专题08 数列的通项与求和问题9大题型（专题专练）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题08 数列的通项与求和问题 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01累加法求数列通项 题型02累乘法求数列通项 题型03构造法求数列通项 题型04取到数求数列通项 题型05 与关系法求数列通项 题型06倒序相加法求和 题型07分组(并项)法求和 题型08裂项相消法求和 题型09错位相减法求和 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1.（累加法求数列通项）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3n，则a6＝（　　） A.30　　　 B.31　　C.45　　　 D.46 2.（累乘法求数列通项）已知，，则数列的通项公式等于 A． B． C． D． 3.（构造法求数列通项）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 4.（取到数求数列通项）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 5.（与关系法求数列通项）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 6.（倒序相加法求和）设， A．4 B．5 C．6 D．10 7.（分组(并项)法求和）在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 8.（裂项相消法求和）已知数列的首项为，前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：． 9.（错位相减法求和）设正项数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和的取值范围． 01累加法求数列通项 4．设数列满足，且，则数列的前10项和为 ． 5．若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 6．在数列中，，且，则 . 7．在数列中，已知，且，则 02累乘法求数列通项 8．已知数列满足，，则的通项公式为 ． 9．若数列的首项，且，则数列的通项公式为 . 10．若数列满足,,则 ． 11．数列中，已知，，则通项等于（  ） A． B． C． D． 03构造法求数列通项 13．若数列满足，且，则数列的通项公式为 . 14．已知数列满足，且，则 . 15．已知数列满足且，则数列的通项公式为 ． 11．设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 2．数列满足，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 04取到数求数列通项 16．已知数列满足，则 . 3．在数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 05 与关系法求数列通项 18．已知数列的前项和满足，则 19．若数列满足，则数列的通项公式 . 20．记为数列的前项和，若，，则 21．数列的前n项和，则其通项公式 . 22．已知数列的前项和满足，则其通项公式 ． 06倒序相加法求和 23．已知为等比数列，且，若，则 24．设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得 ． 25．已知函数，正项等比数列满足，则 26．已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 07分组(并项)法求和 27．已知数列，是其前项的和，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求的表达式． 28．等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 29．已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列满足：，求数列前项和. 30．已知数列满足： 且，. (1)证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求的值 ． 08裂项相消法求和 31．已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 32．设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 33．设是等差数列的前项和，且，其中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 34．已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)若是数列的前项和，求的最小值. 09错位相减法求和 35．已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 36．已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 37．已知数列各项均为正数，且满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，求数列的前项和. 38．数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，.证明：当时，. 1．已知数列满足，则 . 2．在数列中，，且，则 . 3．已知数列满足，，则数列的通项公式 . 4．已知等比数列的前n项和为，且满足，则 ． 5． . 6．若数列满足，，则（    ） A．511 B．1023 C．1025 D．2047 7．已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 8．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 9．在数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．在数列中，，，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C．0 D．3 11．已知数列，当时， . 12．数列满足，则数列的通项公式为 . 13．若数列满足，则 . 13．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为 ． 14．已知数列 满足 ，则 的通项公式为 15．若数列满足，（，），则的最小值是 . 16．在数列中，，，，则的前20项和（    ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 17．数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 18．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（    ） A．9 B．17 C．26 D．34 19．已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为． (1)设且，求x的取值范围； (2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 20．在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 21．已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为． (1)若是等差数列，求k的值； (2)若，，求； (3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由． 22．已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08数列的通项与求和问题 目录 第一部分考向速递洞察考向，感知前沿 第一部分题型归纳梳理题型，突破重难 题型01累加法求数列通项 题型02累乘法求数列通项 题型03构造法求数列通项 题型04取到数求数列通项 题型05S,与a,关系法求数列通项重 题型06倒序相加法求和 题型07分组（并项）法求和重 题型08裂项相消法求和重 题型09错位相减法求和重 第三部分分层突破固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组。重难提升练 NO.1 考向速递 新考法 (累加法求数列通项)已知数列{an}满足a1=l,an+1=a,十3n,则a6=() A.30 B.31 C.45 D.46 【答案】D 【解析】由已知a+1一an=3n,.a2-a=3,a3-a2=6,,a6一a5=15,上述等式左右分别相加可得a6一41 =3+6+9+12+15=45,∴.a6=1+45=46.故选D 新考法 (累乘法求数列通项)已知a=2,a1=2"a。,则数列{an}的通项公式an等于 n-n+1 n+n+1 n2-n+2 m2-n-2 A. 22 B.22 C.22 D.22 1132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】C 【解析】a1=2”a,1=2 a n2-n+2 当m≥2时，0，=01.004=2-.2-2…2-2=2， an-1 an-2 a1 n=1,4=2,显然成立，故选C 3.新情境 (构造法求数列通项)已知数列an}满足a+1=4a,-12n+4,且a=4,若ak=2024,则k=() A.253 B.506 C.1012 D.2024 【答案】B 【解析】因为an1=4an-12n+4,所以a1-4n+1=4a,-4n). 因为a=4,所以a1-4×1=0,故{an-4n}为常数列， 所以an=4n.由ak=4k=2024,解得k=506,故选B 4. 新情境 (取到数求教列道项)已知数列a,中，4=1且a=2,neN),则0为（ a,+2 B. 1 A. 6 c号 【答案】D 【解析】由a=202neN)可得，-+号 a,+2 a 2' 甲之日分所日}为如名为首玩会装为站的等装数列 a a 9s 所以1=1+× 2， 所以a1o= 故选D, 410 11 5 新考法 (Sn与a关系法求数列通项)已知数列{an}满足a,+2a,+…+2-a。=n2"，则数列an}的通 项公式为 【答案】an=n+1 【解析】由题意a,+2a2+…+2"-an=n…2”, 2/32 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当n≥2时，a,+2a2+…+2-2a-1=(n-1)2-，两式相减得， 2-an=2n…2-1-n-12-1=(n+2-,解得an=n+1, 在a,+2a2+…+2-an=n2"中，令n=1,可得a1=2=1+1,故a,也满足an=n+1, 综上所述，所求即为an=n+1 6 新考法 (锅序热法求)设)=· 品品》+) A.4 B.5 C.6 D.10 【答案】B 【详解】由于x+1-刘=4+2 4 4小 4+2=1,故原式 9+》品+()= 7.新情境 （分组（并项）法求和)在数列{an}中，己知a1=2,且当n为奇数时，an1=3an+1;当n为偶 数时，an1=2a-1· (I)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前2n项和S2m. 【解】(1)依题意，a2=3a,+1=7, 当n为偶数时，a1=2a1,则数列an}的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列， 月+ 于是a21=42=2”，即当n为奇数时，a,=22，当n为偶数时，a,=3a+1=322+1: + 22,n为奇数 所以{an}的通项公式是a,= 3.22+1,n为偶数 (2)由(1)知，02m-1+a2n=a2m-1+302m-1+1=402-1+1=4:2"+1, S2m=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2m-1+a2n)=4(2+22+…+2")+n =4.20-2）+n=23+m-8 1-2 新考法 (裂项相消法求和)已知数列an}的首项为2，前n项和为Sn,且Sm+1+2=an+3n+Sn· 3/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求数列{an}的通项公式： 6a,+6m-20,记数列6，的前项和为，求证：-，≤7，<- 1 (2)已知b, 2 31 【解】(1)由已知Sn+1+2=an+3n+Sn得aa+1=Sn1-Sn=an+3n-2, 即an1-an=3n-2,则an-am-1=3n-5,an-1-an-2=3n-8,，a2-a1=1, 等式左右分别相加可得 a.-a=(3m-5)+3n-8+…+1=3m-5+(n-1_3m2-7n+4 2 2 则a,-302-7a+4+4-3-m+8, 2 2 (2)依题意得， 1 bn -1(11】 6a.+6n-209m2-15n+4(3n-43n-)-33n-43n- 22558 1 1 又neN,所以。 11「11 -∈0， 9n-36 所以7=39n-323 即-，T<-3 9 新考法 (错位相减法求和)设正项数列{a,}的前n项和为Sn,且a,a1=4S,-1(n∈N),a=1. (1)求数列{a,}的通项公式： (②)已知6=2，求数列b,的前项和的取值范围. 【解】(1)由ana1=4Sn-1得，a-1an=4Sn--1,n≥2， 两式作差得0n0n+1-an-10。=4an,n≥2， 因数列an}为正项数列，则an+1-am-1=4,n之2， 令n=1,则aa2=4S,-1,则a2=3, 则数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列， 故n为奇数时，an=1+ n+1-1×4=2n-1 (2 数列an}的偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列， 4/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故为偶数时，=3+小4=2n-1, 综上，数列an}的通项公式为an=2n-ln∈N): 2由0可，么=号=2 段数列6的前顺和为红：则7+是++…+2， 2 时++++ 试作五-…士 2--2* 11 1、1 22州，则7，=32n+3 ，+22”2n-132n+3 2” 2 令C2=2t3，则=2”+52”一12n+5 Cn2+1 2m+322n+3<1, 则数列(c}为递减数列，且G=2 「 2 23 故数列么，的前项和的取值范围为3 NO.2H 题型归纳 数型 01累加法求数列通项 4.设数列an}满足41=1，且a+1-an=n+1,则数列 二的前10项和为 【答案】9 【解析】因为数列an}满足a,=1,且a1-an=n+1n∈N), 所以当n22时，a,=(a,-a+…+(a,-a)+4=n++2+1=nn+ 2 当n=1时，上式也成立， 5/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以a,=”+, 2 则 a. 的前顾和s=及+日】=1 所以数列 a 的前10项和为碧。 5.若数列{an}满足a,=1,且an+1=an+2n(其中n≥1，neN),则{an}的通项公式是 【答案】a,=n2-n+1 【解析】在数列an}中，an=an+2n,当n≥2时，an-an-1=2(n-1), 则an=a1+(a2-a)+(a3-a2)+…+(an-a-i)=1+2+4+…+2(n-1) =1+2+2n-》.0m-1)=n2-n+1,4=1满足上式， 2 所以{an}的通项公式是an=n2-n+1. 6.在数列{a,}中，a,=3,且a=a1+1g”(n≥2)，则am= n-1 【答案】5 【解析】a2=a,+lg2 4,=a+lg 3 a4=a,+lg3 .100 dpm+ 3. 4 各式累加得40=4+lg2+gfg3+…+1gAA=3+g100=3 2 99 7.在数列an}中，已知a=2,且a41=a,+2”+n,则a20= 【答案】220+190 【解析】因为a1=an+2”+n,所以an+1-an=2”+n, 所以a2-4=2+1，a-0=22+2,，a0-ag=29+19, 6/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将以上各式相加得0m-4,=2+2+…+29+0+2++19)=2-2-2”+0+19)-19=20+188 1-2 因为a1=2,所以a20=220+188+2=220+190,所以a20=220+190 数型【02累乘法求数列通项 8.已知数列a,}满足a,=2,a1= 2(n+2) a,则{an}的通项公式为 n+1 【答案】an=(n+1):2 【解析】因为数列a}满足a1=2,a+1= n+10,则2=2n+2 2(n+2) a n+1 所以，当n≥2时，an=4 .马4=2x2x3x2x4××2m+=m+-2, a a2 an 23 n a=2也满足an=(n+1)2"-,所以，对任意的neN,an=(n+1)2 9.若数列{an}的首项a,=1,且an=2-·an-(n≥2)，则数列{an}的通项公式为 n(n-1) 【答案】4，=22 【解析】：数列{an}中，a=1,a,=2·a-n之2)， am=2-1 an-1 :0,=4×g×4××a =1×2×22x…×2- =2*-=2 (n-) 10.若数列{an}满足a1=12,a,+2a2+3a,+…+nan=n2an,则a2017= 【特】品 【解析】a1+2a2+3a,+.+nan=n2an()→a1+2a2+3a3+…+nan+(n+l)an+1=(n+1)2a+(2),(2)-()得， (m+10a1=n+1}'a1-n2an→=n an n+1' _123.n-1-1 所以有a,.…Q234 a1= 12 2.因此a20n=2017 1.数列(an}中，已知a=2,（n+1a+1=na,(neN),则通项an等于() 7/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.2 C.4 4 D. n+1 n +1 【答案】B 【解析】对任意的n∈N,由(n+a,1=a,可得出出=” 0mn+1 ∴.0n=a1 .4.0=2x1x2 …xn-l=2 a az an- 23 nn 故选B 题型 03构造法求数列通项 13.若数列{an}满足an+1=3an-8,且a1=6,则数列{an}的通项公式为an= 【答案】2.3-1+4 【解析】由aa+1=3an-8,则a41-4=3(an-4),a,-4=2 所以数列a-4是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以an-4=2×3"1,所以an=23-1+4, 14.已知数列{an}满足a1=-2,且an1=3an+6,则an= 【答案】3-3 【解析】由an+1=3an+6可得：an+1+3=3(an+3),因为a,+3=1≠0，所以{an+3}是以1为首项，3为公比 的等比数列，即an+3=3-,故an=3"-3 15.已知数列{an}满足41=2且an1-3an=2,则数列{an}的通项公式为 【答案】3”-1 【解析】因为a-30,=2,所以a+130,+330,+,即2十=3， 即数列a,+1为首项3，公比为3的等比数列， 则a,+1=3×3m-=3”,所以a,=3-1. 11. 设数列an}满足a1=1,且an=3a-1+4n≥2)，则数列{an}的通项公式为an= 【答案】3”-2 8/32 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解折】a,=3a,1+4(n≥2a,+2=3a,1+2,8+2 =3 0-1+2 :41=1,则a+2=3,.数列{a,+2是以3为首项，3为公比的等比数列 ∴0n+2=33"=3”,所以an=3”-2 2.数列an}满足an1=2an+3,n∈N,若a,≥a,则a的取值范围为(） A.(-0,-3] B.{-3} C.(-3,+∞) D.[-3,+o) 【答案】D 【解析】由a1=2an+3可得a.1+3=2(a。+3),所以an+3=(a,+3×2- 所以a,=(a1+3)×2--3,，所以a017=(a1+3×22016-3≥a1 所以(a,+3)×22016≥a,+3,所以a,+3≥0，所以a,≥-3 故选：D 题型 04取到数求数列通项 16.已知数列{a,满足a=1,a1=, 30,+1,则a,- 【皆I2aeN) 【解析】由己知得 1-3a,+1=3+1 anan a 11 =3, an+i an 1=1+30m-)=3n-2, an a :.a.-m-2(nEN) 2an 3.在数列{a,}中，4=l,an2+a ,n∈N,则an=() 2 2n n+1 n+2 A.a= B.a= C.a= D.a= n+1 n+1 2n 2n+1 【答案】A 【解析】在{an}中，a=1, 2a可得 由an+1-2+an 1-2+a2-1+1 a12a.a。2' 9132 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以 an 为以-1为首项，公差为的等差数列， 所以上=1+a- 1n+1 a 22 2 所以an= ,故选：A n+1 题型 05S,与a,关系法求数列通项 18.已知数列an}的前n项和Sn满足Sn=2”+2023n,则a2= 【答案】2025 【解析】因为S,=2”+2023n, 所以a2=S2-S,=2+2023×2-2+2023×1=2025 19.若数列an}满足a1+a2+a,+…+an=n2+1(neN,n>0),则数列an}的通项公式an= f2,n=1 【答案】 2n-1,n≥2 【解析】因a+a,+a,+…+a=n2+1,则a+a+a3+…+a1=(n-1+l,n≥2， 两式相减得an=n2-(n-1)2=2n-1,n≥2， 2,n=1 当n=1时，a=12+1=2,不符合上式，故an= 2n-1,n≥2 20.记Sn为数列{an}的前n项和，若a,=1,a1=2Sn+1,则a6= 【答案】243 【解析】an1=2Sn+1,当n=1时，有a2=2S,+1=2a1+1=3. 当n22时，有an=2Sn1+1 故am+1-an=2Sn-2Sn1=2an,即a1=3a,n≥2 又因为a2=3a,则数列{an}是公比为3，首项为1的等比数列 因此an=1×3"-=3m-(neN） 当n=6时，a6=35=243 10/32