数学一模保分卷02（上海专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知集合，，则 . 【答案】 【详解】依题意，. 因，解得，即. 所以. 故答案为： 2．已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】已知，则， 由，得 即对所有成立． 若，化简得，不满足对所有成立，舍去； 若，化简得，解得． 将代入，得 不等式，即，即，即， ∵，∴，即， ∴． 故答案为：． 3．直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】 【详解】直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 4．已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 5．掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，样本空间为，，，故， 由古典概型的概率公式可得. 故答案为：. 6．已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 【答案】 【详解】， 数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． 则，． 则数列的前9项和 ． 故答案为：． 7． . 【答案】 【详解】由三角函数的诱导公式，可得： . 故答案为：. 8．“函数是奇函数”的充要条件是实数 . 【答案】0 【详解】函数的定义域为，依题意，，恒成立， 即，，因此， 所以“函数是奇函数”的充要条件是实数. 故答案为：0 9．已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】设，，对应的点为，取. 则由，得，即. 由，得，即， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部. 所以. 所以的最小值是，当且仅当四点共线，且是线段与圆的交点时，取得最小值. 故答案为：. 10．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得， 令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 11．点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】联立直线，的方程，故 若，则， 若，则，且，故， 可得交点的轨迹为圆心在，半径为2的圆（除去点）， 由双曲线的方程可得，，焦点，右焦点， 可得，所以， 当点在线段上时，最小，即最小， 所以， 当过与圆心的直线与圆的交点在和圆心之间时最小． 所以最小值为． 故答案为：. 12．已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，求导得， 令，求导得. 当时，，此时在上单调递增，由于， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意； 时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或； 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从散点图可以看出，两个变量是正相关，故A正确； 从散点图可以看出，回归直线的斜率是正数，且的斜率大于的斜率，故 B和C正确； 从散点图可以看出，去掉“离群点”后，相关性更强，拟合的效果更好， 值越大，模型的拟合效果越好，所以，故D错误； 故选：D. 14．如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设正方形的边长为a，则， 取AC中点O，连接BO，PO，则， 因为将围绕旋转60°得到三棱锥， 所以P到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且AC为斜边，O为AC中点， 所以O为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径. 故选：D 15．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数， 所以， 则 . 故选：B. 16．如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：B． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．已知分别为三个内角的对边，若且. (1)求角以及边的大小； (2)若分别是的中点，且交于点，求. 【答案】(1)，6 (2) 【详解】（1）（为外接圆半径）， ， ，，， ， ， ，即. ， ， ，. （2）方法一：由题意知，， ， ， ， . 方法二：由已知及余弦定理，得， ， ， 是的重心， ， . 18．如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得. 19．随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【详解】（1）至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率. （2）抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为， 由已知的可能取值为，且， ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 . （3）由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则的可能取值为，，， ，，. 所以； 的可能取值为，，， ，，. 所以，故. 20．已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若， (1)求双曲线的方程； (2)双曲线的右顶点为，已知点，且过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点： （i）若的面积为，求的方程； （ii）证明：线段的中点为定点. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）抛物线的准线为， 因为准线经过，所以，即， 设双曲线的一条渐近线为，则， 则，， 所以，即， 因为，解得， 所以双曲线的方程为①； （2）（i）由（1）可知双曲线的右顶点， 显然直线的斜率存在，设的方程为②， ①②联立得：． 则有③，④， 设，则⑤，⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得，解得． 满足③④式，则直线的方程为． （ii）设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则；同理． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得，所以的中点为定点． 21．已知有限实数集，定义集合. (1)若集合，求集合； (2)是否存在有限实数集，使得，说明理由； (3)若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值. 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析 (3) 【详解】（1）由题意可知， （2）不存在； 假设存在，设， 由题意，中的元素均为正数，故若，则， 因为集合中的最大数为，而集合中的最大数为，矛盾. （3）一方面，集合中元素是由集合中个元素两两作差得到的， 故； 另一方面，构造集合； 任取两组不全相同的自然数数对与； 若，不妨设，则. 因为， 又， 所以； 若，则，则； 故无论如何，集合中的元素，两两作差均不相同， 故中的元素个数为； 综上，集合中元素个数的最大值. 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知集合，，则 . 2．已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 3．直线与直线的夹角大小为 ． 4．已知向量，满足，，则 ． 5．掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为 ． 6．已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 7． . 8．“函数是奇函数”的充要条件是实数 . 9．已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是 ． 10．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 . 11．点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为 ． 12．已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 15．若，则（   ） A． B． C． D． 16．如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知分别为三个内角的对边，若且. (1)求角以及边的大小； (2)若分别是的中点，且交于点，求. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分） 随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题14分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若， (1)求双曲线的方程； (2)双曲线的右顶点为，已知点，且过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点： （i）若的面积为，求的方程； （ii）证明：线段的中点为定点. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知有限实数集，定义集合. (1)若集合，求集合； (2)是否存在有限实数集，使得，说明理由； (3)若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值. 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知集合，，则 . 2．已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 3．直线与直线的夹角大小为 ． 4．已知向量，满足，，则 ． 5．掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为 ． 6．已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 7． . 8．“函数是奇函数”的充要条件是实数 . 9．已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是 ． 10．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 . 11．点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为 ． 12．已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 15．若，则（   ） A． B． C． D． 16．如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知分别为三个内角的对边，若且. (1)求角以及边的大小； (2)若分别是的中点，且交于点，求. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分） 随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题14分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若， (1)求双曲线的方程； (2)双曲线的右顶点为，已知点，且过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点： （i）若的面积为，求的方程； （ii）证明：线段的中点为定点. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知有限实数集，定义集合. (1)若集合，求集合； (2)是否存在有限实数集，使得，说明理由； (3)若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 0 9. / 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 14 15 16 D D B B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（14分） 【详解】（1）（为外接圆半径）， ， ，，， ， ， ，即. ， ， ，.（4分） （2）方法一：由题意知，， ， ， ， .（14分） 方法二：由已知及余弦定理，得， ， ， 是的重心， ， .（14分） 18．（14分） 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面；（4分） （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为，（6分） 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，，（8分） 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以，（10分） 所以，解得.（14分） 19．（14分） 【详解】（1）至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率.（4分） （2）抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为， 由已知的可能取值为，且，（6分） ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 .（8分） （3）由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则的可能取值为，，， ，，. 所以；（10分） 的可能取值为，，， ，，. 所以，故.（14分） 20．（18分） 【详解】（1）抛物线的准线为， 因为准线经过，所以，即， 设双曲线的一条渐近线为，则， 则，， 所以，即， 因为，解得， 所以双曲线的方程为①；（4分） （2）（i）由（1）可知双曲线的右顶点， 显然直线的斜率存在，设的方程为②， ①②联立得：． 则有③，④， 设，则⑤，⑥，（6分） 把⑤⑥代入：， 所以， 得，解得． 满足③④式，则直线的方程为．（8分） （ii）设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则，（10分） 则；同理．（12分） 而，， 又三点共线，则有， 则， 得，所以的中点为定点．（18分） 21．（18分） 【详解】（1）由题意可知，（4分） （2）不存在； 假设存在，设， 由题意，中的元素均为正数，故若，则， 因为集合中的最大数为，而集合中的最大数为，矛盾. （8分） （3）一方面，集合中元素是由集合中个元素两两作差得到的， 故； 另一方面，构造集合；（10分） 任取两组不全相同的自然数数对与； 若，不妨设，则. 因为， 又， 所以； 若，则，则； 故无论如何，集合中的元素，两两作差均不相同， 故中的元素个数为； 综上，集合中元素个数的最大值.（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $