培优02 二次根式新定义问题4大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题02 二次根式新定义问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 最值问题 1 题型二、 新定义问题 12 题型三、 规律探究 31 题型四、 二次根式的应用 52 B综合攻坚・能力跃升 题型一、最值问题 1．当二次根式的值最小时， . 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式的最小值为0， ∴， ， 故答案为：3． 2．已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于 ． 【答案】45 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，先把原式化简，得，，再次化简得，，由正整数，得，，再按题意计算即可． 【详解】解： ∵的值大于，小于， ∴，， ∴，， ∴, , ∴，， ∴，， ∴，， ∵正整数， ∴，， ∴， ∴正整数n最大为574，正整数最小为529， ∴正整数n的最大值与最小值的差等于， 故答案为：45． 3．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 4．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、不等式的性质、二次根式的性质，由题意可得，从而可得，结合题意得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴或． ∵，， ∴． ∴的最小值为． 答案为：． 5．当式子取最小值时， ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的非负性，因为式子取最小值，则，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵式子取最小值， ∴， 解得， 故答案为：3． 6．当的值为时，代数式有最小值，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的非负性，掌握，是解题的关键．根据二次根式的非负性，即可得到答案． 【详解】解：当的值为时，代数式有最小值， ∵， ∴时，存在最小值，即， 把代入代数式，则最小值为， ∴． 故答案为：． 7．阅读理解： 材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，∴，当且仅当时取等号．根据这一结论，我们可以推出：当时，，即：当时，的最小值是2（当且仅当时取得最小值2）．根据上述结论和范例，请你解决以下问题： 如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为9和16，则四边形面积的最小值是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了完全平方公式在二次根式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．设，根据等高三角形的性质计算得出，再根据题意求出最值即可． 【详解】解：设， ∵与同高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为49． 8．通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：通过学习二次根式和乘法公式，可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ； （2）如图，四边形的对角线相交于点O，，的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值为 ． 【答案】 2 25 【分析】本题考查了二次根式和乘法公式的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可； （2）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）当时，． （2）设，已知，，和均以为底，和均以为底，由等高三角形可知， ，， 四边形的面积． 当且仅当时取等号， 四边形面积的最小值为． 故答案为：， 9．已知a是正实数，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算的应用．把原式变形为，利用非负数的性质和不等式的性质进行分析即可． 【详解】解：∵a是正实数， ∴， ∵， ∴（当且仅当时取“”）． ∴． ∴的最小值等于． 故答案为：． 10．已知为整数，，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根非负数的性质及因式分解的应用，主要利用了被开方数大于等于0． 根据被开方数大于等于0设（a为非负整数），设，运用平方差公式分解因式再计算即可得解． 【详解】解：为整数，， ， 即， ， 设（a为非负整数）， ， ， 设， ， ，即或， 或或， 或7或1， 则的最小值是1， 故答案为：1 11．已知有最小值，这个最小值是 ． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性：()进行求解即可． 【详解】解：， ， 的最小值为； 故答案：． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，理解非负性是解题的关键． 12．对于任意正实数、， ， ，只有当时，等号成立． 由此我们得到结论：任意正实数、，有． 依此结论我们有 （1）的最小值 ； （2）的最小值 ． 【答案】 【分析】（1）根据，对代数式进行化简，即可求解； （2）根据，将代数式化为 【详解】（1）∵， ∴的最小值为2， 故答案为：． （2）∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，二次根式的性质化简，熟练掌握是解题的关键． 13．若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， 将等式两边平方，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 又∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 14．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 15．阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)当 时，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④. 故答案为：②④ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 题型二、新定义问题 16．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 17．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 18．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新运算，根据新运算的规则，把转化为一般形式的运算，可得：原式，再根据二次根式的性质进行运算即可． 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 19．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 20．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 21．我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，新定义，按照新定义，逐一判断即可，能理解题意熟练计算解此题的关键． 【详解】解：A、，故2025与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； B、，故与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； C、， ， ， 与不是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； D、， ， ， 故与不一定是关于1的平衡数，故该说法符合题意， 故选：D． 22．对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数运算、二次根式的化简等知识．根据二次根式的性质化简逐项进行解答判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴或， 解得或， 故①错误； ②进行“新运算操作”得到， ∵在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ∴， 则， ∵在数轴上和的距离为8， ∴在数轴上找不到一个数，使得到和的距离之和为6， ∴无解， 故②错误， a，b，c的“新运算操作”结果为， 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 根据a，b，c的取值范围，化简结果可能存在的不同表达式共有8种． 故③错误， 故选：A 23．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 24．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，二次根式的混合运算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由定义， ∴ 故选：C． 25．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解： 故选：D． 26．定义运算：．例如．若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求平方根、二次根式的乘法，理解题干中的运算定义是解答的关键．根据题干中运算定义得到，进而得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，由得 ∴ 解得 故答案为： 27．定义运算“☆”的运算法则为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意列式后利用二次根式的性质即可求得答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶ ． 28．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据新运算的定义，将，代入公式计算． 【详解】解：由定义，， 所以． 故答案为：． 29．对于实数，，定义运算“”如下：，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算、完全平方公式，首先根据新定义运算的规则，把运算转化为一般的运算，根据完全平方公式把算式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 30．定义运算“@”的运算法则为：，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果． 【详解】解：， ． 故答案为：． 31．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 32．对于任意满足的两个非零实数a，b，定义一种新运算“#”，满足：，例如，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据所规定的运算方法求解即可．本题考查了新定义运算，理解新定义的运算方法是解答本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 33．若定义一种新运算：，则的值为 ． 【答案】6 【分析】考查新定义运算、完全平方公式与平方差公式．解题关键是根据新运算规则，将a、b代入公式，结合乘法公式简化计算；易错点是展开完全平方时遗漏中间项，或计算平方差时符号出错． 首先设，，根据新运算，分别计算、、；其次用完全平方公式算、，用平方差公式算；最后代入新运算公式，计算得结果． 【详解】设 ，，则 ， ， ． 代入得 ． 故答案为：6． 34．用“”定义新运算，对于任意实数，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算， 二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据定义，代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 35．对于任意正实数，，定义一种新的运算：，例：．按照这种运算方法，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的混合运算． 根据新定义将数代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 36．阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （）根据题意分母有理化即可求解． （）先分母有理化，再比较大小即可求解． （）由新定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 37．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为． 38．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 39．定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】本题考查了代数式求值，整式混合运算，完全平方式的非负性，难度不大． （1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果； （2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴“如意数”c为非负数． 40．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，分母有理化，平方差公式，并会用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵与是关于26的共轭二次根式， ∴， ∴， ∴． 41．定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 42．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 43．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）6；（5）14 【分析】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解； （5）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵10是“完美数” ∴； 故答案为：； （2） 要使S为“完美数”， 则，即． （3）∵， ∴ ∴， ∴， ， 解得， ， 则． （4）， ， ， ， 无论x取何值，， 当时，的值最大，为. （5）， ∴， ，，， ，，， ． 45．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 46．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如：，这种方法称为“分母有理化”．类似地，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：， ①求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了新定义运算，分母有理化，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意给出的方法，将分母有理化即可； （2）①根据新定义运算求出，代入即可求解； ②设，根据平方差公式可求出的值，即得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意可得： ， ， ∴； ②设， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 47．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：关于的“美好数”， ∴ ． 题型三、规律探究 48．按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知， 第个数为， ∴第个数是， 故选：C． 49．按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 50．观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，根据所给等式，可得出一般规律，即第n个等式为，其中n为正整数，当时，代入计算即可． 【详解】解：根据上述等式，可知：第n个等式为，其中n为正整数， ∴第2021个等式为， 故选：C． 51．观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式规律探究，分式的乘法与加减混合运算观察各等式左边为带分数的平方根，右边为整数乘以分数部分的平方根．通过分析整数部分、分子、分母与n的关系，确定通式． 【详解】解：观察左边结构：每个等式左边为，其中整数部分为，分数部分分子为，分母为．例如： 当时，； 当时，． 验证右边结构：右边为，展开后与左边相等． 例如：当时，； 当时，． 则， 故选：A 52．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为2n，即可求解． 【详解】根据单项式的规律可得，系数为，字母为x，指数为2n， ∴第n个单项式为， 故选B． 53．如图，在平面直角坐标系中，，，是等边三角形的顶点，将向右滚动，第一次滚动后得到，，，，第二次滚动后得到，，按此规律滚动下去，的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据等边三角形的性质，每次旋转，3次一循环，根据规律先求得的横坐标，再根据第一次滚动后的到坐标规律，即可求解． 【详解】解： ∵，第一次滚动后得到，，第二次滚动后得到，，第三次滚动后得到，， 每次旋转，3次一循环，每3次横坐标， ∵， ∴的横坐标是， ∴的横坐标是，纵坐标是， 故选：D． 54．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，多项式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 观察多项式规律，分别分析a的指数部分和根号部分的规律，结合选项进行判断． 【详解】解：将多项式拆分为两部分： a的指数部分：第1项为，第2项为，第3项为，依此类推，第n项为， 根号部分：第1项为，第2项为，第3项为（即2），第4项为，依此类推，第n项为， 因此，第n个多项式为， 故选：C 55．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数阵规律，每行被开方数为连续自然数，第n行最后一个数的被开方数为，第八行最后一个数为，倒数第四个数即第13个数，对应被开方数为，解答即可． 本题考查了规律问题，正确发现被开方数的规律是解题的关键． 【详解】解：1. 确定每行最后一个数的规律： 第1行：； 第2行：； 第3行：； 第8行：； 2. 计算第八行的被开方数范围： 第八行最后一个数为，共有16个数（每行有个数），被开方数从上一行最后一个数+1开始，即57到72． 3. 定位倒数第四个数： 倒数第一个数为第16个（），倒数第四个数为第13个．被开方数为，故该数为． 因此，第八行倒数第四个数为， 故选：D． 56．观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律，二次根式的乘法运算，能根据所给的二次根式，找出被开方数的变化规律是解题的关键．先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 第个式子是． 故选：C． 57．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式规律题，根据单项式的规律可得，系数为，字母为a，指数为0开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， …， ∴第个代数式是． 故选：C． 58．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 59．按一定规律排列的整式：1，，，32，…，则第个整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有关的规律问题，根据，，，再据此找到规律即可． 【详解】解：，，，， 题中整式可排列为，，，，…， 第个整式为． 故选：C． 60．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简，根据数据可得第个数为，据此即可求解，由已知数据找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴个数据应是， 故选：． 61．一组数按如下规律排列：                                                                        a        照此规律，回答下列问题： （1） ． （2）如果记作有序数对， 记作有序数对，则 记作有序数对 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，数字类规律，有序数对表示位置，找到规律是解题的关键． （1）根据被开方数为，即可求解； （2）是第个数，进而得出位置，再用有序数对表示，即可求解． 【详解】解：（1）观察数据，被开方数为，， 故答案为：． （2） 是第个数， ∵ ∴第个数是第行第个数， ∴ 记作有序数对 故答案为：． 62．观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 【答案】（） 【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分母为系数的平方减1；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减1，由此得出规律． 【详解】解：总结得：对于自然数n（），等式左边为 ，右边为， 验证：左边， 右边， 左右相等，故规律成立， 因此，用含自然数的等式表示为（）． 故答案为：（）． 63．规律探究：设，，，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 64．斐波那契数列是按某种规律排列的一列数，这列数中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第为正整数个数可表示为表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为 ，第2个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；将和分别代入斐波那契数列的通项公式，通过二次根式的运算计算即可． 【详解】解：当时，； 当时， ； 故答案为1；1． 65．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分析所给的等式的形式进行总结即可． 【详解】解：， ， ， 用含的式子表示为：， 故答案为：． 66．观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和． 本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 67．规律探究 设，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律以及二次根式的化简求值，解题的关键是根据已知规律得出的表达式，再利用裂项相消法进行计算． 先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算． 【详解】解：由 推知：， 可得， 则 ， 故答案为：． 68．已知：，，，，若符合上面的规律，则的值为 ． 【答案】109 【分析】本题主要考查的是二次根式的混合运算以及归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题． 观察所给的等式，整理得出，，，则，再结合，列式，求得的值，从而求得结论． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴以此类推，得， ∵， ∴，， ∴ 故答案为：． 69．细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用题目中的等式反映的规律写出，然后分母有理化； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 70．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 71．【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）；（2）（，且n为正整数），见解析；（3）14或34或71 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 72．下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质及二次根式加减运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化的计算步骤是解决问题的关键． （1）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程直接求解即可得到答案； （2）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程先逐项分母有理化，再消去中间项，最后由二次根式性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 73．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化化简x、y，再代值求解即可； （3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 74．阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： (1)已知，求的值； (2)计算：； (3)设实数，满足，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3)2025 【分析】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）先将进行分母有理化后，得，再代入进行计算，即可作答； （2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可； （3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：， ， 则 ①， 同理②， ∴①②得：， ， ． 75．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）找出规律后，根据运算法则进行运算即可； （2）根据（1）中的规律把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第个等式：； 故答案为： （2）解： 76．阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的加减运算，掌握分母有理化的法则是解本题的关键． （1）分子分母都乘以，即可得到答案； （2）分子，分母都乘以，即可得到答案； （3）根据题干提示的规律，把每个分母中的二次根号去掉，化为有理数，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 77．观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： (1)__________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：； 故答案为：； （3）解：原式 ． 78．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法的应用；设圆的半径为，根据面积不变列出方程，即可求解． 【详解】解：设圆的半径为，根据题意得， 解得：（负值舍去） 故选：D． 题型四、二次根式的应用 79．如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． 先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、,再利用平方差公式计算． 【详解】解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； 根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 故选：D． 80．如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为． 【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为， ， 正方形的面积为， 故选：． 81．长方形的一边的长是，面积为，则这个长方形的周长为 . 【答案】/厘米 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据长方形的面积公式求出另一边的长度，再利用周长公式计算周长． 【详解】解：∵长方形的一边的长是，面积为， ∴另一条边长为：， ∴周长为：， 故答案为：． 82．我国古代的《洛书》记载了世界最早的幻方--九宫格．如图，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘得到相同的结果，则的值为 ． 2 1 3 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的乘法运算及幻方的性质，解题的关键是利用“每一横、竖、斜对角的3个数相乘结果相同”这一规则，通过已知行／列的乘积建立等式求解． 先计算出第一行的乘积（即幻方的公共乘积），再结合第一列的乘积等于公共乘积，列方程求解的值． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 83．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 84．阅读与计算：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积（海伦公式）．若中，，，，请利用上述公式求出的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答．先求出，，，的值，然后代入化简即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 85．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． 86．将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）， （1）图2中正方形的边长为 ； （2）图2中正方形边长的整数部分是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用、无理数的估算， （1）根据题意得出正方形的边长为， （2）估算出即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，拼成的正方形的面积等于原长方形的面积，即， 正方形的边长为， 故答案为：． （2）， ，即， ，， ∴， 该正方形的边长最接近的整数为， 故答案为：． 87．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，二次根式的乘除，根据题意列出方程是解题关键． 根据横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 88．长方形的两边的长分别为，，则该长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，首先将各平方根化简，然后利用长方形面积公式计算乘积即可求解； 【详解】解：，； 长方形面积为：。 故答案为： 89．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 先计算半周长，再代入公式求面积S，最后估算的整数部分并求小数部分． 【详解】解： 由题意，， ， 由于， 所以S的整数部分为，小数部分或． 故答案为：或． 90．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 1．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式： （1）根据，即可求得答案； （2）根据，，即可求得答案； （3）设，则，，，则． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，当且仅当，即时，有最小值． 故答案为： （2），，即的最小值为． 根据题意，得． ∴ 将代入，得 原式 ． （3）设，则，，． ． 因为，当且仅当，即时，有最小值， 所以当时，取得最大值，最大值． 2．如图，在中，，，，，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点B出发，沿方向运动，点Q从点C出发，沿方向运动，两点同时开始运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒． 填空：________ ，________ （用含t的式子表示）； (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值； (3)连接，，当线段，将分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度的比值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直角三角形的性质，列代数式； （1）根据速度乘以时间等于路程求出 ，即可得到； （2）在（1）的条件下，，，，当是等腰三角形时，，据此列方程计算即可； （3）先推理出当线段，将分成三个全等三角形时，三个全等三角形中包含，即与有关的三角形是直角三角形，画出图形，得到此时、、三个三角形全等，则，，，求出，最后根据点P的速度与点Q的速度的比值等于路程比值，即，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， 当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒， ∴ ， ∴， 故答案为：，； （2）解：在（1）的条件下，，，， ∴当是等腰三角形时，， ∴， 解得； （3）解：连接将分成和， ∵中含整个图形中最长边，且与有关的三角形不可能有边等于， ∴当线段，将分成三个全等三角形时，三个全等三角形中包含，即与有关的三角形是直角三角形，如图所示： 此时、、三个三角形全等， ∴，，， ∵， ∴，解得， ∴点P的速度与点Q的速度的比值等于路程比值，即． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式新定义问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 最值问题 1 题型二、 新定义问题 3 题型三、 规律探究 7 题型四、 二次根式的应用 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、最值问题 1．当二次根式的值最小时， . 2．已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于 ． 3．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 4．已知，，且，则的最小值为 ． 5．当式子取最小值时， ． 6．当的值为时，代数式有最小值，则 ． 7．阅读理解： 材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，∴，当且仅当时取等号．根据这一结论，我们可以推出：当时，，即：当时，的最小值是2（当且仅当时取得最小值2）．根据上述结论和范例，请你解决以下问题： 如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为9和16，则四边形面积的最小值是 ． 8．通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：通过学习二次根式和乘法公式，可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ； （2）如图，四边形的对角线相交于点O，，的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值为 ． 9．已知a是正实数，则的最小值等于 ． 10．已知为整数，，则的最小值是 ． 11．已知有最小值，这个最小值是 ． 12．对于任意正实数、， ， ，只有当时，等号成立． 由此我们得到结论：任意正实数、，有． 依此结论我们有 （1）的最小值 ； （2）的最小值 ． 13．若的最大值为，最小值为，则的值为 . 14．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 15．阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 题型二、新定义问题 16．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 17．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 18．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 19．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 20．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 21．我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 22．对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 24．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 25．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 26．定义运算：．例如．若，则a的值是 ． 27．定义运算“☆”的运算法则为，则 ． 28．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则 ． 29．对于实数，，定义运算“”如下：，若，，则 ． 30．定义运算“@”的运算法则为：，则 ． 31．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 32．对于任意满足的两个非零实数a，b，定义一种新运算“#”，满足：，例如，那么 ． 33．若定义一种新运算：，则的值为 ． 34．用“”定义新运算，对于任意实数，都有，例如：，那么 ． 35．对于任意正实数，，定义一种新的运算：，例：．按照这种运算方法，则 ． 36．阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 37．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 38．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 39．定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 40．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 41．定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 42．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 43．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 44．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 45．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 46．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如：，这种方法称为“分母有理化”．类似地，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：， ①求的值； ②若，求的值． 47．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 题型三、规律探究 48．按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 49．按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 50．观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． 51．观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 52．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 53．如图，在平面直角坐标系中，，，是等边三角形的顶点，将向右滚动，第一次滚动后得到，，，，第二次滚动后得到，，按此规律滚动下去，的坐标是（    ） A． B． C． D． 54．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 55．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 56．观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 57．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 58．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 59．按一定规律排列的整式：1，，，32，…，则第个整式为（   ） A． B． C． D． 60．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（   ） A． B． C． D． 61．一组数按如下规律排列：                                                                        a        照此规律，回答下列问题： （1） ． （2）如果记作有序数对， 记作有序数对，则 记作有序数对 ． 62．观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 63．规律探究：设，，，…，则的值为 ． 64．斐波那契数列是按某种规律排列的一列数，这列数中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第为正整数个数可表示为表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为 ，第2个数为 ． 65．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为 ． 66．观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 67．规律探究 设，，则的值为 ． 68．已知：，，，，若符合上面的规律，则的值为 ． 69．细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 70．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 71．【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 72．下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 73．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 74．阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： (1)已知，求的值； (2)计算：； (3)设实数，满足，求的值． 75．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 76．阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 77．观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： (1)__________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：． 78．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是（    ） A． B． C． D． 题型四、二次根式的应用 79．如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 80．如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 81．长方形的一边的长是，面积为，则这个长方形的周长为 . 82．我国古代的《洛书》记载了世界最早的幻方--九宫格．如图，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘得到相同的结果，则的值为 ． 2 1 3 83．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 84．阅读与计算：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积（海伦公式）．若中，，，，请利用上述公式求出的面积 ． 85．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 86．将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）， （1）图2中正方形的边长为 ； （2）图2中正方形边长的整数部分是 ． 87．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为 ． 88．长方形的两边的长分别为，，则该长方形的面积为 ． 89．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 90．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 1．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 2．如图，在中，，，，，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点B出发，沿方向运动，点Q从点C出发，沿方向运动，两点同时开始运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒． 填空：________ ，________ （用含t的式子表示）； (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值； (3)连接，，当线段，将分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度的比值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $