专题07 等差数列与等比数列基础专题10大题型（专题专练）（上海专用） 2026年高考数学二轮复习讲练测

专题07 等差数列与等比数列基础专题 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01 等差数列通项公式的基本量计算 题型02 等比数列通项公式的基本量计算 题型03 等差数列前n项和 题型04 等比数列前n项和 题型05 等差中项的应用 题型06 等比中项的应用 题型07等差数列中的最值问题 题型08 等差数列的判定 题型09 等比数的判定 题型10 等差、等比数列新定义问题 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1.（等差数列通项公式的基本量计算）5．在等差数列中，，公差，，则 ． 2.（等比数列通项公式的基本量计算）已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为 ． 3.（等差数列前n项和）7．若等差数列的前项和为，已知，则 ． 4.（等比数列前n项和）在等比数列中，，，则 5.（等差中项的应用）已知构成等差数列，则实数的值为 . 6.（等比中项的应用）．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 7.（等差数列中的最值问题）11．在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则 8.（等差数列的判定）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.（等比数的判定）已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 10.（等差、等比数列新定义问题）对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质.设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差.那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 01 等差数列通项公式的基本量计算 1．设等差数列的前项和为，若，则 . 2．已知等差数列的首项，前6项的和为12，则该等差数列的公差 . 3．记为等差数列的前项和，若，，则 . 4．已知等差数列满足，，则 ． 02 等比数列通项公式的基本量计算 5．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则 . 6．已知等比数列中，，则等比数列的公比 ． 7．已知数列满足，则 . 8．若是各项均为正数的等比数列，且，，则 . 9．已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 03 等差数列前n项和 10．已知为等差数列，为其前项和，若，，则 . 11．已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 12．已知等差数列的公差，且，则 ． 04 等比数列前n项和 13．已知等比数列的首项为1，公比为，则 . 14．已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 15．设等比数列的前项和为，若，，则 ． 16．各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则 ． 05 等差中项的应用 17．若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为 . 18．在，角、、依次成等差数列．若，角的值为 . 19．设，若与的等差中项是2，则的最小值为 06 等比中项的应用 20．若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 21．在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ． 22．已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式 ． 23．已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则 ． 07等差数列中的最值问题 24．已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为 ． 25．是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 . 26．已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值= . 27.设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．或为的最大值 08 等差数列的判定 28．已知数列满足，，则的值为（    ） A．1000 B．1013 C．1011 D．1012 29．已知数列满足，那么（    ）是等差数列 A． B． C． D． 30．现有下列命题：①若，则数列是等差数列； ②若，则数列是等差数列； ③若（b、c是常量），则数列是等差数列． 其中真命题有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 09 等比数的判定 31．“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既不充分又非必要条件． 32．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 33．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10 等差、等比数列新定义问题 34．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ． 35．若项数为n的数列，满足：，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，是公差为的等差数列，数列的最小项等于，记数列的前项和为，若，则的值为 ． 36．对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 37．已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（   ）. A．且 B．且 C．且 D．且 1．等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 2．设正项等比数列中，，若依次成等差数列，则 . 3．已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 4．在等比数列中，，，则 ． 5．已知数列的前项和为，且，则 6．已知等比数列的前项和为，若，则 . 7．已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 8．已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 9．已知等差数列的前项和为，，且，则（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则时的最小值为（   ） A． B．11 C． D．13 11．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 12．已知为无穷等比数列，，数列 满足，则 ． 13．已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则 14．等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则 . 15．设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则 ． 16．从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数的，再取出往后数到3的数，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（    ） A．6 B．990 C．999 D．1000 17．若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 18．设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（    ） A．无穷 B．4个 C．3个 D．1个 19．新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列，称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（   ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A．①② B．①③ C．②③ D．② 20．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 21．已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列，并求； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 等差数列与等比数列基础专题 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01 等差数列通项公式的基本量计算 题型02 等比数列通项公式的基本量计算 题型03 等差数列前n项和 题型04 等比数列前n项和 题型05 等差中项的应用 题型06 等比中项的应用 题型07等差数列中的最值问题 题型08 等差数列的判定 题型09 等比数的判定 题型10 等差、等比数列新定义问题 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1.（等差数列通项公式的基本量计算）5．在等差数列中，，公差，，则 ． 【答案】 【解析】因为等差数列中，，公差， 所以数列的通项公式， 又，所以，解得. 2.（等比数列通项公式的基本量计算）已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为 ． 【答案】/0.25 【解析】设等比数列的公比为， 因为各项均为正数，若，， 则， 故该等比数列的公比为. 3.（等差数列前n项和）7．若等差数列的前项和为，已知，则 ． 【答案】26 【解析】设数列的公差为， ，则， 故． 4.（等比数列前n项和）在等比数列中，，，则 【答案】8或 【解析】设等比数列公比为， 由题意，. 所以或. 又. 当时，； 当时，. 5.（等差中项的应用）已知构成等差数列，则实数的值为 . 【答案】/ 【解析】因为构成等差数列， 所以，解得. 6.（等比中项的应用）．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【解析】因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 7.（等差数列中的最值问题）11．在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则 【答案】 【解析】设公差为，则得，解得， ， 由，，即， ∴取得最大值时，． 8.（等差数列的判定）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 9.（等比数的判定）已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 10.（等差、等比数列新定义问题）对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质.设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差.那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 【答案】C 【解析】由题意， 对命题①，设数列的公比为.因为数列具有性质， 所以对任意，也即.因此数列严格增， 故①是真命题. 对命题②，设等差数列的首项为.对每个使得数列不具有性质的正整数， 存在正整数，使得 则，从而 因为是定值，所以当无限增大时，得到.故②是真命题. 故选：. 01 等差数列通项公式的基本量计算 1．设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】6 【解析】设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 则. 2．已知等差数列的首项，前6项的和为12，则该等差数列的公差 . 【答案】2 【解析】因为等差数列的首项，前6项的和为12， 所以， 解得 ， 3．记为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，解得. 4．已知等差数列满足，，则 ． 【答案】4 【解析】由题意有，又，， 所以. 02 等比数列通项公式的基本量计算 5．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，则，， 由，且，，成等比数列，知，化简得， 所以或（舍去），则. 6．已知等比数列中，，则等比数列的公比 ． 【答案】2或 【解析】因为， 所以，故， 即，化简得， 解得或， 7．已知数列满足，则 . 【答案】 【解析】由数列满足，可得，所以数列是公比为的等比数列， 根据等比数列的性质，可得， 因为，可得，所以. 8．若是各项均为正数的等比数列，且，，则 . 【答案】 【解析】设各项均为正数的等比数列的公比为，因为，， 所以，解得或（舍去）， 所以. 9．已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 【答案】 【解析】设等比数列的公比为， 因为， 当时，则，所以，则，不符合题意； 当时，则，，所以， 所以，即，所以，解得或（舍去）； 综上可得. 03 等差数列前n项和 10．已知为等差数列，为其前项和，若，，则 . 【答案】121 【解析】依题意得： ， 解得：， 由等差数列的前项和公式得： . 11．已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 【答案】 【解析】. 12．已知等差数列的公差，且，则 ． 【答案】 【解析】由公差，且， 得， 即，解得， 则. 04 等比数列前n项和 13．已知等比数列的首项为1，公比为，则 . 【答案】2 【解析】等比数列的首项为1，公比为，则. 14．已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 【答案】7 【解析】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即， 所以. 15．设等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】 【解析】等比数列的前项和为，，， ，， ， ． 16．各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】30 【解析】法一：第一步：利用等比数列前项和的性质． 成等比数列． 第二步：应用等比中项列出方程求解． ，即， 解得或（舍去），同理可得． 法二：第一步：设出首项和公比． 设等比数列的首项为，公比为q，由已知可得． 第二步：列出方程组求出整体和． ， 两式相比得，解得或（舍去），． 第三步：代入等比数列前n项和公式求出． . 05 等差中项的应用 17．若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为 . 【答案】1 【解析】由条件可知，，则. 18．在，角、、依次成等差数列．若，角的值为 . 【答案】 【解析】在，角、、依次成等差数列，则， 由三角形的内角和定理可得，可得， ，整理可得， 因为，故. 19．设，若与的等差中项是2，则的最小值为 【答案】 【解析】因为与的等差中项是2，可得， 即，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 06 等比中项的应用 20．若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【解析】由题意为等差数列的前项和，， 则由等差数列前n项和的性质得，解得， 则与的等比中项. 21．在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ． 【答案】或 【解析】1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列， 则，联立得到，解得或． 当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意； 当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，符合题意． 综上所得，x、y的值分别是或． 22．已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】设数列的公差为，则，即，解得或0（舍去）， 所以. 23．已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知，是和的等比中项，，又是和的等比中项， .又，， 而. 07等差数列中的最值问题 24．已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，， ， 解得，， 所以当时，取得最大值为. 25．是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 . 【答案】10 【解析】由，得， ，又， 所以数列为递减数列，且， ， 所以当时，取得最大值. 26．已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值= . 【答案】4 【解析】因为，则数列为公差为2的等差数列， 则， 则当时，取得最小值. 27.设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．或为的最大值 【答案】C 【解析】由可得，即，故B正确； 因为，所以，即A正确； 因为，，故，即C错误； 因为，，知是递减数列，又，所以为最大值，即D正确. 故选：C. 08 等差数列的判定 28．已知数列满足，，则的值为（    ） A．1000 B．1013 C．1011 D．1012 【答案】D 【解析】由， 得， 所以是等差数列，首项，公差， 所以， 所以. 故选：D. 29．已知数列满足，那么（    ）是等差数列 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， ∴，， 故，即有， 故数列是等差数列. 故选：D 30．现有下列命题：①若，则数列是等差数列； ②若，则数列是等差数列； ③若（b、c是常量），则数列是等差数列． 其中真命题有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】由，得，满足等差数列的定义，故①正确； ，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误； ，，，满足等差数列的定义，故③正确. 故选：C 09 等比数的判定 31．“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既不充分又非必要条件． 【答案】B 【解析】由“一个数列是常数列”推不出“这个数列是公比为1的等比数列”，如常数列0,0,0，显然不是等比数列， 由“数列是公比为1的等比数列”可推出“这个数列是常数列”， 故“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的必要非充分条件. 故选：B 32．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】角的终边不在坐标轴上，有，，，， 对于A，令，则， ，即，A不是； 对于B，令，则，即，B不是； 对于C，令，则， 于是，即，C不是； 对于D，，则，则一定成等比数列，D是. 故选：D 33．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且， ，故成等比数列，且公比为， 因此成等比数列，且公比为， ，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列， 故选：C 10 等差、等比数列新定义问题 34．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21， 依题知，，，，， 叠加可得：， 整理得， 当，，满足， 所以， 所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 又，所以等号取不到，所以最小值在时取得， 当时，，所以最小值为. 35．若项数为n的数列，满足：，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，是公差为的等差数列，数列的最小项等于，记数列的前项和为，若，则的值为 ． 【答案】5或4 【解析】由于，是公差为的等差数列，故，单调递减，所以， 故，则，． 又，故，即， 由等差数列前项和公式有，化简得， 解得或． 36．对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【解析】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故①正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故②正确； 故选：A 37．已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（   ）. A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解析】，又， 所以， 对于A，若且，则即可，故A是可能，不符合题意， 对于B，若，则可知，则，故B不可能，符合题意， 对于C，若且，则即可，故C是可能的，不符合题意， 对于D，若且，则即可，故D是可能的，不符合题意. 故选：B. 1．等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【答案】 【解析】②， ②①可得，，即， 2．设正项等比数列中，，若依次成等差数列，则 . 【答案】27 【解析】由等比中项的性质可知，， 又成等差数列，则. 3．已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 4．在等比数列中，，，则 ． 【答案】10 【解析】设等比数列的公比为，因为，解得； 当，又，则， 解得，不符合题意； 当时，又，则， 解得，符合题意．综上可得． 5．已知数列的前项和为，且，则 【答案】57 【解析】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 6．已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【解析】设等比数列的首项为，公比为，若，则，所以. 由，得，即， 所以，解得， 则. 7．已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 故选：C. 8．已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】B 【解析】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 9．已知等差数列的前项和为，，且，则（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】B 【解析】由题意得，，其中分别是等差数列的首项和公差， 化简得，解得. 所以. 故选：B. 10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则时的最小值为（   ） A． B．11 C． D．13 【答案】B 【解析】由可得， 解得，则， 由可得，解得. 故选：B. 11．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 【答案】 【解析】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 12．已知为无穷等比数列，，数列 满足，则 ． 【答案】 【解析】设的公比为， 为无穷等比数列，则当时，， ， ，化简整理得，解得或（，舍去）， ， ，是首项 ， 公比的无穷等比数列， ． 13．已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则 【答案】 【解析】由题意可知的两根为，，所以由韦达定理可知 ， 所以， 因为是等比数列，其通项满足 ，公比的平方 （若则，不符题意）， 所以 与 同号，故 ,又因为 ， 综上可得 . 14．等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 15．设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则 ． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 因为，且，可得，解得， 所以. 16．从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数的，再取出往后数到3的数，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（    ） A．6 B．990 C．999 D．1000 【答案】B 【解析】由题知：， 则，， 所以的最后一项是990，故选：B. 17．若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【解析】对①，对于任意等差数列，若是递增数列，则，，当时，，与的前n项的和矛盾，故不存在； 对于②，构造等比数列，令，则， ，故为递增数列. 由等比数列前项和公式得， 因为，所以，取，则对于任意的都有. 综上分析，可知①错误，②正确. 故选：D. 18．设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（    ） A．无穷 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】C 【解析】因为长为的线段均能构成三角形，所以. 由，有，即， 若，则对任意的都成立。 若，则，而当时，有最大值. 要使任意的都有，即要，解得可为任意正整数. 由，有，即， 所以，因，当时，有最大值. 要使任意的都有，即要，解得. 由，有，即， 若，则对任意的都成立。 若，则，当时，有最小值. 要使任意的都有，即要，解得. 综上，，所以满足条件的有3个． 故选：C 19．新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列，称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（   ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A．①② B．①③ C．②③ D．② 【答案】D 【解析】命题①，对于对数函数，当为正整数时，， 设对应数列为,， ，当变化时，不是常数，例如无意义，， 不是等比数列，命题①错误. 命题②，设等比数列为，公比为，， 当时，，此时为指数函数. 所以等比数列的对应函数可能为指数函数. 设指数函数为且，当为正整数时，， 设的对应函数为，则，， ，是常数，是等比数列. 所以指数函数的对应数列一定为等比数列，命题②正确. 命题③，设幂函数，当为正整数时，， 设对应数列为，则，， 幂函数在第一象限的单调性由的正负决定， 当时，在第一象限单调递增；当时，在第一象限单调递减. 由新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列， 说明数列单调递增，则幂函数在第一象限的单调性与其对应数列不一定相同，命题③错误. 综上，只有命题②正确. 20．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 21．已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列，并求； 【解】（1）设等差数列的公差为，则， 依题意得：， 化简得，解得. 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 由，可得数列是等比数列， 且等比数列的首项为，公比为， 则. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $