种；当为偶数时，有种. （14分） 20．（18分） 【详解】（1）根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得，，， 所以椭圆的方程为．（4分） （2）（ⅰ）设，，因为M为AB中点，所以， 根据题意直线AB与OM的斜率都存在， 所以直线AB与OM的斜率乘积为， 因为A，B在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 化简得，可得， 因此直线AB与OM的斜率乘积为．（8分） （ⅱ）设，，，由（1）可知，， 因为点P在椭圆上，所以， 由题意PA：，PB：， 将直线PA与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以，（12分） 即，，即， 同理，将直线PB与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以，（14分） 即，，即， 所以OP的斜率为，的斜率为， 故， 因为点P在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号．（18分） 21．（18分） 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （4分） （2）当时，不等式恒成立， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递增，， 当，时，，则在上单调递增，，符合题意； 当，时，，时，（8分） 则，使，当时，，在上单调递减， 当时，，不符合题意， 所以的取值范围.（10分） （3）由，得，，且， 则，解得， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 只需证明，令且，则， 函数在上单调递增，，即， 所以.（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】，， 则． 故答案为： 2．已知实数满足，则的最小值为 ． 【答案】24 【详解】由题意，，， 则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为24. 故答案为：24. 3．空间向量在上的投影向量为 ． 【答案】 【详解】由题意得，，， 故向量在上的投影向量为. 故答案为： 4．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 【答案】 【详解】由题意，，则． 当时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以． 当时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故． 综上，． 故答案为：. 5．的展开式中的系数是240，则实数的值为 . 【答案】 【详解】由展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 6．设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为 . 【答案】3（或5、7、9、11其中之一） 【详解】设第一次的点数为，第二次的点数为， 则两次抛掷两枚质地均匀的骰子的结果记为，其中，共种基本事件， 故由题知，， 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件相互独立； 当时，的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件不独立； 综上，的可能取值为 故答案为：3（或5、7、9、11其中之一） 7．如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】 连接，由， 知， 设，则为锐角，且， 所以 ， 由于，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 8．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 【答案】 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 9．如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为 . 【答案】 【详解】过作于点，如图： 则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以,所以球的半径， 所以，， 所以. 故答案为：. 10．某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时， ．（结果精确到） 【答案】 【详解】    不妨以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则：，，设是圆上的点，设. ，， 结合图象，易知当最大时，点位于第一象限，且为钝角，设， 则两直线夹角的正切值公式为： 则：， ， 又因为在圆上，故， 因此，， 令，则，因为在圆上，因此可认为直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得. 由于点在第一象限的圆上，易知，因此， 故. 由于是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当时，取得最小，即最小，此时对应最大. 当时，结合，解得，即. ， ， 又因为， 解得， 故答案为：. 11．已知为复数，若关于的方程有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设，则， 所以 所以，解得，， 令， 所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 当时，， 当时，， 所以的取值范围为，故实数的取值范围为， 故答案为： 12．函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】由题设，则， 又函数的值域为，则，可得， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（   ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差 B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 C．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4 D．若，则事件A，B相互独立 【答案】D 【详解】A，设2组数据分别记为， 总体的样本平均数为， ， ， 方差 ， 只有当时，才成立，A错误， B，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于B错误， C，8位新冠患者的潜伏天数从小到大排列分别为：2，3，3，4，7，8，10，18， 该样本数据的第50百分位数为C错误， D，，即，故， 则事件A，B相互独立，D正确. 故选：D. 14．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意可知， . 故选：A. 15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点:集合中的任意三个不同点均满足：存在不全为的实数，使得．已知，，则属于集合的点可以是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由存在不全为的实数，使得，等价于向量共面， 所以集合是经过原点的一个平面. 因，则点不在这个平面内，而在这个平面内， 于是过原点，和正确选项中的点的平面不经过点， 即点和原点、点及正确选项中的点不共面. A选项，，，共面，故A错误； B选项，，，，共面于平面，故B错误； C选项，，，，共面于平面，故C错误； D选项，，，，不共面，故D正确； 故选：D 16．牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 【答案】C 【详解】有两个零点1，2， 则，解之得， 则，则， 则， 则， 由，可得， 即， 又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则， 前n项和，则. 故选：C． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数（其中）的最小正周期为． (1)求ω的值及函数图象的对称轴方程； (2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，，且角C满足，若，求的周长． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）， 因为，所以，故， 令，得对称轴方程为：，． （2）由，得，因为，所以， 所以，可得， 又，由正弦定理得，① 由余弦定理，得，可得：，② 由①②：，解得，， 所以周长． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E是PC的中点． (1)求证：平面PBC； (2)设点F是棱PB上的动点（不含端点），且使平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，且，PA，平面PAC，所以平面PAC， 因为平面PAC，所以， 又因为，且E为PC的中点，所以， 因为，且PC，平面PBC，所以平面PBC． （2）过点A作， 以A为原点，以AD，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 如图所示，因为E为PC的中点，可得，，，，， 又因为点F在棱PB上，设， 可得， 设平面AEF的法向量为， 则，故可取， 又由平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为， 设平面AEF与平面ABC所成角为θ， 则， 则，即或，∴或（舍去）， 此时，则， 故三棱锥的体积为． 19．（本题满分14分，第1小题满分2分，第2小题满分12分） 将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”. (1)在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数； (2)现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率； (3)求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 【答案】(1)7种； (2) (3)当为奇数时，有种；当为偶数时，有种. 【详解】（1）表示染红色，列举满足条件的“点亮”：，，，，，，，共7种； （2）对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或染蓝色，每个顶点有4种方法， 四边形共有种方法， 其中能“点亮”的有84种，故； （3）对于边形，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上； 若颜色不同，则标上；若数字和颜色都相同，则标上. 于是，对于给定的点上的设置（共有4种）， 按照边上的字母可以依次确定点，，…，上的设置. 为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有和的边都是偶数条. 所以，“点亮”的方法数等于在边上标记、、使得标有和的边都是偶数条的方法数的4倍. 设标有的边有（）条，标有的边有（）条. 选取条边标记的有种方法，在余下的边中取出条边标记的有第种方法，其余的边标记. 由乘法原理知共有种标记方法. 对、求和，“点亮”的方法数为.① 这里，约定. 当为奇数时，，此时，.② 代入式①中得. 当为偶数时，若，则式②仍然成立；若，则边形的所有边都标记， 此时，只有一种标记方法. 于是，能“点亮”的方法数为. 综上，“点亮”的方法数是：当为奇数时，有种；当为偶数时，有种. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）设，，因为M为AB中点，所以， 根据题意直线AB与OM的斜率都存在， 所以直线AB与OM的斜率乘积为， 因为A，B在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 化简得，可得， 因此直线AB与OM的斜率乘积为． （ⅱ）设，，，由（1）可知，， 因为点P在椭圆上，所以， 由题意PA：，PB：， 将直线PA与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 同理，将直线PB与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 所以OP的斜率为，的斜率为， 故， 因为点P在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递增，， 当，时，，则在上单调递增，，符合题意； 当，时，，时， 则，使，当时，，在上单调递减， 当时，，不符合题意， 所以的取值范围. （3）由，得，，且， 则，解得， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 只需证明，令且，则， 函数在上单调递增，，即， 所以. 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知集合，，则 ． 2．已知实数满足，则的最小值为 ． 3．空间向量在上的投影向量为 ． 4．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 5．的展开式中的系数是240，则实数的值为 . 6．设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为 . 7．如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为 ． 8．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 9．如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为 . 10．某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点，城市有两个交通枢纽站点、，其中站点在市中心的正东方向，距离点4公里，站点在市中心的正北方向，距离点也是4公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心点2公里的位置，设置一个移动数据采集点，通过监测的大小来优化信号．当最大时， ．（结果精确到） 11．已知为复数，若关于的方程有解，则实数的取值范围为 . 12．函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（   ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差 B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 C．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4 D．若，则事件A，B相互独立 14．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点:集合中的任意三个不同点均满足：存在不全为的实数，使得．已知，，则属于集合的点可以是（   ）． A． B． C． D． 16．牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数（其中）的最小正周期为． (1)求ω的值及函数图象的对称轴方程； (2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，，且角C满足，若，求的周长． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E是PC的中点． (1)求证：平面PBC； (2)设点F是棱PB上的动点（不含端点），且使平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．求三棱锥的体积． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分） 将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”. (1)在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数； (2)现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率； (3)求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题14分） 已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：. 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $