专题8.5 整式乘法（章节复习）（知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义通过知识梳理与易错点拨构建整式乘法单元体系，以框架图呈现整式乘法（含单项式乘单项式、多项式乘多项式）和乘法公式（平方差、完全平方）的知识脉络，明确运算规则与公式特征，标注易错点如符号处理和公式结构，帮助学生把握知识内在联系。 讲义亮点在于20个题型的递进式设计，涵盖基础计算、几何应用（如用图形面积验证乘法公式）和规律探究（如多项式乘法中的数字规律），培养学生几何直观与推理意识。每个题型配典例与变式训练，分层练习（基础夯实、培优拔高）满足不同需求，中考真题演练对接升学要求，助力学生自主复习和教师精准教学。

专题8.5 整式乘法（章节复习） （知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：整式的乘法 2 知识点梳理02：乘法公式 2 题型讲练 3 题型1：计算单项式乘单项式 3 题型2：利用单项式乘法求字母或代数式的值 3 题型3：计算单项式乘多项式及求值 3 题型4：单项式乘多项式的应用 4 题型5：利用单项式乘多项式求字母的值 4 题型6：计算多项式乘多项式 4 题型7：(x+p)(x+q)型多项式乘法 5 题型8：多项式乘多项式——化简求值 5 题型9：已知多项式乘积不含某项求字母的值 5 题型10：多项式乘多项式与图形面积 5 题型11：多项式乘法中的规律性问题 6 题型12：整式乘法混合运算 6 题型13：运用平方差公式进行运算 7 题型14：平方差公式与几何图形 7 题型15：运用完全平方公式进行运算 8 题型16：通过对完全平方公式变形求值 8 题型17：完全平方公式在几何图形中的应用 9 题型18：求完全平方式中的字母系数 10 题型19：完全平方式在几何图形中的应用 10 题型20：整式的混合运算 11 中考真题 11 分层训练 12 基础夯实 12 培优拔高 13 知识点梳理01：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点梳理02：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型1：计算单项式乘单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算 ． 【变式训练】（25-26七年级下·北京·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型2：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级下·河南开封·月考）已知单项式与的积为，则 ． 【变式训练】（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 题型3：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 题型4：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）请计算下列物体的体积和表面积． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 题型5：利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 题型6：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）化简：． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·单元测试）若的展开式中项的系数为9，项的系数为1，求的值． 题型7：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）若化简后得，则n的值为(    ) A．4 B．-4 C．6 D．4或6 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·月考）如果 ，那么 ． 题型8：多项式乘多项式——化简求值 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若，则代数式的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）规定，例如．已知，则的值为 ． 题型9：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）若的结果中不含项，则的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 题型10：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·福建宁德·月考）小明用下图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为，一边长为的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片 张． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 题型11：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·月考）（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 题型12：整式乘法混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 题型13：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式训练】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）利用乘法公式计算：． 题型14：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 题型15：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·月考）下列计算正确的是（　  　） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型16：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果，那么a、b的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，求的值． 题型17：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）（1）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1_____图2_____；（用字母表示） （2）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 已知，求的值； （3）拓展运用：如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用，表示）． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底部为正方形的雕塑，正方形的边长为米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分进行绿化．（，） (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积． (2)若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比． 题型18：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“”中被墨水遮住的部分可能是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·福建厦门·月考）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 题型19：完全平方式在几何图形中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，某校有一块长米，宽米的长方形地块，后勤部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座孔子雕像． (1)计算绿化地块的面积； (2)当，时，绿化地块的面积是多少平方米？ 【变式训练】（2023·吉林长春·二模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    题型20：整式的混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）先化简，再求值：，其中． 1．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024·江苏常州·中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·中考真题）若，，，，则 ． 4．（2024·上海·中考真题）已知存在99个连续正整数，它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积，则这4个质数的和的最小值为 ． 5．（2024·四川成都·中考真题）已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 基础夯实 1．（25-26七年级下·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）计算： 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，它的长为，宽为．现计划扩建，将这块草坪的长和宽都增加．扩建后，草坪的面积将增加多少平方米？ 培优拔高 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若a，b的值使得成立，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 7．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·期中）已知：，，，，，，…，设，则的个位数字是 ． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.5 整式乘法（章节复习） （知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：整式的乘法 2 知识点梳理02：乘法公式 2 题型讲练 3 题型1：计算单项式乘单项式 3 题型2：利用单项式乘法求字母或代数式的值 3 题型3：计算单项式乘多项式及求值 4 题型4：单项式乘多项式的应用 5 题型5：利用单项式乘多项式求字母的值 6 题型6：计算多项式乘多项式 7 题型7：(x+p)(x+q)型多项式乘法 8 题型8：多项式乘多项式——化简求值 9 题型9：已知多项式乘积不含某项求字母的值 9 题型10：多项式乘多项式与图形面积 10 题型11：多项式乘法中的规律性问题 12 题型12：整式乘法混合运算 13 题型13：运用平方差公式进行运算 14 题型14：平方差公式与几何图形 15 题型15：运用完全平方公式进行运算 17 题型16：通过对完全平方公式变形求值 17 题型17：完全平方公式在几何图形中的应用 18 题型18：求完全平方式中的字母系数 21 题型19：完全平方式在几何图形中的应用 21 题型20：整式的混合运算 23 中考真题 24 分层训练 27 基础夯实 27 培优拔高 29 知识点梳理01：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点梳理02：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型1：计算单项式乘单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算 ． 【答案】 【思路点拨】该题考查了单项式乘单项式，根据单项式乘法的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【规范解答】解：： 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级下·北京·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 计算两个单项式的乘积，需将系数相乘，同底数幂相乘指数相加． 【规范解答】解：， 故选：C． 题型2：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级下·河南开封·月考）已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【规范解答】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 【变式训练】（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【规范解答】解， ， ，， ， 故选: C． 题型3：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查整式的乘法运算，难度不大，关键是在熟悉运算法则的基础上仔细运算． （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算，即单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）先根据单项式乘多项式的运算法则分别展开两个单项式与多项式相乘的部分，再去括号、合并同类项； 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值．先计算用单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可化简，再将代入计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 题型4：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）请计算下列物体的体积和表面积． 【答案】圆柱的体积为、表面积为；长方体的体积为、表面积为 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据圆柱和长方体的体积公式、表面积公式列式，再计算单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、以及整式的加减，由此即可得． 【规范解答】解：圆柱的体积为 ． 圆柱的表面积为 ． 长方体的体积为 ． 长方体的表面积为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的乘法与图形面积，熟练掌握计算公式是解题的关键；图中阴影部分的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可得答案． 【规范解答】解：去掉，补上，则剩余部分为一个直角梯形， 图中阴影部分的面积为： ∵， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为： 题型5：利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【规范解答】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【规范解答】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 题型6：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）化简：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减等运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：原式． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·单元测试）若的展开式中项的系数为9，项的系数为1，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘多项式，单项式的次数和系数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用多项式乘多项式运算法则展开，整理得，结合项的系数为9，项的系数为1，故，再解得，即可作答． 【规范解答】解： ． ∵展开式中项的系数为项的系数为1， ∴， 解得． ∴． 题型7：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）若化简后得，则n的值为(    ) A．4 B．-4 C．6 D．4或6 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．将展开，然后与作比较，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，且， 解得：， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·月考）如果 ，那么 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再比较等式两边即可求解． 【规范解答】解：， ∴， 故答案为： 题型8：多项式乘多项式——化简求值 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查整式的运算，化简求值，利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则，将代数式进行化简，再利用整体代入法求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 原式 ； 故答案为：2． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）规定，例如．已知，则的值为 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查定义新运算，多项式乘以多项式，代数式求值，根据新定义，以及多项式乘以多项式的法则，得出，再代入进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 题型9：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）若的结果中不含项，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确结果不含项，则其相应的系数为0． 利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合结果不含项，则其相应的系数为0，从而可求解． 【规范解答】解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【规范解答】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 题型10：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·福建宁德·月考）小明用下图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为，一边长为的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片 张． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了多项式乘多项式．由长乘以宽表示出矩形的面积，利用多项式乘以多项式法则计算，即可做出判断． 【规范解答】解：根据题意得：， 则需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故答案为：5． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 【答案】(1)（或） (2)20 000 【思路点拨】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据题意求得两个长方形喷泉池的长与宽的和，然后计算两个长方形喷泉池的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得两个长方形喷泉池的长为，它们宽的和为， 则 ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为； （2）当时， ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为20000． 题型11：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·月考）（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路点拨】本题考查了多项式乘法的规律探究，解题的关键是明确题意，利用规律解答问题． （1）根据题目中的例题可以直接写出结果； （2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； （3）利用（2）中的猜想进行变形即可解答本题． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 【变式训练】（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查规律型：数字的变化类、多项式乘多项式、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意找到规律，然后代入，进而得出答案． 【规范解答】解：由题中规律可得，当时， ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ． 故答案为：． 题型12：整式乘法混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【思路点拨】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法混合运算法则，平方差公式和完全平方公式进行化简，然后再代入数据求值即可． 【规范解答】解： ， 把，代入得： 原式． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（1）先根据题意列出抄错的式子计算，得到A即可； （2）把（1）中的结果代入原式计算得到正确答案即可； 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∴， （2）解：由（1）知： ∴， 故答案为：； 题型13：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【思路点拨】本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 先将化为的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【规范解答】解： ， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）利用乘法公式计算：． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，得到，去括号合并同类项可得结果． 【规范解答】解： ． 题型14：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由，可得，再把代入计算即可． 【规范解答】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平方差公式的几何应用，分别表示出图甲、图乙阴影部分的面积，再结合两个图形中阴影部分的面积相等即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：图甲阴影部分的面积可以表示为：， 图乙阴影部分的面积可以表示为：， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 题型15：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·月考）下列计算正确的是（　  　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】题目主要考查同底数幂的乘法，多项式乘以多项式及完全平方公式和平方差公式，根据运算法则依次判断即可 【规范解答】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C. 【变式训练】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式乘法的混合运算，熟练掌握乘法公式、准确计算是解题的关键．先根据完全平方、平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算展开，再代值计算． 【规范解答】解： ， 当，时，原式． 题型16：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果，那么a、b的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 根据完全平方公式展开，然后对比求解即可． 【规范解答】解：∵， ， ∴． 故选D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，求的值． 【答案】27 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式对式子进行变形，进而计算． 【规范解答】解：∵， ． 题型17：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）（1）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1_____图2_____；（用字母表示） （2）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 已知，求的值； （3）拓展运用：如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用，表示）． 【答案】 （1），； （2）的值为； （3）的面积为． 【思路点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算即可； （2）由图形面积之间的关系，利用完全平方公式进行计算即可； （3）由图形面积之间的关系，利用完全平方公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由图可得， 即， 由图可得，， 即， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：的值为． （3）解：设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 答：的面积为． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底部为正方形的雕塑，正方形的边长为米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分进行绿化．（，） (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积． (2)若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比． 【答案】(1)绿化的面积是平方米 (2)绿化部分与原长方形地块的面积之比是 【思路点拨】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式与图形面积，多项式除以多项式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）绿化面积=大长方形的面积-雕塑面积-通道面积，大长方形的面积，雕塑的面积，通道的面积，代入到关系式中计算即可； （2）因为雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，可得，化简可得，因为，，所以，绿化部分与原长方形地块的面积之比是，化简后得，将代入，求出最简比． 【规范解答】（1）解： （平方米）； 答：绿化的面积是平方米． （2）， ， 即， 因为，， 所以， ， 答：绿化部分与原长方形地块的面积之比是． 题型18：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“”中被墨水遮住的部分可能是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．运用完全平方公式求出对照求解即可． 【规范解答】解：由， ∴被墨水遮住的部分为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·福建厦门·月考）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式，注意积的倍的符号，避免漏解．这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 题型19：完全平方式在几何图形中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，某校有一块长米，宽米的长方形地块，后勤部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座孔子雕像． (1)计算绿化地块的面积； (2)当，时，绿化地块的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是列代数式，求代数式的值，整式的乘法与完全平方公式的实际应用． （1）由长方形的面积减去正方形的面积，再列式计算即可； （2）把，代入（1）中的代数式计算即可． 【规范解答】（1）解：绿化面积 ． ∴绿化的面积为； （2）当，时， 绿化的面积． ∴当，时，绿化的面积是． 【变式训练】（2023·吉林长春·二模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    【答案】12 【思路点拨】根据完全平方式进行配方可得此题结果． 【规范解答】解：∵， ∴还需取丙纸片12块， 故答案为：12． 题型20：整式的混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查平方差和完全平方公式，整式的混合运算： （1）将原式变形为，利用平方差和完全平方公式进行计算； （2）先计算多项式乘多项式和完全平方式，再合并同类项． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算——化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【规范解答】解： ， 当时， 原式． 1．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． 根据，以及逐项进行计算判断即可． 【规范解答】解：由题意得，， A．若，即，而， 所以，因此选项不符合题意； B．若，即，而， 因此，即，因此选项不符合题意； C．若，即，而， 所以，因此选项符合题意； D．若，即，而， 因此，所以，即，因此选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024·江苏常州·中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，解题关键是注意配方法的基本步骤，在变形过程中不能改变式子的值．把第个多项式中的写成，第个多项式中的写成，然后每个多项式都写成一个完全平方公式与一个常数的和，再根据平方项的非负性，列出关于和的方程，解方程求出，，再代入所求式子进行计算即可． 【规范解答】解： ， ， 则， ，， 的最小值为，最小值为， 当，时，满足， 解得：，， ， 故选：B． 3．（2024·全国·中考真题）若，，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式求出，，再根据平方差公式求的值． 【规范解答】 ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 4．（2024·上海·中考真题）已知存在99个连续正整数，它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积，则这4个质数的和的最小值为 ． 【答案】70 【思路点拨】本题考查了整式的运算，解题的关键在于计算得到99个连续正整数的和． 设这99个连续正整数的第一个数为n，结合自然数求和公式推出这99个连续正整数的和为，再结合它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积，推出为质数，最后根据这4个质数的和的最小值讨论求解，即可解题． 【规范解答】解：设这99个连续正整数的第一个数为n， 则99个连续正整数的和为： ， 又它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积， 则为质数， n为正整数， 当时，，不是质数； 当时，，不是质数； 当时，，不是质数； 当时，，是质数； 即最小为， 则这4个质数的和的最小值为， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·中考真题）已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值，熟练掌握多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“不含二次项”可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【规范解答】（1）解： ； ∵的展开式中不含的二次项， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 基础夯实 1．（25-26七年级下·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【规范解答】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 2．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积，根据矩形和正方形的面积公式列式，即可得出结论． 【规范解答】解：图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴， ∴A选项符合题意． 故选：A． 3．（25-26七年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的法则，进行计算即可． 【规范解答】解：； 故答案为： 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】15或 【思路点拨】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键；根据完全平方公式的结构特征即可求解． 【规范解答】解：由于二次三项式 是完全平方式，且二次项系数为4，常数项为9，则根据完全平方公式可知：； 当时，解得；当时，解得； 故答案为：15或． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，它的长为，宽为．现计划扩建，将这块草坪的长和宽都增加．扩建后，草坪的面积将增加多少平方米？ 【答案】平方米 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出扩建后的面积为，原来的面积为，再利用扩建后的面积减去原来的面积即可得． 【规范解答】解：由题意得： ． 答：扩建后，草坪的面积将增加平方米． 培优拔高 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若a，b的值使得成立，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，正确运用公式是关键；利用完全平方公式把左边展开，再比较关于x的对应系数可求出a，b的值，即可求代数式的值． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【规范解答】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 8．（24-25七年级下·全国·期中）已知：，，，，，，…，设，则的个位数字是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．把写成后，利用平方差公式化简，归纳总结得到一般性规律，即可确定出的个位数字． 【规范解答】解： ． 观察已知等式，个位数字以循环，且，能整除， 所以的个位数字是． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 36 【思路点拨】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得解． 【规范解答】解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴， （2）∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36，． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先将单项式乘多项式展开，再合并同类项即可； （2）先将单项式乘多项式展开，同时利用完全平方公式进行计算，再合并同类项即可； （3）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可； （4）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 第 1 页 共 12 页 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