专题8.3 多项式乘多项式（知识荟萃+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦初中数学“多项式乘多项式”核心知识点，前承单项式乘多项式法则，后为乘法公式学习奠定基础。通过梳理法则（(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn）、几何解释（面积和验证）、多多项式相乘拓展及易错警示（漏乘、未合并同类项），构建完整学习支架。 资料以“知识荟萃+7题型讲练+中考真题+分层训练”为框架，特色鲜明。题型涵盖计算、(x+p)(x+q)型、化简求值等，结合几何图形面积（如“T”型广场）培养几何直观（数学眼光），通过杨辉三角规律探究发展推理意识（数学思维），融入销售问题强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层巩固，有效查漏补缺。

专题8.3 多项式乘多项式 （知识荟萃+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：多项式乘多项式法则: 1 知识点梳理02：多项式与多项式相乘的几何解释 2 知识点梳理03：拓展 2 知识点梳理04：易错警示 2 题型讲练 2 题型1：计算多项式乘多项式 2 题型2：(x+p)(x+q)型多项式乘法 3 题型3：多项式乘多项式——化简求值 3 题型4：已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 题型5：多项式乘多项式与图形面积 3 题型6：多项式乘法中的规律性问题 4 题型7：整式乘法混合运算 5 中考真题 6 分层训练 7 基础夯实 7 培优拔高 8 知识点梳理01：多项式乘多项式法则: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 知识点梳理02：多项式与多项式相乘的几何解释 如图大长方形的面积可以表示为(a+b)(m+n)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，am+an+bm+bn.所以(a+b)( m+n )=am+an+bm+bn. 知识点梳理03：拓展 本法则也适用于多个多项式相乘，按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，以此类推 知识点梳理04：易错警示 (1)在多项式的乘法运算中,容易漏乘项. (2)计算结果中还有同类项没有合并 题型1：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某商店经营一种产品，每件的定价为12元，每天能售出8件，若每降价x元，每天可多售件，则降价x元后，每天的销售总收入是 元． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算，所得结果的一次项系数是 ． 题型2：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例精讲】（25-26七年级下·山西临汾·月考）若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则m，n的值分别是 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，那么的值为 ． 题型3：多项式乘多项式——化简求值 【典例精讲】（24-25七年级下·广西百色·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式训练1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）先化简，再求值∶，其中，． 【变式训练2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 题型4：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·月考）若的运算结果中不含项，则 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·期末）若的结果中不含有的一次项，则的值为 ． 题型5：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·月考）长春市某中学操场为长方形，长为米，宽为米，则该操场的面积为 平方米． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，某城市利用一块长为米，宽为米的长方形地块开发商贸中心，计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个休闲文化广场，其余部分建设高层建筑． (1)用含，的式子表示“T”型休闲文化广场的面积并化简． (2)当，时，求该“T”型休闲文化广场的面积． 【变式训练2】（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 题型6：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．观察如图的杨辉三角，按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项的系数为 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，这个图形揭示了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，根据前面各式的规律，可得： ． 题型7：整式乘法混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·北京丰台·期中）计算：． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知正数，，，满足，． (1) ______； (2)如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，，，求这三张正方形纸片的面积之和． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川达州·月考）若规定，则当时，的值为 ． 1．（2024·江苏无锡·中考真题）使乘积中不含与项的的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·福建泉州·中考真题）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 4．（2024·山东枣庄·中考真题）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则= ． 5．（2024·全国·中考真题）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 基础夯实 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）若，则a的值为（    ） A．－7 B．－5 C．5 D．7 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知，则的值为（   ） A．2 B．6 C． D． 3．（25-26七年级下·全国·期中）下列各式中不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为 ． 5．（24-25七年级下·重庆·月考）要使的结果中不含项，则为 . 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1）；( ) （2）；( ) （3）；( ) （4）．( ) 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 ． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）计算图中阴影部分的面积． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，我们用的书除中间的文字区域外，通常在它的左右两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白．若纸的长和宽分别为，求中间文字区域的面积． 培优拔高 11．（25-26七年级下·山西临汾·月考）计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 12．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 13．（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 15．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足 ． 16．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则代数式的值为 ． 17．（2024七年级下·河南郑州·竞赛）已知的乘积中不含项与项，则 ． 18．（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值，其中． 19．（2026七年级下·全国·专题练习）（1）利用多项式乘法将展开． （2）在上面的展开式中，，的系数及常数项与，，的关系分别是什么？ 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______________ ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． (3)若是三项式，是否存在同样是三项式的，使得是的“友好多项式”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 多项式乘多项式 （知识荟萃+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：多项式乘多项式法则: 1 知识点梳理02：多项式与多项式相乘的几何解释 2 知识点梳理03：拓展 2 知识点梳理04：易错警示 2 题型讲练 2 题型1：计算多项式乘多项式 2 题型2：(x+p)(x+q)型多项式乘法 3 题型3：多项式乘多项式——化简求值 5 题型4：已知多项式乘积不含某项求字母的值 6 题型5：多项式乘多项式与图形面积 7 题型6：多项式乘法中的规律性问题 9 题型7：整式乘法混合运算 11 中考真题 13 分层训练 16 基础夯实 16 培优拔高 21 知识点梳理01：多项式乘多项式法则: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 知识点梳理02：多项式与多项式相乘的几何解释 如图大长方形的面积可以表示为(a+b)(m+n)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，am+an+bm+bn.所以(a+b)( m+n )=am+an+bm+bn. 知识点梳理03：拓展 本法则也适用于多个多项式相乘，按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，以此类推 知识点梳理04：易错警示 (1)在多项式的乘法运算中,容易漏乘项. (2)计算结果中还有同类项没有合并 题型1：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键， （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某商店经营一种产品，每件的定价为12元，每天能售出8件，若每降价x元，每天可多售件，则降价x元后，每天的销售总收入是 元． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式乘法的应用． 先分别表示出售价和销售量，再相乘即可． 【规范解答】解：每件的定价为12元，降价x元，则售价元， 每降价x元，每天可多售件，则销售量件， 则每天的销售总收入是元， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算，所得结果的一次项系数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是多项式乘多项式，直接利用多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【规范解答】解： ； 所以结果的一次项系数是． 故答案为：． 题型2：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例精讲】（25-26七年级下·山西临汾·月考）若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是多项式乘多项式的法则，掌握此知识点是解答此题的关键．先把等式的左边化为的形式，再求出m的值即可． 【规范解答】解：∵，且， ∴， 解得． 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则m，n的值分别是 ． 【答案】， 【思路点拨】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式法则计算即可求得答案． 【规范解答】解： ， 则，， 那么，， 故答案为：，． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了整式的乘法，先利用多项式乘多项式法则计算，再利用等式的性质得关于m、n的方程，求出m、n得结论，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 【规范解答】解：， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， 故答案为：． 题型3：多项式乘多项式——化简求值 【典例精讲】（24-25七年级下·广西百色·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【思路点拨】本题考查的是整式的加减混合运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，最后把代入进行计算即可． 【规范解答】解： ． 当时，原式． 【变式训练1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）先化简，再求值∶，其中，． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则． 先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后代入求值． 【规范解答】解： 当，时， 原式 【变式训练2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 【答案】3 【思路点拨】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 题型4：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·月考）若的运算结果中不含项，则 ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了多项式中不含有某项的问题， 展开多项式乘法后，合并同类项，令项的系数为零，求解的值. 【规范解答】解： ， ∵多项式的运算中不含项， ∴， 解得. 故答案为：2. 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【规范解答】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·期末）若的结果中不含有的一次项，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键； 按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可． 【规范解答】 ， ， ， 若的结果中不含有的一次项，则， 解得． 故答案为：． 题型5：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·月考）长春市某中学操场为长方形，长为米，宽为米，则该操场的面积为 平方米． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是多项式的乘法运算，根据长方形的面积公式列式计算即可． 【规范解答】解：由题意得： ． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，某城市利用一块长为米，宽为米的长方形地块开发商贸中心，计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个休闲文化广场，其余部分建设高层建筑． (1)用含，的式子表示“T”型休闲文化广场的面积并化简． (2)当，时，求该“T”型休闲文化广场的面积． 【答案】(1)平方米 (2)4800平方米 【思路点拨】本题考查了整式乘法的应用，求代数式的值，关键是表示“T”型休闲文化广场的面积； （1）用长方形的面积减去两个正方形的面积，利用多项式乘多项式的法则展开即可； （2）把x与y的值代入（1）中化简后的算式中求值即可． 【规范解答】（1）解：“T”型休闲文化广场的面积为（平方米）； （2）解：当，时， 原式（平方米）； 【变式训练2】（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】（）根据题意和图形列出代数式即可； （）由可得，即得，进而即可求解； 本题考查了列代数式，多项式乘以多项式的应用，正确识图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∴长方形的周长． 题型6：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．观察如图的杨辉三角，按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项的系数为 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了杨辉三角的规律及二项式展开式的系数问题，解题的关键是根据杨辉三角的递推规律确定的各项系数． 观察杨辉三角，的展开式系数对应其第行的数，且每行数字由上一行相邻两数之和得到；据此推出的系数行，即可得左起第三项的系数． 【规范解答】解：由杨辉三角规律，的系数行为1，4，6，4，1， 则的系数行由上一行相邻数相加得： 1， ， ， ， ， 1， 故展开式左起第三项的系数为10． 故答案为：10． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，这个图形揭示了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘法中的规律性问题．关键是找到规律；由杨辉三角归纳的项数与所有项的系数规律，即可求解． 【规范解答】解：由题意得， 共项，所有项按字母的降幂排列系数为； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为；……； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为， 其中是第二项系数为， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，根据前面各式的规律，可得： ． 【答案】63 【思路点拨】本题考查了多项式乘法的规律问题． 根据已知等式规律，直接应用多项式乘法公式求解． 【规范解答】解：由已知等式，可得一般规律：． 中对应， 因此． 故答案为：63． 题型7：整式乘法混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·北京丰台·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式、单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知正数，，，满足，． (1) ______； (2)如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，，，求这三张正方形纸片的面积之和． 【答案】(1)2 (2)7 【思路点拨】本题考查代数式求值，整式混合运算的应用． （1）由等式，得出比大，比大，由此得出比大． （2）根据，得出，，将其代入得出，通过计算张正方形纸片的面积和，化简后得出面积和，用整体代入法把代入得出面积和即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， ， ∴． 故答案为：． （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， 整理，得， ∴， 这三张正方形纸片的面积之和： ． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川达州·月考）若规定，则当时，的值为 ． 【答案】 【思路点拨】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【规范解答】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 1．（2024·江苏无锡·中考真题）使乘积中不含与项的的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路点拨】本题考查多项式乘以多项式的法则．根据多项式乘多项式把式子展开，合并同类项后，令和项的系数分别为，列式求解即可． 【规范解答】解： ∵乘积中不含与项， ∴，， ∴，． 故选：D． 2．（2024·福建泉州·中考真题）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题先根据多项式乘多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含的一次项，该项的系数为0，然后即可求解； 【规范解答】解：先将展开，根据多项式乘法法则： ， ∵展开式中不含的一次项，即的一次项的系数为， ∴， 解得， 故选：D． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【规范解答】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 4．（2024·山东枣庄·中考真题）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则= ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 5．（2024·全国·中考真题）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【思路点拨】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【规范解答】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 基础夯实 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）若，则a的值为（    ） A．－7 B．－5 C．5 D．7 【答案】A 【思路点拨】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 展开左边表达式，与右边比较x的系数，即可求出a的值． 【规范解答】∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较x项系数，得 ， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知，则的值为（   ） A．2 B．6 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了代数式求值、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算多项式乘以多项式，代入计算即可得． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 3．（25-26七年级下·全国·期中）下列各式中不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了列代数式、多项式乘多项式与图形面积等知识点，能根据图形列出代数式是解题的关键． 先用多种方法列代数式表示出阴影部分的面积，再结合各选项进行判断即可． 【规范解答】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为 ． 【答案】17 【思路点拨】本题主要考查多项式乘多项式；展开左边多项式，利用等式两边对应项系数相等，求出m和n的值，再计算它们的和． 【规范解答】解：∵ ， 又∵， ∴ ， 对比系数得，，即， ∴． 故答案为：17． 5．（24-25七年级下·重庆·月考）要使的结果中不含项，则为 . 【答案】 【思路点拨】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键． 先计算多项式乘多项式，再使项系数为即可． 【规范解答】解：原式， ∵不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1）；( ) （2）；( ) （3）；( ) （4）．( ) 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）设，计算多项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得； （2）设，计算多项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得； （3）设，计算多项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得； （4）设，计算多项式乘以多项式，再比较等号两边的系数，由此即可得． 【规范解答】解：（1）设， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． （3）设， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． （4）设， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的知识点是多项式乘多项式，运用多项式的乘法运算法则，将各项相乘后合并同类项． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；先把等式右边进行化简，然后对比等式两边的系数，进而问题可求解． 【规范解答】解：由题意得：， ∵， ∴， 即． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘法是解题的关键；根据图形可利用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，然后问题可求解． 【规范解答】解：由图形得阴影部分的面积为： ． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，我们用的书除中间的文字区域外，通常在它的左右两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白．若纸的长和宽分别为，求中间文字区域的面积． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据图形可得中间文字长方形区域的长为，宽为，列式计算多项式乘以多项式即可得． 【规范解答】解：由题意得：中间文字区域的面积为 ． 答：中间文字区域的面积为． 培优拔高 11．（25-26七年级下·山西临汾·月考）计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】D 【思路点拨】本题考查了多项式的乘法． 先计算，再根据结果不含项计算即可． 【规范解答】 ， ∵的结果不含项， ∴， 即． 故选：D． 12．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【规范解答】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 13．（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【思路点拨】本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ． 故答案为：． 15．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的乘法和减法运算，令，可得，，再利用作差法解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【规范解答】解：令， 则 ， ∴ ， ∵均为正数， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则代数式的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代数式，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ； ， ． 把代入，得 ． 所以，代数式的值为4． 故答案为：4． 17．（2024七年级下·河南郑州·竞赛）已知的乘积中不含项与项，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘多项式法则，把式子展开，找到项与和项的所有系数，令其为，求出和的值，然后代入要求的式子进行计算即可，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为． 【规范解答】解：∵ ， 又∵结果中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【规范解答】 ， ∵ ∴原式． 19．（2026七年级下·全国·专题练习）（1）利用多项式乘法将展开． （2）在上面的展开式中，，的系数及常数项与，，的关系分别是什么？ 【答案】（1） （2）的系数是，，的和，的系数是，，两两乘积的和，常数项是，，的积 【思路点拨】本题主要考查多项式的乘法及多项式乘法中的规律问题，熟练掌握多项式的乘法法则是做题的关键．根据多项式的乘法法则进行计算即可；根据展开结果，分别分析，的系数及常数项与，，的关系即可． 【规范解答】（1）解： （2）根据（1）中的计算过程和结果可得： 的系数， 的系数， 常数项， ，的系数及常数项与，，的关系分别是：的系数是，，的和，的系数是，，两两乘积的和，常数项是，，的积． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______________ ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． (3)若是三项式，是否存在同样是三项式的，使得是的“友好多项式”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见详解 (2)①，②，理由见详解 (3)存在，理由见详解 【思路点拨】本题考查阅读理解，涉及整式乘法运算法则，读懂题意，理解“友好多项式”、 “特别友好多项式”是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式得到，由“友好多项式”定义验证即可得到答案； （2）先由多项式乘以多项式得到，由“特别友好多项式”定义验证即可得到答案； （3）先由多项式乘以多项式得到，由“友好多项式”定义验证即可得到答案． 【规范解答】（1）解：是的“友好多项式”， 理由如下： ， 是三项式，二项式，比多不超过1项， 是的“友好多项式”； （2）解：当时， ①若是的“特别友好多项式”，若取， ， 是二项式，二项式，的项数和相同， 是的“特别友好多项式”； 故答案为：（答案不唯一）； ②， 理由如下： 若三项式是的“特别友好多项式”，则可取， ， 是二项式，二项式，的项数和相同， 是的“特别友好多项式”； （3）解：存在． 取， ， 是四项式，三项式，比多不超过1项， 是的“友好多项式”． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $