专题8.2 单项式乘多项式（知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦“单项式乘多项式”核心知识点，前承单项式乘单项式，通过乘法分配律实现转化，后为多项式乘多项式奠定基础。以知识荟萃梳理算理与符号规则，构建从概念到应用的学习支架。 资料以3类题型讲练为核心，融入几何图形面积问题（如长方形拼接验证公式）培养几何直观与模型意识，通过中考真题及分层训练提升运算能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题8.2 单项式乘多项式 （知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理：单项式乘多项式的简单计算 1 题型讲练 2 题型1：计算单项式乘多项式及求值 2 题型2：单项式乘多项式的应用 3 题型3：利用单项式乘多项式求字母的值 6 中考真题 7 分层训练 10 基础夯实 10 培优拔高 14 知识点梳理：单项式乘多项式的简单计算 知识点与方法：单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用字母表示为:m(a+b+c)=ma +mb +mc. 要点诠释 ①单项式与多项式相乘,实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式 ②单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同. ③计算过程中要注意符号,单项式乘多项式的每一项时,要包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号. ④对于混合运算,应注意运算顺序;最后有同类项的,必须合并同类项从而得到最简结果 题型1：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（25-26七年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算等知识． （1）先根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方进行计算，再合并同类项即可求解； （2）先用单项式乘以多项式，再合并同类项即可求解． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）（1）已知，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【思路点拨】本题考查了整式的乘法，掌握单项式乘以多项式法则以及同底数幂的乘法、幂的乘方运算是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算进行计算即可求解． （2）根据单项式乘以多项式法则、合并同类项进行化简，然后将代入即可求解． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴ n ； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式训练2】（25-26七年级下·海南海口·期中）计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式，直接运用分配律展开表达式即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式训练3】（24-25七年级下·河南开封·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查整式的乘法运算，去括号，运用单项式乘多项式即可求值． 【规范解答】解： 故答案为：. 题型2：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可； （3）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可；． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北承德·期中）观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【规范解答】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查列代数式，单项式乘以多项式的应用，用代数式表示所拼成的长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可． 【规范解答】解：拼成的长方形的长为，宽为， 所以面积为． 故选：D． 【变式训练3】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】大小卧室都是正方形，大卧室的边长是，根据正方形的面积公式：正方形的面积边长边长，代入字母表示出大卧室的面积；阳台是一个长方形，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的，阳台的宽是，阳台的长是，长方形的面积长宽，代入字母表示出代数式即可． 由，得，因为，所以，化简求出即可． 本题考查了列代数式，多项式乘以单项式，整式的加减运算，解决本题的关键是熟练利用长方形得到面积公式计算． 【规范解答】（1）解：大卧室面积是：， 阳台的面积是：． 答：大卧室的面积是，阳台的面积是． （2）解：因为， 所以， 露台面积是：， 阳台的面积是：， 因为， 所以， 即， 得：， 得． 题型3：利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【规范解答】解：因为 所以， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【规范解答】解：， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 1．（2024·全国·中考真题）长方形一边长为，另一边比它小，则长方形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了整式的加减、多项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意，先求出长方形的另一边长，再利用多项式乘法计算面积． 【规范解答】解：∵一边长为 ，另一边比它小 ， ∴另一边长为： ∴长方形的面积为： 故选：D． 2．（2024·浙江·中考真题）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【思路点拨】本题考查了多项式乘法与图形面积，熟练掌握长方形的性质，三角形的面积公式，整式的加减运算是解决问题的关键． 依题意得，根据三角形和长方形的面积公式得，进而得，，则，据此即可得出答案． 【规范解答】解：依题意得， ， ， ∵，     ， ， ∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可． 故选：A． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）如果，那么代数式的值为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了整式混合运算，代数式求值，熟练掌握整体思想的利用是解题的关键． 把代数式整理成用已知条件表示的形式，然后代入数据计算即可． 【规范解答】解： ； 原式． 故答案为：． 4．（2024·安徽宣城·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式，整式的加减，掌握这些知识及运算法则是解题的关键． 由，则，即，然后两式相减得出，最后讨论即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴当时，， 故答案为：． 5．（2024·河北石家庄·中考真题）计算． (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2)7 (3) 【思路点拨】本题考查幂的乘方，零指数幂和负整数指数幂，单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先进行幂的乘方运算，再合并同类项即可； （2）根据乘方，零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算即可； （3）根据单项式乘以多项式的法则，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 基础夯实 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查整式的计算，其中包括去括号、合并同类项、幂的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【思路点拨】本题考查了新运算的定义及一元一次方程求解，单项式乘以多项式，根据新运算的定义，将方程转化为关于x的一元一次方程求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式的应用，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据长方体的体积等于长宽高，进而计算单项式乘以多项式即可求解． 【规范解答】解：依题意，长方体的体积为 ． 故项：D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查单项式乘以多项式，代数式求值，将化简，再将整体代入计算即可． 【规范解答】解： ， ∵， 则原式． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）当时， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了单项式乘多项式，代数式求值．先将代数式展开并合并同类项，得到简化形式后，再代入数值进行计算． 【规范解答】解：原式   ； 当，，时， 原式． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【规范解答】解：； 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查单项式乘多项式的运算法则进行计算．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式运算，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：．其中，． 【答案】，10 【思路点拨】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把代入化简后的式子进行计算即可，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 【规范解答】解： ， 当时，． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法等知识， （1）根据单项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 培优拔高 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【规范解答】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：C． 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一分析各选项的运算即可． 【规范解答】解：A ．，原式计算错误，故此选项不符合题意； B．，原式计算正确，故此选项符合题意； C．，原式计算错误，故此选项不符合题意； D． 和不是同类项，不能合并，原式计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 13．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（    ） A．405 B．406 C．407 D．410 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是数字类规律探究，整式的乘法运算，一元一次方程的应用，由题意可得，，，结合，再进一步求解即可． 【规范解答】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选：B． 14．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的面积之和为，且，阴影部分的面积 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了代数式的化简求值与几何图形的结合应用，正确归纳几何信息，熟练掌握代数式化简及正方形和三角形的面积计算是解题的关键．根据题意可得：，，再根据阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积，然后进行化简计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，， 阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积 ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【规范解答】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．若，当m变化时，的值总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查整式运算的应用，分别表示出，根据的值总保持不变，得到值与的值无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【规范解答】解：由图可知：，， ∴， ∵当m变化时，的值总保持不变， ∴， ∴； 故答案为：． 17．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1） （用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则 ． 【答案】 32 【思路点拨】本题考查了列代数式，整式乘法的应用，求代数式的值等知识，正确表示出相图形的面积是解题的关键． （1）由即可求解； （2）利用即可求解． 【规范解答】解：（1）， ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：32． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了多项式乘以单项式，积的乘方． （1）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （4）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值，先去括号合并同类项，然后把，代入计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 当时， 原式． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 单项式乘多项式 （知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理：单项式乘多项式的简单计算 1 题型讲练 2 题型1：计算单项式乘多项式及求值 2 题型2：单项式乘多项式的应用 2 题型3：利用单项式乘多项式求字母的值 3 中考真题 4 分层训练 4 基础夯实 4 培优拔高 5 知识点梳理：单项式乘多项式的简单计算 知识点与方法：单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用字母表示为:m(a+b+c)=ma +mb +mc. 要点诠释 ①单项式与多项式相乘,实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式 ②单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同. ③计算过程中要注意符号,单项式乘多项式的每一项时,要包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号. ④对于混合运算,应注意运算顺序;最后有同类项的,必须合并同类项从而得到最简结果 题型1：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（25-26七年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2). 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）（1）已知，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】（25-26七年级下·海南海口·期中）计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·河南开封·期末）计算： ． 题型2：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北承德·期中）观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 题型3：利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 1．（2024·全国·中考真题）长方形一边长为，另一边比它小，则长方形面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·中考真题）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2024·江苏盐城·中考真题）如果，那么代数式的值为 ． 4．（2024·安徽宣城·中考真题）若，则的值为 ． 5．（2024·河北石家庄·中考真题）计算． (1) (2) (3)． 基础夯实 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值是 ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）当时， ． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业） ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：．其中，． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 培优拔高 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（    ） A．405 B．406 C．407 D．410 14．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的面积之和为，且，阴影部分的面积 ． 15．（24-25七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 16．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．若，当m变化时，的值总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ． 17．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1） （用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则 ． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，，． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $