精品解析：贵州省2025年12月普通高中学业水平合格性考试数学试卷

贵州省2025年12月普通高中学业水平合格性考试数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共28小题，考试时间60分钟，满分100分. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“考生条形码区”. 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题把答案答在答题卡上对应的位置. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式： 柱体体积公式，锥体体积公式，其中为底面积，为高. 球的表面积公式，球的体积公式，其中为球的半径. 第Ⅰ卷选择题 一、选择题：共26小题，每小题3分，共78分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体为多面体的是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台 5. 数据1，2，2，3，3，3，4，4的众数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 向量，，则（ ） A. B. C. D. 7. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，都是正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 10. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 12. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13. 已知9位同学的身高（单位：cm）分别为：161，161，162，165，165，165，170，173，178. 则这组数据的中位数为（ ） A. 162 B. 165 C. 170 D. 173 14. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 16. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（ ） A. B. C. D. 17. 若，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 18. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 19. 在边长为2的正方形中，（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 20. 若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 21. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 22. 已知命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 23. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 24. 已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则 D. ，，则 25. 已知是函数的最小值，则（ ） A. B. C. D. 26. 已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题 二、非选择题：共2小题，每小题11分，共22分.除填空外的解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 27. 如图，在三棱锥中，平面. （1）异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） （2）若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； （3）若平面平面，证明：. 28. 记的内角、、所对的边分别为、、，，. （1）若，求； （2）求的最大值； （3）若内角的角平分线交边于点，且，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省2025年12月普通高中学业水平合格性考试数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共28小题，考试时间60分钟，满分100分. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“考生条形码区”. 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题把答案答在答题卡上对应的位置. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式： 柱体体积公式，锥体体积公式，其中为底面积，为高. 球的表面积公式，球的体积公式，其中为球的半径. 第Ⅰ卷选择题 一、选择题：共26小题，每小题3分，共78分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的概念求出答案. 【详解】. 故选：D 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的加法计算. 【详解】， . 故选：C. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式，即可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：C. 4. 下列几何体为多面体的是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台 【答案】A 【解析】 【分析】由多面体的概念可得结果. 【详解】由多面体的概念可知，长方体为多面体，圆锥、圆柱、圆台都不是多面体. 故选：A. 5. 数据1，2，2，3，3，3，4，4的众数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义判断即可． 【详解】3在该组数据中出现的次数最多，所以众数为3． 故选：C． 6. 向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，则. 故选：A. 7. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，都是正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出两次抛掷硬币的所有结果，根据古典概型的概率公式计算即可． 【详解】共有“正反”，“正正”，“反正”，“反反”一共4种可能，则两次抛掷的结果都是正面朝上的概率为． 故选：C. 8. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“”为存在量词命题，该命题的否定为“”. 故选：D. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式代值计算可得所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：D. 10. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式、指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】. 故选：B. 11. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量模的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C 12. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】直接由基本不等式运算即可. 【详解】因为，所以，即的最小值为4， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 13. 已知9位同学的身高（单位：cm）分别为：161，161，162，165，165，165，170，173，178. 则这组数据的中位数为（ ） A. 162 B. 165 C. 170 D. 173 【答案】B 【解析】 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数. 【详解】将数据从小到大排列为：161，161，162，165，165，165，170，173，178 中位数为第5个数据，即这组数据的中位数为165. 故选：B 14. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解法即可求解. 【详解】由，解得，所以不等式的解集为. 故选：B. 15. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性比较大小. 【详解】因为在上单调递增， 又因为，所以， 则. 故选：A. 16. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样可求得女运动员所抽取的人数. 【详解】设女运动员抽取的人数为，由分层抽样得，解得. 故选：B. 17. 若，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法、不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为，， 对于A选项，不妨取，，则，A错； 对于B选项，当时，由不等式的基本性质可得，B错； 对于C选项，由不等式的基本性质得，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：C. 18. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性逐项判断即可． 【详解】对于A，一次函数是增函数，在区间上单调递增，符合题意； 对于B，是减函数，在区间上单调递减，不符合题意； 对于C，是反比例函数，在区间上单调递减，不符合题意； 对于D，是指数函数，且，故是减函数， 在区间上单调递减，不符合题意． 故选：A． 19. 在边长为2的正方形中，（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的几何性质和向量的数量积定义即可求解. 【详解】因为正方形的边长为2，所以，所以； 故选：B. 20. 若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的二倍角公式，代入已知值求解即可. 【详解】因为： 所以：. 故选：B. 21. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出分段函数形式，结合单调性作出判断. 【详解】， 当时，单调递增，当时，单调递减， 故A选项满足要求，其他选项均不合要求. 故选：A 22. 已知命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解方程，得，因为是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 23. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性与零点存在定理可得结果. 【详解】函数在上为增函数，且，， 所以，由零点存在定理可知，函数的零点所在区间为. 故选：A. 24. 已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则 D. ，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面位置关系可判断ABC选项；利用线面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或、异面，A错； 对于B选项，若，，则或、相交，B错； 对于C选项，若，，则或、异面或、相交，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 25. 已知是函数的最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角化简函数的解析式，利用正弦型函数的最值、诱导公式化简可得的值. 【详解】因为， 其中为锐角，且，， 因为为函数的最小值，所以， 所以， 故，， 故. 故选：D. 26. 已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设上、下两个底面的中心分别为、，连接，则正三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积. 【详解】设上、下两个底面的中心分别为、，连接， 因为所有棱长为的正三棱柱的六个顶点都在同一球面上， 所以正三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，在等边中，， 在直角中，， 所以正三棱柱外接球的半径， 所以球的表面积为. 故选：C. 第Ⅱ卷非选择题 二、非选择题：共2小题，每小题11分，共22分.除填空外的解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 27. 如图，在三棱锥中，平面. （1）异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） （2）若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； （3）若平面平面，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明:过点作于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可求解； （2）利用三棱锥的体积公式即可求解； （3）过点作于点，由面面垂直的性质定理得平面，进而得，再由线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的定义即可得证. 【小问1详解】 由平面，平面， 所以， 所以异面直线与所成角大小为； 【小问2详解】 由三棱锥的体积为， 所以； 【小问3详解】 略. 28. 记的内角、、所对的边分别为、、，，. （1）若，求； （2）求的最大值； （3）若内角的角平分线交边于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求得的值； （2）由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值； （3）利用结合三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出关于的方程，解出的值，结合三角形的面积公式可求得答案. 【小问1详解】 因为，，，由正弦定理，则. 【小问2详解】 由余弦定理结合基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 【小问3详解】 因为内角的角平分线交边于点，且， 由，即， 即，所以， 由余弦定理可得， 即，即， 因为，故，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $